Würfel

Würfel


Art	Platonischer Körper
Gesichter	6 Quadrate
Kanten	12
Scheitelpunkte	8
Gesichter / Scheitelpunkt	3
Feature	2

Schläfli-Symbol	{4.3}
Wythoff-Symbol	3
Coxeter-Dynkin-Diagramm
Dual	Regelmäßiges Oktaeder
Symmetriegruppe	O h
Volumen	a³
Bereich	6a²
Diederwinkel	90 °
Eigenschaften	konvexes Zonoeder

In der euklidischen Geometrie , ein Würfel ist eine rechte Prisma , deren Flächen sind quadratisch und daher gleich und deckungsgleich . Der Würfel ist einer der bemerkenswertesten Körper im Weltraum . Er ist der einzige der fünf Körper von Platon mit genau 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Sein anderer Name ist „ reguläres Hexaeder “.

Da es vier Eckpunkte pro Fläche und drei Flächen pro Eckpunkt hat, ist sein Schläfli-Symbol {4.3}.

Die Etymologie des Wortes Würfel ist griechisch ; Würfel kommt von Kubos , den Würfeln .

Der auf eine Zahl angewendete Begriff Würfel bezeichnet den Wert, den man erhält, indem man diese Zahl mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis mit der Anfangszahl erneut multipliziert. Dieser Ausdruck entstand in der Zeit, als die geometrische Algebra allgegenwärtig war, das Quadrat einer Zahl wurde als die Fläche eines Quadrats neben der Anfangszahl und der Würfel einer Zahl als das Volumen eines Würfels neben der ursprünglichen Zahl angesehen. Der Ausdruck " a 3 " kann als "ein Würfel" und "ein Würfel" gelesen werden.

Das 1-Skelett des Würfels – die Menge seiner durch seine Kanten verbundenen Ecken – bildet einen Graphen, der als hexaedrischer Graph bezeichnet wird .

Geometrie

Der Würfel ist einer von Platons fünf Körpern . Ein Würfel gehört zur Familie der geraden Prismen . Es hat 8 Ecken und 12 Kanten . Für Scheitelpunkte können wir zum Beispiel die Koordinatenpunkte nehmen . Außerdem : ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$

Zwei Kanten mit einem gemeinsamen Ende sind orthogonal.
Gegenüberliegende Flächen sind parallel . Benachbarte Flächen sind senkrecht
Alle Diederwinkel sind gerade .
Die Diagonalen schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Symmetriezentrum des Würfels, dem Isobarenzentrum der acht Eckpunkte.

Aber per Definition sind seine Kanten alle gleich lang, sagen wir a . Seine Flächen sind daher Quadrate der Fläche a 2 .

Die Fläche des Würfels beträgt daher 6 zu 2 ;
sein Volumen ist gleich 3 ;
die Länge einer Diagonale gleich einen √ 3 ;
die eingegrenzte Kugel ist daher auf Radius ist √ 3 /2;
die Kugel tangential zu den Kanten einen Radius a / √ 2 ;
die eingeschriebene Kugel hat für den Radius a / 2;
der Winkel zwischen der Diagonale und jeder der angrenzenden Kanten ist ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ simeq 54 {,} 74 ^ {\ circ}.}$
der Winkel zwischen der Diagonale und jeder der benachbarten Ebenen ist $\ arctan \ left ({\ frac 1 {{\ sqrt 2}}} \ right) \ simeq 35 {,} 26 ^ {\ circ}.$

Es ist der Ausdruck seines Volumens, der zur Verwendung des Wortes Würfel in der Algebra führte .

Andere Definitionen

Es gibt andere äquivalente Definitionen des Würfels:

Würfel sind die einzigen Polyeder, deren Flächen alle quadratisch sind;
der Würfel ist ein Antidiamant der Ordnung 3 mit regelmäßigen Ecken und gleichen Diederwinkeln.

Gruppe von Isometrien

Die Gruppe der Isometrien des Würfels, mit O h bezeichnet , und die Untergruppe seiner positiven Isometrien (seine Drehungen ), bezeichnet mit O, werden auch als oktaedrische Symmetriegruppen bezeichnet , weil sie die gleichen wie die seines dualen Polyeders sind , l ' reguläres Oktaeder .

