In der Mathematik ist Zorns Lemma (oder Zorns Theorem , oder manchmal Kuratowski-Zorn Lemma ) ein Satz der Mengenlehre, der besagt, dass eine geordnete Menge so ist, dass jede Kette ( vollständig geordnete Teilmenge ) eine obere Schranke hat , dann hat sie ein Maximum Element . Das Lemma von Zorn ist äquivalent zu dem Auswahlaxiom , das die anderen Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie zulässt .
Das Lemma von Zorn macht es möglich, das Auswahlaxiom zu verwenden, ohne auf die Theorie der Ordinalzahlen (oder die der guten Ordnungen über den Satz von Zermelo ) zurückzugreifen. Tatsächlich kann man unter den Annahmen des Lemma von Zorn ein maximales Element durch eine Definition durch transfinite Induktion erhalten , wobei die iterierte Funktion durch ein Auswahlaxiom erhalten wird . Konstruktionen durch transfinite Induktion sind jedoch manchmal intuitiver (wenn auch länger) und informativer.
Zorns Lemma hat Anwendungen sowohl in der Topologie , wie dem Satz von Tychonov , als auch in der Funktionalanalysis , wie dem Satz von Hahn-Banach , oder in der Algebra , wie dem Satz von Krull oder der Existenz eines algebraischen Abschlusses .
Es verdankt seinen Namen dem Mathematiker Max Zorn, der in einem Artikel von 1935 den ersten eine große Anzahl von Anwendungen davon gab, indem er bekannte Ergebnisse der Algebra neu aufsetzte . Allerdings Kazimierz Kuratowski hatte bereits eine Version im Jahre 1922 veröffentlicht wurde , und mehrere Mathematiker, beginnend mit Felix Hausdorff im Jahr 1907 eingeführt hatte Prinzipien der Maximalität der Nähe von Zorns Lemma.
Eine geordnete Menge, bei der jede Kette ( vollständig geordnete Teilmenge ) eine obere Schranke hat, wird oft als induktive Menge bezeichnet (eine induktive Menge ist daher notwendigerweise nichtleer, durch die Existenz einer oberen Schranke des leeren Strings). Mit dieser Terminologie lautet Zorns Lemma wie folgt:
Lemma von Zorn – Jede induktive Menge lässt mindestens ein maximales Element zu .
Die mit der Inklusion versehene Menge der Teile einer Menge E ist ein Beispiel für eine induktive Menge: E ist eine obere Schranke einer beliebigen Kette (für die Inklusion) von Teilen von E , die aber für Zorns Lemma uninteressant ist, da E ist auch ein maximales Element.
Andererseits erhält man nützliche Anwendungen, indem man eine geeignete Teilmenge der Menge der Teile von E (immer mit der Inklusion versehen) wählt , die dann induktiv sein muss, wobei die Vereinigung der Elemente der Kette einen Kandidaten für liefern kann die Zunahme.
Nehmen wir den Fall des Satzes nehmen I ( E , F ) der Teileinspritzung grafische Darstellungen von E in F , wobei E und F sind zwei Mengen: Sie sind die Untergruppen sind G von E × F erfüllt:
Wenn ( x , y ) G und ( x , y' ) ∈ G , dann y = y' Wenn ( x , y ) G und ( x' , y ) G , dann ist x = x' .Die mit der Inklusion gelieferte Menge I ( E , F ) ist eine induktive Menge. Tatsächlich ist jede Kette durch die Vereinigung ihrer Elemente begrenzt, was tatsächlich der Graph einer partiellen Injektion ist, da sich zwei Paare der Vereinigung notwendigerweise im selben Element der Kette befinden (da dieses vollständig geordnet ist). Wir leiten aus Zorns Lemma die Existenz eines maximalen Elements ab, von dem es nicht schwer ist zu überprüfen, dass es der Graph einer Injektion von E in F oder einer Injektion von F in E ist (nicht exklusiver Fall).
Wir haben daher gezeigt, dass es bei zwei beliebigen Mengen eine Injektion der einen in die andere gibt oder umgekehrt: Dies ist der kardinale Vergleichssatz .
