Fläche (Geometrie)

In der Mathematik ist die Fläche eine Größe relativ zu bestimmten Figuren der Ebene oder Flächen in der Geometrie im Raum .

Die Entwicklung dieses mathematischen Begriffs ist mit der Rationalisierung der Berechnung der Größe landwirtschaftlicher Flächen durch Vermessungstechniken verbunden . Diese Bewertung zusammen mit einer Maßeinheit wird heute als Fläche bezeichnet .

Informell ermöglicht die Fläche, das Größenverhältnis einer Figur relativ zu einer Einheit durch Schnitte und Verklebungen, Verschiebungen und Umkehrungen und Annäherung an die Grenze auszudrücken . Das Flächenmaß kann eine positive reelle Zahl sein oder für einige Flächen, wie z. B. die Ebene als Ganzes , unendlich sein .

Es wurden verschiedene Techniken entwickelt, um eine Fläche zu messen, von der Unteilbaren-Methode über die Integralrechnung bis hin zu probabilistischen Methoden wie der Monte-Carlo-Methode .

Formale Definition

In einem 2-dimensionalen euklidischen Raum hat ein Gebiet eine Fläche, wenn es eine messbare Menge für Jordans Maß ist und seine Fläche diesem Maß entspricht.

Eigenschaften

Die Fläche S einer ebenen Fläche folgt vier Eigenschaften:

  1. Die Fläche einer begrenzten ebenen Fläche ist eine positive oder Nullzahl .
  2. Eine Längeneinheit gewählt wird, die Fläche der quadratischen ist von der Seite 1 gleich 1 ist .
  3. Der Bereich ist additiv . Dies bedeutet, dass bei gegebenen Flächen zweier disjunkter Flächen A und B die Fläche ihrer Vereinigung die Summe ihrer Flächen ist: S ( A ∪ B ) = S ( A ) + S ( B ). Diese Eigenschaft kann wie folgt interpretiert werden: Wenn wir eine Figur „ausschneiden“, erhalten wir zwei Figuren, deren Summe der Flächen gleich der Fläche der Ausgangsfigur ist.
  4. Die Fläche ist isometrisch invariant . Dies bedeutet, dass eine Figur verschoben oder gespiegelt werden kann, ohne ihren Bereich zu ändern.

Die Additivitätseigenschaft wird durch Induktion auf jede natürliche Zahl n größer als zwei erweitert: falls A 1 , A 2 ... A n zwei mal zwei disjunkte Flächen der jeweiligen Flächen S ( A 1 ), S ( A 2 ) sind … S ( A n ), dann

S ( A 1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) +… + S ( A n )

was strenger angemerkt wird:

Aber diese endliche Additivitätseigenschaft reicht nicht aus, allein schon um die Formel zur Berechnung der Fläche einer Scheibe (siehe unten) zu beweisen. Es wird daher auf eine abzählbare unendliche Schar ebener Flächen ( A n ) n ∈ N ∗ zwei mal zwei disjunkt erweitert, deren Flächen als bekannt vorausgesetzt werden, mit dem Ergebnis analog zum vorherigen:

Wir sprechen dann von σ-Additivität („  Sigma-Additivität  “).

Flächenberechnung

Nachdem eine Längeneinheit (bezeichnet mit 1u.l.) zuvor gewählt wurde, definieren wir die Flächeneinheit (bezeichnet mit 1u.a.) durch 1u.a. = (1u.l.) 2 . Alle Flächen werden in Flächeneinheiten gemessen. Die Grundfigur für eine Fläche der Berechnung ist die Einheit quadratisch , mit Seiten 1u.l. ; Damit können Sie die Fläche des Rechtecks berechnen . Mit der Fläche des Rechtecks ​​ist es möglich, die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks (als halbes Rechteck gesehen) oder eines Parallelogramms zu bestimmen , dann die eines beliebigen Dreiecks und damit eines beliebigen Vielecks .

