Dimension eines Vektorraums

In der linearen Algebra , die Dimension der Hamel oder einfach Dimension ist invariant mit jedem zugehörigen Vektorraum E auf einem Körper K . Die Dimension von E ist der Kardinal , der allen seinen Basen gemeinsam ist . Diese Zahl wird als dim K ( E ) (lesen Sie "Dimension von E über K ") oder dim ( E ) (wenn das Feld K der Skalare nicht verwechselt wird ) bezeichnet. Falls E einen Teil gibt zu erzeugenden endlich, so ist seine Abmessung auf , und es ist die Anzahl der Vektoren , die eine Basis bilden , E .

Diese Definition basiert einerseits auf der Existenz von Basen, einer Folge des unvollständigen Basissatzes , und andererseits auf dem Dimensionssatz für Vektorräume , der sicherstellt, dass zwei Basen desselben Raums denselben Kardinal haben. Diese Dimension wird manchmal nach dem deutschen Mathematiker Georg Hamel benannt . Bis zum Isomorphismus werden K- Vektorräume nach ihren Dimensionen klassifiziert. Eine Terminologie ist spezifisch für kleine Räume:

Nullraum : Bezeichnet einen Raum E der Dimension 0. Er lässt seinen Nullvektor als eindeutiges Element zu . Die leere Familie ist eine maximal freie Familie ; es ist die einzige Basis von E ;
Vektor oder gerade Linie: bezeichnet einen Vektorraum E der Dimension 1. Jeder Nicht-Null-Vektor von E bildet eine Basis von E ;
Vektorebene oder Ebene: bezeichnet einen Vektorraum E der Dimension 2. Jedes Paar ( u, v ) der nicht-Vektors kollinear mit E bildet eine Basis von E .

Beispiele

Die Dimension eines Vektorraums kann durch Auswahl einer kanonischen Basis berechnet werden:

Das Feld K , gesehen als K- Vektorraum , hat die Dimension 1. Für jede natürliche Zahl n ist das kartesische Produkt K n der Vektorraum der n- Tupel von Skalaren. Es hat die Dimension n , wobei seine kanonische Basis genau n Vektoren umfasst. Aus der Definition folgt, dass jede Basis von K n genau n Vektoren hat.
Allgemeiner bezeichnen wir für jede Menge A mit K ( A ) die Menge der Familien (λ a ) a∈A der durch A indizierten Elemente von K und mit endlicher Unterstützung . Die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar - Term für Term definiert sind, K ( A ) ist ein K- Vektorraum. Seine kanonische Basis ist die Familie ( e a ) a∈A, wobei e b = ( δ , b ) a∈A für b ∈ A ist . Daraus folgt, dass die Größe von K ( A ) die Kardinalität von A ist .
Im Vektorraum K [ X ] von Polynomen mit Koeffizienten in einem Feld K bilden die Polynome mit einem Grad kleiner oder gleich n einen Vektorunterraum mit einer kanonischen Basis (1, X,…, X n ), daher der Dimension n + 1.
Der Vektorraum von Matrizen mit n Zeilen und p Spalten mit Koeffizienten in K hat zur kanonischen Basis die Familie ( E i, j ), die aus Matrizen mit einer 1 in der i- ten Zeile und j- ten Spalte und Nullen überall sonst besteht. Es hat daher die Dimension np .

Die Wahl des Feldes der Skalare ist wichtig.

Das Feld komplexer Zahlen kann sowohl als zweidimensionaler ℝ-Vektorraum als auch als eindimensionaler ℂ-Vektorraum betrachtet werden.

Eigenschaften

Wenn F ein Vektorunterraum von E ist , dann ist dim ( F ) ≤ dim ( E ).

Um zu zeigen , dass zwei Vektorräume von endlicher Dimension gleich sind, verwenden wir häufig den folgenden Satz: Wenn E ein endlicher Vektorraum und F eines Vektorraum von E von der gleichen Größe, dann E = F . Diese Implikation wird in unendlicher Dimension falsch.

In einem Raum der Dimension d (endlich oder nicht) ist die Kardinalität einer freien Familie kleiner oder gleich d und die einer erzeugenden Familie größer oder gleich d .

Ein wichtiges Ergebnis für die Dimension in Bezug auf lineare Karten ist der Rangsatz .

Einstufung

Zwei K- Vektorräume sind (genau dann) isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben. In der Tat kann jede Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen ihren Basen eindeutig zu einem Isomorphismus zwischen den beiden Vektorräumen erweitert werden.

Für jede Menge A existieren K- Vektorräume der Dimension | A | : zum Beispiel der Raum K ( A ) ( vgl. oben ).

Modifikation von K.

Sei L / K eine Erweiterung des Feldes. Dann ist L ein K- Vektorraum, wobei die Vektorsumme die Summe im Körper L ist und die Skalarmultiplikation auf K × L der Multiplikation in L beschränkt ist . Die Dimension von L über K wird als Ausdehnungsgrad bezeichnet und mit [ L : K ] bezeichnet.

Darüber hinaus ist jeder L- Vektorraum E durch Einschränkung der Multiplikation auch ein K- Vektorraum. Die Dimensionen sind durch die Formel verbunden:

{{\ rm {dim}}} _ {K} (E) = {{\ rm {dim}}} _ {K} (L) ~ {{\ rm {dim}}} _ {L} (E) .

Insbesondere ist jeder komplexe Vektorraum der Dimension n ein realer Vektorraum der Dimension 2 n .

Dimension und Kardinal

Die Dimension des Vektorraums K ( A ) ist die Kardinalität von A . Diese Behauptung folgt der folgenden Beziehung, die den Kardinal des Körpers K- Skalare, die Kardinalität des Vektorraums E und seine Größe $von$ etwa K verbindet .

Wenn $d$ endlich ist, dann (insbesondere | E | = 1, wenn d = 0, und | E | = | K |, wenn K unendlich ist und d ≠ 0 ist). ${\ displaystyle | E | = | K | ^ {d}}$
Wenn $d$ unendlich ist, dann . In der Tat ist E , wenn B eine Basis ist, äquipotent zu der Menge endlicher Teile der unendlichen Menge B × K *, daher | E | = | B × K * | = max (| B |, | K * |) = max (| B |, | K |) . ${\ displaystyle | E | = \ max (d, | K |)}$

Insbesondere kann ein K -Vektorraum E ist ein endlicher Vektorraum , wenn und nur wenn K ist endlich und E von endlicher Dimension.

Insbesondere kann ein endliches L als ein Vektorraum über seinem Körper zuerst K gesehen werden , der dem Kardinal eine Primzahl p hat , die als Charakteristik von L bezeichnet wird . Wenn n die Dimension von L über K ist , dann ist L der Kardinal p n . Der Kardinal eines endlichen Feldes ist eine ganzzahlige Potenz seiner Charakteristik: Es ist eine Primärzahl .

Verallgemeinerung

Es ist möglich, einen Vektorraum als einen besonderen Fall einer Matroid zu betrachten , und für letztere gibt es einen genau definierten Begriff der Dimension. Die Länge eines Moduls und der Rang einer freien abelschen Gruppe oder allgemeiner einer abelschen Gruppe (in) haben viele Eigenschaften, die der Dimension der Vektorräume ähnlich sind.

Anmerkungen und Referenzen

(in) Michael Artin , Algebra [ Veröffentlichungsdetails ], p. 93 , Definition 3.18.
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, p. 247 , Beispiel 1.