Es gibt mehrere Varianten von Zorns Lemma, einige beziehen sich auf die Bedingungen, die die geordnete Menge erfüllen muss, um ein maximales Element zu haben: wir können sie als Varianten der Definition der induktiven Menge sehen, die außerdem in der Literatur nicht vollständig festgelegt ist , auch wenn in diesem Zusammenhang der oben genannte am häufigsten bleibt. Andere Varianten beschränken das Lemma von Zorn auf eine Menge von Teilen einer Menge, die mit Inklusion ausgestattet ist, Einschränkungen, die sich tatsächlich als äquivalent zur Ausgangsaussage erweisen.
In einem unten spezifizierten Sinne heißt eine teilweise geordnete Menge induktiv, wenn jeder „zumindest vollständig geordnete“ Teil eine „obere Schranke oder besser“ zulässt. Die üblichen Kandidaten für die Angabe "zumindest total geordnet" sind:
1) total bestellt 2) gut bestelltwährend diejenigen für "höher oder besser" sind:
3) zunehmend 4) obere Grenzedaher vier benachbarte, aber unterschiedliche Definitionen, wobei die am wenigsten restriktive (2,3) und die restriktivere (1,4) entspricht. Da die häufigste Bedeutung dem Fall des Paares (1,3) entspricht, ist dies die nachfolgend gewählte Definition:
Eine induktive Menge ist eine teilweise geordnete Menge, bei der jede Kette (total geordneter Teil) eine obere Schranke zulässt .Für viele Anwendungen wird natürlich Zorns Lemma-Definition (1,4) verwendet, die am restriktivsten ist, auch wenn sie eine scheinbar schwächere Aussage liefert. Dies ist beispielsweise bei der Anwendung auf die kardinale Vergleichbarkeit des vorigen Absatzes der Fall: Die Vereinigung der Elemente der Kette ist nicht nur eine obere Schranke, sondern eine obere Schranke. Der Begriff kann auch in anderen Kontexten nützlich sein. Eine Menge, bei der jede Kette eine obere Schranke zulässt (Wahl (1,4)), wird manchmal auch induktive Menge, aber auch streng induktive Menge genannt . Eine streng induktive Menge hat notwendigerweise ein kleineres Element, die obere Schranke des leeren Strings. Eine Variation besteht darin, anzunehmen, dass die Menge nichtleer ist, aber nur nichtleere Strings eine obere Schranke haben, d. h. kein kleineres Element anzunehmen (was für das Lemma nicht nützlich ist).
Es ist natürlich die am wenigsten restriktive Definition, die die beste Aussage von Zorns Lemma liefert. Auch wenn die übliche Aussage der Wahl des Paares (1,3) in der Definition der induktiven Menge entspricht , gibt das Paar (2,3) eine (scheinbar) stärkere Aussage, die manchmal sehr nützlich ist.
Das Lemma von Zorn kann für die Inklusionsrelation über eine Menge von Mengen spezifiziert werden. Ein natürlicher Kandidat für die obere Grenze einer einzuschließenden Kette ist die Vereinigung der Elemente dieser Kette; es ist dann notwendigerweise die obere Grenze der Kette. Damit erhalten wir als Konsequenz aus Zorns Lemma die folgende Aussage, die ihm tatsächlich äquivalent ist:
Zorns Lemma für die Inklusion. - Wenn eine Menge von Mengen, geordnet nach Inklusion, so ist, dass die Vereinigung einer beliebigen Kette von Elementen von immer noch ein Element von ist , dann hat ein maximales Element für die Inklusion.
Für die Anwendung auf die kardinale Vergleichbarkeit (siehe oben) waren wir bereits in diesem speziellen Fall ( ist die Menge der Teileinspritzungsgraphen von E nach F ). Dies ist in der Tat ein Sonderfall der Version (1,4) von Zorns Lemma. Wir haben eine analoge Aussage in Bezug auf Ketten, die durch Inklusion gut geordnet sind (besonderer Fall von Version (2,4)).
Wenn ( E , ≤) eine geordnete Menge ist, ist die Menge der Ketten von E (für die Ordnung von E ) selbst eine geordnete Inklusionsmenge. Wenn eine Kette von Inklusion ist, dann ist es einfach zu zeigen, dass die Vereinigung der Elemente von , die Ketten von ( E , ) sind, immer noch eine Kette von ( E , ≤) ist. Damit erhalten wir eine Version des Hausdorff-Maximalitätsprinzips (oder Hausdorff-Maximalitätssatzes).