Die Formel für die Fläche einer Scheibe ist komplexer zu demonstrieren: Sie erfordert das Durchlaufen einer Fortsetzungsgrenze . Die Idee, sich einer komplexen Oberfläche sukzessive durch eine Reihe einfacherer Oberflächen (im Allgemeinen Rechtecke oder Polygone) zu nähern, ist grundlegend. Eine Fläche, die mit Rechtecken "richtig" angefahren werden kann, bis man aus ihr ihre Fläche durch eine Grenzwertrechnung ableiten kann, heißt strittig .

In bestimmten Fällen hilft die Analyse der Geometrie, wenn die Begründung durch Schneiden und Kleben nicht mehr ausreicht. Einige Flächenberechnungen erfordern die Verwendung von Integralen (Begriff „Fläche unter der Kurve“), die manchmal aus den Grundelementen einer Funktion berechnet werden können .

Andere Fälle sind pathologischer  : Mathematiker haben eine Messtheorie aufgestellt, um Ergebnisse auf Flächen zu verallgemeinern. Für Fraktale sind die Flächen nicht berechenbar – oder unbefriedigend. Hausdorffs Begriff der Dimension verallgemeinert , dass der Bereich, für ein Flugzeug fraktalen Objekt.

Übliche Oberflächen

Im Folgenden sind die gebräuchlichsten Formeln und Demonstrationen für die Flächenberechnung aufgeführt, die die geometrische Argumentation veranschaulichen, die häufig verwendet wird, um Flächenprobleme zu lösen: "Ausschneiden und Einfügen", manchmal durch Vorstellung einer unendlichen Anzahl von Ausschnitten durch Grenzüberlegungen.

Rechteck

Fläche eines Rechtecks  -  Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner Länge mal seiner Breite.

Demonstration

Ein Rechteck, dessen Länge und Breite die ganzen Zahlen m und n sind, kann als aus m Linien bestehend, von denen jede n Einheitsquadrate enthält, angesehen werden. Seine Fläche ist daher gleich m × n .

Wenn die Dimensionen des Rechtecks m / p und n / q Brüche sind , nehmen wir an, dass wir das Rechteck mit den Dimensionen m und n in p gleiche Teile "zerschnitten" haben , dann jeden dieser Teile wieder in q gleiche Teile. Das Rechteck mit den Dimensionen m und n enthält also das p × q- fache der Dimensionen m / p und n / q . Die Fläche dieses letzten Rechtecks ​​ist daher gleichich/p × nicht/q.

Dieses Ergebnis wird für den Fall verallgemeinert, dass die Länge und die Breite des Rechtecks reelle Zahlen sind , aber die Argumentation ist abstrakter: Es erfordert einen Übergang zum Grenzwert, indem man bedenkt, dass jede reelle Zahl der Grenzwert einer Reihe von rationalen Zahlen ist .

Sonderfall des Quadrats

Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Länge und Breite der gleichen Zahl entsprechen, die als Seite des Quadrats bezeichnet wird. Ein Quadrat mit der Seite c hat eine Fläche von c × c , die mit c 2 bezeichnet wird . Umgekehrt kann jede Zahl der Form c 2 (wobei c positiv ist) als Fläche eines Quadrats mit der Seite c angesehen werden , was erklärt, warum c 2 " c quadriert" oder "das Quadrat von c  " lautet  .

Dreieck

Die gebräuchlichste Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks ist:

Fläche eines Dreiecks  -  Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt seiner Basis und seiner Höhe.

Jedes rechtwinklige Dreieck, dessen Katheter (oder kurze Seiten) a und b messen, kann als die Hälfte eines Rechtecks ​​mit den Abmessungen a und b betrachtet werden, das durch eine seiner Diagonalen zweigeteilt wird. Die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks ist daher gleich .

