Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit oder Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in allen gasförmigen, flüssigen oder festen Medien. Sie kann daher für andere Materialien als Luft bestimmt werden, in denen Schall vom menschlichen Ohr nicht wahrgenommen werden kann.

In jedem Fluid hängt die Schallgeschwindigkeit unabhängig von den Druck- und Temperaturbedingungen von der isentropen Kompressibilität und der Dichte des Wellenausbreitungsmediums ab. In den meisten Flüssigkeiten und insbesondere in Luft hängt sie sehr wenig von Frequenz und Amplitude der Schwingung ab.

Für Gase mit Drücken nahe dem Atmosphärendruck ist das ideale Gasmodell anwendbar. Die Schallgeschwindigkeit hängt dann nur noch von der Temperatur ab. Die Formel gibt hierfür eine Näherung in trockener Luft in m/s mit der Temperatur in Kelvin an . Die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 15  °C auf Meereshöhe beträgt etwa 340 m/s (oder 1224 km/h ). Im Wasser breitet sich Schall mit rund 1.500 m/s (oder 5.400 km/h ) mehr als viermal schneller aus . In Weicheisen beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 5.960 m/s (oder 21.456 km/h ). vs=20,05T{\ displaystyle c = 20 {,} 05 \, {\ sqrt {T}}}T{\ Anzeigestil T}      

Historisch

Seit der Antike ist bekannt, dass sich Schall schnell, aber nicht augenblicklich bewegt. Das Echophänomen nährte die ersten Reflexionen: Wenn die Schallausbreitung augenblicklich erfolgte, konnten wir den Anfangsschall nicht von dem an einer Wand reflektierten Schall unterscheiden; und wenn die Verzögerung auf die Mauer zurückzuführen wäre, würde sie, wie wir sehen, nicht von der Entfernung abhängen. Es wurde auch festgestellt, dass diese Geschwindigkeit nicht von den Klangqualitäten abhängt: stark oder schwach, niedrig oder hoch, die Verzögerung ist immer gleich. Schließlich erinnert das Echo-Phänomen auch an die Reflexion von Licht an einem Spiegel oder an Wellen auf der Wasseroberfläche, die von einem Stein getroffen wird.

Mersenne bewertete 1635 die Schallgeschwindigkeit in der Luft mit 230  Toise pro Sekunde ( 448  m / s ), ein von Gassendi zitierter Wert , der zeigte, dass sich Bässe und Höhen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten. Es ist jedoch nicht sicher, dass sich der reflektierte Schall mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet, hier werden 162 Faden pro Sekunde ( 315  m / s ) ermittelt. Es zeigt nicht seine Funktionsweise an . Während des XVII th und XVIII - ten  Jahrhundert, die Erfahrungen von Halley , von Boyle , von Cassini , von Huygens und anderen, auf der Basis der Laufzeitdifferenz zwischen dem Licht und Ton produziert ungefähre Ergebnisse.

Galilei erklärt Schall durch "Falten" der Luft, die sich ohne Gesamtverschiebung Schritt für Schritt mitteilen, wobei seine Zeitgenossen die Übertragung nur durch ein sich mit hoher Geschwindigkeit über die gesamte Schallbahn bewegendes materielles Teilchen konzipierten. Newton verdeutlicht diesen Begriff; er wendet auf den Schall, der als die Bewegung einer Störung angesehen wird, die aus einer Folge von Kompressionen und Ausdehnungen der Luft besteht, die Prinzipien der infinitesimalen Berechnung an, um erstens die Schallgeschwindigkeit aus den Eigenschaften der Luft zu bestimmen.

Am Ende des XVII - ten  Jahrhunderts die Akustik des Heilands erklärt die Vibration von Luft in den Rohren von Windmusikinstrumenten . Da diese Schwingung von der Schallausbreitungsgeschwindigkeit abhängt, ist dies eine andere Möglichkeit, sie zu ermitteln. Die Pfeifenstimmung ist den Instrumentenbauern wohlbekannt, die Schwingungen von Saiten und Stimmgabeln, die mit viel geringerer Geschwindigkeit beobachtet werden können, bieten eine Vergleichsbasis und die Schwebungsmethode ein Mittel zur genauen Messung, und die Berechnung ergibt dasselbe Ergebnisse.

Im folgenden Jahrhundert wurden mehrere Experimente durchgeführt. Die Schallmessung erfolgt durch das Abfeuern von Kanonenschüssen bei Nacht und die Fernmessung der Zeit zwischen der Wahrnehmung des von der Flamme an der Mündung abgegebenen Lichts und der Wahrnehmung von Geräuschen. Das Prestige von Newton ist beträchtlich, und man hat dann keine andere Theorie als seine; dennoch sind die aus den experimentell ermittelten Messungen abgeleiteten Geschwindigkeiten immer etwa 16% höher als die mit ihrer Formel erhaltenen. Wir wiederholen die Experimente mehrmals.

1738 lädt die Französische Akademie der Wissenschaften MM. de Thury , Maraldi und der Abbé de la Caille , um neue Erlebnisse zu organisieren. Sie führten ihre Operationen auf einer Linie von 14.636  Toisen (die 28,5 heißt  km ) , die nach Begriffen der Turm hatte Montlhéry und die Pyramide von Montmartre . Sie kamen zu dem Schluss, dass:

1. Der Schall legt 173 Faden (337,2  m ) in einer Sekunde zurück, Tag und Nacht, bei ruhigem Wetter oder bei Regenwetter;
2. Bei Wind, dessen Richtung senkrecht zum Schall steht, hat dieser die gleiche Geschwindigkeit wie bei Windstille;
3. Aber wenn der Wind in der gleichen Linie bläst, wie sich der Schall ausbreitet, verzögert oder beschleunigt er ihn entsprechend seiner eigenen Geschwindigkeit;
4. Die Schallgeschwindigkeit ist gleichförmig, dh sie durchquert zu gleichen Zeiten und nacheinander ähnliche Räume;
5. Die Intensität oder Stärke des Schalls ändert seine Geschwindigkeit nicht.

Über diese Erfahrung berichtet Abbé Nollet, der in derselben Arbeit demonstriert, dass "Klang wie das Quadrat mit zunehmender Entfernung abnimmt".