Hausdorff-Prinzip der Maximalität. - Jeder geordnete Satz enthält eine maximale Zeichenfolge für die Aufnahme.
Wenn außerdem die geordnete Menge induktiv ist (im ursprünglichen Sinne (1,3)), hat die betreffende maximale Kette eine obere Schranke (tatsächlich: ein größeres Element), die aufgrund der Maximalität der Kette ein maximales Element ist des Ganzen selbst. Wir leiten daher das Lemma von Zorn (Anfangsversion (1,3)) aus dem Hausdorff-Prinzip ab. Damit haben wir die Äquivalenz der Aussagen von Zorns Lemmaversionen (1,3) und (1,4), von Zorns Lemma für Inklusion und von Hausdorffs Prinzip gezeigt.
Aus dem Hausdorffschen Maximalitätsprinzip können wir auch die Versionen von Zorns Lemma für wohlgeordnete Strings (Versionen (2,3) und (2,4)) ableiten. Für die Einschlussreihenfolge hat eine Zeichenfolge wohlgeordneter Zeichenfolgen jedoch nicht unbedingt eine Obergrenze. Wir vergleichen sie nach Anfangssegment : Gegeben eine geordnete Menge ( E , ≤) sagen wir für zwei wohlgeordnete Ketten von ( E , ≤) C 1 und C 2 , dass C 1 ein Anfangssegment von C 2 ist, wenn:
C 1 ⊂ C 2 und ∀ x ∈ C 1 ∀ y ∈ C 2 ( y ≤ x ⇒ y ∈ C 1 ).Wir können leicht überprüfen, dass die Relation „ein Anfangssegment zu sein“ eine Ordnungsrelation auf der Menge wohlgeordneter Ketten von E ist und dass für diese Ordnung jede Kette eine obere Schranke und sogar eine obere Schranke hat: ihre Vereinigung . Die mit der Ordnung nach Anfangssegment versehene Menge ist also eine induktive Menge im üblichen Sinne (und sogar im Sinne (1,4)).
Wir können daher aus dem üblichen Zorn-Lemma (oder sogar aus seiner Version (1,4)) ableiten, dass ein maximales Element C hat . Wenn wir nun annehmen, dass ( E , ≤) eine induktive Menge im Sinne (2,3) (die restriktivste) ist, dh dass jede wohlgeordnete Kette von ( E , ≤) eine obere Schranke hat, dann hat sie eine obere Schranke m für C . Diese obere Schranke m ist notwendigerweise ein maximales Element von E , denn wenn dies nicht der Fall wäre, würde ein Element, das streng größer als m ist , es ermöglichen, C zu einer wohlgeordneten Kette zu erweitern, von der C dann ein Anfangssegment wäre , was seiner Maximalität widersprechen würde.
Wir haben daher (unabhängig von den Ergebnissen des vorherigen Absatzes) gezeigt, dass Zorns Lemma für die Definition der induktiven Menge (1,4), das anscheinend das schwächste ist, zu Zorns Lemma für die Definition der induktiven Menge (2,3) führt, das am stärksten in Erscheinung. Die vier Aussagen sind daher durchaus gleichwertig.
Die oben erhaltenen verschiedenen Aussagen, die einander äquivalent sind, sind auch äquivalent zum Auswahlaxiom und lassen eine bestimmte Anzahl von Axiomen der Mengenlehre zu , z. B. die von Zermelo. Es wäre daher möglich, das Lemma von Zorn als ein Axiom und das „ Auswahlaxiom “ als einen Satz zu betrachten, der seine Konsequenz wäre. Das Theorem Zermelo oder das Prinzip der guten Ordnung ist äquivalent zum Auswahlaxiom, das verwendet wurde, um die ersten Lemma Zorn-Versionen (vor Zorn) zu demonstrieren, deren direkte Demonstrationen denen dieser neuesten ähnlich sind.