Allgemeiner gesagt, jedes Dreieck der Höhe eines Dreiecks h und der zugehörigen Seite b (in diesem Fall wird die Seite als Basis bezeichnet ) ist die Hälfte eines Rechtecks ​​mit den Abmessungen h und b , was die klassische Formel zur Berechnung von d 'Fläche von ​ . ergibt ein Dreieck:

Andere Verfahren erlauben die Fläche eines Dreiecks und damit die Fläche jedes Polygons berechnet werden , unter Verwendung der Tatsache , dass jedes Polygon werden kann unterteilt in eine endliche Anzahl von Dreiecken. Insbesondere durch die Aufteilung eines regelmäßigen Vielecks in Dreiecke, deren Scheitelpunkt sein Mittelpunkt ist, erhalten wir die üblichen Formeln zur Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Vielecks .

Scheibe

Satz  -  Die Fläche einer Scheibe mit Radius R ist gleich π × R 2 .

Von diesem Ergebnis überzeugen wir uns, indem wir die Scheibe in beliebig viele Dreiecke aufteilen.

Betrachtet man n Punkte A 1 , A 2 … A n regelmäßig auf einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R , so erhält man ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten aus n gleichschenkligen Dreiecken mit gleicher Fläche OA 1 A 2 , OA 2 A 3 usw. Die Fläche des regelmäßigen Vielecks beträgt also das n- fache eines dieser Dreiecke. Wenn die Höhe jedes seiner Dreiecke h n ist , ist die Fläche jedes Dreiecks1/2h n × A 1 A 2 . Durch Multiplikation mit n entspricht die Fläche des Polygons daher der halben Höhe h n multipliziert mit dem Umfang des Polygons. Wenn die Anzahl n der Punkte gegen Unendlich strebt, strebt die Höhe h n gegen R und der Umfang des Polygons gegen den des Kreises, dh 2π R , was das angekündigte Ergebnis ergibt.

Um den Radius des Kreises zu kennen, besteht eine andere Methode von Archimedes darin, die Scheibe in Sektoren zu unterteilen , wie in der Abbildung rechts gezeigt.

Jeder Sektor hat eine ungefähr dreieckige Form und die Sektoren können neu angeordnet werden, um ein Parallelogramm zu bilden. Die Höhe dieses Parallelogramms ist r , und die Breite ist die Hälfte des Umfangs des Kreises oder π r . Somit ist die Gesamtfläche der Scheibe π r 2

Obwohl dieses Verfahren zum Unterteilen in Sektoren nur eine Annäherung ist, wird der Fehler immer kleiner, wenn der Kreis in mehr Sektoren unterteilt wird. Die Grenze der Summe der Flächen der ungefähren Parallelogramme ist genau π r 2 , was die Gesamtfläche der Scheibe ist.

Integral

Da die euklidische Ebene mit einem orthonormalen Koordinatensystem versehen ist , wird für eine positive und stetige numerische Funktion f das Riemann-Integral von f über ein Intervall [ a  ; b ] ermöglicht es Ihnen, den Bereich der Domain einfach auszudrücken durch:

Diese Fläche ist dann gleich I (1u.a.) wobei die Zahl I das Integral bezeichnet

NB Wenn das kartesische Koordinatensystem nicht mehr orthonormal ist, ist die Messung der vorherigen Oberfläche (Fläche) gleich I (Mu.a.) Wobei Mu.a die Fläche der "Elementarzelle" des Koordinatensystems bezeichnet (c 'dh die Fläche des Parallelogramms, das auf den beiden Basisvektoren des Koordinatensystems aufgebaut ist): Das Integral entspricht daher der Menge der in der gemessenen Oberfläche enthaltenen "Elementarzellen".

Diese Fläche kann mit numerischen Methoden ausgewertet werden , indem man sich der Fläche unter der Kurve durch übliche Flächen, insbesondere Rechtecke oder Trapeze, annähert . In bestimmten Fällen ermöglicht eine Grenzberechnung, den genauen Wert des Integrals zu bestimmen, und zwar ähnlich wie oben für die Scheibe verwendet.

Eine Argumentation, die Flächenbetrachtungen und Differentialrechnung kombiniert , ermöglicht den Beweis, dass

wobei F eine Stammfunktion von f über [ a  ; b ] . Somit ermöglicht die Kenntnis von Primitiven einer Funktion, die Menge der berechenbaren Bereiche durch die zuvor gesehene „Teilung“ zu erweitern.

