Gerätering

In der Mathematik ist ein einheitlicher Ring , manchmal ein einzelner Ring , aber oft einfach ein Ring (siehe Ring (Mathematik) ), eine der grundlegenden algebraischen Strukturen der allgemeinen Algebra . Es ist eine Menge, bei der zwei Operationen einige der Eigenschaften der Addition und Multiplikation von relativen ganzen Zahlen erfüllen .

Historischer Aspekt

Die Studie von Ringen entsteht in der deutschen Schule der XIX - ten  Jahrhundert. Es wird von den Mathematikern Dedekind , Hilbert , Fraenkel und Noether entwickelt . Es entsteht aus dem Studium algebraischer Gleichungen , der algebraischen Zahlen und der Suche nach einer Demonstration des letzten Satzes von Fermat . Sie wird zu einer wichtigen Entwicklung der allgemeinen Algebra und der algebraischen Geometrie führen .

In der X - ten Nachtrag zweite Ausgabe von Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet 1871 Dedekind betrachtet, neben dem Begriff der Körper ( Körper ), der Ring der ganzen Zahlen einer algebraischen Zahl; ein wenig später wird er andere Ringe einführen , die er nennt Aufträge ( Ordnung ). Aber es war David Hilbert, der den Begriff Ring (verwendet Ring ) zu definieren , was immer an der Zeit ist ein kommutativer Ring mit Einheit, in seinem Bericht über Zahlen ( Zahlbericht ) 1897 für die Deutsche Mathematiker-Vereinigung .

Definition

Ein unitärer Ring ist eine Menge A, die mit zwei Operationen versehen ist ( Addition und Multiplikation genannt ), die sich wie die von ganzen Zahlen verhalten, bezogen auf die folgende genaue Bedeutung: A mit der Addition versehen ist eine abelsche Gruppe , die Multiplikation ist assoziativ , distributiv bezüglich der Addition , und es hat ein neutrales Element .

Genauer gesagt ist ein Ring eine Menge A, in der zwei Gesetze der inneren Zusammensetzung gegeben sind , die mit + und ∙ bezeichnet werden und die folgenden Eigenschaften verifizieren:

• Was auch immer die Elemente a , b und c sind, die zur Menge A gehören  :
  • ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  • a + b = b + a
  • ( a ∙ b ) ∙ c = a ∙ ( b ∙ c )
  • a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c
  • ( b + c ) a = b ∙ a + c ∙ a
• Es gibt ein Element, das mit 0 bezeichnet wird und das neutrale Element des Gesetzes der inneren Zusammensetzung + genannt wird , so dass für jedes Element a zur Menge A gehört  :
  • a + 0 = 0 + a = a
• Jedes Element a, das zur Menge A gehört, hat ein Gegenteil , bezeichnet mit - a , das erfüllt:
  • a + (- a ) = (- a ) + a = 0
• Es gibt ein Element, das mit 1 bezeichnet wird und das neutrale Element des Gesetzes der inneren Zusammensetzung ∙ oder Einheitselement genannt wird , so dass für jedes Element a zur Menge A gehört  :
  • a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

Ein kommutativer Ring ist ein Ring, dessen Multiplikation ebenfalls kommutativ ist . Wie oben erklärt, ist es ein Ring, in dem die folgende Identität unabhängig von den Elementen a und b der Menge A verifiziert wird  :

• a ∙ b = b ∙ a .

Terminologischer Hinweis: „Ringe“ ohne Multiplikativ-Neutral

Eine Minderheit von Autoren definiert einen Ring, ohne die Existenz eines neutralen Elements für die Multiplikation zu erfordern. Der Leser, der Informationen zu dieser Struktur sucht, die nicht Gegenstand dieses Artikels ist, wird auf den Pseudo-Ring- Artikel verweisen . Aufgrund dieser unterschiedlichen Definitionen kann es, wenn man Verwirrung befürchtet, vernünftig sein, einen einheitlichen (oder einheitlichen ) Ring zu spezifizieren, wenn man sich auf einen Ring im Sinne dieses Artikels bezieht, einen Ring mit einem multiplikativen Neutralen.