Jedoch, nach einem berühmten scherzhaften Mathematiker Jerry Bona (in) , "Das Axiom der Wahl ist offensichtlich wahr, das Prinzip der guten Ordnung ist offensichtlich falsch, und Zorns Lemma weiß niemand etwas." Serge Lang findet es "psychologisch nicht sehr befriedigend", eine Aussage wie Zorns Lemma als Axiom zu nehmen. Es stellt sich heraus, dass das Auswahlaxiom und der Satz von Zermelo direkte Konsequenzen von Zorns Lemma sind, während der Beweis von Zorns Lemma oder Zermelos Satz durch das Auswahlaxiom eine etwas feinere Konstruktion erfordert. Wir können auch einen Fixpunktsatz aufstellen, der nicht vom Auswahlaxiom abhängt und der mit letzterem direkt das Lemma von Zorn liefert.
Schließlich ist das Auswahlaxiom auch eine unmittelbare Konsequenz aus dem Satz von Zermelo, so dass es ausreicht, das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten, um alle angegebenen Äquivalenzen zu erhalten.
Für das Lemma von Zorn gibt es mehrere Beweise, die grob auf folgendem Prinzip beruhen. Wir konstruieren eine Kette aus einem beliebigen Element, sei a . Wenn a = a 0 nicht maximal ist, hat es eine strenge obere Schranke a 1 und so weiter. Der Schlüssel besteht darin, den Prozess ausreichend zu iterieren, bis ein maximales Element erreicht ist. Da im Allgemeinen unendlich oft iteriert werden muss, ist das Auswahlaxiom notwendig, um eine strenge obere Schranke zu wählen. Im Allgemeinen reicht eine einfache Definition durch Induktion über ganze Zahlen nicht aus: Es gibt keinen Grund dafür, dass a ω , strenge obere Schranke der Kette von a n für n ganze Zahlen , maximal sein sollte. Für diesen speziellen Fall würde ein Axiom der schwachen Auswahl, das Axiom der abhängigen Auswahl, ausreichen. Der direkteste Weg, diese Folge aufzubauen, besteht darin, eine Definition durch transfinite Induktion auf den Ordinalzahlen zu verwenden . Das Interesse des Lemmas von Zorn besteht aber gerade darin, auf Ordinalzahlen verzichten zu können, was auch für seinen Beweis möglich ist, und zwar durch direkte Konstruktion der Folge, die wir durch transfinite Induktion erhalten würden, oder durch Vereinigung von "Approximationen" der letzteres oder als Schnittmenge der Relationen mit der entsprechenden Eigenschaft.
Beweis durch OrdinalinduktionSeien ( E , ≤) und eine induktiv geordnete Menge f eine Wahlfunktion zu den Teilen von nichtleerem E . Um zu einem Widerspruch zu gelangen, nehmen wir weiter an, dass ( E , ≤) kein maximales Element hat. Daraus wird abgeleitet, dass jede Kette C nicht nur mindestens eine obere Schranke hat, sondern mindestens eine strenge obere Schranke. Bezeichnen wir mit g ( C ) das Bild mit f der Menge der strengen oberen Grenzen von C und setzen wir für jede Teilmenge D von E, die keine Kette ist, g ( D ) = a , wobei a ein fester beliebiges Element von E .
Wir definieren ein Funktional h durch Induktion über die Ordinalzahlen durch:
h (α) = g ({ h (β) | β <α}).Durch sofortiges Wiederauftreten auf Ordinalzahlen { h (β) | β <α} ist eine Kette von E für jede ordinale α und h (α) ist daher eine strenge obere Schranke dieser Kette. Wir haben also ein streng wachsendes Funktional der Klasse der Ordinalzahlen in der geordneten Menge ( E , ≤) konstruiert , d. h. wir setzen die eigentliche Klasse der Ordinalzahlen und eine Teilmenge von E in bijektive Korrespondenz : dies widerspricht dem Schema der Ersetzungsaxiome .
In der vorherigen Demonstration wurde das Funktional h als Funktionsklasse konstruiert. Es ist möglich, dieselbe Demonstration rein im Ganzen zu entwickeln. Stellen Sie einfach Stunden ein , die im üblichen Sinne zu einer Funktion werden, durch Induktion auf die Ordinalzahl Hartogs von E , die eine Ordinalzahl ist, die nicht in E injiziert wird . Genau daraus ergibt sich der Widerspruch. Außerdem kann sich dieser Beweis auch dann in Zermelos Theorie (ohne Ersatz) entwickeln. Tatsächlich erzeugt die Konstruktion von Hartogs in dieser Theorie eine wohlgeordnete Menge, die nicht in X injiziert und auf die wir den Definitionssatz durch Induktion auf eine gute Ordnung anwenden können .
