Quadrieren Sie den Kreis

Der Vertrag von Archimedes mit dem Titel Messung eines Kreises hat es geschafft, uns zu vervollständigen. Archimedes demonstriert in dieser Abhandlung die folgenden drei Eigenschaften:

• Die Fläche eines Kreises ist gleich der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, deren Seiten des rechten Winkels sind: eins, der Radius des Kreises; der andere der Umfang. Die Fläche des Kreises ist dann: Radius × Umfang / 2;
• die Fläche des Kreises ist mit dem Quadrat seines Durchmessers in einem Verhältnis von etwa 11 ⁄ 14  ;
• Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser des Kreises liegt zwischen 3 + 10 ⁄ 71 und 3 + 10 ⁄ 70 .

Der erste Satz löst die Quadratur des Kreises, indem er den Umfang eines Kreises mit einem gegebenen Radius korrigiert und ihn schließlich zur Konstruktion eines Segments der Länge π zurückbringt . Archimedes liefert mit dem dritten Satz einen Wert, der sowohl einfach (22/7) als auch ausreichend genau (≈ 3.143) für aktuelle Anwendungen ist. Der zweite Satz ist eine Folge der beiden anderen; Die Tatsache, dass die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers ist, war Euklid bereits bekannt  . Archimedes gibt hier nur den Proportionalitätskoeffizienten an.

Um seine drei Aussagen zu demonstrieren, greift Archimedes auf die Idee seines Vorgängers Bryson zurück: den Kreis durch eingeschriebene und umschriebene Polygone zu umgeben, indem die Berührungspunkte multipliziert werden. Ausgehend von einem eingeschriebenen Sechseck und dem umschriebenen (gleichseitigen) Dreieck gelingt es Archimedes durch aufeinanderfolgende Duplikationen der Anzahl der Seiten, den Kreis zwischen zwei Polygonen mit jeweils 96 Seiten einzuschließen. Eine bemerkenswerte Berechnung der Quadratwurzeln, die in die erhaltenen geometrischen Beziehungen eingreifen, ergibt die drei angekündigten Verhältnisse.

In einer anderen Abhandlung mit dem Titel Des spirales beschreibt Archimedes die Konstruktion einer sogenannten archimedischen Spirale , die wie die Quadratrix von Hippias durch die Zusammensetzung einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung und einer gleichmäßigen kreisförmigen Bewegung erzeugt wird. Er zeigt, dass die Konstruktion einer Tangente an diese Spirale es ermöglicht, den Umfang eines Kreises genau zu korrigieren. Einige Kommentatoren sehen darin eine vollständige Quadratur des Kreises, aber Archimedes behauptet es selbst nicht als solches: Nicht mehr als die Quadratrix, die Spirale oder ihre Tangente sind mit dem Lineal und dem Kompass konstruierbar.

Mittelalter

Das erneute Interesse an der Mathematik von der Antike im christlichen Europa die XI ten  Jahrhundert wurde von ursprünglichen Spekulationen begleitet über die Quadratur des Kreises, die aber nicht seine Lösung vorantreiben . Im Nachhinein können wir sogar überrascht sein, dass im Mittelalter die Annäherung von Archimedes an die Zahl π , nämlich 22 ⁄ 7 , als genau angesehen werden konnte.

Einer der ersten Autoren dieser Zeit, der sich für das Problem der Quadratur des Kreises interessierte, war Francon de Liège . Seine Abhandlung De quadratura circuli erschien um 1050. Francon legt zunächst drei Lösungen vor, die er für fehlerhaft hält. Die ersten beiden geben für die Seite des gesuchten Quadrats den Wert 7 ⁄ 8 und für seine Diagonale 10 ⁄ 8 des Kreisdurchmessers an, was schlechten Näherungen für π (3 + 1 ⁄ 16 und 3 + 1) entspricht ⁄ 8 bzw.). Die dritte Methode setzt die Gleichrichtung des Kreises voraus.

Francons Lösung gilt für einen Kreis mit einem Durchmesser von 14. Nach Angaben dieses Autors beträgt die Fläche in diesem Fall genau 7 2  × 22 ⁄ 7  = 154. Wenn die Francon-Methode nicht die Möglichkeit bietet, die Seite des gesuchten Quadrats zu berechnen (weil Die Quadratwurzel von 22 ⁄ 7 ist irrational), sie erlaubt es bereits, sie zu bauen. Dazu teilt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren , die zusammengeklebt ein Rechteck 11 mal 14 an der Seite bilden. Trotzdem erklärt Francon nicht, wie er das Schlüsselergebnis seiner Argumentation erhält, nämlich die Assimilation der Kreissektoren an rechtwinklige Dreiecke der Seiten der Länge 1 und 7. Die Tatsache, dass er sein Rechteck letztendlich nicht in ein reales verwandelt Quadrat ist auch nicht sehr schlüssig. Offensichtlich war Francon bis zu seiner Zeit kaum mit den Methoden der Alten vertraut.