So nähren und bereichern sich Flächendenken und Differenzialrechnung. Flächenberechnungen wirken sich daher auf viele Bereiche der Mathematik aus, durch Integrale, einschließlich Wahrscheinlichkeiten oder Statistiken, indem der Mittelwert einer Funktion berechnet wird .

Monte-Carlo-Methode

Wenn die Flächenberechnung es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeitskennt- nisse durch Integrale zu verbessern, gilt auch das Umgekehrte. Sei eine Fläche S , deren Fläche bekannt ist, die eine andere L mit unbekannter Fläche enthält. Die Methode von Monte Carlo beinhaltet das Senden zufälliger Punkte in S . Es gibt dann die Gesamtzahl n S von Punkten und die Zahl n L , die zufällig in L gefunden werden . Es ist wahrscheinlich, dass das Verhältnis der Flächen L und S nahe dem Verhältnis von n L zu n S liegt . Die Fehlerquote wird statistisch umso kleiner, je größer die Anzahl der Punkte n S ist.

Gebietsprobleme

Quadratur des Kreises

Ein Problembereich hat die Jahrhunderte überlebt, zumindest seit Anaxagoras ( V th  Jahrhundert  vor Christus. Bis 1882, als) Ferdinand von Lindemann , dass π bewiesen a transzendente Zahl  : die der Quadratur des Kreises , die bei der Konstruktion besteht, mit einem Lineal und einem Kompass , ein Flächenquadrat gleich dem einer gegebenen Scheibe.

Verwechslung von Fläche und Umfang

Der Umfang ist mit der Fläche eines der beiden Hauptmaße flächenhafter geometrischer Figuren. Trotz der Tatsache, dass sie nicht in derselben Einheit ausgedrückt werden, ist es üblich, diese beiden Begriffe zu verwechseln oder zu glauben, dass je größer der eine ist, desto mehr ist auch der andere. Tatsächlich vergrößert (oder verkleinert) die Vergrößerung (oder Verkleinerung) einer geometrischen Figur gleichzeitig ihre Fläche und ihren Umfang. Wenn beispielsweise ein Grundstück auf einer Karte im Maßstab 1:10000 dargestellt ist, kann der tatsächliche Umfang des Grundstücks durch Multiplikation des Umfangs der Darstellung mit 10.000 und die Fläche durch Multiplikation des Umfangs der Darstellung mit 10 . berechnet werden . 000 2 . Es gibt jedoch keine direkte Verbindung zwischen der Fläche und dem Umfang einer Figur. Zum Beispiel kann ein Rechteck mit einer Fläche von einem Quadratmeter als Abmessungen in Metern haben: 0,5 und 2 (also ein Umfang von 5  m ), aber auch 0,001 und 1000 (also einen Umfang von mehr als 2000  m ). Proclus ( V th  Jahrhundert ) berichtet , dass die griechischen Landwirte „gerecht“ Felder entlang ihrer Umfänge geteilt haben, aber mit verschiedenen Bereichen. Die Produktion eines Feldes ist jedoch proportional zur Fläche, nicht zum Umfang: Einige naive Bauern haben Felder mit langen Umfängen, aber einer mittelmäßigen Fläche (und damit einer Ernte) erhalten.

Isoperimetrie, Mindestfläche

Die Isoperimetrie beschäftigt sich insbesondere mit der Frage, für einen gegebenen Umfang eine möglichst große Oberfläche zu finden. Die Antwort ist intuitiv, es ist die Scheibe . Dies erklärt, warum insbesondere die Augen auf der Oberfläche einer Brühe eine runde Form haben.

