Transzendente Zahl

In der Mathematik ist eine transzendente Zahl über rationalen Zahlen eine reelle oder komplexe Zahl, die nicht die Wurzel eines von Null verschiedenen Polynoms ist

P=beim0+beim1X1+beim2X2+⋯+beimnichtXnicht{\ displaystyle P = a_ {0} + a_ {1} X ^ {1} + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots + a_ {n} X ^ {n}}

wobei n eine natürliche ganze Zahl ist und die Koeffizienten a i rationale Zahlen sind, die nicht alle Null sind, oder sonst (durch Multiplizieren dieser n + 1- Gedanken mit einem gemeinsamen Nenner ), die keine Wurzel eines Nicht-Null- Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist . Eine reelle oder komplexe Zahl ist also genau dann transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist .

Da jede rationale Zahl algebraisch ist, ist jede transzendente Zahl daher eine irrationale Zahl . Die Umkehrung ist falsch: zum Beispiel √ 2 irrational ist, ist aber nicht transzendent, da sie die Wurzel des Polynoms ist . X2-2{\ Displaystil X ^ {2} -2}

Da der Satz von algebraischen Zahlen zählbar ist , ist die Menge der reellen Zahlen transzendenten unzählbare (es hat die Kraft des Kontinuums ) und fast jede Anzahl (unter reellen Zahlen oder Komplexe) ist transzendenten. Es sind jedoch nur wenige Klassen von transzendenten Zahlen bekannt, und der Nachweis, dass eine bestimmte Zahl transzendent ist, kann äußerst schwierig sein.

Die bekanntesten Beispiele für transzendente Zahlen sind π und e .

Geschichte

Leibniz war wahrscheinlich der erste, der an die Existenz transzendenter Zahlen glaubte . Der Name "transzendent" stammt aus seiner Veröffentlichung von 1682 , in der er zeigte, dass Sinus keine algebraische Funktion ist . Die Existenz transzendenter Zahlen wurde erstmals 1844 von Joseph Liouville bewiesen , der Beispiele wie die Liouville-Konstante zeigte  :

vs=Σj=1∞10-j!=0,11000100000000000000000001000...{\ displaystyle c = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- j!} = 0 {,} 110001000000000000000001000 \ ldots}

wobei die n- te Stelle nach dem Komma 1 ist, wenn n eine Fakultät ist (eine der Zahlen 1, 2, 2 × 3 = 6, 2 × 3 × 4 = 24 usw.) andernfalls 0; diese Zahl wird besonders gut durch rationale Zahlen angenähert . Joseph Liouville zeigte, dass die Zahlen mit dieser Eigenschaft (die wir jetzt Liouville-Zahlen nennen ) alle transzendent sind.

Jean-Henri Lambert , der unter anderem die Irrationalität von π und die von e bewies , vermutete, dass sie sogar transzendent seien. Die erste Zahl, die sich als transzendent erwiesen hat, ohne speziell dafür konstruiert worden zu sein, war e von Charles Hermite im Jahr 1873 .

In 1874 , Georg Cantor gezeigt , dass reellen algebraischen Zahlen sind zählbar und reelle Zahlen sind unzählbare  ; es bietet auch eine neue Methode zum Konstruieren transzendenter Zahlen. In 1878 veröffentlichten Cantor eine Konstruktion zeigt , dass es „so viele“ transzendenten Zahlen , da es reelle Zahlen sind. Diese Ergebnisse belegen die Allgegenwart transzendenter Zahlen.

In 1882 , Ferdinand von Lindemann gezeigt , dass e eine Nicht-Null algebraischen Macht ist transzendent, so unter anderem zum Nachweis die Transzendenz von π . Dieser Ansatz wurde von Karl Weierstrass mit dem Lindemann-Weierstrass-Theorem (1885) verallgemeinert .

Die Transzendenz von π erlaubte die Unmöglichkeit, mehrere antike Probleme der geometrischen Konstruktion mit Lineal und Zirkel zu lösen , darunter das berühmteste von ihnen, die Quadratur des Kreises .

In 1900 , David Hilbert fragte eine wichtige Frage zu transzendenten Zahlen, wie bekannt Hilberts siebtes Problem  : „Wenn ein eine von Null verschiedenen algebraische Zahl von 1 verschieden ist und wenn b eine irrationale algebraische Zahl ist, dann ist die Zahl eines b notwendigerweise transzendente? Die Antwort, ja, wurde 1934 durch das Gelfond-Schneider-Theorem gegeben . Dadurch kann man leicht transzendente Zahlen erhalten, zum Beispiel 2 √ 2 .