Wir bemerken, dass die durch transfinite Induktion konstruierten Ketten wohlgeordnet sind: Dieser Beweis funktioniert daher, indem er die Existenz einer oberen Schranke nur für die wohlgeordneten Ketten (Variante (2,3)) annimmt. Da zudem der Beweis des Auswahlaxioms nur das Zorn-Lemma zur Inklusion verwendet (Sonderfall der Variante (1,4)), haben wir damit einen weiteren Beweis für die Äquivalenz der Varianten des Zorn-Lemmas.
Die Elemente der Ordinalfolge h bilden eine maximal wohlgeordnete Kette von ( E , ≤). Es wurde im Rahmen der Argumentation des Absurden konstruiert; andernfalls wird die Folge bei einer bestimmten Ordnungszahl äquipotent zu E unterbrochen , was dabei einen direkten Beweis (aus dem Auswahlaxiom) des Satzes von Zermelo liefert , der wiederum das Lemma von Zorn impliziert.
Wir geben im folgenden Absatz einen Beweis, der diese wohlgeordnete Kette direkt konstruiert und die Definition durch Induktion vermeidet.
Demonstration durch Wiedervereinigung wohlgeordneter KettenWir schlagen vor, die Version des Satzes von Zorn für wohlgeordnete Ketten zu beweisen (Version (2,3)). Dieser kurze Beweis ist eine Adaption des 1904 von Ernst Zermelo für seinen Ordnungssatz gegebenen . Sei ( E , ≤) eine geordnete Menge. Sei g eine partielle Funktion, die auf wohlgeordneten Ketten ( E , ≤) mit Werten in E definiert ist , und die so ist, dass, wenn g für die Kanalordnung C definiert ist , g ( C ) eine strenge obere Schranke von C . ist . Zur Demonstration nennen wir g -String eine wohlgeordnete Kette C, so dass für alle x von C gilt :
x = g ({ y ∈ C | y < x }).Insbesondere ist die leere Menge ein g- String, und wenn C ein g- String ist, so dass g ( C ) definiert ist, dann ist C ∪ { g ( C )} immer noch ein g- String. Wir leiten den Satz von Zorn aus dem folgenden Lemma ab:
Lemma 1. - Unter den oben angegebenen Bedingungen existiert eine maximale g- Kette, dh eine g- Kette C, so dass g ( C ) nicht definiert ist.
Beweis des Lemma von Zorn aus Lemma 1 . Sei ( E , ≤) eine induktiv geordnete Menge im Sinne wohlgeordneter Ketten (1,3). Sei S ( C ) die (möglicherweise leere) Menge strenger oberer Grenzen der wohlgeordneten Kette C und f eine Auswahlfunktion auf P ( E ) \ {∅}. Die Funktion g ist auf den wohlgeordneten Ketten C definiert, die mindestens eine strenge obere Schranke haben und dann gleich f ( S ( C )). Es erfüllt die Annahmen des Lemmas. Sei M ein maximaler g -String, dh g ( M ) ist nicht definiert, oder äquivalent M hat keine strenge obere Schranke. Die wohlgeordnete Kette hat auch eine obere Grenze durch die Hypothese. Wäre dies kein maximales Element, hätte die Kette M strenge Obergrenzen und g ( M ) wäre definiert. Das Lemma von Zorn ist bewiesen.
Um Lemma 1 zu beweisen, verwenden wir das folgende Lemma.
Lemma 2. - Unter den oben angegebenen Bedingungen ist bei zwei g- Saiten eine das Anfangssegment der anderen.
Beachten Sie, dass die beiden Fälle nicht exklusiv sind (wenn die Zeichenfolgen gleich sind).
Beweis von Lemma 2 . Sind zwei g- Ketten C und D . Σ ist die Menge der Anfangssegmente von C und D . Ganz klar ∅ ∈ Σ. Das Zusammentreffen von Σ Elementen ist immer noch ein Anfangssegment von C sowie D oder I .