Die späteren schulischen Abhandlungen sind mehr oder weniger von der Argumentation der klassischen Autoren inspiriert. Erst mit der Verbreitung lateinischer Übersetzungen der Abhandlungen von Archimedes im Spätmittelalter wurde klar, dass 22 ⁄ 7 nur ein ungefährer Wert war und dass Denker wie Nicolas de Cues wieder den Kreis quadrierten. Letzterer nahm die Idee auf, den Kreis durch eine Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Polygonen mit zunehmender Anzahl von Seiten zu rahmen, aber im Gegensatz zu Archimedes versucht er nicht, die Oberfläche des Kreises zu bedecken, sondern den Radius des umschriebenen Kreises zu berechnen zu einem Polygon einer bestimmten Fläche. Ausgehend von einem gleichseitigen Dreieck, das als einfachstes reguläres Polygon betrachtet wird, erhöht es schrittweise die Anzahl der Seiten der anderen isoperimetrischen regulären Polygone bis zum Kreis (definiert als Polygon mit einer unendlichen Anzahl von Seiten), um seinen Radius zu ermitteln. In diesen Polygonen ist der Flächenunterschied zwischen dem Beschriftungskreis und dem umschriebenen Kreis im Dreieck extrem und nimmt dann im Quadrat usw. bis zu dem Kreis ab, in dem wir davon ausgehen können, dass der Beschriftungskreis und der umschriebene Kreis zusammenfallen. Nach Nicolas de Cues reicht es aus, das Verhältnis zwischen diesen Kreisen anhand ihrer Radien zu bestimmen, um das Verhältnis zwischen der Fläche eines Kreises und der eines Quadrats zu ermitteln. Der Wert, den er durch diesen Prozess erhält (π = 3,1423), liegt jedenfalls zwischen den beiden von Archimedes angegebenen Grenzen. Die Beiträge von N. de Cues zu diesem Problem ergeben eindeutig schlechtere Werte, und Regiomontanus verurteilte die Ungenauigkeit der Berechnungen und beschrieb die Argumentation als "philosophisch, aber nicht mathematisch". ""

Von "  Nova Cyclometria  " zu "Arithmetic Quadrature"

Fortschritte in der Trigonometrie und die Entwicklung von analytischen Methoden moderner aus dem erlaubten XVI ten  Jahrhundert die Umsetzung der weiteren Exhaustionsmethode Archimedes.

Am XVI th  Jahrhundert , Oronce feine , Scaliger glauben quadriert unter Beweis gestellt haben; Adrien Romain , der Ritter Errard de Bar der Herzog, lehnte sie ab; in dieser Kontroverse , François Viète Dekrete es unmöglich. Das Problem geht über den Bereich der Mathematik hinaus und wir sehen Anspielungen auf die Quadratur in esoterischen Werken. Im XVII - ten  Jahrhundert , Gregor von St. Vincent dachte , dass er das Rätsel der quadriert gelöst hatte er seine Lösungen in einem Buch von 1000 Seiten ausgestellt.

In seiner primitiven Version besteht die Methode von Archimedes darin, den Kreis mit Polygonen zu beschriften und zu umschreiben. Der Rahmen wird verfeinert, indem die Anzahl der Seiten der Polygone erhöht wird. Das niederländische Geometer Snell (alias Snellius ) entdeckte 1621 einen bemerkenswerten Rahmen für die Bogenlänge, der von einem Polygon mit 3 × 2 n Seiten begrenzt wird, an dem nur das Apothem und die Sehne des Polygons beteiligt sind (die für diese bestimmten Winkel algebraischer Größen gelten). . Er konnte jedoch die Genauigkeit dieses Rahmens nicht konsequent demonstrieren ; 25 Jahre später sollte es an seinem Landsmann Christiaan Huygens liegen , diese Idee anzuwenden und sogar zu verbessern: Huygens veröffentlichte die Früchte dieser Studie in einer Abhandlung mit dem Titel De circuli magnitudine inventa , die auch die Demonstration des von angegebenen Wertes enthält Snell. Rein geometrisch umrahmte Huygens die Oberfläche zwischen dem Kreis und dem umschriebenen Polygon so fein, dass er auf der gleichen Anzahl von Seiten dreimal genauere Dezimalstellen erhielt als Archimedes.

Bei Huyghens hatten rein geometrische Methoden ihre Möglichkeiten ausgeschöpft. Um weiter zu gehen, war es nun notwendig, auf effizientere Berechnungsmethoden wie die Summierung unendlicher Reihen umzusteigen , insbesondere auf solche, die mit den begrenzten Erweiterungen trigonometrischer Funktionen erhalten wurden . Es ist wahr , dass, vom Ende des XVI ten  Jahrhunderts , François Viète konnte auszudrücken π durch ein unendliches Produkt  : 2π=cos⁡((90∘2)×cos⁡((90∘4)×cos⁡((90∘8)×cos⁡((90∘16)×⋯=12×12((1+12)×12((1+12((1+12))×⋯{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {2}} \ right) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {4}} \ rechts) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {8}} \ right) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {16}} \ right) \ times \ cdots \! = {\ sqrt {\ frac {1} {2}} \ times {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ right)}} \ times {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {{ \ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ right)}} \ right)}} \ times \ cdots \!}