Beispiele

Beispiele für kommutative Ringe

• Die Einzelelementmenge {0} mit den Operationen 0 + 0 = 0 und 0 · 0 = 0 ist ein kommutativer Ring, der als Nullring oder trivialer Ring bezeichnet wird .
• Die Menge ℤ der relativen ganzen Zahlen, versehen mit Addition und Multiplikation, ist ein kommutativer Ring.
• Ein kommutativer Körper ist ein kommutativer Ring, bei dem alle von Null verschiedenen Elemente für die Multiplikation invertierbar sind. Unter vielen anderen sind die Menge ℚ der rationalen Zahlen , die Menge ℝ der reellen Zahlen , die Menge der komplexen Zahlen , versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation, kommutative Körper , also kommutative Ringe.
• Die Menge der Kongruenzklassen modulo einer gegebenen streng positiven ganzen Zahl n ist ein kommutativer Ring für das Kongruenzgesetz; es wird mit ℤ / n ℤ bezeichnet .
• Die Menge der Polynome mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring ist auch ein kommutativer Ring.

Beispiele für nichtkommutative Ringe

• Die Endomorphismen eines Vektorraums bilden einen Ring, wobei das erste Gesetz die Addition der Funktion für das + -Gesetz und das zweite die Komposition ist. Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Der Ring M n ( A ) von quadratischen Matrizen der Größe n mit Koeffizienten in einem Einheits Ring A ist selbst eine Einheit Ring (die multiplikative neutral ist die Identitätsmatrix I n ), nichtkommutative wenn n > 1 ist .
• Die Quaternionen Hamilton ist ein nichtkommutativer Körper .

Gegenbeispiele

• Die Menge N der natürlichen Zahlen ist kein Ring, denn sie ist keine Gruppe, wenn sie mit der Addition versehen ist: die Existenz von Gegensätzen fehlt. Es ist ein Halbring .
• Die Menge 2ℤ der geraden (relativen) ganzen Zahlen ist kein Ring, da ihre Multiplikation kein neutrales Element hat. Es ist ein Pseudo-Ring .
• Die Menge der Oktonionen ist kein Ring, weil ihre Multiplikation nicht assoziativ ist. Manchmal auch als nicht assoziativ  (in) bezeichnet .
• Für jede nicht- triviale Gruppe ( G , +) wird die Gruppe ( G G , +) von Abbildungen von G nach G , wenn wir sie mit der Zusammensetzung ∘ versehen, ein Fast-Ring  (en) , aber kein gerader Ring falls G kommutativ ist, weil die Distributivität links nicht verifiziert ist: es gilt nicht f ∘ ( g + h ) = ( f ∘ g ) + ( f ∘ h ).

Und noch andere Beispiele

Wir fanden mehr Beispiele, die entsprechenden Abschnitten von Artikeln zu bestimmten Klassen von Ringen gewährt wurden, und insbesondere Artikeln kommutativer Ring , Integralbereich und assoziative Algebra über einem Körper .

Der Abschnitt „Ringkonstruktion“ unten bietet auch eine vollständigere und systematisierte Liste von Beispielen.

Grundlegendes Konzept

Morphismen

Ein Ringmorphismus ist eine Abbildung f zwischen zwei Ringen A und B, die mit ihrer Struktur kompatibel ist, im genauen Sinne:

Für alle a , b in A  :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b )

Insbesondere wenn A und B unitär sind, heißt dieser Morphismus unitär, wenn

f ( 1A ) = 1B .

Die folgenden Anwendungen sind Beispiele für Ringmorphismen:

• Die Konjugation des Rings der komplexen Zahlen mit sich selbst. Dieser Morphismus ist bijektiv (wir sagen, dass es ein Automorphismus von ℂ ist);
• Für n streng positive ganze Zahlen ist die Projektion von ℤ auf den Ring ℤ / n ℤ  ;
• Die Bewertungsfunktion, die einem Polynom P mit reellen Koeffizienten ihren Wert P ( c ) in einem festen reellen c zuordnet .