Beweis von Lemma 1 . Sei M alle g -Ketten von E treffen . Lemma 2 folgern wir, dass jede g- Kette ein Anfangssegment von M ist . Die Menge M (möglicherweise leer ohne weitere Annahme von g ) ist daher wohlgeordnet. Außerdem, wenn x ∈ M , so gibt es eine g -string C , so dass x ∈ C , und da C ein Anfangssegment ist M , haben wir auch x = g ({ y ∈ M | y < x }), das für alle x von M , also ist M ein g -String. Nach Definition von M ist diese g- Kette maximal.
Zwei Details zum Beweis von Lemma 1 Jede g -Kette C ist Anfangssegment von M . Let x ∈ C und y ∈ M , so dass y ≤ x . Da es ∈ M existiert ein g -Kette D wie es ∈ D . Nach Lemma 2 ist C ein Anfangssegment von D oder D ⊂ C . In beiden Fällen gibt es ∈ C . M ist gut sortiert. Nach Lemma 2 ist die Ordnung auf M total. Entweder ist der M- Teil N nicht leer und trifft somit auf eine g- Kette C . Da C wohlgeordnet ist, hat C ∩ N ein kleinstes Element n . Und da (aus früherem Punkt) C ist ein Anfangssegment von M , n ist das kleinste Element von N . FixpunktIst die Wahlfunktion einmal gegeben, entwickelt sich der Rest des Beweises in jedem der beiden obigen Fälle, ohne sich weiter auf das Wahlaxiom zu berufen. Durch leichte Anpassung des einen oder anderen Beweises zeigen wir einen vom Auswahlaxiom unabhängigen Fixpunktsatz.
Fixpunktsatz geordneter Mengen. - Sei f eine Funktion einer streng induktiven ( E , ≤) an sich expansiven Menge, d. h. verifiziere x ≤ f ( x ) für alle x von E , dann hat f mindestens einen Fixpunkt , d. h. ein Element m von E erfüllt f ( m ) = m .
Dieser Satz lässt sich leicht durch Ordinalinduktion beweisen, analog zum Beweis von Zorns Lemma oben (aber ohne das Auswahlaxiom zu verwenden). Es kann auch direkter gezeigt werden, indem die Demonstration angepasst wird, indem wohlgeordnete Ketten aus dem vorherigen Absatz wie folgt wieder zusammengeführt werden.
Erinnern wir uns f -Set ein Teil C von E gut geordnet , so dass für alle x von C ,
x = sup { f ( y ) | y ∈ C und y < x }(insbesondere ∅ eine f -Set und f über jede zunimmt f -Set).
Wir zeigen in gleicher Weise wie im vorigen Absatz für g -Ketten, dass bei zwei f -Mengen C und D eine das Anfangssegment der anderen ist. Aus den gleichen Gründen leiten wir ab, dass die Vereinigung M von f- Mengen eine f- Menge ist. Insbesondere ist M ein wohlgeordnetes System, und f wächst auf M . Das Bild von M durch f , { f ( y ) | y ∈ M } ist dann eine (wohlgeordnete) Zeichenkette, hat also eine obere Schranke z . Dann M ∪ { z } ist ein f -Set daher z ∈ M , also f ( z ) ≤ z daher f ( z ) = z .
Dieser Beweis verwendet nur die Existenz von oberen Schranken für wohlgeordnete Ketten von E und daher kann der Fixpunktsatz nur mit dieser Annahme aufgestellt werden (anstatt dass der stärkere als E streng induktiv ist).
Zorns Lemmaversion (1,4) (oder sogar (2,4) mit der vorherigen Bemerkung) wird beispielsweise so aus dem Fixpunktsatz abgeleitet. Wir nehmen an, dass ( E , ≤) eine streng induktive Menge ist, dh jede Kette von E hat eine obere Schranke. Wenn ( E , ≤) kein maximales Element hätte, dann hätte jedes Element eine strenge obere Schranke und wir könnten nach dem Auswahlaxiom auf E eine Funktion f definieren, die x < f ( x ) für alle x von E erfüllt . Es genügt also zu zeigen, dass eine solche Funktion nicht existieren kann, was unmittelbar aus dem Fixpunktsatz folgt.
