Mittlere quadratische Geschwindigkeit

Die Wurzel mittlere quadratische Geschwindigkeit ist die Quadratwurzel der mittleren quadratischen Geschwindigkeit :

{\ displaystyle {\ hat {v}} = {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}}.}

Es ist ein Beispiel für den mathematischen Begriff des quadratischen Mittelwerts , der auf die kinetische Theorie der Gase angewendet wird . Nach dieser Theorie folgt die Geschwindigkeit der Moleküle eines idealen Gases dem Maxwellschen Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung , dessen Wahrscheinlichkeitsdichte ist:

{\ displaystyle f (v) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {3/2} 4 \ pi \, v ^ { 2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}}}

wobei m die Masse eines Moleküls bezeichnet, k B die Boltzmann-Konstante und T die (absolute) Temperatur . So :

{\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {2} f (v) \, \ mathrm {d} v = {\ frac {3k _ {\ mathrm {B}} T} {m}}}

deshalb

{\ displaystyle {\ hat {v}} = {\ sqrt {\ frac {3k _ {\ mathrm {B}} T} {m}}}.}