Ringmorphismen setzen sich aus einander zusammen, was die Ringklasse zu einer Kategorie macht .

Nebenringe

Ein Teil B eines Rings A wird als Teilring von A bezeichnet, wenn:

• B ist eine additive Untergruppe von A
• B ist stabil für die Multiplikation
• Das neutrale Multiplikativ A gehört zu B .

Hier einige Beispiele für Unterringe:

• Der Ring der relativen ganzen Zahlen ist ein Unterring des Rings der reellen Zahlen;
• Die Polynome ohne Monom ersten Grades der Form bilden einen Teilring des Rings der Polynome ℝ [ X ];
• Die stetigen Funktionen von ℝ bis ℝ bilden einen Teilring des Rings aller Funktionen von ℝ bis ℝ.

Ein injektiver Ringmorphismus zwischen zwei Ringen induziert eine Identifizierung zwischen seinem Startring und einem Unterring seines Ankunftsrings.

Ideale und Quotientenringe

In doppelter Weise, wenn auch etwas technischer, ermöglicht der Begriff des Quotientenrings , den Ankunftsring eines surjektiven Morphismus als Quotient des Startrings zu beschreiben . Seine Definition basiert auf dem Konzept der zweiseitigen Ideale , die die Objekte sind, durch die man quotienting (sie sind ähnlich wie die in Sinn Untergruppen der Theorie der Gruppen ).

Ein zweiseitiges Ideal I eines Rings A (oder einfach „  Ideal  “, wenn keine Verwechslung zu befürchten ist, insbesondere im kommutativen Fall) ist eine additive Untergruppe von A, die beweist:

für alle x in I und alles hat zu A , ax ∈ I und x ∈ I .

Wir definieren einen ideal auf der linken Seite (resp. Auf der rechten Seite ) als Zusatzuntergruppe , für die wir nur die Bedingung erfordern ax ∈ I (resp. Xa ∈ I ). Obwohl sie die Konstruktion von Quotientenringen nicht erlauben, sind sie wichtige Konzepte in der Theorie nichtkommutativer Ringe.

Hier einige Beispiele für Ideale:

• In jedem Ring A sind {0} und A zweiseitige Ideale von A .
• In einem kommutativen Ring A , der Satz von Vielfachen eines bestimmten Element b (dh der sagen ist , ab , eine Verfahrbewegung A ) ist ein Ideal von A , die genannten Hauptideal erzeugt durch b . Zum Beispiel ist die Menge der Vielfachen von 5 ein Ideal des Rings ℤ.
• Die Menge der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, deren konstanter Term gerade ist , ist ein Ideal des kommutativen Rings ℤ [ X ], der nicht prinzipiell ist.
• Im nichtkommutativen Ring quadratischer Matrizen mit reellen Koeffizienten ist die Menge der Matrizen, deren erste Spalte null ist, ein linkes Ideal, die Menge der Matrizen, deren erste Zeile null ist, ist ein rechtsideal. Außer den zwei trivialen Idealen des ersten Beispiels gibt es keine zweiseitigen Ideale.

Ein bilaterales Ideal I ermöglicht die Konstruktion eines Quotientenrings  : Die kommutative Quotientengruppe A / I kann mit einer Multiplikation versehen werden, die sie zu einem Ring macht, wobei die kanonische Projektion von A auf A / I dann ein surjektiver Morphismus ist. Wie in der Einleitung zum Unterabschnitt angekündigt, ist das Bild jedes surjektiven Ringmorphismus isomorph zu einem Quotienten seines Ausgangsrings (dem Quotienten durch den Kern des Morphismus).