aber seine Formel konvergiert langsam. John Wallis gab eine einfachere Serienentwicklung, insbesondere weil es sich nur um Summen und Bruchprodukte handelt; Der erste Präsident der Royal Society , Lord Brouncker , gab eine Darstellung von π als verallgemeinerte fortgesetzte Fraktion . Die serielle Entwicklung, die für die Berechnung von π am nützlichsten war, war bei weitem die der von Madhava entdeckten und drei Jahrhunderte später unabhängig und fast gleichzeitig von James Gregory und GW Leibnitz gefundenen Bogen-Tangenten-Funktion . Obwohl diese Reihe am Punkt 1 nur langsam konvergiert , konvergiert sie an jedem kleineren Punkt schnell und eignet sich besonders gut für die Verwendung üblicher arithmetischer Operationen. Aber wenn wir könnten, aus dem Anfang des XVIII - ten  Jahrhunderts , berechnet unter Verwendung von diesem neuen Tool der ersten 100 Dezimalstellen genau π , diese Techniken nicht brachten kein neues Element auf den Kreis quadriert.

Die  1674 gefundene "  arithmetische Quadratur " Leibniz ist eine besonders einfache alternierende Reihe: π=41- -43+45- -47+49- -411⋯=4∑k=0∞((- -1)k2k+1.{\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} \ cdots \! = 4 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k}} {2k + 1}}.}

Algebraische Formulierung des Problems und der Irrationalität von π

Um die Quadratur des Kreises zu lösen, war es einerseits notwendig, den Begriff der „geometrischen Konstruierbarkeit“ in eine algebraische Eigenschaft zu übersetzen und andererseits unser Verständnis der Eigenschaften der Zahl π zu vertiefen .

Jede Konstruktion mit einem Lineal und einem Kompass basiert auf einer endlichen Anzahl gegebener Punkte und besteht darin, in einer endlichen Anzahl von Schritten neue Punkte durch Schnittpunkt zweier Linien, zweier Kreise oder einer Linie und eines Kreises zu konstruieren. Die Übersetzung dieser algebraischen Sprache in Prozess wird durch die Verwendung eines erreicht Koordinatensystem , das die Grundidee ist die analytischen Geometrie des vorgestellt XVII ten  Jahrhundert von Pierre de Fermat und Descartes . Mit einem solchen System ist es möglich, Linien und Kreise anhand ihrer Gleichungen zu argumentieren: Die zu konstruierenden Schnittpunkte werden zu Lösungen der zu berechnenden algebraischen Gleichungen. Wir finden also, dass die Segmente, die mit der Regel und dem Kompass genau konstruierbar sind, nichts anderes sind als die Zahlen, die aus der Einheit durch eine endliche Anzahl von arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) und von Wurzelextraktionen erhalten werden . Insbesondere ist eine solche Zahl algebraisch , dh eine Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten . Nichtalgebraische Zahlen gelten als transzendent und sind nicht konstruierbar .

Das Prinzip der weiteren Erforschung der Zahl π ist in der Introductio in analysin infinitorum von Leonhard Euler (1748) enthalten. Es gibt die berühmte Formel:

eichz=cos⁡z+ichSünde⁡z{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \, z} = \ cos z + {\ rm {i}} \ sin z}

, die zum ersten Mal, verbindet die trigonometrischen Linien an die Exponentialfunktion und dadurch stellt einige neue kontinuierliche Fraktion und Serie Dehnungen von π und der Zahl e .

Der Schweizere Jean-Henri Lambert war die Lage , diese Pionierarbeit zu verlängern von 1761, durch die Berechnung von neuen Entwicklungen in der demonstrieren generali kontinuierlicher Fraktion , dass π ist irrational , das also - wie e - es ist kein genauer Bruchteil ganze Zahlen. Er veröffentlichte eine Popularisierungszusammenfassung für „Quadrateure“. In der 4 - ten  Auflage (1806) seine Geometrie , Adrien-Marie Legendre gab einen neuen „Beweis“ von der Irrationalität von π - besser lesbar , aber unvollständig - und „bewies“ aus dem gleichen Grunde , dass von π 2 .

Es war in 1837 , dass Pierre-Laurent Wantzel ein Theorem demonstriert , die es ermöglicht, die Form der Gleichungen zu zeigen, die die Zahlen mit der Regel konstruierbaren und der Kompass sind Lösungen: die konstruierbar Zahlen sind die rationalen Zahlen und die Wurzeln bestimmter Polynome vom Grad 2 n mit ganzzahligen Koeffizienten (genauer die Elemente eines Turms mit quadratischen Erweiterungen ); Konstruierbare Zahlen sind Sonderfälle in der Menge der algebraischen Zahlen (die die Wurzeln von Polynomen beliebigen endlichen Grades mit ganzzahligen Koeffizienten sind).

Die von Euler, Lambert und Legendre untersuchte Vermutung der Transzendenz von π blieb ein offenes Problem. Bis zur Mitte des XIX - ten  Jahrhundert , außerdem war es unklar , ob es transzendente Zahlen waren. Der Beweis ihrer Existenz wurde 1844 von Joseph Liouville durch die explizite Konstruktion bestimmter transzendenter Zahlen, der Liouville-Zahlen , erbracht .