1816 zeigt Laplace , dass Newtons Hypothese, dass Schall ein isothermer Vorgang ist, falsch und ein adiabatischer Vorgang ist  ; er kommt zu dem Schluss:

„Die Schallgeschwindigkeit ist gleich dem Produkt der durch die Newtonsche Formel gegebenen Geschwindigkeit durch die Quadratwurzel des Verhältnisses der spezifischen Wärme der Luft bei konstantem Druck zu ihrer spezifischen Wärme bei konstantem Volumen. "

Im Jahr 1822 führten Arago und Prony im Auftrag des Bureau des longitudes neue Experimente durch . Sie verwenden gekreuzte Kanonenschüsse zwischen Villejuif und Montlhéry , die gleichzeitig abgefeuert werden. Auf diese Weise hoffen die Experimentatoren, die Störungen durch Feuchtigkeit , Windgeschwindigkeit, Druck und Temperatur zu begrenzen . Außerdem werden genauere Stoppuhren verwendet. Die Experimente finden an den Abenden der 21. und22. Juni 1822. Sie erreichen den Wert von 341  m/s bei einer Temperatur von 15,9  °C . Nach der Korrektur die Geschwindigkeit , bei 0  ° C beträgt 331  m / s . Dieser Wert ist mit der Laplace-Formel kompatibel.

An der Wende des XIX - ten  Jahrhunderts, Junge , Laplace und Poisson die Geschwindigkeit des Schalls auf die Verbindung Elastizität des Mediums. Um diese theoretischen Berechnungen zu überprüfen, maß Biot 1808 die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern; in 1826 Colladon bestätigt den für Wasser vorhergesagten Wert innerhalb von 0,5% durch Experimente in Lake Geneva .

Die Veröffentlichungen konzentrieren sich auch auf weniger technische Themen. Aus dem XVII - ten  Jahrhundert, Mersenne die Frage gestellt , „kann eine Person einen Ball erreichen , bevor er das Geräusch der Kanone gehörte , dass ins Leben gerufen? ". Die Projektile eine erreichen Schall Anfangsgeschwindigkeit am Ende des XIX E  Jahrhunderts. In der Mitte des folgenden Jahrhunderts wird sich die Frage für die Luftfahrt, mit der Überquerung von dem, was die Ton genannt Barriere .

Das Problem der Schallgeschwindigkeitsbestimmung war grundlegend für die Grundlagen der Akustik .

Die XX - ten  Jahrhundert, Messung der Schallgeschwindigkeit in einem Material wird verwendet , um die zur Berechnung Elastizitätsmodul , während in der natürlichen Umgebung, es verwendet wird , um die durchschnittliche Temperatur von unzugänglichen Stellen wie die Meerestiefen zu messen.

Definition

Die Schallgeschwindigkeit kann auf zwei Arten streng definiert werden:

Gruppengeschwindigkeit Die Gruppenschallgeschwindigkeit ist der Quotient aus der von einer Schallstörung zurückgelegten Strecke und der Zeit, die für ihr Eintreffen benötigt wird. Die ersten Bewertungen der Schallgeschwindigkeit in der Atmosphäre und im Wasser wurden aus der topographischen Berechnung von Entfernungen und der zeitlichen Verzögerung zwischen der vermeintlich augenblicklichen Lichtübertragung und der Schallübertragung gemacht. Phasengeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit ist der Quotient aus der Wellenlänge mal die Periode der Schwingung. Diese Definition impliziert, dass Schall nur eine Frequenz hat . Dieser Quotient ist äquivalent dem Produkt der Wellenlänge mal der Frequenz, die der Kehrwert der Periode ist, oder dem Quotienten der Pulsation (in Radiant pro Sekunde) durch die Norm des Wellenvektors (in Radiant pro Meter), der Verwendung von denen ist in bestimmten Berechnungen der Physik bequemer . Sie wird gemessen, indem die Frequenz einer stehenden Welle in einem Rohr bestimmt wird . In diesem Raum, dessen Länge die anderen Dimensionen dominiert, bestimmen die Phasengeschwindigkeit und die Länge die stehende Welle, die die Resonanz bildet . Diese bei der Berechnung einer Orgelpfeife implizite Messmethode ist die einzige praktikable, wenn das Medium in der Natur nicht in großen Mengen vorkommt.

Diese beiden Geschwindigkeiten unterscheiden sich nur in einem dispersiven Medium , dh in dem die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz abhängt . In Luft sind sie wie in jeder homogenen Flüssigkeit praktisch gleich, unabhängig von der Klangcharakteristik, ob kräftig oder schwach, tief oder hoch.

Messmethoden

Messung einer Laufzeit

Indem Schallimpulse von einem Sender gesendet und in einer bestimmten Entfernung erfasst werden, kann die Zeit gemessen werden, die der Impuls benötigt, um die Entfernung zwischen den beiden Geräten zurückzulegen. Dies läuft auf die Messung der Übertragungsgeschwindigkeit von Schallenergie hinaus, also der Gruppengeschwindigkeit .

Dieser einfache Vorgang stößt an seine Grenzen, sobald Sie eine genaue Messung vornehmen möchten. Die Messunsicherheit an jedem der beiden Terme des Quotienten hat Auswirkungen auf das Ergebnis.

Die historischen Experimente wurden in einer natürlichen Umgebung durchgeführt. In der Atmosphäre verursachen Temperatur- und Windgeschwindigkeitsunterschiede zwischen den Schichten der Atmosphäre eine Brechung der Schallwelle. Der Schall legt daher eine etwas größere Entfernung zurück als zwischen dem Startpunkt und dem Messpunkt. Ist dieser Abstand klein, ist das Medium mehr oder weniger homogen und die Abweichung vernachlässigbar; aber Sie müssen wissen, wie man kurze Zeiträume präzise misst.

Wird die Messung mit einem Wellenleiter durchgeführt , ist darauf zu achten, dass die Wand des Schallrohres nicht an der Ausbreitung teilnimmt, indem sie die Schwingung entweder schneller leitet als Luft oder mit ihr bremsend reagiert.

Die Messung in einem festen Medium, unter Druck oder bei hoher Temperatur ist bei dieser Methode schwierig.

Frequenz- und Wellenlängenmessung

Indem wir die Wellenlänge des Schalls messen und mit seiner Frequenz multiplizieren, erhalten wir seine Geschwindigkeit. Dies entspricht der Phasengeschwindigkeit . Mehrere Methoden ermöglichen dies.

Phasengeschwindigkeit und Orgelpfeife:

Bei einem Blasinstrument wie einer Pfeife hängt die erzeugte Note von der Länge der Pfeife ab. Die Note drückt die Tonhöhe der Grundfrequenz des Klangs aus. Diese Frequenz ist die einer stehenden Welle in einem Rohr , sie hängt von der Zeit ab, die die Störung braucht, um zum Ende des Rohres zu gelangen und zur Quelle zurückzukehren. Sie hängt daher von der Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Flüssigkeit ab, die die Leitung füllt. Die Geschwindigkeit ist homogen mit dem Verhältnis zwischen einer Länge und einer Zeit. Sie ergibt sich hier durch Multiplikation der Rohrlänge mit der Grundfrequenz.

Joseph Sauveur , der den Begriff „akustische“ geprägt, hielt diese Argumentation in den ersten Jahren der XVII - ten  Jahrhundert, aber der Mathematiker nicht nutzte seine Erklärungen zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit, Wellenlänge Konzepte und Phase sind schlecht etabliert; sie werden nicht an sein XIX th  mit der Arbeit des Jahrhunderts Joseph Fourier .