Der Würfel ist einer der Polyeder mit den meisten Symmetrien:

3 Rotationsachsen der Ordnung 4: Achsen, die durch die Mitte zweier gegenüberliegender Flächen verlaufen;
6 Rotationsachsen der Ordnung 2: Achsen, die durch die Mitte von zwei gegenüberliegenden Kanten gehen;
4 Rotationsachsen der Ordnung 3: Achsen, die durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte gehen;
die zentrale Symmetrie relativ zum Mittelpunkt des Würfels;
9 Symmetrieebenen : 3 Ebenen, die die Kanten vermitteln, 6 Ebenen, die durch zwei gegenüberliegende Kanten gehen.

Eine Isometrie des Würfels legt seinen Mittelpunkt fest. Es ist daher vollständig durch das Bild eines Scheitelpunkts A und zweier (B und C) seiner drei Nachbarn definiert (da diese drei Punkte mit dem Zentrum einen Bezugspunkt im Raum bilden ). Der Scheitelpunkt A kann als Bild einen beliebigen, A', der 8 Scheitelpunkte des Würfels haben. Für die Ecke B gibt es dann 3 mögliche Bilder, unter den drei Nachbarn von A' dann für das Bild von C 2 Bilder unter den zwei verbleibenden Nachbarn. Dies beweist, dass die Isometrien, die den Würfel global invariant verlassen, 8 × 3 × 2 = 48 sind, einschließlich 24 Drehungen, nur eines der beiden Bilder von C gibt die gleiche Orientierung von A'B'C' in Bezug auf ABC. Die 24 Umdrehungen sind:

die Identitätsanwendung, die eine Drehung (des Nullwinkels und einer beliebigen Achse) ist;
3-Achsen-Halbdrehungen, die durch die Mitte zweier gegenüberliegender Flächen verlaufen (3 Achsen möglich);
6 Vierteldrehungen der Achse, die durch die Mitte zweier gegenüberliegender Flächen verlaufen (3 mögliche Achsen und 2 mögliche Winkel);
6-Achsen-Halbdrehungen, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verlaufen (6 Achsen möglich);
8 Drittel der Achsendrehungen gehen durch zwei gegenüberliegende Scheitelpunkte (4 mögliche Achsen und 2 mögliche Winkel).

Die Gruppe O dieser 24 Drehungen ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S 4 . Jede Drehung permutiert tatsächlich die vier Diagonalen des Würfels, und umgekehrt definiert jede Permutation der vier Diagonalen eine einzelne Drehung.

Die negativen Isometrien des Würfels sind die Antirotationen, die sich aus diesen Rotationen durch die Zentralsymmetrie zusammensetzen und mit dieser kommutieren . Die Gruppe O h ist also das direkte interne Produkt der Untergruppe O durch die durch die zentrale Symmetrie erzeugte zyklische Untergruppe 2. Ordnung. Es ist die größte der 7 orthogonalen Gruppen dreidimensionaler Netzwerke .

Die 24 negativen Isometrien sind jeweils:

zentrale Symmetrie
3 Symmetrien in Bezug auf eine Ebene, die durch das Zentrum des Würfels und parallel zu einer Fläche verläuft (3 mögliche Ebenen);
6 zusammengesetzt aus den vorhergehenden Symmetrien mit einer Vierteldrehung der Achse senkrecht zur Symmetrieebene (3 mögliche Ebenen und 2 mögliche Winkel);
6 Symmetrien bezüglich einer Ebene, die durch zwei gegenüberliegende Kanten verläuft (6 mögliche Ebenen);
8 besteht aus einer Sechstel einer Achsenwindung, die durch zwei gegenüberliegende Scheitelpunkte mit Symmetrie in Bezug auf die Ebene, die durch das Zentrum des Würfels geht und senkrecht zu dieser Achse verläuft (4 mögliche Achsen und 2 mögliche Winkel), besteht. Die Symmetrieebene schneidet die Kanten des Würfels und bildet ein regelmäßiges Sechseck.