Beweis der Unmöglichkeit einer exakten Quadratur

Ferdinand von Lindemann gelang es schließlich 1882 zu demonstrieren, dass π nicht algebraisch ist, dh transzendent  ; dass man folglich mit der Regel und dem Kompass kein Segment der Länge π konstruieren kann und daher das Quadrieren des Kreises unmöglich ist.

Lindemann stützte sich dabei auf ein Ergebnis des französischen Mathematikers Charles Hermite . Letzterer hatte 1873 gezeigt, dass die Zahl e transzendent ist. Das Lindemann-Weierstrass-Theorem verallgemeinert dieses Ergebnis wie folgt:

∑ich=1rnichtichezich=0{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} n_ {i} {\ rm {e}} ^ {z_ {i}} = 0}

Aufgrund dieses Lemmas konnte Lindemann dank Eulers Identität e iπ + 1 = 0 absurd demonstrieren, dass π nicht algebraisch sein konnte; was bedeutet zu sagen, dass π transzendent ist.

Lindemanns Beweis für die Transzendenz von π wurde dann auf verschiedene Weise vereinfacht, beispielsweise in der Form, die David Hilbert 1893 gegeben hatte.

Ein berühmtes Problem

Nur wenige Probleme sind über die Mathematik hinausgegangen und haben den Kreis quadriert. Dies ist einer der Gründe, warum es so viele Amateure fasziniert hat, von denen einige sogar glaubten, sie hätten es gelöst.

Das älteste Zeugnis über die Existenz eines "Quadrators" gibt eine Komödie von Aristophanes , Les Oiseaux , in der wir den Vermesser Méton sehen , der für die Begrenzung des Laderaums einer neuen Kolonie verantwortlich ist, der mit den ihm zur Verfügung stehenden Werkzeugen aufgenommen wurde einen Kreis "quadrieren". Auch wenn sein Problem nicht genau das Quadrieren eines Kreises ist, sondern das Zeichnen von zwei senkrechten Alleen, spielt der Ausdruck des Dramatikers eindeutig auf das berühmte Rätsel des Quadrierens an.

Der Historiker der Geometrie Montucla , Lambert und Morgan reflect Forschung Amateure aus dem erhöhten XVIII - ten und XIX - ten  Jahrhundert . In ihren Monographien, die sich manchmal auf eine mechanische oder numerische Konstruktion oder eine Rahmenformel stützen, behaupten die Forscher, dass sie das Problem „genau“ lösen. Die Kommunikation zu diesem Thema erreichte gelehrte Gesellschaften in einer solchen Anzahl, dass die Académie des Sciences de Paris 1775 beschloss, diese Art von Arbeit nicht mehr zu bewerten:

„In diesem Jahr hat die Akademie beschlossen, keine Lösung mehr für die Probleme des Duplizierens des Würfels, der Dreiteilung des Winkels oder des Quadrierens des Kreises oder einer Maschine zu finden, die als fortwährende Bewegung beworben wird. ""

Selbst Lindemanns Demonstration der Unmöglichkeit war weit davon entfernt, der Fülle sogenannter Problemlösungen ein Ende zu setzen. In jüngerer Zeit haben diese Versuche, die vergeblicher sind als die anderen, die Überschriften mathematischer Nachbildungen gespeist .

Eine der Ursachen für die Anziehungskraft, die dieses Problem auf Amateure ausübt, liegt sowohl in der Einfachheit seiner Aussage (elementare Kenntnisse der Geometrie reichen aus, um sie zu verstehen) als auch im Versagen der anerkannten Vermesser, die die Lösung der Quadratur des Kreises umgaben mit einem geheimnisvollen Heiligenschein.

Ein weiteres Motiv, und nicht zuletzt für die Suche nach einer Quadratur des Kreises, war die weit verbreitete Idee, dem Lösungsteilnehmer eine große Belohnung anzubieten - eine phantasievolle Idee, die vielleicht aus dem Glauben heraus entstanden ist, dass Quadratur der Schlüssel ist Problem der Längenbestimmung auf See , das in der Tat Gegenstand wissenschaftlicher Preise war. Diese Legende von einer offiziellen Auszeichnung war so zäh , dass auch im Jahr 1891 eine beliebte deutsche Enzyklopädie, die Meyers Konversations-Lexikon seiner Leser anvertraut , dass "  Karl V. dem Sieger einen Preis von 100.000 Talern und den versprochen hatte Generalstaaten von Holland. Eine noch erstaunlichere Summe. ""

Unter den berühmtesten Amateuren, die es gewagt haben, eine Lösung für dieses mathematische Rätsel vorzuschlagen, können wir den Vater der modernen Chronologie, Joseph Juste Scaliger , und den englischen Philosophen Thomas Hobbes zitieren . Die (ungefähre) Lösung, die dieser 1665 in seiner Abhandlung De corpore veröffentlichte, wurde im selben Jahr von John Wallis zitiert. In der Folge kam es zu einem Streit zwischen den beiden Männern, der erst 1679 mit dem Tod Hobbes endete.