Bei einem Gerät ähnlich einer Kundt-Röhre wird an einem Ende eine Leitung verstopft und am anderen Ende mit einem Lautsprecher verbunden . Der Schalldruck dieses Lautsprechers wird von der eingesteckten Seite des Rohres reflektiert . Eine stehende Welle setzt sich in der Röhre ein, wenn diese Reflexion phasengleich mit der Schwingung des Lautsprechers am Lautsprecher ankommt . Daraus wird gefolgert, dass die Schallwelle eine Rundreise in einer Dauer zurückgelegt hat, die einem Vielfachen der Schwingungsdauer entspricht. Die Länge der Röhre beträgt daher ein Vielfaches der halben Wellenlänge. Die Anzahl der Wellenlängen in der Röhre kann festgestellt werden, indem man ein Mikrofon entlang seiner Länge bewegt, um die Bäuche entsprechend der maximalen Amplitude und die Knoten entsprechend der minimalen Amplitude zu erkennen. Durch Multiplikation der Wellenlänge mit der Frequenz erhalten wir die Geschwindigkeit.

Wenn das Rohr am anderen Ende offen ist, wird der vom Lautsprecher kommende Schalldruck, der keinen Widerstand mehr findet, an der Öffnung in Schallgeschwindigkeit umgewandelt. Eine reflektierte Welle geht wieder in Richtung der Quelle. Resonanz tritt auf, wenn die Länge der Röhre ein Vielfaches eines Viertels der Wellenlänge beträgt.

Diese Messung setzt voraus, dass wir wissen, wie man die Frequenz misst und dass die Wand des Rohres nicht merklich mit der Luft wechselwirkt.

Auch in Flüssigkeiten lassen sich stehende Wellen erzielen. Wellen wirken auf Licht wie ein optisches Netzwerk . So ist es dank einer optischen Baugruppe möglich, dort die Schallgeschwindigkeit zu messen.

In Feststoffen ist es unmöglich, ein Mikrofon zu verwenden; aber Sensoren an der Oberfläche ermöglichen eine Detektion, und wenn die Welle auf der Erregervorrichtung zur Phase zurückkehrt, ändert sie die mechanische Impedanz der Erregung, was es ermöglicht, die Resonanzfrequenz für eine Vorrichtung der betrachteten Länge zu bestimmen .

Methodenvergleich

Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Methoden ist das erhaltene Ergebnis: einerseits die Phasengeschwindigkeit und andererseits die Gruppengeschwindigkeit. Der Unterschied zwischen diesen beiden Größen ist jedoch nur sichtbar, wenn die Dispersion des Mediums wichtig ist, was selten der Fall ist.

Berechnung der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien

Hauptparameter

Eine Schallwelle ist eine mechanische Welle, die sich in einem materiellen Medium ausbreitet, das komprimiert und entspannt. In Abwesenheit eines materiellen Mediums gibt es daher im Vakuum keinen Schall . Bei der Ausbreitung eines Schalls in einem Medium bewegen sich die Teilchen dieses Mediums in der Regel nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, sondern schwingen um einen Ruhepunkt. In Festkörpern, wo Transversalwellen möglich sind, kann es sogar zu keiner Verschiebung der Partikel in Wellenausbreitungsrichtung kommen. Die Schallgeschwindigkeit darf nicht mit der Schallgeschwindigkeit verwechselt werden, dh der Materialteilchen, die das Ausbreitungsmedium bilden, in ihrer sehr kleinen Hin- und Herbewegung.

Die wichtigsten Einflussfaktoren auf den Wert der Schallgeschwindigkeit sind Temperatur , Dichte und Elastizitätskonstante (oder Kompressibilität) des Ausbreitungsmediums:

Die Schallausbreitung ist umso schneller, je geringer die Dichte des Mediums und seine Kompressibilität sind.

Von einem Medium zum anderen ändern sich die beiden Parameter. In Helium , dessen Kompressibilität ungefähr gleich der von Luft ist, dessen Dichte aber bei gleichen Temperatur- und Druckbedingungen viel geringer ist, ist die Schallgeschwindigkeit fast dreimal so groß wie in der Luft. In einem Gas mit Atmosphärendruck ist die Schallgeschwindigkeit viel geringer als in einer Flüssigkeit  : Obwohl die Dichte des Gases viel geringer ist, ist das Gas fast unendlich komprimierbarer als die Flüssigkeit (die oft als inkompressibel angesehen wird). Schall breitet sich beispielsweise in reinem Wasser bei 20  °C mit genau 1.482.343  m/s ( 5.336,435  km/h ) aus , in Luft bei 15  °C mit ca. 340 m/s ( 1224 km/h ) und ca. 1.500 m/s ( 5.400 .). km/h ) im Meerwasser .     

Diese Eigenschaft wird insbesondere genutzt, um die Qualität eines Betons zu bestimmen , denn eine schnellere Ausbreitung bedeutet, dass der Beton wenig Luftblasen enthält (die Schallgeschwindigkeit in Beton ist viel höher als in Luft). Geschwindigkeit im Meerwasser spielt insbesondere bei Systemen zur Ortung von Fischschwärmen und U-Booten eine Rolle .

Die Luftfeuchtigkeit hat einen geringen Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit in der Luft.

Maximale theoretische Geschwindigkeit

Im Jahr 2020 stellt ein internationales Physikerteam fest, dass die theoretische maximale Schallgeschwindigkeit bei etwa 36  km/s liegen würde . Diese Grenze wird aus physikalischen Konstanten berechnet .

In einer Flüssigkeit

In jeder Flüssigkeit

Ohne Scherwelle breitet sich die Schallgeschwindigkeit nur durch Kompression aus. Wenn der Schall nicht zu laut ist ( ), kann die Kompression und Ausdehnung des Fluids als isentrop angesehen werden und die Schallgeschwindigkeit beträgt: ΔPKlang«PUmgebungs{\ displaystyle \ Delta P _ {\ text {sound}} \ ll P _ {\ text {ambient}}}

vsFlüssigkeit=(∂P∂ρ)S{\ displaystyle c _ {\ text {fluid}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partielle P} {\ partielle \ rho}} \ right) _ {S}}}}

Die Quadratwurzel der partiellen Ableitung des Drucks mal der Dichte bei konstanter Entropie . P{\ Anzeigestil P} ρ{\ displaystyle \ rho} S{\ Anzeigestil S}

Die Geschwindigkeit des Schalls in einer Flüssigkeit kann auch als eine Funktion der ausgedrückt wird isentropen Kompressibilität Koeffizienten gemäß: χS=-1V(∂V∂P)S{\ displaystyle \ chi _ {S} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {S}}

vsFlüssigkeit=1χSρ{\ displaystyle c _ {\ text {fluid}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ chi _ {S} \, \ rho}}}} Demonstration