Dieses scheinbar harmlose Problem erfordert ausgeklügelte Theorien, um eine rigorose Demonstration zu erhalten. Das isoperimetrische Problem wird manchmal durch die Begrenzung der zulässigen Flächen vereinfacht. Wir suchen zum Beispiel das Viereck oder das Dreieck mit der größtmöglichen Fläche, immer für einen gegebenen Umfang. Die entsprechenden Lösungen sind das Quadrat und das gleichseitige Dreieck . Im Allgemeinen ist das Polygon mit n Ecken mit der größten Fläche bei einem gegebenen Umfang dasjenige, das dem Kreis am nächsten kommt , es ist das regelmäßige Polygon .

Die Isoperimetrie ist nicht auf diese Fragen beschränkt. Wir suchen auch einen möglichst großen Flächenbereich für einen gegebenen Umfang mit unterschiedlichen Geometrien. Im Fall einer Halbebene ist die Antwort beispielsweise die Halbscheibe.

Dieses Konzept führt zu einer Familie von Theoremen, die als isoperimetrisch bekannt sind , zu Erhöhungen, die als isoperimetrische Ungleichungen bekannt sind , sowie zu einer Beziehung, die als isoperimetrischer Quotient bezeichnet wird . Die isoperimetrische Ungleichung besagt, dass eine Fläche mit Umfang p und Fläche a die folgende Zunahme erfüllt:

Der Term auf der linken Seite wird als isoperimetrischer Quotient bezeichnet und ist genau dann gleich 1, wenn die Oberfläche eine Scheibe ist.

Wenn der Ursprung dieser Frage mindestens 2.900 Jahre alt ist, wurde die Frage erst 1895 mit Methoden, die aus dem Minkowski-Theorem abgeleitet wurden , in ihrer antiken Form endgültig gelöst. Diese Methoden ermöglichen es, den isoperimetrischen Satz zu beweisen und im Fall der euklidischen Geometrie auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern .

Das Problem der Isoperimetrie im dreidimensionalen Raum besteht darin, das größte Volumen zu finden, das in einer Oberfläche einer bestimmten Fläche enthalten ist. Die Antwort ist die Kugel , die vor allem in Form von Seifenblasen entsteht .

Zu den grundlegenden Aspekten dieser Frage siehe den Artikel Isoperimetrie . Einige Antworten, die ausgefeiltere mathematische Werkzeuge verwenden, werden im Artikel The isoperimetric theorem vorgeschlagen .

Eine Minimalfläche ist eine Fläche des dreidimensionalen Raums, die unter bestimmten Bedingungen die Fläche in der Nähe jedes ihrer Punkte minimiert . Dies bedeutet, dass eine kleine Variation in diesem Bereich den Bereich größer macht. Für einen gegebenen Satz von Randbedingungen kann es mehrere Minimalflächen geben. Die minimalen Flächen werden von einem auf einem Rahmen ruhenden Seifenfilm spontan eingenommen, da solche Flächen auch die auf den Film ausgeübten Kräfte minimieren. Die Suche nach solchen Flächen nennt man in der Mathematik Plateau-Problem , sie erfordert eine Differenzialrechnung .

Große Fläche

Umgekehrt stellt sich das Problem, für ein gegebenes Volumen die Figur mit der größtmöglichen Oberfläche zu erhalten. Es gibt eine mathematisch einfache Lösung: Eine Oberfläche ohne Dicke hat null Volumen. A: Solche Formen sind in der Natur gefunden grüne Pflanze Blatt ist in der Regel sehr dünn , aber breit, auszusetzen , um die größtmögliche Fläche zur Sonne, zur Förderung der Photosynthese . Aber auch eine große Fläche der Blattspreite des Blattes fördert die Transpiration , Pflanzen, die mit Dürreperioden zu kämpfen haben ( Kiefern , Kakteen etc.) haben daher oft dickere Blätter, um ihre Fläche zu reduzieren und damit dem Austrocknen entgegenzuwirken.