Dieses Werk wurde in den 1960er Jahren von Alan Baker erweitert .

Einige bekannte transzendente Zahlen

• Durch das Hermite-Lindemann - Theorem ,
  • die Zahl e (Basis der natürlichen Logarithmen ) und allgemeiner
    • die Zahlen e a für jede von Null verschiedene algebraische Zahl a ;
  • die Zahl sin (1) und allgemeiner
    • die Zahlen cos ( a ) und sin ( a ) für jede von Null verschiedene algebraische Zahl a .
• Durch die Kontraposition dieses gleichen Satzes
  • die Zahl π ,
  • die Zahlen log ( a ), wenn a eine streng positive algebraische reelle Zahl ist und sich von 1 unterscheidet.
  • die Zahl der Dottie .
• Durch das Gelfond-Schneider - Theorem ,
  • die Zahl 2 √ 2 ( Gelfond-Schneider konstant ),
  • die reelle Zahl e π = (–1) –i ( Gelfond-Konstante ),
  • die reelle Zahl e –π / 2 = i i (Quadratwurzel der Umkehrung der vorherigen),
  • allgemeiner die Zahlen a b, wobei a eine andere algebraische Zahl als 0 und 1 ist und wobei b algebraisch, aber nicht rational ist.
• Durch die Kontraposition dieses gleichen Satzes
  • Zahlen wie log (3) / log (2).
• Zahlen wie x log (2) + y log (3) + z log (5) mit von Null verschiedenen algebraischen x , y , z (siehe Theorem von Baker ).
• Γ (1/3) , Γ (1/4) und Γ (1/6) , wobei Γ die Eulersche Gammafunktion ist (jede dieser Zahlen ist sogar algebraisch unabhängig von π ).
• Die Zahl der Champernowne .12345678910111213 ... erhalten durch Schreiben in die folgenden ganzen Zahlen zur Basis zehn (Theorem von Mahler , 1961 )
• Die Liouville-Zahlen , as wobei ⌊ x ⌋ der ganzzahlige Teil des reellen x ist . Wenn beispielsweise , ist diese Zahl 0,11010001000000010000000000000001000 ...Σk=0+∞10-⌊βk⌋;β>1,{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} 10 ^ {- \ lfloor \ beta ^ {k} \ rfloor}; \ qquad \ beta> 1 \ ;,}
  β=2{\ displaystyle \ beta = 2}
• Die Summen bestimmter schnell konvergierender Reihen, aber weniger als die der Liouvilleschen Zahlen, haben sich durch Verallgemeinerungen seines Ergebnisses als transzendent erwiesen; dies ist zum Beispiel bei der Reihe der Inversen der Fermat-Zahlen der Fall .
• Mit automatischen Suiten  :
  • Zahlen, deren Dezimalentwicklung (oder in einer anderen Basis) durch eine automatische Folge definiert ist, die ab einem bestimmten Rang nicht periodisch ist;
  • die Kettenbrüche, deren Folge von Partialquotienten ab einem bestimmten Rang automatisch, aber nicht periodisch ist .
• Ω , Chaitins Konstante und allgemeiner: jede nicht berechenbare Zahl ist transzendent (da alle algebraischen Zahlen berechenbar sind).
• Die Prouhet-Thue-Morse-Konstante

Jede nicht konstante algebraische Funktion einer Variablen liefert einen transzendenten Wert, wenn ein transzendenter Wert darauf angewendet wird. Wenn wir zum Beispiel wissen, dass π transzendent ist, können wir sofort ableiten, dass 5π ,(π - 3)/√2, ( √ π - √ 3 ) 8 und ( π 5 +7)1/7
sind auch transzendent.

Eine multivariate algebraische Funktion kann jedoch eine algebraische Zahl ergeben, wenn sie auf transzendente Zahlen angewendet wird, wenn diese Zahlen nicht algebraisch unabhängig sind . Wir wissen nicht, ob beispielsweise π + e transzendent ist, aber mindestens eine der beiden Zahlen π + e und πe ist transzendent. Allgemeiner gesagt ist für zwei transzendente Zahlen a und b mindestens eine der Zahlen a + b und ab transzendent. Um dies zu sehen, betrachte das Polynom ( X – a ) ( X – b ) = X 2 – ( a + b ) X + ab  ; wenn a + b und ab beide algebraisch wären, dann hätte dieses Polynom algebraische Koeffizienten. Da die algebraischen Zahlen einen algebraisch abgeschlossenen Körper bilden , würde dies bedeuten, dass die Nullstellen des Polynoms a und b algebraisch sind. Dies ist jedoch ein Widerspruch und daher ist mindestens einer der beiden Koeffizienten transzendent.