Schließlich können die acht Ecken des Würfels in zwei regelmäßige Tetraeder unterteilt werden , die durch zentrale Symmetrie symmetrisch zueinander sind. Daraus folgt, dass von den 48 Isometrien des Würfels 24 jedes dieser Tetraeder invariant lassen und 24 die beiden Tetraeder austauschen. Die 24 Isometrien des Würfels, der die Tetraeder invariant verlässt, bilden die Gruppe der Isometrien des Tetraeders: 12 sind Rotationen und 12 sind indirekte Isometrien. Diese 24 Isometrien permutieren die vier Eckpunkte des Tetraeders.

Muster

Es gibt elf Würfelmuster ; hier sind vier:

Entwicklungsquer können die Seiten Quadrate niedriger oder höher gesetzt werden
Die Entwicklung im Zickzack
Diese Entwicklung passt in ein zwei-mal-fünf-Rechteck und minimiert die Platzverschwendung
Das linke Quadrat kann tiefer oder höher platziert werden

Abschnitte

Ein Flugzeug und ein Würfel können sich treffen oder auch nicht. Wenn sie sich treffen, kann ihre Kreuzung zeichnen

ein Punkt
ein Segment
ein Dreieck
ein Viereck, zumindest ein Trapez, manchmal ein Rechteck oder sogar eine Raute.
ein Fünfeck. Dieses Fünfeck hat immer zwei Paare paralleler Seiten
ein Sechseck mit drei Paaren paralleler Seiten

Da der Würfel nur sechs Seiten hat, ist es nicht möglich, einen Schnitt mit mehr als 6 Seiten zu erhalten.

Abschnitt nach einem Dreieck
Abschnitt nach einem Trapez
Abschnitt nach einer Raute
Abschnitt nach einem Rechteck mit maximaler Fläche
Abschnitt nach einem Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten
Abschnitt nach einem Sechseck mit drei Paaren paralleler Seiten

Der Schnittpunkt einer Ebene und eines Würfels kann drei Arten von regelmäßigen Polygonen ergeben:

das gleichseitige Dreieck für Ebenen, die senkrecht zu einer Diagonale stehen und deren Abstand an einem Ende der Diagonale weniger als ein Drittel ihrer Länge beträgt. Dank dem Schnitt des Würfels ABCDEFGH durch die Ebene DBE (siehe Abbildung unten), die ein gleichseitiges Dreieck DBE mit Mittelpunkt Ω ist, erhalten wir, dass die Diagonale [AG] des Würfels in zwei Teile [GΩ] und [ΩA] im Verhältnis 2: 1. Wir erhalten auch, dass der Würfel aus drei gleich hohen Körpern besteht: zwei Pyramiden ADBE und GCHF und dem Körper CHFDEB;
das Quadrat, für Ebenen parallel zu einer der Flächen. Wir können aber auch ein Quadrat erhalten, indem wir den Würfel durch eine Ebene parallel zu einer diagonalen Ebene und im Abstand davon schneiden ; ${\ displaystyle a {\ frac {{\ sqrt {2}} - 1} {2}}}$
das regelmäßige Sechseck, indem der Würfel durch die vermittelnde Ebene einer seiner Diagonalen geschnitten wird.

Diagonale des in zwei Teile zerlegten Würfels im Verhältnis 2:1 durch einen gleichseitigen Dreiecksschnitt
Ausschnitt des Würfels nach einem Quadrat. Die oberen Eckpunkte haben einen Abstand von A gleich der Hälfte von AC
Hexagonaler Schnitt des Würfels durch die Mediatorebene von [AG}

Es ist nicht möglich, ein regelmäßiges Fünfeck zu erhalten, weil bei dem Schnitt mit 5 Seiten die Ebene notwendigerweise zwei gegenüberliegende Seiten des Würfels schneidet, die Figur hat daher zwei parallele Seiten, was beim regelmäßigen Fünfeck nicht der Fall ist. Es ist nicht möglich, einen Schnitt in Form eines rechtwinkligen Dreiecks zu erhalten, da alle Winkel des durch den Schnitt erhaltenen Dreiecks spitz sind. Es ist nicht möglich, einen Querschnitt zu erhalten, der ein rechteckiges Trapezoid ist, ohne ein Rechteck zu sein.

