Kreis

In der euklidischen Geometrie ist ein Kreis eine geschlossene ebene Kurve , die aus Punkten besteht, die sich in gleichem Abstand von einem Punkt namens Mittelpunkt befinden . Der Wert dieses Abstands wird als Radius des Kreises bezeichnet.

In der euklidischen Ebene ist es das „Runde“, das im Französischen mit dem Begriff Kreis verbunden ist. In einer nichteuklidischen Ebene oder bei der Definition eines nichteuklidischen Abstands kann die Form komplexer sein. In einem Raum beliebiger Dimension wird die Menge von Punkten, die sich in einem konstanten Abstand von einem Mittelpunkt befinden, als Kugel bezeichnet .

Andere Formen können als "rund" bezeichnet werden: Flächen und Körper, von denen bestimmte ebene Abschnitte Kreise sind ( Zylinder , Kegel , Torus , Ring usw.).

Verwendet

Der Kreis ist ein abstraktes mathematisches Objekt, mit dem viele Phänomene modelliert werden können. Eine bestimmte Anzahl von hergestellten Gegenständen hat einen kreisförmigen Querschnitt: Zylinder (Walzen, Räder, Silos), Kugeln (Ballon, Kugeln, Murmeln), Kegel (Walzen, Trichter). Die Eigenschaften der Kreise ermöglichen es daher, Eigenschaften von Objekten abzuleiten, wie beispielsweise ihr Volumen, das es ermöglicht, die Masse des Objekts (in Kenntnis seiner Dichte ) oder seine Kapazität abzuleiten . Kreisförmige Querschnittsobjekte sind aus mehreren Hauptgründen interessant:

Einige Objekte reagieren auf mehr als eines dieser Elemente. Zum Beispiel die Tatsache, dass ein Fass zylindrisch ist:

Wenn ein Objekt eine gekrümmte Oberfläche hat, kann es lokal durch einen Kreis angenähert werden. Wenn wir also die Eigenschaften des Kreises kennen, kennen wir die lokalen Eigenschaften des Objekts. Dies ist , was die Begriffe gab Schmiegekreises , Krümmungsradius und Kugelflächenfunktion .

Wenn Sie Gegenstände oder Personen im Kreis haben, wissen Sie, dass Sie diese mit dem gleichen Aufwand von der Mitte aus erreichen, aber auch auf die gleiche Weise sehen können, was die Überwachung erleichtern kann. . Sie können auch mit einem einzigen Parameter, der Richtung, bezeichnet werden; dies ist zum Beispiel das Interesse von Nadelrädern . Daraus ergeben sich auch die Begriffe Zylinder- und Kugelkoordinaten .

Der euklidische Kreis ist definitionsgemäß sehr einfach zu zeichnen: Es reicht aus, ein Objekt zu haben, dessen beide Enden einen konstanten Abstand haben, beispielsweise ein gespanntes Seil oder ein Ast (auch verdreht) oder häufiger ein Kompass . Daher ist es einfach, einen „perfekten“ Kreis zu zeichnen, was ihn zu einem privilegierten Lernwerkzeug für Geometrie macht.

Für komplexere Probleme und Formen können wir den Begriff der Ellipse verwenden .

Der Kreis kann verwendet werden, um symbolisch Objekte "mehr oder weniger rund" darzustellen:

Rein symbolisch steht es für:

Definitionen

In der Alltagssprache wird das Wort "Kreis" lange Zeit ebenso verwendet, um die Kurve ( Umfang ) zu benennen, wie die von ihr begrenzte Fläche. Heute bezeichnet der Kreis in der Mathematik ausschließlich die gekrümmte Linie, die Fläche wiederum wird Scheibe genannt .

Das Verhältnis des Umfangs des Kreises zu seinem Durchmesser definiert die Zahl pi .

Andere Begriffe verdienen es, definiert zu werden:

Gleichungen

Kartesische und parametrische Gleichungen

In einer mit einem orthonormalen Koordinatensystem versehenen Ebene lautet die kartesische Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt C ( a , b ) und Radius r :

, entweder für den Einheitskreis oder den trigonometrischen Kreis (der Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung des Bezugssystems ist und dessen Radius 1 ist ):

Diese Gleichung ist in der Tat eine Anwendung des Satzes des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck, das durch den Punkt des Kreises und seine Projektion auf die beiden achsenparallelen Strahlen gebildet wird.

Durch Hervorheben von y erhalten wir die doppelte kartesische Gleichung des Kreises (eigentlich eine Gleichung für jeden durch den horizontalen Durchmesser begrenzten Halbkreis):

.