Entweder eine nicht viskose Flüssigkeit , zunächst in Ruhe. Die Eigenschaften des Mediums an einem Punkt in einem Abstand von der Quelle der Störung kann als die Summe einer zeitlichen Mittelwert (uniform) und einer instationären Komponente (niedriger Amplitude) geschrieben werden. So : M{\ displaystyle \ mathrm {M}}r{\ Anzeigestil r}

• Dichtemessungen  ;ρ(M,t)=ρ0+ρ'(r,t){\ displaystyle \ rho \! \ left (\ mathrm {M}, t \ right) = \ rho _ {0} + \ rho '\! \ left (r, t \ right)}
• Druck  :;P(M,t)=P0+P'(r,t){\displaystyle P\!\left (\mathrm{M},t\right) = P_{0} + P'\!\left (r,t\right)}
• Geschwindigkeit: nur radiale Komponente, mit Nullzeitmittel, notiert .du(r,t){\ displaystyle u \! \ left (r, t \ right)}

Die Navier-Stokes-Gleichungen beziehen sich auf die Variationen von , und , während eine Zustandsgleichung benötigt wird, um sich auf den Druck zu beziehen . ρ{\ displaystyle \ rho}P{\ Anzeigestil P}du{\ Anzeigestil u}ρ{\ displaystyle \ rho}P{\ Anzeigestil P}

Massenbilanz ( Kontinuitätsgleichung ) ∂ρ∂t+div(ρ⋅v→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partielle \ rho} {\ partielle t}} + {\ text {div}} \ left (\ rho \ cdot {\ vec {v}} \ right) = 0}Ist: ∂ρ∂t+ρ⋅div(v→)+v→⋅grad→ρ=0{\ displaystyle {\ frac {\ partielle \ rho} {\ partielle t}} + \ rho \ cdot {\ text {div}} \ left ({\ vec {v}} \ right) + {\ vec {v} } \ cdot {\ vec {\ text {grad}}} \ rho = 0} Durch Vernachlässigung des konvektiven Termes seit , durch Angleichung an seinen zeitlichen Mittelwert und durch Entwicklung des Ganzen in Kugelkoordinaten ergibt sich:v→⋅grad→ρ{\ displaystyle {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ text {grad}}} \ rho}v→≈0→{\ displaystyle {\ vec {v}} \ ungefähr {\ vec {0}}}ρ{\ displaystyle \ rho}ρ0{\ displaystyle \ rho _ {0}}( E1 )∂ρ'∂t=-ρ0r2∂(r2du)∂r{\ displaystyle {\ frac {\ partielle \ rho '} {\ partielle t}} = - {\ frac {\ rho _ {0}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partielle \ left (r ^ {2} u \ rechts)} {\ partielle r}}} Impulsbilanz ( Eulersche Gleichung ohne Berücksichtigung der Viskosität) ρDv→Dt=-grad→P{\ displaystyle \ rho {\ frac {{\ text {D}} {\ vec {v}}} {{\ text {D}} t}} = - {\ vec {\ text {grad}}} P}Auf die radiale Achse projiziert, lautet diese Gleichung: ρ(∂du∂t+du⋅∂du∂r)=-∂P∂r{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partielle u} {\ partielle t}} + u \ cdot {\ frac {\ partielle u} {\ partielle r}} \ right) = - {\ frac {\ partielles P} {\ partielles r}}} Durch Vernachlässigung des Begriffs seit und Angleichung an seinen zeitlichen Durchschnitt ergibt sich:du⋅∂du∂r{\ displaystyle u \ cdot {\ frac {\ partielle u} {\ partielle r}}}du≈0{\ Displaystil u \ ungefähr 0}ρ{\ displaystyle \ rho}ρ0{\ displaystyle \ rho _ {0}} ( E2 )∂P'∂r≈-ρ0∂du∂t{\ displaystyle {\ frac {\ partielle P '} {\ partielle r}} \ approx - \ rho _ {0} {\ frac {\ partielle u} {\ partielle t}}} StaatsgleichungDie Dichte hängt mit dem Druck durch die Zustandsgleichung des Fluids zusammen , deren Ableitung erster Ordnung durch den isentropen Kompressibilitätskoeffizienten ausgedrückt wird . Wir können daher schreiben:P=f(ρ){\ displaystyle P = f \! \ left (\ rho \ right)}χS=1ρ(∂ρ∂P)S{\ displaystyle \ chi _ {S} = {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partielle \ rho} {\ partielle P}} \ right) _ {S}}( E3 )ρ'≈ρ0χSP'{\ displaystyle \ rho '\ approx \ rho _ {0} \ chi _ {S} P'} DruckfeldausdruckDurch Eliminieren aus Gleichung ( E1 ) unter Verwendung von Gleichung ( E3 ) erhalten wir:ρ'{\displaystyle\rho'}∂P'∂t=-1χS(∂du∂r+2dur){\ displaystyle {\ frac {\ partielle P '} {\ partielle t}} = - {\ frac {1} {\ chi _ {S}}} \ left ({\ frac {\ partielle u} {\ partielle r }} + {\ frac {2u} {r}} \ rechts)} ∂P'∂r=-ρ0∂du∂t{\ displaystyle {\ frac {\ partielle P '} {\ partielle r}} = - \ rho _ {0} {\ frac {\ partielle u} {\ partielle t}}} Die Herleitung der ersten Gleichung nach der Zeit und der zweiten nach der Zeit ergibt:r{\ Anzeigestil r}∂2P'∂t2=-1χS(∂2du∂t∂r+2r∂du∂t){\ displaystyle {\ frac {\ partielle ^ {2} P '} {\ partielle t ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ chi _ {S}}} \ left ({\ frac { \ partielle ^ {2} u} {\ partielle t \ partielle r}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partielle u} {\ partielle t}} \ right)} ∂2P'∂r2=-ρ0∂2du∂r∂t{\ displaystyle {\ frac {\ partielle ^ {2} P '} {\ partielle r ^ {2}}} = - \ rho _ {0} {\ frac {\ partielle ^ {2} u} {\ partielle r \ partielles t}}} Indem wir und eliminieren , erhalten wir:∂2du∂t∂r{\ displaystyle {\ frac {\ partielle ^ {2} u} {\ partielle t \ partielle r}}}∂du∂t{\ displaystyle {\ frac {\ partielle u} {\ partielle t}}}∂2P'∂r2+2r∂P'∂r=ρ0χS∂2P'∂t2{\ displaystyle {\ frac {\ partielle ^ {2} P '} {\ partielle r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partielle P'} {\ partielle r }} = \ rho _ {0} \ chi _ {S} {\ frac {\ partielle ^ {2} P '} {\ partielle t ^ {2}}}}Ist:ΔP'=ρ0χS∂2P'∂t2{\ displaystyle \ Delta P '= \ rho _ {0} \ chi _ {S} {\ frac {\ partiell ^ {2} P'} {\ partiell t ^ {2}}}} wobei das Symbol den Laplace-Operator bezeichnet . Dies ist die Ausbreitungsgleichung einer sphärischen Geschwindigkeitswelle:Δ{\ Anzeigestil \ Delta} Geschwindigkeit: vs=1ρ0χS{\ displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho _ {0} \ chi _ {S}}}}}} Die allgemeine Lösung des Druckfeldes hat die Form: Druckfeld: P=P0+1r[f1(t-rvs)+f2(t+rvs)]{\ displaystyle P = P_ {0} + {\ frac {1} {r}} \ left [f_ {1} \! \ left (t - {\ frac {r} {c}} \ right) + f_ { 2} \!\ Links (t + {\ frac {r} {c}} \ rechts) \ rechts]} Newtons Formel