Demonstration durch Kreuzungs- und ZaungrundstückEin weiterer Beweis für Zorns Lemma besteht darin, die gewünschte maximale wohlgeordnete Kette als Mengenschnitt mit guten Eigenschaften, nämlich stabil durch Übergang zur oberen Schranke, und durch eine durch Auswahlaxiom erhaltene „Nachfolger“-Funktion zu konstruieren. Dieser Beweis braucht nicht von guter Ordnung zu sprechen (auch wenn der Begriff zugrunde liegt) und ist direkt für Hausdorffs Maximalitätssatz geeignet. Es eignet sich auch für die „schwache“ Version von Zorns Lemma für streng induktive Mengen (Version (1,4) oder (2,4)).
Anstatt das Lemma von Zorn direkt zu beweisen, genügt es, den Fixpunktsatz des vorherigen Abschnitts zu beweisen, der weiter unten skizziert wird.
Wir unterscheiden e von einem Element von E (nicht leer). Zum Zwecke des Beweises nennen wir zulässige Menge eine Teilmenge A von E, die e enthält , abgeschlossen durch Anwendung von f und durch Gehen auf die obere Schranke für die Ketten von A , mit anderen Worten:
Satz E ist zulässig. Deshalb können wir die Kreuzung definieren M aller zulässigen Sätze, die nicht leer ist ( e ∈ M ) und wir können leicht zeigen , dass es nach wie vor eine zulässige Menge ist. Wenn wir zeigen, dass M total geordnet ist, hat es eine obere Schranke m . Als M ist zulässig, m ∈ M und f ( m ) ∈ M . Also f ( m ) = m .
Um zu zeigen, dass M total geordnet ist, genügt es, (mit der Annahme, dass x ing f ( x ) ist, das folgende Lemma zu zeigen.
Lemma. - Für alle x von M , für alle y von M , y ≤ x oder f ( x ) ≤ y .
Für dieses Lemma zeigen wir, dass M ' = { x ∈ M | ∀ y ∈ M ( y ≤ x oder f ( x ) ≤ y )} ist zulässig, und wir verwenden das folgende Lemma.
Lemma. - Für alle x von M' , für alle y von M , y ≤ x oder f ( x ) ≤ y .
Für diese letzte Lemma zeigen wir , dass, wenn x ∈ M ' , dann M x = { y ∈ M | y ≤ x oder f ( x ) ≤ y } ist zulässig.
Es gibt andere Varianten von Zorns Lemma, zum Beispiel finden wir in Bourbaki eine Aussage mit endlichen Zeicheneigenschaften, das sind die Eigenschaften, die für die leere Menge und von einer gegebenen nichtleeren Menge genau dann erfüllt sind, wenn sie für jede endliche Teilmenge von . erfüllt sind es. Da eine Ordnungsrelation auf einer Menge E gegeben ist , hat die Eigenschaft, durch diese Relation vollständig geordnet zu sein, endlichen Charakter. Eine Aussage von Zorns Lemma (die die übliche Aussage verallgemeinert) ist, dass über jeder Menge E und für jede Eigenschaft endlichen Charakters eine maximale Teilmenge von E für die Inklusion mit dieser Eigenschaft existiert.
Prinzipien der Maximalität, die dem Lemma von Zorn mehr oder weniger nahe kommen, wurden in einem Zeitraum von 1907 bis Ende der 1930er Jahre viele Male entdeckt und wiederentdeckt, wobei Zorn selbst die Urheberschaft des Ergebnisses nicht beanspruchte. 1928 demonstrierte Salomon Bochner in einem Artikel über Riemannsche Flächen ein Lemma, dessen Aussage die heute übliche (Version (1,4)) des Zorns Lemma für eine geordnete Menge ist. Aber schon 1922 demonstrierte Kuratowski aus dem Prinzip der guten Ordnung „Prinzipien der Minimalität“, die dem Fall (1,4) für eine Menge von Mengen ( Zornes Lemma für Inklusion ) und sogar dem Fall (2.4) entsprechen. Felix Hausdorff gibt Kuratowskis Aussage in der zweiten Auflage von 1927 seines mengentheoretischen Buches Grundzüge der Mengenlehre wieder . In einem 1932 erschienenen Buch, Foundations of Point Set Theory , leitete Robert Lee Moore aus dem Prinzip der guten Ordnung – wie Kuratowski, der auch in seiner Bibliographie auftaucht – ein „Prinzip der Minimalität“ ab, das Zorns Lemma für Inklusion entspricht.