Mögliche parametrische Kreisgleichungen (als Funktion des Parameters θ, der hier einen orientierten Winkel des Vektors ausdrückt, der den Kreismittelpunkt mit einem dieser Punkte in Bezug auf den horizontalen Einheitsvektor des Koordinatensystems verbindet) sind:

d.h. für einen Kreis, der auf den Ursprung (0; 0) zentriert ist  :

und für den Einheitskreis:

.

Dank des Satzes des in einen Halbkreis eingeschriebenen Winkels und seines Kehrwerts können wir auch für den Kreis C vom Durchmesser [ AB ] eine Gleichung aufstellen  :

Schnittpunkte mit einer Linie

Die analytische Geometrie zur Bestimmung des Schnittpunktes eines Kreises und einer Geraden . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Ursprung des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt des Kreises und der Abszissenachse ist parallel zu der Linie. Es handelt sich dann um die Lösung eines Systems der Form:

,

also nach den Lösungen x von suchen

.

Je nachdem, ob der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Gerade größer als der Radius, gleich oder kleiner ist, treten drei Fälle auf :

Der Kreis als Schnitt gesehen

Der Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen; die Länge der Hauptachse ist gleich der Länge der Nebenachse. Es handelt sich um einen Kegelschnitt, dessen Exzentrizität e gleich 0 ist. Er kann durch den Schnitt einer Ebene mit einem Rotationskegel erhalten werden, wenn die Ebene senkrecht zur Rotationsachse des Kegels steht (wir sprechen manchmal von "Schnitt rechts " des Kegels).

Im Industriedesign wird ein Kreis am häufigsten mit seiner horizontalen Achse und seiner vertikalen Achse (in Mittellinien: dünne Linie aus langen und kurzen Strichen) oder einfach mit seiner Mitte durch ein gerades Kreuz „+“ in feinen Linien dargestellt. Eine Rotationsform, massiv oder hohl ( Zylinder , Kegel , Kugel ) und entlang der Rotationsachse gesehen, wird durch einen Kreis dargestellt.

Geometrische Eigenschaften

Maße

Die Länge eines Bogens mit Radius r , der von einem Winkel in der Mitte α begrenzt wird , ausgedrückt im Bogenmaß , ist gleich αr . Für einen Winkel von (eine vollständige Umdrehung) beträgt die Kreislänge also 2π r .

Die Fläche der Scheibe durch einen Kreis mit dem Radius begrenzt r ist π r 2  ; nehmen wir eine Sehne gegebener Länge l und begrenzen damit eine geschlossene Fläche, so wird die Fläche mit der größten Fläche durch einen Kreis begrenzt.

Nach der Legende von der Gründung von Karthago hatte der Herrscher den Phöniziern erlaubt, eine Stadt zu gründen, deren Umfang durch ein Rindsleder begrenzt wurde  ; Dido machte einen großen Streifen daraus und wählte eine runde Form, um die größte Oberfläche zu haben.

Seil und Pfeil eines Bogens

Die Länge einer von einem Winkel α begrenzten Sehne ist gleich 2 r sin ( α / 2) .

Wir können den Radius r eines Kreises, die Sehne c und den Pfeil f eines seiner Bögen nach zwei von ihnen ausdrücken , indem wir den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck anwenden, das aus r - f , c / 2 und r gebildet wird, das ist die Hypotenuse:

.

Die Sinuosität zweier gegenüberliegender ähnlicher Kreisbögen, die in derselben stetig differenzierbaren Ebene verbunden sind, ist unabhängig vom Radius des Kreises.

Tangente

Die Tangente an einem Punkt auf dem Kreis ist senkrecht zum Radius an diesem Punkt.

Diese Eigenschaft findet Anwendung in der geometrischen Optik  : Ein Lichtstrahl, der durch das Zentrum eines sphärischen Spiegels geht, verlässt ihn in entgegengesetzter Richtung in der gleichen Richtung (wir haben eine Reflexion senkrecht zum Spiegel). Wenn wir eine Glühbirne in die Mitte eines sphärischen Spiegels stellen, wird das Licht auf die andere Seite zurückgeführt, was es beispielsweise ermöglicht, das Licht in Richtung eines Parabolspiegels zu "falten" (Prinzip des Gegenspiegels).

Betrachten Sie einen Kreis mit Mittelpunkt O und einem Punkt A außerhalb dieses Kreises. Wir suchen eine Tangente an diesen Kreis, der durch A geht  ; der Tangentialpunkt heißt T .

Wir nutzen die Tatsache, dass das Dreieck AOT ein T- Rechteck ist . Dieses rechtwinklige Dreieck wird also in einen Kreis eingeschrieben, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt von [ AO ] ist , oder sogar, was äquivalent ist, dass die Hypotenuse eine doppelte Länge des Medians hat, der sich aus dem rechten Winkel ergibt.