Lambert gibt drei Quadraturen des Kreises wieder, was für π einen Bruch ergibt . Diese Quadraturen Mitte veröffentlicht XVIII - ten  Jahrhundert , schließen , dass das Verhältnis des Durchmessers des Kreises der gleichen Oberflächenseite quadratisch ist 35 / 31 , das entspricht & pgr; zu der Näherung:

π≈38441225=3,1379....{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {3844} {1225}} = 3 {,} 1379 \ dots.}

Der Dichter Lessing widmete einem der drei Autoren, der Predigerin Merkel von Ravensburg , ein Gedicht: Auf den Herrn M ** den Erfinder der Quadratur des Zirkels .

Die vom amerikanischen Arzt Edward J. Goodwin vorgeschlagene Quadratur des Kreises erschien 1894 im ersten Notizbuch des American Mathematical Monthly , jedoch nur als Brief an den Herausgeber. Kommunikation ist widersprüchlich und je nachdem, wie wir sie lesen, leiten wir unterschiedliche Werte für π ab . Diese Mitteilung war jedoch der Ausgangspunkt des Gesetzentwurfs von Indiana Pi , der 1897 vom Indiana State Parliament zur Abstimmung gestellt wurde und darin bestand, Goodwins Formeln als offiziellen Wert von π festzulegen .

Der Verein La Quadrature du Net hat dieses Problem in seinem Namen aufgegriffen. Ihr zufolge ist es „unmöglich, den Informationsfluss im digitalen Zeitalter effektiv zu kontrollieren, indem die derzeitige Regulierungslogik angewendet wird, ohne die öffentlichen Freiheiten zu untergraben oder die wirtschaftliche, soziale und kulturelle Entwicklung zu behindern. ""

Ungefähre Konstruktionen

Obwohl die genaue Konstruktion mit einem Lineal und einem Kompass unmöglich ist, gibt es mehrere Konstruktionen, die dem äquivalenten Quadrat angenähert sind und ausreichend genau sind, um in der Praxis einen gewissen Dienst zu leisten. Einfache Methoden, die seit der Antike bekannt sind, geben einen einfachen Bruchteil für das Verhältnis des Durchmessers zur Seite des äquivalenten Quadrats an. Zusätzlich zu dem vom Rhind-Papyrus vorgeschlagenen Bruch (Durchmesser der Länge 9 und äquivalentes Quadrat der Seite 8) kannten wir auch die ungefähre Äquivalenz des Kreises des Durchmessers 8 und des Quadrats der Diagonale 10. Diese Konstruktion befindet sich auf Die babylonischen Tafeln bis hinunter zum Calamus des römischen Architekten Vitruv entsprechen einem Wert von 3 + 1 ⁄ 8 für π . Albrecht Dürer , der praktische Zeichentechniken vermitteln wollte, nahm diese Konstruktion 1525 in seiner Abhandlung Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt auf . Dürer ist sich auch bewusst, dass dies nur eine Annäherung ist: Er schreibt, dass es keine genaue Lösung gibt.

„Es ist notwendig, die Quadratura circuli zu kennen , dh den Vergleich eines Kreises mit einem Quadrat, die beide den gleichen Inhalt haben müssen. Aber so etwas haben Wissenschaftler noch nicht bewiesen. Die Auflösung kann mechanisch beschleunigt werden , ohne jedoch zu viel in den Werken zu sehen, wenn man ungefähr wie folgt vorgeht. Zeichnen Sie ein Viereck und teilen Sie seine Diagonale in zehn Teile. Zeichnen Sie dann einen Kreis, dessen Durchmesser acht dieser Teile hat, quadratisch mit zehn, wie ich unten gezeigt habe. ""

- Albrecht Dürer, Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt

Eine klassische ungefähre Konstruktion ist die des polnischen Vermessers Adam Adamandy Kochański  (pl) (1685). Diese Konstruktion basiert auf der Gleichrichtung des Halbkreises, den Kochanski durch sukzessive Näherungen arbeitet: Aus einem gegebenen Radius r konstruiert er ein Längensegment sehr nahe an r × π . Die Quadratur wird daraus dank der metrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck abgeleitet. Kochański erhält somit vier exakte Dezimalstellen der Zahl π  :

π≈403- -23=3.141533...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}} = 3 {,} 141533 \ dots}

1913 veröffentlichte der indische Mathematiker SA Ramanujan eine erstaunliche Konstruktion, die auf dem ungefähren Wert basiert

π≈355113=3.1415929...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {355} {113}} = 3 {,} 1415929 \ dots}

entsprechend sechs Dezimalstellen, die seit dem in Europa bekannt waren XVII th  Jahrhundert , und seit dem in China V th  Jahrhundert . Ramanujan bemerkte, dass diese Präzision für einen Kreis mit einer Fläche von 140.000 Quadratmeilen einem Fehler von 1 Zoll entlang der Länge der Seite des Quadrats entsprach. In einem Artikel des folgenden Jahres gab Ramanujan zusätzlich zu anderen Näherungswerten von π eine Quadratur zum Lineal und den mit dem Wert verbundenen Kompass an