In seiner Abhandlung über die Mechanik des Himmels erinnert Laplace an seine 1816 in den Annales de Physique et de Chimie veröffentlichte Formel  :

„Die Schallgeschwindigkeit ist gleich dem Produkt der durch die Newtonsche Formel gegebenen Geschwindigkeit durch die Quadratwurzel des Verhältnisses der spezifischen Wärme der Luft bei konstantem Druck zu ihrer spezifischen Wärme bei konstantem Volumen. "

Die Schallgeschwindigkeit beinhaltet die Dichte und die isentrope Kompressibilität des Mediums nach der isentropischen Hypothese von Laplace: ρ{\ displaystyle \ rho}χS{\ displaystyle \ chi _ {S}}

vsDer Ort=1χSρ{\ displaystyle c _ {\ text {Laplace}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ chi _ {S} \, \ rho}}}}

Newton hatte seinem Modell eine isotherme Schallannahme zugrunde gelegt, was ihn zu einer Formel äquivalent zu:

vsNewton=1χTρ{\ displaystyle c _ {\ text {Newton}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ chi _ {T} \, \ rho}}}}

Die isentrope und isotherme Kompressibilität werden durch die Reech-Beziehung zum Laplace-Koeffizienten in Beziehung gesetzt  : χS=-1V(∂V∂P)S{\ displaystyle \ chi _ {S} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {S}}χT=-1V(∂V∂P)T{\ displaystyle \ chi _ {T} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {T}} γ{\ displaystyle \ gamma}

γ=vsPvsV=χTχS{\ displaystyle \ gamma = {c_ {P} \ over c_ {V}} = {\ frac {\ chi _ {T}} {\ chi _ {S}}}}

mit:

• vsP{\ displaystyle c_ {P}}Die isobare Wärmekapazität Masse (früher spezifische Wärme bei konstantem Druck );
• vsV{\ displaystyle c_ {V}}die isochore Wärmekapazität Masse (früher spezifische Wärme bei konstantem Volumen ).

Somit sind die Ausdrücke der Schallgeschwindigkeiten nach Laplace und Newton verbunden durch:

vsDer Ort=1χSρ=χTχS1χTρ=γvsNewton{\ displaystyle c _ {\ text {Laplace}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ chi _ {S} \, \ rho}}} = {\ sqrt {\ frac {\ chi _ {T}} } {\ chi _ {S}}}} {\ sqrt {\ frac {1} {\ chi _ {T} \, \ rho}}} = {\ sqrt {\ gamma}} \, c _ {\ text {Newton }}}vsDer Ort=vsPvsVvsNewton{\ displaystyle c _ {\ text {Laplace}} = {\ sqrt {\ frac {c_ {P}} {c_ {V}}}} \, c _ {\ text {Newton}}}

Für Luft, zweiatomiges Gas, daher: γ≈1,4{\ displaystyle \ gamma \ approx 1 {,} 4}

vsDer Ort≈1.183⋅vsNewton{\ displaystyle c _ {\ text {Laplace}} \ ca. 1 {,} 183 \ cdot c _ {\ text {Newton}}} vsNewton≈0,845⋅vsDer Ort{\ displaystyle c _ {\ text {Newton}} \ approx 0 {,} 845 \ cdot c _ {\ text {Laplace}}}

Da die Laplace-Formel die korrekte Schallgeschwindigkeit in Luft angibt, liefert die Newton-Formel einen Wert, der etwa 16% unter der Realität liegt.

In einem idealen Gas Allgemeine Formeln

Die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas ist eine Funktion des Laplace-Koeffizienten (Gamma), der Dichte und des Drucks des Gases und wird theoretisch wie folgt berechnet: γ{\ displaystyle \ gamma} ρ{\ displaystyle \ rho}P{\ Anzeigestil P}

( ich )vsperfektes Gas=γ⋅Pρ{\ displaystyle c _ {\ text {ideales Gas}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ cdot P} {\ rho}}}}

mit:

• γ=VSPVSV{\ displaystyle \ gamma = {C_ {P} \ über C_ {V}}}, Laplace-Koeffizient  ;
• VSP{\ Anzeigestil C_ {P}}und die jeweils isobar und isochor Wärmekapazitäten .VSV{\ Anzeigestil C_ {V}}

Die Schallgeschwindigkeit kann auch aus der spezifischen Konstante des idealen Gases (mit der Molmasse und der universellen Konstante idealer Gase ) und der thermodynamischen Temperatur in Kelvin (K) berechnet werden : Rso=RM{\ displaystyle R_ {s} = {R \ über M}}M{\ Anzeigestil M}R{\ Anzeigestil R}T{\ Anzeigestil T}

( II )vsperfektes Gas=γ⋅Rso⋅T{\ displaystyle c _ {\ text {ideales Gas}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R_ {s} \ cdot T}}} Demonstration

Die Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit wird wie folgt ausgedrückt:

vs=1χSρ{\ displaystyle c = {\ sqrt {1 \ over \ chi _ {S} \, \ rho}}}

Der isentrope Kompressibilitätskoeffizient ist definiert durch:

χS=-1V(∂V∂P)S{\ displaystyle \ chi _ {S} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {S}}.