Klassifizierung von transzendenten Zahlen

Kurt Mahler führte 1932 eine Aufteilung der transzendenten Zahlen in drei Sätze ein, es notiert S , T und U . Die Definition dieser Klassen basiert auf einer Verallgemeinerung des Begriffs des Irrationalitätsmaßes .

Transzendenzmaß einer komplexen Zahl

Sei eine komplexe Zahl. Wir versuchen zu bewerten, inwieweit es möglich ist, ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten als Funktion seines Grades (kleiner oder gleich einer ganzen Zahl ) und seiner Koeffizienten (des Moduls erhöht um eine ganze Zahl ) durch eine Wurzel zu nähern . z{\ Anzeigestil z}z{\ Anzeigestil z}nicht{\ displaystyle n}H{\ Anzeigestil H}

Sei der kleinste von Null verschiedene Wert, der beim Durchlaufen dieser endlichen Menge von Polynomen angenommen wird. Wir notieren (mit Angabe der Obergrenze ): ich(z,nicht,H){\ displaystyle m (z, n, H)}|P(z)|{\ Anzeigestil | P (z) |}P{\ Anzeigestil P}lim sup{\ displaystyle \ limsup}

• ω(z,nicht,H)=-Log⁡ich(z,nicht,H)nichtLog⁡H{\ displaystyle \ omega (z, n, H) = - {\ frac {\ log m (z, n, H)} {n \ log H}}}
• ω(z,nicht)=lim supH→∞ω(z,nicht,H){\ displaystyle \ omega (z, n) = \ limsup _ {H \ to \ infty} \ omega (z, n, H)}.

In dem Fall, wo wir den Logarithmus des Irrationalitätsmaßes erkennen. Wir definieren drei Klassennicht=1{\ Anzeigestil n = 1}

• U ist die Menge komplexer Zahlen, so dass jenseits eines gewissen (den wir den Grad von ) haben;z{\ Anzeigestil z}ω(z,nicht)=+∞{\ displaystyle \ omega (z, n) = + \ infty}nicht{\ displaystyle n}z{\ Anzeigestil z}
• T ist die Menge der komplexen Zahlen, so dass die Folge endlich, aber unbeschränkt ist;z{\ Anzeigestil z}(ω(z,nicht)){\ displaystyle \ left (\ omega (z, n) \ right)}
• S ist die Menge der komplexen Zahlen, so dass die Folge beschränkt ist.z{\ Anzeigestil z}(ω(z,nicht)){\ displaystyle \ left (\ omega (z, n) \ right)}

Beispiele

Jede transzendente Zahl gehört zu einer der Klassen S , T oder U  ; aber die genaue Einordnung ist manchmal schwer zu ermitteln. Es ist zum Beispiel nicht klar, ob in S oder T ist . Andererseits ist es in bestimmten Einzelfällen möglich, genauer zu schließen. π{\ displaystyle \ pi}

Elemente der Klasse U

• Per Definition ist eine Liouville-Zahl so, dass die Klasse U also die Menge der Liouville-Zahlen enthält, die die Potenz des Kontinuums hat .λ{\ displaystyle \ lambda}ω(λ,1)=+∞{\ displaystyle \ omega (\ lambda, 1) = + \ infty}
• Für jede ganze Zahl , die n - te Wurzel n √ & lgr; eine beliebige Anzahl Liouvilleschen & lgr ein Element ist , U der Grad .nicht{\ displaystyle n} nicht{\ displaystyle n}

Elemente der Klasse S

Die Exponentialfunktion sendet eine beliebige algebraische Zahl ungleich Null auf ein Element von S , was den Satz von Hermite-Lindemann verdeutlicht . Nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß , S enthält daher einen algebraisch freien zählbaren Satz (on ). Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Der Kardinal von S (gleich den Transzendenzgrad ) ist eigentlich die Mächtigkeit des Kontinuums, und auch  : fast alle gehört wirklich zu S .

Elemente der Klasse T

Als Mahler seine Partitur von transzendenten Zahlen veröffentlicht, vermutete er , dass T ist nicht leer . Diese Vermutung wurde erst 35 Jahre später von Wolfgang M. Schmidt nachgewiesen . Klasse T hat sogar die Macht der Dauer.