Berechnung im Ring

Ausgestattet mit seiner einzigen Multiplikation ist ein Ring ein bestimmtes Monoid . Die Definitionen, die in diesem breiteren Rahmen (oder sogar in einem noch allgemeineren Rahmen) sinnvoll sind, können daher verwendet werden, um Eigenschaften von Elementen des Rings zu benennen. In der Ringtheorie sind unter anderem folgende Konzepte relevant, die alle den zweiten Hauptsatz (Multiplikation) betreffen:

• die der veränderlichen Elemente und des zentralen Elements  ;
• das des idempotenten Elements  ;
• die der positiven ganzzahligen Potenzen eines Elements (einschließlich der Konvention x 0 = 1 für alle x );
• die des invertierbaren Elements (oder nur des invertierbaren Elements links oder des invertierbaren rechts) und Potenzen mit negativem Exponenten für solche Elemente. Wie in jedem Monoid bilden die Invertiblen eine Gruppe , die wir die Gruppe der Einheiten des Rings nennen.

In jedem Ring:

• 0 ist absorbierend für die Multiplikation;
• (– a ) b = – ( a b ) (weil (– a ) b + ( a b ) = (– a + a ) b = 0 ∙ b = 0);
• a (– b ) = – ( a b ) (ebenfalls);
• insbesondere (–1) x = x ∙ (–1) = –x (daher (–1) ∙ ( –x ) = ( –x ) ∙ (–1) = – ( –x ) = x ).

In einem Ring ist es im Allgemeinen unmöglich, in einer Multiplikation ohne Vorkehrungen zu vereinfachen. Wir wissen zum Beispiel, dass wenn die quadratischen Matrizen A , B und C die Identität AB = AC verifizieren , wir daraus nicht B = C ableiten können und dies auch dann, wenn A nicht die Nullmatrix ist . Die beiden folgenden Konzepte ermöglichen es, diese Vereinfachungsmängel zu analysieren:

• ein von Null verschiedenen Elemente eines von A ist ein Divisor von Null auf dem rechten Seite (resp. auf der linken Seite) , wenn es existiert ein Nicht-Null - Element B von A , daß solchen ba = 0 (resp. AB = 0). Es ist ein Teiler von Null, wenn es rechts ein Teiler von Null oder links ein Teiler von Null ist.
• ein Element a von A heißt nilpotent, wenn es eine ganze Zahl m ≥ 1 mit a m = 0 gibt. Die kleinste ganze Zahl, für die diese Identität verifiziert wird, wird als Nilpotenzordnung von a bezeichnet . Jedes nilpotente Element ungleich Null ist ein Teiler von Null.

Beispiele: 2 ist nilpotent in allen Ringen ℤ / 2 n ℤ mit n ≥ 2.

Die Formel des Binomialsatzes ist auf jedes Paar austauschbarer Elemente anwendbar. Für alle permutierbaren x , y und jede positive oder Null ganze Zahl n :

(x+ja)nicht=Σk=0nicht(nichtk)xnicht-kjak.{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} x ^ {nk} y ^ {k}.}

Es verallgemeinert auf jede endliche Familie von Elementen, die paarweise permutierbar sind: es ist die Formel des Multinoms .

Feature

Die Charakteristik eines Rings ist, falls vorhanden, die kleinste streng positive ganze Zahl n, so dass:

1+1+⋯+1⏟nichttericheso = 0.{\ displaystyle \ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {n \; Begriffe} ~ = ~ 0.}

Existiert eine solche ganze Zahl nicht (mit anderen Worten, wenn 1 von unendlicher additiver Ordnung ist ), sagen wir, dass die Charakteristik Null ist.

Module

Der Formalismus der Vektorräume , wo Skalare , Elemente eines Körpers , Vektoren multiplizieren , kann auf Skalare Elemente eines Rings erweitert werden. Die so definierten Strukturen werden Module genannt .

Das Studium der Module ist Selbstzweck und hat viele Konsequenzen, die nicht Gegenstand dieses Artikels sind. Eine davon hat jedoch hier ihren Platz: Ein Ring kann als Modul für sich betrachtet werden, was die Reinvestition der Ringe in die Theorie der modulspezifischen Techniken ermöglicht.