Er steht in Beziehung zum Laplace-Koeffizienten durch die Reech-Beziehung  : γ{\ displaystyle \ gamma}

γ=χTχS{\ displaystyle \ gamma = {\ chi _ {T} \ über \ chi _ {S}}}

mit dem für ein ideales Gas gültigen isothermen Kompressibilitätskoeffizienten , da nach dem idealen Gasgesetz . χT=-1V(∂V∂P)T{\ displaystyle \ chi _ {T} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {T}}χT=1P{\ displaystyle \ chi _ {T} = {1 \ über P}} V=nichtRTP{\ displaystyle V = {nRT \ over P}}

Die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas ist daher:

vs=1ρχS=γρχT=γ⋅Pρ{\ displaystyle c = {\ sqrt {1 \ über \ rho \, \ chi _ {S}}} = {\ sqrt {\ gamma \ über \ rho \, \ chi _ {T}}} = {\ sqrt { \gamma\cdot P\over\rho}}}

nicht{\ displaystyle n} Mole mit perfekter Gasmolmasse haben eine Masse und nehmen unter Druck und Temperatur ein Volumen ein . Die Dichte ist dann wert . Mit der Gaskonstante definieren wir die spezifische Konstante der untersuchten perfekten Gase: . Wir schreiben entsprechend um: M{\ Anzeigestil M}ich=nichtM{\ Anzeigestil m = nM}V=nichtRTP{\ displaystyle V = {nRT \ over P}}P{\ Anzeigestil P}T{\ Anzeigestil T}ρ=ichV=MnichtV=MPRT{\ displaystyle \ rho = {m \ over V} = M {n \ over V} = M {P \ over RT}}R{\ Anzeigestil R}Rso=RM{\ displaystyle R_ {s} = {R \ über M}}

vs=γRsoT{\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma \, R _ {\ mathrm {s}} \, T}}}

Formel ( I ) zeigt, dass die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Dichte ist; Formel ( II ) zeigt auch, dass sie unabhängig vom Gasdruck und von der Frequenz ist, aber proportional zur Quadratwurzel der Temperatur. Die Unabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Gasdruck wird jedoch nur für Drücke nahe dem normalen Atmosphärendruck nachgewiesen (Anwendungsbedingung des idealen Gasgesetzes ). vs{\ Anzeigestil c}

Die Konstante ist eine temperaturunabhängige Größe. Der adiabatische Koeffizient hängt wenig von der Temperatur ab . Die Werte des Verhältnisses sind ungefähr gleich: Rso{\ displaystyle R _ {\ mathrm {s}}}γ{\ displaystyle \ gamma}T{\ Anzeigestil T}γ{\ displaystyle \ gamma}

• γ{\ displaystyle \ gamma}= 5/3 = 1,67 für ideale monoatomare Gase  ;
• γ{\ displaystyle \ gamma}= 7/5 = 1,40 für ideale zweiatomige Gase  ;
• γ{\ displaystyle \ gamma} = 1,33 für mehratomige ideale Gase.

Ungefähre Formeln für Luft

Für Luft, die hauptsächlich aus Sauerstoff und Stickstoff besteht , zweiatomige Gase:

• Rso,beimichr{\ displaystyle R _ {\ mathrm {s, air}}}= 287  Jkg –1  K –1  ;
• γbeimichr{\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {air}}} = 1,4.

Mit Gleichung ( II ) erhalten wir die theoretische Schallgeschwindigkeit in trockener Luft angeglichen an ein ideales Gas in m / s als Funktion der Temperatur in Kelvin:

Für trockene Luft  : nach den Autoren vsbeimichr=20,05T{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 20 {,} 05 \, {\ sqrt {T}}} vsbeimichr=20,06T{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 20 {,} 06 \, {\ sqrt {T}}} vsbeimichr=20T{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 20 \, {\ sqrt {T}}}

Die Geschwindigkeit wird in m/s ausgedrückt , die Temperatur in Kelvin (K). vsbeimichr{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}}}T{\ Anzeigestil T}

Die Unterschiede zwischen den Autoren ergeben sich hauptsächlich aus der Berücksichtigung von Nebenbestandteilen der Luft, hauptsächlich Argon und Kohlendioxid , und aus den Unsicherheiten, die die Berechnung der Konstanten beeinflussen. Da Luft kein ideales Gas ist, geben diese Formeln nur ein ungefähres Ergebnis. Verfeinerte Berechnungen berücksichtigen die Wechselwirkungen zwischen Molekülen ( virial ) und liefern Korrekturmaßnahmen. Daher wirken sich Druck und Frequenz auf die letzten Nachkommastellen aus.

In der Nähe der Umgebungstemperatur kann die Schallgeschwindigkeit in Luft durch folgende Linearisierung angenähert werden:

vsbeimichr=331,5+0,607⋅θ{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 331 {,} 5 + 0 {,} 607 \ cdot \ theta}(in m/s )

wobei ( theta ) die Temperatur in Grad Celsius (° C) ist  : . Wir können diese Formel vereinfachen: . θ{\ displaystyle \ theta}θ=T-273,fünfzehn{\ displaystyle \ theta = T-273 {,} 15}vsbeimichr=331+0,6⋅θ{\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 331 + 0 {,} 6 \ cdot \ theta}

Die Schallgeschwindigkeit in Luft nimmt mit der Luftfeuchtigkeit leicht zu , die Differenz beträgt bis zu etwas mehr als einen Meter pro Sekunde. Luft ist ein schlecht dispergierendes Medium , besonders wenn es feucht ist. Die Geschwindigkeit nimmt mit der Frequenz wenig zu , die Abweichung überschreitet im hörbaren Spektrum kaum 0,1  m / s , kann aber für hochfrequenten Ultraschall empfindlich sein.

Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit und Teilchengeschwindigkeit

Die quadratische Mittelgeschwindigkeit der Teilchen eines idealen Gases korreliert mit der Temperatur gemäß: v^{\ displaystyle {\ Hut {vb}}}

v^=3kBTich{\ displaystyle {\ hat {v}} = {\ sqrt {3k _ {\ mathrm {B}} T \ über m}}}

Die Dichte eines idealen Gases ist: ρ{\ displaystyle \ rho}

ρ=PMRT=PichkBT{\ displaystyle \ rho = {PM \ over RT} = {Pm \ over k _ {\ mathrm {B}} T}}

mit:

• P{\ Anzeigestil P} Druck;
• ich{\ Anzeigestil m} die Masse eines Teilchens;
• M{\ Anzeigestil M}die Molmasse des Gases  :;M=ich⋅NICHTBEIM{\ displaystyle M = m \ cdot N _ {\ mathrm {A}}}
• NICHTBEIM{\ displaystyle N _ {\ mathrm {A}}}die Zahl von Avogadro  ;
• kB{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}die Boltzmann-Konstante  ;
• R{\ Anzeigestil R}die universelle ideale Gaskonstante  : .R=kB⋅NICHTBEIM{\ displaystyle R = k _ {\ mathrm {B}} \ cdot N _ {\ mathrm {A}}}

Durch Ersetzen in Gleichung ( I ) erhalten wir daher: ρ{\ displaystyle \ rho}

vs=γkBTich{\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma {k _ {\ mathrm {B}} T \ über m}}}}

Ersetzen Sie dann die Temperatur durch die Formel für die quadratische Mittelwertgeschwindigkeit:

vs=γ3v^{\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma \ over 3}} \, {\ hat {v}}}

Diese Beziehung zeigt, dass im idealen Gasbereich (d. h. bei moderaten Drücken) die Schallgeschwindigkeit direkt proportional zur Geschwindigkeit der Teilchen ist.