Eine andere mögliche Strategie besteht darin, einen Festkörper zu nehmen und ihn mit einer großen Anzahl von Löchern zu bohren. Zum Beispiel besteht der Menger-Schwamm aus einem Würfel , der entlang jeder der drei Dimensionen in drei gleiche Scheiben unterteilt ist. Dies ergibt siebenundzwanzig gleiche Würfel, dann entfernen wir die mittleren Würfel. Wir erhalten dann einen neuen Festkörper mit kleinerem Volumen und größerer Fläche als der vorherige, der aus zwanzig Würfeln besteht. Dann wiederholen wir den gleichen Vorgang für jeden dieser zwanzig Würfel, dann wieder für die so erhaltenen Würfel usw. Durch unbegrenztes Wiederholen des Prozesses erhalten wir ein fraktales Objekt, das eine unendliche Fläche und ein Volumen gleich Null hat, während es Abmessungen (Länge, Breite, Tiefe) gleich denen des Ausgangswürfels hat. Sehr eingedrückte Formen wie der Mengers Schwamm finden sich in der Natur, wenn es darum geht, den Austausch zwischen zwei Umgebungen zu fördern: zum Beispiel die Lunge von Säugetieren (um den Gasaustausch in einem reduzierten Volumen zu maximieren), Kiemen , Darm ...

Die spezifische Oberfläche eines Materials ist seine Oberfläche pro Masseneinheit: Je größer die spezifische Oberfläche, desto mehr kann sich das Objekt mit seiner Umgebung austauschen, desto poröser ist es. Insbesondere die spezifische Oberfläche ist eine wichtige physikalische Eigenschaft des Bodens , die seine Fähigkeit bestimmt, Nährstoffe zu speichern und mit Pflanzen auszutauschen.

Geschichte

Hohe Antike

Nach Herodot entstand die Geometrie im alten Ägypten aus der Notwendigkeit, die Flächen der bebauten Felder nach den Fluten des Nils gerecht zu verteilen . Die Ägypter kannten die üblichen Formeln zur Berechnung der Flächen von Polygonen, und die meisten aus dieser Zeit erhaltenen Geometrieprobleme betreffen Flächenprobleme.

In Babylon wurde die Fläche A aus dem Umfang P eines Kreises nach einem Verfahren berechnet, das der Formel entspricht:

Selbst wenn sie den Durchmesser eines Kreises kannten, berechneten die Schreiber immer seinen Umfang (indem sie den Durchmesser mit 3 multiplizierten), um dann seine Fläche zu erhalten. Das Verfahren war wie folgt, wie in diesem Beispiel, das der Lösung eines Problems entnommen wurde, bei dem das Volumen eines zylindrischen Baumstamms mit einem Durchmesser von 1 + . bestimmt werden soll2/3 :

Babylonische Methode  -  Triple 1 +2/3, die Spitze des Baumstamms, und 5, der Umfang des Baumstamms, kommen. Nehmen Sie das Quadrat von 5 und 25 wird kommen. Multiplizieren Sie 25 mit1/12, die Konstante und 2 +1/12, die Gegend, wird kommen.

In Ägypten wurde aus dem Durchmesser D gerechnet  :

Die Überlegung war wahrscheinlich, ein Achteck und einen Kreis in ein Quadrat einzuschreiben . Die nebenstehende Abbildung illustriert diese Argumentation: Wenn die Seite des Quadrats den Durchmesser D der Scheibe hat, hat das auf der dritten Seite des Quadrats gebaute Achteck eine Fläche von

.

Die Fläche der Scheibe gilt als etwas größer als die des Achtecks, d.h.

.

antikes Griechenland

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab durch Argumentation auf Flächen von Quadraten. Diese Formel war bereits Archimedes bekannt .

Arabisch-muslimische Welt

Al-Khwârizmî analysiert und löst in seinem Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison die quadratischen Gleichungen durch geometrische Betrachtungen über Quadratflächen und setzt damit die Tradition der geometrischen Algebra aus der Antike fort.

Bereich

Die Fläche einer Grundfläche oder einer flachen oder linken physischen Oberfläche ist ihr physisches Maß, ausgedrückt in einer Maßeinheit . Die entsprechende Einheit des Internationalen Systems ist der Quadratmeter oder eines seiner Vielfachen oder Untervielfachen, wie Ar oder Hektar .