π≈92+192224=3.141592652...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt [{4}] {9 ^ {2} + {\ frac {19 ^ {2}} {22}}} = 3 {,} 141592652 \ dots}

Louis Loynes schlug 1961 eine einfachere Methode vor: Sie basiert auf der Tatsache, dass die Fläche des umschriebenen Kreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat ist, das auf der Seite der Zwischenlänge konstruiert wurde, wenn die Tangente des kleinen Winkels dh ist Verhältnis der kleinen und der mittleren Seite ist

4π- -1=0,5227232...{\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {4} {\ pi}} - 1}} = 0 {,} 5227232 \ dots}

Das ist sehr nahe an der Fraktion

2344=0,5227272...{\ displaystyle {\ frac {23} {44}} = 0 {,} 5227272 \ dots}

Es folgt eine sehr einfache ungefähre Konstruktion: Es reicht aus, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen, dessen Seiten des rechten Winkels im Verhältnis 23:44 stehen. Der ungefähre Wert von π entspricht

π≈77442465=3.141582...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {7744} {2465}} = 3 {,} 141582 \ dots}

ist etwas besser als das von Kochański.

Im Jahr 2019 gibt Hung Viet Chu neun Dezimalstellen eine korrekte Konstruktion.

Varianten

Quadrieren des Kreises nach Tarski

Alfred Tarski stellte 1925 das folgende Problem fest: Eine Scheibe in eine beliebige Anzahl von Stücken zu schneiden, so dass sie durch Transformation durch eine reine Verschiebung (dh ohne Homothetik) ein Quadrat neu zusammensetzen.

Miklós Laczkovich löste dieses Problem 1989: Er demonstrierte, dass es möglich war, eine Scheibe in eine endliche Anzahl von Flächen zu schneiden und diese Flächen so zu bewegen , dass sie genau ein Quadrat bedecken. Es zerlegt die Scheibe in 10 50 Oberflächen. Der Beweis basiert auf dem Axiom der Wahl , das die meisten Mathematiker heute zugeben, das aber nur ein Axiom ist. Die Demonstration ist im Geiste dem des Banach-Tarski-Paradoxons sehr ähnlich .

Und wenn Laczkovich nachweisen konnte (indem er das Axiom der Wahl einräumte), dass eine solche Unterteilung existiert, hat er sie nicht explizit konstruiert .

Anmerkungen und Referenzen

Anmerkungen

1. Wantzels Satz .
2. Der Rhind-Papyrus oder das Handbuch des Schreibers Ahmes enthält die folgende Aussage: "Regel zur Berechnung eines runden Feldes von 9 Polen." Was ist seine Kapazität? Nehmen Sie 1/9, es ist 1. [Von 9 subtrahieren], Rest 8. Multiplizieren Sie die Zahl 8 achtmal, was 64 ergibt. Die Kapazität beträgt 64 Zoll .
3. Pappus qualifiziert tatsächlich die Erzeugung der Quadratrix als „mechanisch“ (dh nicht geometrisch): Michel Chasles , Historischer Überblick über den Ursprung und die Entwicklung von Methoden in der Geometrie , Brüssel, Impr. Hayez,1837, Kap.  1 ("Erste Epoche"), p.  30.
4. In Ermangelung der oben zitierten Ausgabe der Abhandlung von Archimedes gibt es eine ausgezeichnete Zusammenfassung der Abhandlung von Archimedes in Fourrey 1907 , II - Géométrie de la mesure, 3 "-La mesure du cercle", p. 254-259.
5. Zum Beispiel in Michael Maier , Atlanta Fugens , Emblem XXI: „ Machen Sie aus dem Mann und der Frau einen Kreis, dann von dort ein Quadrat und dann ein Dreieck; Wenn Sie einen Kreis bilden, haben Sie den Stein des Philosophen (...). Wie kommt es, dass die Quadratur des Kreises Platon unbekannt blieb, bis Aristoteles, der Schüler Platons, erklärte, er sei erkennbar, aber noch nicht bekannt ? Die Naturphilosophen haben es jedoch nicht ignoriert, wie ihr Befehl zeigt, den Kreis durch Vermittlung des Dreiecks in ein Quadrat und das Quadrat wiederum in einen Kreis umzuwandeln. Mit diesem Kreis meinen sie den einfachsten Körper ohne Winkel, und mit dem Quadrat bezeichnen sie die vier Elemente, als ob sie sagen würden, eine Körperfigur zu nehmen, die gefunden werden kann, um sie in die vier Grundfarben zu unterteilen, um ein Viereck mit zu erhalten vier gleiche Seiten. Jeder versteht, dass diese Quadratur physisch und für die Natur geeignet ist. » Online lesen .
6. "  Legendre erwähnt nichts über die Konvergenz seiner fortgesetzten Fraktion. Wenn man die Konvergenz annimmt […], wird seine Aussage zur Irrationalität auf die gleiche Weise bewiesen wie Lambert […].  " , (En) Rolf Wallisser , " Über Lamberts Beweis der Irrationalität von π  " , in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998) , Berlin,2000( online lesen ) , p.  521-530.
7. Siehe auch den Artikel „  Liouvilles Theorem (diophantinische Approximation)  “.
8. "Das berühmte Problem der Quadratur des Kreises hatte wie andere berühmte Rätsel einen viel höheren Ruf als es verdient, und obwohl es seinen früheren Ruhm verloren hat, nimmt es immer noch ein paar mehr oder weniger rissige Köpfe ein und wir sehen, dass es an der Akademie der Wissenschaften von Paris ankommt fast jedes Jahr und normalerweise während der Hitzewelle der sogenannten Lösungen, auf die wir uns geeinigt haben, keine Aufmerksamkeit zu schenken ... " in der Universal Library of Sciences, Belles-Lettres et Arts, geschrieben in Genf. Wissenschaften und Künste, Band 3. Impr. aus der Universal Library, 1816 ( Google eBook ).