Im Fall eines zweiatomigen idealen Gases wie Luft gilt daher: γ=7/5{\ displaystyle \ gamma = 7/5}

vsGPD≈0,683v^{\ displaystyle c _ {\ text {GPD}} \ ca. 0,683 \, {\ hat {v}}}In einem Van-der-Waals-Gas

Die Schallgeschwindigkeit in einem Van-der-Waals-Gas ist eine Funktion von zwei unabhängigen thermodynamischen Variablen, klassischerweise der Temperatur und dem molaren Volumen  : T{\ Anzeigestil T} V¯{\ displaystyle {\ bar {V}}}

vs=γM(RTV¯2(V¯-b)2-2beimV¯){\ displaystyle c = {\ sqrt {{\ gamma \ over M} \ left ({\ frac {RT {\ bar {V}} ^ {2}} {\ left ({\ bar {V}} - b \ rechts) ^ {2}}} - {2a \ über {\ bar {V}}} \ rechts)}}}

mit:

• γ{\ displaystyle \ gamma}der adiabatische Koeffizient , abhängig von der betrachteten Flüssigkeit;
• M{\ Anzeigestil M}die Molmasse , abhängig von der betrachteten Flüssigkeit;
• beim{\ Anzeigestil a}und , zwei Parameter, die für die van-der-Waals-Zustandsgleichung spezifisch sind, abhängig von dem betrachteten Fluid;b{\ Anzeigestil b}
• R{\ Anzeigestil R}die universelle Konstante idealer Gase .

Demonstration

Die Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit wird wie folgt ausgedrückt:

vs=1χSρ{\ displaystyle c = {\ sqrt {1 \ over \ chi _ {S} \, \ rho}}}

Der isentropische Kompressibilitätskoeffizient ist definiert durch: . Er ist mit dem Koeffizienten Laplace durch die Beziehung Reech  : mit dem Koeffizienten der isothermen Kompressibilität verbunden . Wir schreiben daher um: χS=-1V(∂V∂P)S{\ displaystyle \ chi _ {S} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {S}}γ{\ displaystyle \ gamma}γ=χTχS{\ displaystyle \ gamma = {\ chi _ {T} \ über \ chi _ {S}}}χT=-1V(∂V∂P)T{\ displaystyle \ chi _ {T} = - {1 \ über V} \ left ({\ partielles V \ über \ partielles P} \ right) _ {T}}

vs=γχTρ{\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma \ over \ chi _ {T} \, \ rho}}}

Die van-der-Waals-Zustandsgleichung lautet :

P=nichtRTV-nichtb-beimnicht2V2{\ displaystyle P = {nRT \ über V-nb} - {an ^ {2} \ über V ^ {2}}}

mit:

• beim{\ Anzeigestil a} der Kohäsionsterm (konstant);
• b{\ Anzeigestil b} das molare Kovolumen (konstant);
• nicht{\ displaystyle n}die Materialmenge (Anzahl der Mole );
• P{\ Anzeigestil P}der Druck  ;
• R{\ Anzeigestil R}die universelle Konstante idealer Gase  ;
• T{\ Anzeigestil T}die absolute Temperatur  ;
• V{\ Displaystil V}die Lautstärke .

nicht{\ displaystyle n}Mole Gas mit molarer Masse haben Masse und nehmen Volumen unter Druck und Temperatur ein . Die Dichte ist dann gleich dem Molvolumen . Der isotherme Kompressibilitätskoeffizient gilt dann für ein Van-der-Waals-Gas: M{\ Anzeigestil M} ich=nichtM{\ Anzeigestil m = nM}V{\ Displaystil V}P{\ Anzeigestil P}T{\ Anzeigestil T}ρ=ichV=MnichtV{\ displaystyle \ rho = {m \ über V} = M {n \ über V}} V¯=Vnicht{\ displaystyle {\ bar {V}} = {V \ über n}}

χT(T,V¯)=(V¯-b)2RTV¯(1-2beim(V¯-b)2RTV¯3){\ displaystyle \ chi _ {T} \! \ left (T, {\ bar {V}} \ right) = {\ left ({\ bar {V}} - b \ right) ^ {2} \ over RT {\ bar {V}} \ left (1- {2a \ left ({\ bar {V}} - b \ right) ^ {2} \ over RT {\ bar {V}} ^ {3}} \ right )}}

Wir schreiben entsprechend um:

vs=γMV¯χT=γM(RTV¯2(1-2beim(V¯-b)2RTV¯3)(V¯-b)2){\ displaystyle c = {\ sqrt {{\ gamma \ über M} {{\ bar {V}} \ über \ chi _ {T}}}}} = {\ sqrt {{\ gamma \ über M} \ left ( {RT {\ bar {V}} ^ {2} \ left (1- {2a \ left ({\ bar {V}} - b \ right) ^ {2} \ over RT {\ bar {V}} ^ {3}} \ rechts) \ über \ links ({\ bar {V}} - b \ rechts) ^ {2}} \ rechts)}}}

Durch Umordnen finden wir:

vs=γM(RTV¯2(V¯-b)2-2beimV¯){\ displaystyle c = {\ sqrt {{\ gamma \ over M} \ left ({\ frac {RT {\ bar {V}} ^ {2}} {\ left ({\ bar {V}} - b \ rechts) ^ {2}}} - {2a \ über {\ bar {V}}} \ rechts)}}}

Wenn wir definieren:

• beim'=beimM2{\ displaystyle a '= {a \ over M ^ {2}}}und  ;b'=bM{\ displaystyle b '= {b \ über M}}
• Rso=RM{\ displaystyle R_ {s} = {R \ über M}}, die spezifische Konstante des Gases;
• ρ=MV¯{\ displaystyle \ rho = {M \ over {\ bar {V}}}}, Dichte ,

wenn wir auf der anderen Seite der Ansicht , dass , Mayers Beziehung für ideale Gase ( die für einen van der Waals - Gas nicht streng ist ), mit: vsP-vsV≈Rso{\ displaystyle c_ {P} -c_ {V} \ approx R_ {s}}

• vsP{\ displaystyle c_ {P}}und spezifische Wärmekapazitäten (oder Masse)  ;vsV{\ displaystyle c_ {V}}
• γ=VSPVSV=vsPvsV≈RsovsV+1{\ displaystyle \ gamma = {C_ {P} \ over C_ {V}} = {c_ {P} \ over c_ {V}} \ approx {R_ {s} \ over c_ {V}} + 1},

dann haben wir ungefähr:

vs≈(RsovsV+1)(RsoT(1-ρb')2-2beim'ρ){\ displaystyle c \ approx {\ sqrt {\ left ({R_ {s} \ over c_ {V}} + 1 \ right) \ left ({R_ {s} T \ over \ left (1- \ rho b ' \ rechts) ^ {2}} - 2a '\rho \ rechts)}}} Zweiphasenflüssigkeiten

Bei einem zweiphasigen Fluid (zB Luftblasen in flüssigem Wasser) wird die Schallgeschwindigkeit stark verändert. Die Berechnung der Schallgeschwindigkeit ist dann recht komplex und hängt insbesondere von den Beziehungen ab, die die beiden Fluide vereinen (z. B. bei einer Flüssigkeit mit Dampfblasen müssen die Phasenänderungen berücksichtigt werden).