Wir bestimmen daher den Mittelpunkt I von [ AO ] und zeichnen dann einen Kreisbogen mit Mittelpunkt I und Radius IO . Dieser Kreisbogen schneidet den Kreis an den Tangentialpunkten.

Vermittler

Die Mittelsenkrechte einer Schnur geht durch den Kreismittelpunkt. Dies ermöglicht es, den Mittelpunkt eines Kreises zu finden: Es genügt, zwei nicht parallele Sehnen zu zeichnen und den Schnittpunkt ihrer Mittelsenkrechten zu finden.

Wir können auch zeigen, dass die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks gleichzeitig sind und dass der Schnittpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist, der durch die drei Eckpunkte geht, genannt Kreis um das Dreieck.

Kreis und rechtwinkliges Dreieck

Nehmen wir an einem Kreis drei Punkte A , B und C , von denen zwei - A und C - diametral gegenüberliegen (dh [ AC ] ist ein Durchmesser). Dann ist das Dreieck ABC das Rechteck B .

Dies folgt aus der Tatsache, dass der aus dem rechten Winkel resultierende Median die Hälfte der Hypotenuse beträgt (wir haben einen Radius und einen Durchmesser); Dies ist eine Eigenschaft des Dreiecks, die als Halbkreiswinkelsatz oder Thales-Theorem (in Deutschland und einigen englischsprachigen Ländern) bezeichnet wird.

Umgekehrt seien A und C zwei diametral gegenüberliegende Punkte eines Kreises. Oder B ein Punkt in der Ebene, da ABC das Rechteck B ist . Dann gehört B zum Kreis.

Eingeschriebener Winkel, Zentriwinkel

Nehmen wir zwei verschiedene Punkte A und B des Kreises. O ist der Mittelpunkt des Kreises und C ist ein weiterer Punkt des Kreises. Also haben wir

Für den Mittelpunktswinkel müssen wir den Winkelsektor berücksichtigen, der den Bogen schneidet , der dem Bogen gegenüberliegt, der C enthält .

Diese Eigenschaft wird in Spektralanalysegeräten mit Wellenlängendispersion verwendet , es ist das Konzept des Fokussierkreises oder Rowland-Kreises .

Potenz eines Punktes in Bezug auf einen Kreis

Wenn M ein Punkt und Γ ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R ist , dann gilt für jede Gerade, die durch M geht und den Kreis bei A und B trifft ,

.

Dieser Wert hängt nicht von der gewählten Linie ab, sondern nur von der Position von M in Bezug auf den Kreis.

Das können wir merken

Die Potenz des Punktes M bezüglich des Kreises Γ heißt dann das Produkt der algebraischen Maße MA und MB . Dieses Produkt ist unabhängig von der gewählten Linie und immer gültig .

Wenn der Punkt M außerhalb des Kreises liegt, können Tangenten an den Kreis gelegt werden. Durch den Aufruf von T den Kontaktpunkt eines dieser Tangenten, gemäß dem Satz von Pythagoras im Dreieck OMT , die Kraft von M ist MT 2 .

Gleichberechtigung:

Es genügt zu sagen, dass die Gerade ( MT ) den Kreis tangiert.

Die Potenz eines Punktes ermöglicht den Nachweis, dass vier Punkte kozyklisch sind:

dann sind die vier Punkte kozyklisch.

Registrierte Kreise berichten

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Inschrift von Kreisen mit gleichem Radius, in einem Kreis, einem gleichseitigen Dreieck, einem Quadrat

Hinweise und Referenzen

  1. Siehe die Definition des Adjektivs Runde auf der CNRTL Website .
  2. Pierre de Ronsard , Antwort auf die Beleidigungen und Verleumdungen von Ich weiß nicht welche Prediger und Minister von Genf ,1563.
  3. „  Griechische Fortschritte: Der Kreis und die Kugel  “ , in den virtuellen Galerien der französischen Nationalbibliothek .
  4. Johannes Kepler , Das kosmographische Geheimnis ,1596.
  5. In der Enzyklopädie von Diderot und d'Alembert beispielsweise ist der Kreis "der vom Umfang eingeschlossene Raum" ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) und das Wörterbuch Robert Edition 1993 gibt als dritte Bedeutung von das Wort Kreis: "durch aktuelle Erweiterung: ebene Fläche durch einen Kreis begrenzt" .
  6. Jean Dieudonné , Lineare Algebra und Elementare Geometrie , Paris, Hermann ,1964, z. B. 2S.96
  7. Finden Sie diese Beschriftungsfiguren von Kreisen in der Seitenstapelung im Plan .

Siehe auch

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