Die maximale Fläche eines Abschnitts des Würfels mit der Seite $a$ beträgt . Diese Fläche wird durch den Schnitt erhalten, der einer Ebene folgt, die zwei gegenüberliegende Kanten des Würfels enthält. ${\ displaystyle a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$

Der Würfel und die anderen Polyeder

Das Dual des Würfels ist das regelmäßige Oktaeder . Dies erklärt, warum die beiden Festkörper dieselbe Gruppe von Isometrien haben.

Der Würfel passt in ein regelmäßiges Dodekaeder : Die Eckpunkte des Würfels sind Eckpunkte des Dodekaeders und die Kanten des Würfels bestehen aus Segmenten, die zwei nicht aufeinander folgende Eckpunkte in einer fünfeckigen Fläche des Dodekaeders verbinden. Es gibt also fünf Möglichkeiten, einen Würfel in ein regelmäßiges Dodekaeder einzuschreiben.

Wir können den Würfel auch in ein rhombisches Dodekaeder einschreiben . Die Ecken des Würfels entsprechen den Ecken der Ordnung 3 des rhombischen Dodekaeders und die Kanten des Würfels entsprechen den Diagonalen der Rauten.

Faszination Würfel

Der Würfel spielte eine wichtige Rolle in der griechischen Geometrie und Kosmologie. Platon klassifiziert es als den vierten Körper, den ersten, der aus rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken besteht :

„Zu vier gruppiert, wobei sich ihre rechten Winkel in der Mitte treffen, bilden diese gleichschenkligen Dreiecke ein Viereck. Sechs dieser Vierecke ergaben durch Zusammenfügen acht Raumwinkel, die jeweils aus drei rechten ebenen Winkeln bestanden und die resultierende Figur ist ein Würfel ( Timée , 54c - 55 d) ”

Wie jeder platonische Körper ist der Würfel mit einem Element verbunden. Als stabilstes Element ist es mit der Erde verbunden .

In einem anderen symbolischen Schlüssel symbolisiert es die materielle Welt und alle vier Elemente. Als Symbol der Stabilität wird es oft am Sockel von Thronen gefunden.

Der Würfel war Gegenstand eines Problems, das sich als unlösbar herausstellte: die Vervielfältigung des Würfels mit Lineal und Zirkel.

In Keplers Kosmologie wird der Würfel mit dem Planeten Saturn in Verbindung gebracht .

Wir finden den Würfel auch in der Symbolik der Freimaurer . Der Würfel symbolisiert den Fortschritt, den der Gefährte machen muss, um vom Rohstein zum perfekten Festkörper zu gelangen.

Cube ist Teil einer Sequenz von drei kanadischen Filmen. Apple produzierte den Cube- Computer, Nintendo die GameCube- Konsole. Der Zauberwürfel ist ein Puzzle, dessen Spiegelung auf Farbassoziationen basiert. Das Verständnis Ihrer Lösung umfasst eine Gruppe von Permutationen .

In der Tafel Melencolia von Albrecht Dürer findet man einen abgestumpften Kubus . Das Brüsseler Atomium ist ein Würfel. Tatsächlich ist der Würfel eines der möglichen Netzwerke in der Kristallographie für Silber , Gold , Kupfer , Platin , Diamant , Salz , unter anderem.

Hinweise und Referenzen

Gérard Villemin, „ Section du cube “ (Zugriff am 3. Oktober 2019 ) .
IREM de Paris Nord, „ Section du cubes et de pyramide “ (Zugriff am 3. Oktober 2019 ) .
Chuanming Zong , " Was ist über Einheitswürfel bekannt ", Bulletin der Amarican Mathematical Society , vol. 42, n o 226. Juni 2005( online lesen ), s. 5
Jean Chevalier und Alain Gheerbrant, Wörterbuch der Symbole , Laffont ,1982, s. 328.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externer Link

Matthieu Aubry, " Der kürzeste Weg auf dem Würfel " , auf matthieu.net