Dennoch kann ein allgemeines Ergebnis angegeben werden. Die Schallgeschwindigkeit in diesem Gemisch ist viel geringer als die kleinere der beiden Geschwindigkeiten in den einzelnen Medien. Beispielsweise beträgt die Schallgeschwindigkeit für ein Wasser/Dampf-Gemisch bei einer Präsenzrate von 0,5 etwa 30  m/s . Dies erklärt sich aus der durchschnittlichen Dichte der Mischung, die zwischen der von Wasser und der von Dampf liegt, und der Kompressibilität (oder der Konstanten der durchschnittlichen Elastizität), die ebenfalls zwischen der von Wasser und Dampf liegt. Durch das Einbringen der Dampfblasen in das Wasser haben wir sowohl die durchschnittliche Dichte des Mediums verringert (diese Modifikation allein erhöht tendenziell die Schallgeschwindigkeit) als auch seine Kompressibilität (diese Modifikation allein verringert die Schallgeschwindigkeit). Aber die Elastizitätskonstante wurde viel mehr erhöht als die Dichte verringert wurde. Aus diesem Grund wurde in dieser Mischung eine geringere Schallgeschwindigkeit erreicht als in reinem Wasser.

In einem festen

In einem Festkörper hängt die Geschwindigkeit mechanischer Wellen von Dichte- und Elastizitätskonstanten ab. Sowohl Longitudinal- als auch Transversalwellen können sich ausbreiten ( P- und S- Wellen in der Seismologie ), deren Geschwindigkeiten gegeben sind durch: ρ{\ displaystyle \ rho}

vsl=E(1-ν)ρ(1+ν)(1-2ν){\ displaystyle c _ {\ mathrm {l}} = {\ sqrt {\ frac {E \ left (1- \ nu \ right)} {\ rho \ left (1+ \ nu \ right) \ left (1- 2 \ nu \ rechts)}}}} vst=E2ρ(1+ν){\ displaystyle c _ {\ mathrm {t}} = {\ sqrt {\ frac {E} {2 \ rho \ left (1+ \ nu \ right)}}}}

oder :

• vsl{\ displaystyle c _ {\ mathrm {l}}} bezeichnet die Längsgeschwindigkeit;
• vst{\ displaystyle c _ {\ mathrm {t}}} bezeichnet die Quergeschwindigkeit;
• E{\ Anzeigestil E}bezeichnet den Young-Modul  ;
• ν{\ displaystyle \ nu}ist die Poisson - Zahl des Materials.

Beispiele

In der Luft

Je nach Temperatur

Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einiger Eigenschaften von trockener Luft unter Atmosphärendruck als Funktion der Temperatur mit:

• θ{\ displaystyle \ theta} Temperatur ;
• vs{\ Anzeigestil c} die Schallgeschwindigkeit;
• ρ{\ displaystyle \ rho} die Dichte;
• Z{\ Anzeigestil Z}die akustische Impedanz .

In Kursivschrift sind die berechneten Geschwindigkeiten nach der Formel aufgetragen:

vs=331,5+0,607⋅θ{\ displaystyle c = 331,5 + 0,607 \ cdot \ theta}Einfluss der Temperatur auf die Luft

θ{\ displaystyle \ theta} in °C	vs{\ Anzeigestil c}in m / s	ρ{\ displaystyle \ rho}in kg / m 3	Z{\ Anzeigestil Z}in N s / m 3
-10	325,4 325,4	1.341	436,5
-5	328,4 328,5	1.316	432,4
0	331,5 331,5	1.293	428.3
+5	334,5 334,5	1.269	424,5
+10	337,5 337,6	1.247	420.7
+15	340,5 340,6	1.225	417,0
+20	343,4 343,6	1.204	413,5
+25	346,3 346,7	1.184	410,0
+30	349,2 349,7	1.164	406.6

Abhängig von der Höhe

Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einiger Lufteigenschaften in Abhängigkeit von der Höhe in einer ISA-Atmosphäre mit:

• θ{\ displaystyle \ theta} Temperatur ;
• P{\ Anzeigestil P} Druck;
• vs{\ Anzeigestil c} die Schallgeschwindigkeit;
• ρ{\ displaystyle \ rho} die Dichte.

Einfluss der Höhe auf die Luft

Höhe in m	θ{\ displaystyle \ theta} in °C	P{\ Anzeigestil P} in kPa	vs{\ Anzeigestil c}in m / s	ρ{\ displaystyle \ rho}in kg / m 3
0	15.00	101,33	340.3	1.225
200	13.70	98,95	339,5	1.202
400	12.40	96,61	338.8	1.179
600	11.10	94,32	338.0	1.156
800	9,80	92.08	337.2	1.134
1000	8.50	89.88	336.4	1.112
2.000	2.00	79.50	332,5	1.007
3000	−4,49	70.12	328.6	0,909
4000	-10,98	61,66	324,6	0,819
6000	−24,0	47,22	316,5	0,660
8.000	−36,9	35,65	308.1	0,526
10.000	−49,9	26.50	299,5	0,414
12.000	-62,9	19.40	295.1	0,312

Für verschiedene Materialien

Die folgende Tabelle enthält Beispiele für einige Materialien unter den Standardbedingungen für Temperatur und Druck .

Beispiele

Material	vs{\ Anzeigestil c}in m / s
Luft	340
Wasser	1.480
Eiscreme	3.200
Glas	5.300
Diamant	18.000
Stahl	5.600 bis 5.900
Führen	1.200
Titan	4.950
PVC (flexibel, plastifiziert)	2.000
PVC (hart)	2.400
Beton	3.100
Buche	3.300
Granit	6.200
Peridotitis	7.700
Trockener Sand	10 bis 300

Hinweise und Referenzen

Anmerkungen

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Literaturverzeichnis

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• (de) Allan J. Zuckerwar , Handbuch der Schallgeschwindigkeit in realen Gasen: Schallgeschwindigkeit in Luft , vol.  3, Elzevier,2002, 289  S. ( Online-Präsentation ).

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

• Seine Physik)
• Machzahl
• Klangwand
• Überschall

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