Tangentenbogen

Arcustangensfunktion Grafische Darstellung der Arcustangensfunktion.

Bewertung	${\ displaystyle \ arctan (x)}$
Gegenseitig	${\ displaystyle \ tan (x)}$ sicher ${\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Derivat	${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$
Primitive	${\ displaystyle x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ right) + C}$

Hauptmerkmale

Definitionssatz	$\ mathbb {R}$
Bildmenge	${\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Parität	seltsam

Besondere Werte

Nullwert	0
Limit in + ∞	${\ frac \ pi 2}$
Limit in −∞	${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$

Besonderheiten

Asymptoten	${\ displaystyle y = {\ frac {\ pi} {2}}}$ in in $+ \ infty$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {\ pi} {2}}}$ $- \ infty$

In der Mathematik ist die Bogen-Tangente einer reellen Zahl der Wert eines orientierten Winkels, dessen Tangente dieser Zahl entspricht.

Die Funktion, die den Wert ihrer Bogen-Tangente im Bogenmaß mit einer reellen Zahl verknüpft, ist der Kehrwert der Beschränkung der trigonometrischen Funktion, die tangential zum Intervall ist . Die Notation ist arctan oder Arctan (wir finden auch Atan, arctg in französischer Notation; atan oder tan −1 in angelsächsischer Notation, wobei letztere mit der Notation der Umkehrung ( $1 / tan$ ) verwechselt werden kann ). $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Für alle echten $x$ :

{\ displaystyle y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {und}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2 }} \ Recht [}

In einem zur Ebene orthonormalen kartesischen Koordinatensystem wird die für die Bogentangensfunktion repräsentative Kurve aus der Kurve erhalten, die für die Beschränkung der auf das Intervall tangentialen Funktion durch Reflexion der Achse der Linie der Gleichung $y = x$ repräsentativ ist . $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Parität

Die Arctanfunktion ist ungerade , d. H. (Für alle reellen $x$ ) ${\ displaystyle \ arctan (-x) = - \ arctan x}$ .

Derivat

Als Ableitung einer reziproken Funktion ist $Arctan$ differenzierbar und erfüllt: ${\ displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ .

Taylor Serienentwicklung

Die Taylorreihenerweiterung der Arcustangensfunktion ist:

{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1] \ quad \ arctan x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {1} {5}} x ^ {5} - {\ frac {1} {7}} x ^ {7} + \ cdots}

Diese ganze Reihe konvergiert zu $Arctan,$ wenn $| x | \leq 1$ und $x \neq \pm i$ . Die Tangentenbogenfunktion ist jedoch für alle ℝ definiert (und sogar - vgl. § „Reziproke Funktion“ - für eine Domäne der komplexen Ebene , die gleichzeitig ℝ enthält, und für die geschlossene Einheitsscheibe, der die beiden Punkte $\pm i$ entzogen sind ).

Siehe auch Hypergeometrische Funktion # Sonderfälle .

Demonstration

Die ganze Serie

\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}

ist Null in 0, sein Konvergenzradius ist 1 wert und seine Ableitung (auf der offenen Einheitsscheibe ) ist gleich der geometrischen Reihe

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x ^ {2}) ^ {k} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = \ arctan '( x)}

Es fällt daher auf dieser Scheibe mit der $Arctanfunktion zusammen$ . Darüber hinaus konvergiert nach dem Beweis des Dirichlet-Tests (durch Teilsummierung ) diese gesamte Reihe gleichmäßig auf der geschlossenen Einheitsscheibe, der eine willkürlich kleine Nachbarschaft von $\pm i$ entzogen ist . In $\pm i$ divergiert es wie die harmonische Reihe .

Die $Arctan-$ Funktion kann verwendet werden, um Approximationen von $π$ zu berechnen ; Die einfachste Formel , Leibniz-Formel genannt , ist der Fall $x = 1$ der obigen Reihenerweiterung:

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ ldots}

Funktionsgleichung

Wir können $Arctan (1 / x )$ aus $Arctan x$ und umgekehrt durch die folgenden Funktionsgleichungen ableiten :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = {\ frac {\ pi} {2} }}

;;

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = - {\ frac {\ pi} {2 }}}

. Demonstrationen

Beweisen wir die erste Gleichung (die zweite wird durch Ungleichheit daraus abgeleitet oder auf die gleiche Weise bewiesen).

Eine erste Methode besteht darin, zu überprüfen, ob die Ableitung Null ist.