Algebraische Eigenschaften

Die Summe oder das Produkt zweier transzendenter Zahlen ist möglicherweise nicht transzendent oder sogar irrational. Mahlers Partitur bietet jedoch eine hinreichende Bedingung für algebraische Unabhängigkeit:

Satz  –  Zwei transzendente Zahlen, die zu zwei verschiedenen Klassen gehören, sind algebraisch unabhängig .

Offene Punkte

Es ist nicht bekannt, ob die folgenden Zahlen transzendent sind oder nicht:

• e + , eπ , e e , π e  ;
• - e , e / π , π π  ;
• die Euler-Mascheroni-Konstante γ , die katalanische Konstante und die Brun-Konstante (von denen wir nicht einmal wissen, ob sie irrational sind);
• die konstante Apery ζ (3) (von der wir wissen, dass sie irrational ist).

Alle Liouville-Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouville-Zahlen. Jede Liouville-Zahl muss unbegrenzte Terme in ihrer Kettenbruchentwicklung haben , so dass man mit einem count-Argument zeigen kann, dass es transzendente Zahlen gibt, die keine Liouville-Zahlen sind. Mit der expliziten Kettenbruchentwicklung von e können wir zeigen, dass e keine Liouville-Zahl ist. Kurt Mahler zeigte 1953, dass π auch keine Liouville-Zahl ist. Es wird oft vermutet, dass alle stetigen Brüche mit beschränkten Partialquotienten, die ab einem bestimmten Rang nicht periodisch sind, transzendent sind.

Die Verallgemeinerung des siebten Hilbert-Problems, die Transzendenz aller Zahlen a b zu charakterisieren, wenn a ≠ 0 und a 1 algebraisch ist, bleibt ungelöst . Wir wissen, dass, wenn b rational ist, a b algebraisch ist, und (gemäß dem oben erwähnten Satz von Gelfond-Schneider), dass, wenn b irrational algebraisch ist, a b transzendent ist, aber was, wenn b transzendent ist? (Es kann vorkommen, dass a b algebraisch ist, wie im Beispiel a = 2, b = log (3) / log (2).)

Verallgemeinerungen

Wenn L eine Körpererweiterung von K ist , ist ein Element von L auf K transzendent, wenn es nicht über K algebraisch ist . Dies ist insbesondere bei transzendenten Funktionen der Fall .

Hinweise und Referenzen

(fr) Dieser Artikel ist ganz oder teilweise dem Wikipedia-Artikel in englischer Sprache mit dem Titel "  Transzendentale Zahl  " entnommen ( siehe Autorenliste ) .

Anmerkungen

1. Siehe den Artikel "  Nummer von Liouville  ".
2. Siehe den Artikel „  Der Satz von Liouville (Diophantine Approximation)  “.
3. Weitere Details zu Lamberts Ergebnissen finden Sie im Abschnitt „Irrationalität“ des Artikels „Continuous Fraction and Diophantine Approximation“ .
4. Siehe den Artikel „  Theorem von Hermite-Lindemann  “.
5. Die Zahlen, deren Dezimalentwicklung periodisch ist, sind die rationalen Zahlen .
6. Nach einem Satz von Lagrange entsprechen periodische Kettenbrüche ab einem bestimmten Rang quadratischen Irrationalen .
7. Zum Beispiel und .π+(-π)=0{\ displaystyle \ pi + (-\ pi) = 0}π(1π)=1{\ displaystyle \ pi \ left ({\ frac {1} {\ pi}} \ right) = 1}

Verweise

1. Über Eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen . Deutsche Übersetzung: Über eine Eigenschaft des Systems aller reellen algebraischen Zahlen .
2. Cantor konstruierte 1878 nur eine Bijektion zwischen der Menge der irrationalen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen (siehe Ein Beitrag zur Mengenlehre , S.  323-324). Im folgenden Jahr wies er jedoch darauf hin, dass seine Konstruktion auf jede Menge anwendbar ist, die durch Entfernen einer abzählbaren Menge von Zahlen aus einem reellen Intervall gebildet wird (siehe Über unendliche und lineare Mengen von Punkten , S.  353).
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Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

• Sechs Exponentialsatz
• Theorie der transzendenten Zahlen

Literaturverzeichnis

• (en) Alan Baker , Transzendentale Zahlentheorie , Cambridge University Press ,1990( 1 st  ed. 1975), 165  p. ( ISBN  978-0-521-39791-9 , online lesen )
• (en) Joseph Lipman  (en) , Transzendente Zahlen , Kingston (Ontario), Queen's University ,1966( online lesen )
• Michel Waldschmidt , Numbers transcendants , Springer, Coll.  "Lecture Notes in Mathematics" ( n o  402)1974( online lesen )