Boole Ring

Ein Boolescher Ring ist ein einheitlicher Ring ( E , +, •, 0, 1), in dem jedes Element a die Beziehung a • a = a erfüllt .

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass ein Boolescher Ring kommutativ ist und dass jedes Element sein eigenes Gegenteil ist (durch Berechnung des Quadrats von x + 1, dann des Quadrats von x + y ).

In einem präzisen Sinne sind Boolesche Ringe Boolesche Algebren, die anders dargestellt werden. Wir gehen vom Booleschen Ring ( E , +, •, 0, 1) zur Booleschen Algebra ( E , ∨, ∧, ', 0, 1) durch Setzen

• a∧b = a b
• a '= 1 - a
• a V b = a + b + a b

und umgekehrt, mit der ersten Gleichheit und durch Setzen

• a + b = (a V b) ∧ (a 'V b') = a∧b 'V a'∧b.

Insbesondere ist das Hinzufügen der Boole-Ringe das Exklusive oder (oder XOR).

Für dasselbe Polynom führen die primitiven Operationen der Booleschen Algebra zu den beiden normalen konjunktiven und disjunktiven Formen , die des Booleschen Rings zur normalen algebraischen Form .

• Auf praktischer Ebene wird die Boolesche Berechnung für den Entwurf von Logikschaltungen verwendet, die auf ET / AND-, OR / OR-, NON / NOT-, NI / NAND- oder NOR- Berechnungen basieren, bei denen die Verwendung von EXCLUSIVE OR / XOR schwierig ist , während der Boolesche Ring ET / AND und EXCLUSIVE OR / XOR enthält und die Paritätsschlüssel klar ausdrückt. Diese beiden äquivalenten Systeme tendieren daher dazu, unterschiedliche Technologien anzusprechen.

• Mathematisch ermöglicht der Boolesche Ring den Übergang zwischen traditioneller Boolescher Berechnung, Galois CG (2) und Anwendungen zur Fehlererkennung / -korrektur.

Verweise

1. Roman Sikorski, Boolesche Algebren , Springer-Verlag ,1969, p. 52-54.
2. Jean Kuntzmann, Algebra von Boole , Dunod ,1968,?.