Verweise

1. Émile Fourrey, Geometrische Kuriositäten , Paris, Vuibert und Nony,1907( Nachdruck  1994), 430  p. ( ISBN  978-2-7117-8896-5 ) , II - Geometrie der Messung, "3-Das Maß des Kreises", p.  251.
2. Vgl. René Taton , Geschichte der Analysis , Paris, PUF , Slg.  "  Was weiß ich?  ",1946( Repr.  1969 ( 5 th )) 2 e  hrsg. , Kap.  1 („Historischer Überblick“), S.  10-13.
3. Maurice Caveing , Die Figur und die Zahl: Forschung zur ersten Mathematik der Griechen , Presses universitaire du Septentrion , coll.  "Wissenschaftsgeschichte",1997424  p. ( ISBN  978-2-85939494-3 ) , Kap.  1 ("Der Durchbruch der Ionier").
4. Vgl. Plutarch, „Über das Exil“ ( Περὶ φυγῆς - De exilio ), in Parva moralia .
5. Nach Jean-Étienne Montucla , Geschichte der Forschung zur Quadratur des Kreises , Paris,1754( Repr.  1831) ( online lesen ) , Kap.  2 ("Versuche und Werke der Alten zur Messung des Kreises"), p.  34.
6. Aristoteles, The first Analytics , II, 25, 69 bis 32; Die zweite Analytik , I, 976 a; Sophistische Widerlegungen , 11, 171 b 16 und 172 a.
7. Vgl. Abel Rey , The Apogee of Greek Technical Science , vol.  5: Der Aufstieg der Mathematik , hrsg. Albin Michel, umg.  "Die Evolution der Menschheit", "VI - Hippokrates von Chios", p.  66-85.
8. Vgl. Léon Brunschvicg , Die Stufen der mathematischen Philosophie , Paris, Félix Alcan,1912( Nachdruck  1993 bis Hrsg. Vrin) ( ISBN  2-85367-034-1 ) , p.  156, §97 Archimedes.
9. Abel Rey , Der Höhepunkt der griechischen technischen Wissenschaft , vol.  IV: Mathematik von Hippokrates bis Platon , hrsg. Albin Michel, umg.  "Die Evolution der Menschheit",1946, "5-Von der Quadratur zur Dreiteilung des Winkels und zur überlegenen Geometrie: Hippias von Elée", p.  224-227.
10. Jean-Paul Delahaye , Die faszinierende Zahl π [ Detail der Ausgabe ], p.  71 .
11. Vgl. Band 1 der Werke von Archimedes in hrsg. des Belles Lettres mit den Abhandlungen über die Kugel und den Zylinder. Das Maß des Kreises. Auf Konoiden und Sphäroiden  ; ed. und tr. Charles Mugler. (Sammlung der Universitäten Frankreichs. Paris, 1970). xxx-488p. ( ISBN  2-251-00024-0 ) .
12. Elemente von Euklid , Buch XII, § 2.
13. Vgl. M. Chasles, Historischer Überblick …, S.  15-16  ; und Abel Rey , Der Höhepunkt der griechischen technischen Wissenschaft , vol.  5: Der Aufstieg der Mathematik , hrsg. Albin Michel, umg.  "Die Evolution der Menschheit", "V - Archimedes", p.  296-300.
14. Pappus , Coll. Math ., Buch IV, Stütze. 25. Die Quadratrix kann aus der archimedischen Spirale konstruiert werden. Vgl. Michel Chasles, Historischer Überblick…, Kap. 1 ("Erste Epoche"), § 26, p.  30 .
15. Erhältlich auf der Documenta Catholica Omnia  : De Quadratura Circuli Specimen , vol.  143, ed. Abt Migne , umg.  "  Latin Patrology  " ( online lesen ) , p.  1373-1376.
16. Vgl. Nicolas de Cues, Mathematische Schriften , Präsentation, Übersetzung und Notizen von Jean-Marie Nicolle, Paris, Champion, 2007, p. 73-125 und Jean-Marie Nicolle, Mathematisches Labor von Nicolas de Cues , Paris, Beauchesne, 2020, p. 58-60 und p. 112.
17. (in) Ferdinand Rudio  (de) , Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre Vier Abhandlungen über die Kreismessung , sandig,1892Schilf. Teubner, Leipzig, 1971, p.  27 und folgende. und Nicolas de Cues, Mathematical Writings , Paris, Champion, 2007, p. 481-496.
18. Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli und Sectionum Coni Decem Libris Comprehensum , J. und J. Meursios, Antwerpen, 1647.
19. Dieses Ergebnis wurde in Snell, Cyclometricus, sive de circuli dimensione (Leiden, 1621) veröffentlicht.