Genauer gesagt, für einen gegebenen Ring A, dessen Multiplikation wir mit x bezeichnen, behalten wir sein additives Gruppengesetz bei und statten ihn mit einem externen Gesetz aus , das wir mit ∙ bezeichnen, indem wir für α einen Skalar in A und einen Vektor in A setzen  :

α ∙ a = α x a .

Die Addition und mit diesem externen Gesetz versehen dann A einen Strukturbaustein links auf A . Auf die gleiche Weise würde das externe Gesetz, definiert durch: a ∙ α = a x α , ihm eine rechte Modulstruktur verleihen.

Diese Struktur liefert neue Erkenntnisse A . Wir sehen zum Beispiel, dass die Ideale links (bzw. rechts) genau die Untermodule für die Modulstruktur links (bzw. rechts) sind und im kommutativen Fall die Ideale genau die Untermodule sind.

Unitäre assoziative Algebren

Wir nennen unitäre assoziative Algebra auf einem kommutativen Ring R einen Ring A, der auch mit einem externen Modulgesetz mit R für Ring von Skalaren versehen ist, kompatibel mit dem internen Multiplikationsgesetz im folgenden Sinne: für jeden Skalar α in R und alle Elemente a , b von A  :

α ( ab ) = ( αa ) b = a ( αb ).

Daher bilden unitäre assoziative Algebren eine riesige Klasse von Ringen und liefern sehr unterschiedliche Sammlungen wichtiger Beispiele. Darüber hinaus kann jeder Ring als Algebra auf ℤ betrachtet werden, genauso wie jede abelsche Gruppe als ℤ-Modul und jeder kommutative Ring als Algebra auf sich selbst (Kommutativität ist hier wesentlich) . Damit stehen die für die Theorie der assoziativen Algebren spezifischen Werkzeuge zur Verfügung, um Ringe zu konstruieren und zu studieren.

Kommutative Ringe

Die sehr reiche Theorie spezifisch für kommutative Ringe wird kommutative Algebra genannt . Es wird auf den ausführlichen Artikel kommutativer Ring , erweitert um den Artikel integraler Bereich , verwiesen , um einen Überblick über Konzepte zu erhalten, die für diese Klasse von Ringen einzigartig sind: Ringe Schlüssel , Ringe Fakultät , ganzes Element usw.

Ringkonstruktion

Zwei der grundlegendsten Konzepte zur Herstellung von Beispielringen wurden oben bereits diskutiert:

• Die Unterringe eines gegebenen Ring sind wiederum Ringe: So zum Beispiel werden wir den Ring produzieren stetigen Funktionen aus dem Ring aller Funktionen. In der algebraischen Zahlentheorie ist aus zwei ineinander eingeschlossenen kommutativen Ringen A ⊂ B der Ring der Elemente der ganzen Zahl B auf A ein wichtiger Teilring.
• Die Ringquotienten nach einem bilateralen Ideal sind wiederum Ringe. Das Verfahren erhält sehr unterschiedliche Anwendungen, insbesondere in kommutativen Algebra , die Bereitstellung den Ring z / n z aber auch in einer versteckten Weise Konstruktionen von kommutativen Feldern als Quotienten von Ringen von Polynomen auf einem bereits bekannten Bereich (siehe zu diesem Thema l ‚Artikel„  Bruchkörper  “) - man baut also alle endlichen Körper ausgehend vom einzigen ℤ / p ℤ, bzw. den Körper ℂ der Komplexe ausgehend von den Körpern der reellen Zahlen . Die nach dieser Methode konstruierten Vollringe der algebraischen Geometrie , und der Ring nicht in dualen Zahlen reduziert .