Diese Messung wird manchmal mit dem Begriff "Oberfläche" selbst bezeichnet, der dieselbe Etymologie teilt.

Flächenberechnungen im Zusammenhang mit dem Begriff des landwirtschaftlichen Ertrags und der steuerlichen Besteuerung motivierten den Flächenbegriff in der Geometrie . Die Modellierung eines Geländes durch eine einfache geometrische Oberfläche ermöglicht eine effiziente Auswertung seiner Fläche.

Die Fläche von Verwaltungseinheiten (zum Beispiel in Frankreich die einer Gemeinde , eines Departements usw.) kann verschiedene Werte annehmen, je nachdem, ob sie sich auf Land beschränkt oder das Wasser berücksichtigt Oberflächen.

Hinweise und Referenzen

  1. Zalgaller Kudryavtsev .
  2. Faraut 2006 , Vorwort.
  3. Dies sind zum Beispiel die drei, an die in Faraut 2006 , Vorwort erinnert wird.
  4. Perrin .
  5. Die Verwendung dieses Computerbegriffs für eine Praxis, die zumindest aus der paläo-babylonischen Zeit stammt, mag seltsam erscheinen, wird aber in Christine Proust , „  Hoyrup, 2002  “, ducmath , bezeugt .2007( online lesen ).
  6. Eine Demonstration von ganzzahligen und gebrochenen Fällen anhand von Beispielen findet sich in Tannery 1903 , S.  93-94. Eine vollständigere Version finden Sie unter Perrin , S.  9.
  7. Perrin , p.  9.
  8. Amiot 1870 , p.  159.
  9. Amiot 1870 , p.  160.
  10. Amiot 1870 , p.  162-163.
  11. Siehe eine ähnliche Argumentation zum Beispiel in Tannery 1903 , S.  100-101 .
  12. Es existieren weitere allgemeinere Definitionen. Dies gilt insbesondere für das Mathematik- Lehrprogramm im letzten Jahr der wissenschaftlichen Reihe in Frankreich (Dekret vom 20.07.2001. Veröffentlicht im ABl. vom 04.08.2001 , S.  67).
  13. Mathematik-Lehrprogramm in der letzten Klasse der wissenschaftlichen Reihe in Frankreich (Dekret vom 20.07.2001. Veröffentlicht im ABl. vom 4.8.2001 , S.  67).
  14. Gerberei 1903 , p.  277 und folgende für eine vollständige Präsentation mit Demonstrationen.
  15. Collette, Band 1 , p.  55.
  16. Dominique Barataud, „  Area and Perimeter  “ , Datei mit Bildungsaktivitäten, erstellt von der nationalen Denkfabrik für den Mathematikunterricht in Relaissystemen , auf http://eduscol.education.fr/ .
  17. (in) Thomas Little Heath , Eine Geschichte der griechischen Mathematik , Bd.  2: Von Aristarchos bis Diophantus , Dover ,2013( 1 st  ed. 1921) ( ISBN  978-0-48616265-2 , online lesen ) , p.  206.
  18. Bernard Teissier , "  Volumes des corps convexes, géométrie et algebre  " , über das Jussieu Mathematics Institute (Lektion gehalten am Donnerstag, 7. Oktober 1999, geschrieben von C. Reydy), p.  2 .
  19. "  Das isoperimetrische Problem  " , auf IREM d'Orléans , p.  2 .
  20. "Das isoperimetrische Problem", auf IREM d'Orléans , S.  1.
  21. Teissier 1999 , p.  6.
  22. Troyanov 2009 , p.  318, 336.
  23. Siehe Was ist eine minimale Fläche? , Videos des Discovery Palace .
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  25. Hopkins 2003 , p.  148-149.
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  28. Joseph et al. 2009 , ca.  21.
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  30. Collette, Band 1 , p.  41-42.
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  34. "Oberfläche", Historisches Wörterbuch der französischen Sprache , Dictionnaires Le Robert 1992.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Literaturverzeichnis

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