20. Christiaan Huygens: De circuli magnitudine inventa . Elzevier, Leiden (1654).
21. Léon Brunschvicg , Die Stufen der mathematischen Philosophie , Félix Lacan, Paris, 1912, p. 160.
22. Brief von Christian Huygens an Leibniz vom 7. November 1674 ( online lesen ) .
23. Henri-Léon Lebesgue , Lektionen über geometrische Konstruktionen , Paris, Gauthier-Villars ,1950posth. aus den Notizen von Frau Lucienne Félix.
24. Siehe Abschnitt „Lambert-Ergebnis“ im Artikel „Kontinuierliche Fraktion und diophantinische Approximation“ .
25. (de) Johann Heinrich Lambert , Beyträge zum Gebrauch der Mathematik und ihrer Anwendung , vol.  2, Berlin,1770( online lesen ) , Kap.  V ("Vorläufige Lösung für die, also die Quadratur und Rectification des Circuls suchen") , p.  140-169, reproduziert in Rudio 1892 , Kap. IV, p.  133-155 .
26. Adrien-Marie Legendre, Elemente der Geometrie. Anmerkung IV, wo gezeigt wird, dass das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser und seines Quadrats irrationale Zahlen sind.
27. Lebesgue 1950 , Kap. V - Transzendenz von e und π .
28. Vgl. Charles Mugler , "  Über eine wissenschaftliche Kontroverse in Aristophane  ", Revue des Études Grecques , vol.  72, Nr .  339-343,1959, p.  57-66.
29. Jean-Étienne Montucla , Forschungsgeschichte zur Quadratur des Kreises , Paris,1754( Repr.  1831) ( online lesen ).
30. (in) Morgan Augustus, Ein Budget der Paradoxien , London, 1872. ( Digitalisat auf in: Wiktionary ).
31. Geschichte der Royal Academy of Sciences, Jahr 1775 . Paris 1778, p.  61 und folgende. Der vollständige Text ist auch in Delahaye 1997 , p gegeben.  36-38.
32. Vgl. Delahaye 1997 , p.  34-35.
33. Quelle: coll. , Meyers Konversations-Lexikon , vol.  18: Beilage 1890–1891 ( Repr.  4) ( online lesen ) , „Quadratur des Zirkels“ Digitalisat]).
34. Die Nova Cyclometria Scaliger (1592) wird von Francois Le Lionnais , dem Mainstream des mathematischen Denkens , Paris, Libr. Albert Blanchard,1948( nachgedruckt  1997 von den Hermann eds), 533  p. ( ISBN  2705663320 ) , "8 - Die Geschichte mysteriöser Zahlen".
35. Quelle: Gotthold Ephraim Lessing , Werke , vol.  1, München,1970( online lesen ) , p.  44.
36. Vgl. Delahaye 1997 , § Ein Gesetz kann die Zahl π , p nicht festlegen .  33-34 .
37. [1] .
38. Zitiert von Émile Fourrey , Geometric Curiosities , Paris, Vuibert und Nony,1907( Nachdruck  1994), 430  p. ( ISBN  2-7117-8896-2 ) , II - Geometrie der Messung, "3-Das Maß des Kreises", p.  262. Der Vermesser Vitruvius Rufus, besser informiert als sein berühmter Namensvetter empfiehlt, empfiehlt ihm den archimedischen Wert 22 ⁄ 7 .
39. (De) Albrecht Dürer, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt , Nürnberg, 1525.
40. Albrecht Dürer ( übersetzt von  Jeanne Peiffer), Geometry [ „Underweysung der messung with the zirckel und richtscheyt“], p.  227- Originaltext auf Wikisource .
41. Seine ursprüngliche Kommunikation SA Ramanujan "  Quadratur des Kreises  ", Journal der indischen Mathematical Society , n o  5,1913, p.  132.
42. SA Ramanujan "  Modular Gleichungen und Annäherungen an π  ", Quarterly Journal of Mathematics , n o  45,1914, p.  350-374.
43. Louis Loynes "  Ungefähre Quadratur des Kreises  ," The Mathematical Gazette , n o  45,1961, p.  330.
44. (in) Hung Viet Chu, "  Platziere den Kreis in einer Minute  " auf arXiv .
45. Vgl. Laczkovich "  Diskrepanz zwischen Gleichkompositionsfähigkeit und eine Lösung für Tarskis Kreisquadratproblem  ", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , vol.  404,1990, p.  77–117.

Siehe auch

Literaturverzeichnis