Diese beiden Verfahren erfordern die vorherige Verfügbarkeit eines Rings. Um Konstrukte zu initialisieren, sind die folgenden Techniken besonders wichtig:

• Gegeben eine abelsche Gruppe E ist die Menge End ℤ ( E ) der Gruppenendomorphismen von E, versehen mit der Addition von Funktionen und Zusammensetzung, ein Ring. Indem wir diese Konstruktion auf E = ℤ 2 anwenden , erhalten wir ein erstes nicht-kommutatives Beispiel, isomorph zum Ring der Matrizen (2, 2) mit ganzzahligen Koeffizienten.
  • Wenn E mit einer reicheren Struktur als der einer abelschen Gruppe ausgestattet ist, insbesondere mit einem Modul auf einem Ring, der stärker angereichert ist als der der relativen ganzen Zahlen, oder sogar mit Vektorraum , können die Gruppenendomorphismen bezüglich der zusätzlichen Struktur eine Untergruppe bilden. Ring von dem im vorherigen Beispiel bereitgestellten. Wenn zum Beispiel E = ℝ 2 als Vektorraum auf ℝ betrachtet wird, ist die Menge seiner Endomorphismen des Vektorraums End ℝ (ℝ 2 ) ein Ring, Unterring des gigantischen Rings End ℤ ( 2 ) seiner Endomorphismen der Gruppe. Es ist isomorph zum Ring von Matrizen (2, 2) mit reellen Koeffizienten.
  • Tatsächlich ist jeder Ring A ein Unterring eines solchen Rings von -Modulus-Morphismen, nämlich End ℤ ( A ). Wenn wir definieren l ein  : A → A durch l a ( x ) = ax , sehen wir , daß L a ist ein endomorphism für die abelschen Gruppe Struktur, so daß eine ↦ l a ist ein injektiver Ring morphism von A in End z ( A ).
• Bei einem gegebenen Ring A wissen wir, wie man einen Ring von Polynomen mit Koeffizienten in A konstruiert , der mit A [ X ] bezeichnet wird.
  • Die Iteration dieses Prozesses liefert die Ringe von Polynomen in mehreren unbestimmten .

Ein weiteres grundlegendes Werkzeug aus bereits bekannten Ringen ist das Direktprodukt:

• Gegeben eine Familie von Ringen A i konstruieren wir ein Produkt dieser Ringe (deren zugrundeliegende Menge das kartesische Produkt der Mengen A i ist ).
  • Ein bemerkenswerter Fall ist, wenn alle A i der gleiche Ring A sind . Die ihrem Produkt zugrunde liegende Menge ist dann die Menge A I der Anwendungen von I bis A , versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation der Anwendungen.
  • Wenn die A i ein projektives System darstellen , konstruieren wir als Teilring ihres Produkts einen projektiven Grenzring des Systems. Dieses Verfahren ermöglicht es, die Ringe formaler Reihen auf einem kommutativen Ring oder den Ring ℤ p von p- adischen ganzen Zahlen zu konstruieren .

Einige Techniken sind im Bereich der kommutativen Algebra  :

• Die Lokalisierung besteht bei einem ganzzahligen Ring darin , Elemente hinzuzufügen, um die Teilung durch einige Elemente des Rings zu ermöglichen (das Konzept existiert auch für alle kommutativen Ringe, ist aber etwas technischer). Wenn wir alle Nenner (außer 0) zulassen, konstruieren wir den Körper der Brüche des ganzzahligen Rings, also den Körper ℚ der rationalen Zahlen aus dem Ring der ganzen Zahlen; wenn man die einzigen Nenner autorisiert, die nicht zu einem gegebenen maximalen Ideal gehören , konstruiert man einen lokalen Ring , eine Konstruktion, die in der algebraischen Geometrie besonders häufig ist.
• Die Vervollständigung  (en) eines topologischen Rings liefert den Körper der reellen Zahlen aus dem der rationalen Zahlen. Auch die oben angeführten Beispiele für den projektiven Grenzwert (formale Reihen, p -adische ganze Zahlen ) können mit dieser Konstruktionsweise verknüpft werden.

Der Standpunkt der unitären assoziativen Algebren bietet ein letztes Werkzeug:

• Das Tensorprodukt kann auf verschiedene Weise verwendet werden, um neue Ringe zu konstruieren. Erstens ist die Tensoralgebra von V bei einem gegebenen kommutativen Ring R und einem R -Modul V eine bemerkenswerte unitäre assoziative Algebra, also ein bemerkenswerter Ring. Zweitens ermöglicht das Tensorprodukt von Algebren, zwei Ringe zwischen ihnen ganz anders zu „multiplizieren“ als bei der oben angegebenen Konstruktion des direkten Produkts.