Zorn war jedoch der erste, der das Lemma in der Algebra für die bekannten Konsequenzen des Auswahlaxioms verwendete, wo seine Vorgänger den Satz von Zermelo und die transfinite Wiederkehr verwendeten. Zorn war auch der erste, der die Äquivalenz eines solchen Maximalitätsprinzips mit dem Auswahlaxiom verkündete. Noch in Deutschland, 1933 in Hamburg , präsentierte er sein „Prinzip des Maximums“ und interessierte Emil Artin und Claude Chevalley . Es scheint, dass von dort aus Zorns Lemma unter diesem Namen durch Artin, Chevalley und auch Solomon Lefschetz zirkuliert . Mathematiker erkennen dann, dass es weit verbreitet ist, nicht nur in der Algebra, sondern beispielsweise auch in der Topologie. Unter diesen Namen finden wir das „Zorn-Theorem“ in der 1939 erschienenen Ergebnisbroschüre von N. Bourbaki (einer Gruppe von Mathematikern, der Chevalley angehört) und das „Zorn-Lemma“ in John Tukeys Buch Convergence and Uniformity in Topologie im Jahr 1940 veröffentlicht.
Darüber hinaus treten vor Kuratowski Prinzipien der Maximalität auf. Hausdorff gibt 1907 einen Sonderfall seines Maximalitätssatzes an, verallgemeinert ihn 1909 (in der Form: jede Menge von Teilen enthält eine maximale Zeichenkette zum Einschließen, bereits äquivalent zu Zorns Lemma angegeben) und gibt 1914 die hier oben gegebene Form in die Erstausgabe seines Buches Grundzüge der Mengenlehre . Wir finden auch Spezialfälle von Zorns Lemma für die Einbeziehung, mit topologischen Arbeiten um 1910 und 1911 von Zygmunt Janiszewski , Stefan Mazurkiewicz , Ludovic Zoretti und LEJ Brouwer .
Das Lemma von Zorn hat ein breites Anwendungsspektrum, das nicht erschöpfend aufgezählt werden kann. Es stellt sich heraus, dass viele Anwendungen "starker" Versionen des Auswahlaxioms Ergebnisse der Maximalität verwenden, was dann mit Zorns Lemma demonstriert wird. Das Lemma wird im Allgemeinen nicht für Ergebnisse aufgerufen, die durch abzählbare Versionen des Auswahlaxioms erhalten werden, wie zum Beispiel das Axiom der abhängigen Auswahl, das es ermöglicht, durch Induktion eine Folge (indiziert durch ganze Zahlen) mit einer Auswahl bei jedem Wiederholungsschritt zu konstruieren. Somit verwendet die Existenz eines maximalen Ideals in jedem Ring das Lemma von Zorn, aber für einen noetherschen Ring können wir es vorziehen, einen Beweis zu führen, der nur das Axiom der abhängigen Wahl verwendet.
Beachten Sie, dass, beschränkt auf den speziellen Fall von Booleschen Ringen , der maximale Idealsatz schwächer ist als das Auswahlaxiom (während er im allgemeinen Fall dem Auswahlaxiom und damit dem Lemma von Zorn entspricht). Es wird jedoch natürlich durch das Lemma von Zorn bewiesen und hat selbst viele Anwendungen, beginnend mit dem Ultrafilter- Theorem, das ihm durch Dualität direkt äquivalent ist.
Algebra ist historisch gesehen der erste Bereich der Mathematik außerhalb der Mengenlehre, in dem das Axiom der Auswahl weit verbreitet war, trotz der Kontroversen, die bei der Veröffentlichung durch Zermelo im Jahr 1904 aufkamen. Viele Anwendungen des Axioms der Auswahl in der Algebra sind miteinander verbunden zu Maximalitätsergebnissen, die Zorn Mitte der 1930er Jahre durchführte Die wenigen folgenden Anwendungen auf die Algebra wurden bereits von Zorn in seinem Artikel (mit einigen Variationen) erwähnt und vor Zorn durch Zermelos Theorem demonstriert.
Einige mengentheoretische Ergebnisse erscheinen natürlicherweise als Maximalitätsergebnisse und lassen sich leicht durch Zorns Lemma demonstrieren. Es ist der Fall:
beide entsprechen dem Auswahlaxiom und damit dem Lemma von Zorn.
Die Episode Barts neuer Freund aus der Simpsons- Serie bezieht sich auf Zorns Lemma.