Wir haben in der Tat:

{\ displaystyle \ arctan 'x = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

und

{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} \ right) '= {\ frac {-1} {x ^ {2}}} ~ {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}}} = {\ frac {-1} {1 + x ^ {2}}}

deshalb

{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x \ right) '= 0}

Wir schließen daraus, dass $Arctan (1 / x ) + Arctan x$ konstant ist auf $] 0, + \infty [$ , und wir finden den Wert dieser Konstante leicht, indem wir zum Beispiel den Wert berechnen, der bei $x = 1 genommen wird$ .

Eine zweite Methode besteht darin, zu bemerken, dass für alle $x > 0$ , wenn $θ$ den Arkustangens von $x bezeichnet,$ dann

{\ frac {1} {x}} = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ qquad { \ text {et}} \ qquad 0 <{\ frac {\ pi} {2}} - \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \ quad {\ text {folglich}}

{\ displaystyle \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan x}

Eine dritte Methode besteht darin, diese Formel aus der folgenden bemerkenswerten Formel abzuleiten, indem $y$ durch niedrigere Werte zu $1 / x$ tendiert .

Gegenseitige Funktion

Per Definition ist die Bogen-Tangenten-Funktion die Umkehrfunktion der Beschränkung der Tangenten-Funktion auf das Intervall : $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {und}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2 }}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$ .

So für alle reellen $x$ , $tan (arctan x ) = x$ . Aber die Gleichung $arctan (tan y ) = y$ wird nur für $dort$ zwischen und überprüft . ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac \ pi 2}$

In der komplexen Ebene ist die Tangentenfunktion bijektiv von $] -π / 2, π / 2 [+ i$ ℝ in ℂ ohne die beiden Halblinien $] -\infty, -1] i$ und $[1, + \infty [i$ von l ' reine imaginäre Achse , entsprechend ihrer Verbindung mit der hyperbolischen Tangentenfunktion und deren Eigenschaften. Die obige Definition von Arctan erstreckt sich daher auf: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus {\ big (} {\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) {\ big)} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {et}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [+ {\ rm {i}} ~ \ mathbb {R}}$ .

Komplexer Logarithmus

Konstruktionsbedingt ist die Arkustangensfunktion mit der hyperbolischen Tangentenargumentfunktion verwandt und wird daher wie diese durch einen komplexen Logarithmus ausgedrückt :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left ({\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) \ right ) \ quad \ arctan x = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} x) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i }}}} \ ln {\ frac {1 + {\ rm {i}} x} {1 - {\ rm {i}} x}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ rm {i} } x) - \ ln (1 - {\ rm {i}} x)} {2 {\ rm {i}}}}

Integration

Primitive

Das Antiderivativ der bei 0 verschwindenden Arcustangensfunktion wird durch eine Teilintegration erhalten :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan t \; \ mathrm {d} t = x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ right)}

Verwenden der Bogen-Tangenten-Funktion

Die Arcustangensfunktion spielt eine wichtige Rolle bei der Integration von Ausdrücken der Form

{\ frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}}

Wenn die Diskriminante $D = b 2 - 4 ac$ positiv oder Null ist, ist die Integration möglich, indem zu einem Teilbruch zurückgekehrt wird . Wenn die Diskriminante streng negativ ist, können wir durch ersetzen

u = {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}

das gibt für den Ausdruck zu integrieren

{\ frac {4a} {| D |}} ~ {\ frac {1} {1 + u ^ {2}}}.

Das Integral ist dann

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {| D |}}} \ arctan {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}

Bemerkenswerte Formel

Wenn $xy \neq 1 ist$ , dann:

{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}

oder

{\ displaystyle k = {\ begin {case} 0 & {\ text {si}} xy <1, \\ 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text { (und}} y {\ text {)}}> 0, \\ - 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text {(und}} y {\ text {)}} <0. \ End {Fälle}}}

Anmerkungen und Referenzen

(de) Dieser Artikel ist teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen deutschen Titeln „ Arkustangens und Arkuskotangens “ ( Liste der Autoren sehen ) .

Auszüge aus der Norm ISO 31-11 zur Verwendung durch CPGEs , S. 22 . 6 .
Offizielles nationales Bildungsprogramm ( MPSI , 2013), S. 6 .
Eine Demonstration finden Sie beispielsweise im Kapitel "Arctan-Funktion" auf Wikiversity .
Bekannt Englisch als „Serial Gregory “ sie hatte eigentlich schon durch die entdeckt worden indischen Mathematiker Madhava des XIV - ten Jahrhundert . Weitere Informationen finden Sie in der Artikelserie Madhava (in) .

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externer Link

(en) Eric W. Weisstein , „ Inverse Tangent “ , auf MathWorld