Literaturverzeichnis

Für eine Einführung in die Ringtheorie

• (de) David M. Burton, Ein erster Kurs in Ringen und Idealen , Addison Wesley,1970Während Sie für einen Anfänger zugänglich bleiben, vernachlässigen Sie nicht die nichtkommutativen Ringe. Achten Sie darauf , dass in dieser Arbeit Ring wird verwendet , um einen pseudo-Ring zu bezeichnen.
• Jean Fresnel, Ringe , Paris, Hermann,2001, 359  S. ( ISBN  978-2-7056-1447-8 , Hinweis BnF n o  FRBNF37692694 )Beschäftigt sich hauptsächlich mit kommutativen Ringen.

Der allgemeine Algebra-Unterricht enthält unweigerlich ein oder mehrere Kapitel, die den Ringen gewidmet sind. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit zitieren wir:

• N. Bourbaki , Algebra , Hermann,1970 ;
• (in) Paul Cohn , Algebra , t.  1, Wiley,1974, 321  S. ( ISBN  978-0-471-16430-2 ) ; (de) Algebra , t.  2, Wiley,1989, 428  S. ( ISBN  978-0-471-92234-6 ) ;
• Roger Godement , Cours d'Algebre , Hermann,1966, 2 nd  ed. (sehr zugänglich);
• (en) Pierre-Antoine Grillet, Abstrakte Algebra , New York, Springer-Verlag,2007, 669  S. ( ISBN  978-0-387-71567-4 , Hinweis BnF n o  FRBNF41150017 ) ;
• Serge Lang , Algebra , Paris, Dunod,2004, 3 e  ed. , 926  S. ( ISBN  978-2-10-007980-3 , Hinweis BnF n o  FRBNF39285909 ) ;
• Saunders MacLane und Garrett Birkhoff , Algebra: Fundamental Structures , Gauthier-Villars,1967.

Um noch ein bisschen weiter zu gehen

• (en) Tsit Yuen Lam , Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen , Springer, coll.  "  GTM  " ( n o  131)2001, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1991), 385  p. ( ISBN  978-0-387-95183-6 , Online-Präsentation )
• (en) Louis Rowen, Ringtheorie , vol.  1, Boston, akademische Presse,1988( ISBN  978-0-12-599841-3 , Ankündigung BnF n o  FRBNF44638370 , online lesen )

Hinweise und Referenzen

1. Siehe zum Beispiel:
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   • Stéphane Balac und Frédéric Sturm, Algebra und Analysis: Erstsemester Mathematikkurs mit korrigierten Übungen , PPUR ,2003, 1021  S. ( online lesen ) , s.  64, Anmerkung 12;
   • Wörterbuch der Begriffe , Encyclopædia Universalis , coll.  "Die Wörterbücher von Universalis" ( n o  3),2015, 3456  S. ( online lesen ) , s.  3129.
   Bourbaki 1970 , S.  I-12, I.92 und I.93 definieren eindeutig den Qualifier "Unifier", aber für Magmen . Seine Definition von Ring setzt ein neutrales Element für die Multiplikation voraus. Fehlt diese einzige Eigenschaft, spricht man von einem „Pseudo-Ring“.
2. Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ Detail der Ausgaben ], Flug. 1, s. 111-112, 201-203, und (de) D. Hilbert, „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“, Jahresbericht der DMV , vol. 4, 1897, p. 175-546, § 31.
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4. Der Zustand der commutativity der Zugabe wird traditionell in der Definition eines Ringes erforderlich, aber es ergibt sich aus der Verbindung der anderen und ist daher überflüssig: in der Tat, wenn wir entwickeln auf zwei verschiedene Arten (1 + 1) ∙ ( a + b ) = 1 ∙ ( a + b ) + 1 ∙ ( a + b ) = a + b + a + b aber auch (1 + 1) ∙ ( a + b ) = (1 + 1) ∙ a + (1 + 1) ∙ b = a + a + b + b dann vereinfachen wir links und rechts, die Kommutativität der Addition erscheint, vgl. Grill 2007 , S.  107.
5. Die Mehrheit der Quellen formalisiert diesen Punkt nicht übermäßig. Das im Artikel verwendete "in dem angegeben wird" ist ein Zitat von AG Kurosh (  übers . J.-P. Peaudecerf), General Algebra , Dunod,1967, s.  24 ; andere Autoren schreiben „vorgesehen mit“ ( Bourbaki 1970 , S.  I-92) oder einfach „mit“ ( Cohn 1974 , S.  136). Eine Minderheit von Quellen formalisiert mehr auf unterschiedliche Weise. Nach der konsultierten Arbeit kann ein Ring als Triplett ( A , +, ∙) definiert werden, so Godement 1966 , S.  137 oder Grillet 2007 , p.  105, oder ein Quadrupel ( A , +, ∙, 1), vgl. MacLane 1967 , p.  135, oder sogar ein Quintuplet ( A , +, ∙, 0, 1), also in (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra I , WH Freeman and Company,1989( ISBN  978-0-7167-0453-9 ) , p.  84und sogar ein Sextuplet ( A , +, -, -, 0, 1) in (en) Stanley Burris und HP Sankappanavar, A Course in Universal Algebra , New York, Springer,1981, 276  S. ( ISBN  978-0-387-90578-5 , Hinweis BnF n o  FRBNF37371612 ) , p.  24.
6. Maurice Glaymann, „L'algèbre“ , in Mathematik , Retz , Coll.  "Enzyklopädien des modernen Wissens",1975( ISBN  978-2-72566025-7 , online lesen ) , p.  47.
7. So (in) Neal McCoy, The Theory of Rings , The MacMillan Company,1964( ISBN  978-1-124-04555-9 ), ( Burton 1970 , S.  ?) Und Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra , Houghton Mifflin,2004( ISBN  978-0-618-51471-7 )oder auf Französisch Jacqueline Lelong-Ferrand und Jean-Marie Arnaudiès , Mathematikkurs - Tome 1, Algebra , Dunod,1978, s.  79.
8. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  135 unter dem Namen "trivialer Ring"; Bourbaki 1970 , S.  I-96 unter dem Namen "null ring".
9. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  135.
10. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  152-153.
11. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  162.
12. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  226 (wo die Aussage für Module gegeben ist , gilt also insbesondere für abelsche Gruppen ).
13. MacLane und Birkhoff 1967 , p.  294-296.
14. Bourbaki 1970 , p.  I-98.
15. Raymond Raffin, Rings non-asociatifs , Vortrag beim Dubreil-Seminar (1950-1951) , online verfügbar .
16. Bourbaki 1970 , p.  I.97.
17. Godement 1966 , p.  155.
18. Cohn 1974 , p.  137-138.
19. Diese Analogie wird beispielsweise in (in) László Rédei  (in) , Algebra , Bd.  1, Pergamonpresse,1967, s.  129.
20. Bourbaki 1970 , p.  I.99.
21. Bourbaki 1970 , p.  I.100 - I.101.
22. Wir können feststellen, dass wir uns durch das Setzen dieser Bedingung insbesondere dazu entschließen, die nicht unbedingt natürliche Konvention festzulegen, nach der 0 0 = 1 ist. Die Bemerkung erscheint in Rédei 1967 , p.  47.
23. Bourbaki 1970 , p.  I.93.
24. Lang 2004 , p.  99.
25. Godement 1966 , p.  144-146.
26. Lang 2004 , p.  97.
27. Lang 2004 , p.  127.
28. Bourbaki 1970 , p.  III-2.
29. Godement 1966 , p.  139-140, Beispiel 4.
30. Godement 1966 , p.  628, Übung 41.

Siehe auch

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