Der Münzwurf ist ein Glücksspiel, das mit einer Münze gespielt wird . Das Prinzip des Spiels ist es, eine ausgeglichene Münze in die Luft zu werfen und auf die Außenseite zu setzen. Der sich drehende Teil fällt zu Boden und stabilisiert sich dort, oder er wird mit einer Hand gefangen und mit der anderen flach gelegt.
Der Ursprung des Namens "Kopf oder Zahl" ergibt sich aus den Namen auf beiden Seiten einer Münze .
Die erste Verwendung dieses Spiels in dieser Form stammt aus der Schaffung von metallischem Geld. Bisher gab es jedoch andere Formen, bei denen Objekte mit zwei unterschiedlichen Seiten verwendet wurden, z. B. eine Muschel. Das Ziel ist es, eine zufällige binäre Auswahl zu treffen . Noch heute bedeutet das Werfen einer Münze, dass eine Entscheidung dem Zufall überlassen wird, je nachdem, welche Seite der Münze nach dem Werfen erscheint.
Das Münzwurfspiel wird zum Beispiel immer noch im Sport eingesetzt. Es dient als Unterstützung für viele Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeit , einige bleiben offen wie das Problem der Dornröschen .
Es ist ein wichtiges Werkzeug sowohl in der Spieltheorie als auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie .
Alte Schriften nennen ein Kinderspiel aus dem antiken Griechenland , Ostrakinda, bei dem die Wahl der Rolle der beiden Teams getroffen wird, indem eine Muschel oder eine Glasscherbe geworfen wird, die auf der einen Seite weiß und auf der anderen schwarz ist und "Tag oder Nacht" schreit ". Rund um die IV - ten Jahrhundert vor Christus. AD gibt es eine Vielzahl von Münzen, wobei jede Stadt auf der Vorderseite ein Erkennungszeichen hat : eine Eule für Athen , eine Schildkröte für Ägina , eine Krabbe für Agrigento usw. Auf der Rückseite erscheinen Porträts von Göttern oder Herrschern.
In der Römerzeit , aus der III - ten Jahrhundert vor Christus. Die Gravuren auf den Münzen ( römisches Ass oder römisches Pfund ) zeigten Janus ' Gesicht (Doppelgesicht) auf der einen Seite der Münze und das Schiff, das ihn zur Münze brachte. Italien auf der anderen. Der Ausdruck "capita aut navia" (lateinisch "Kopf oder Schiff") wurde dann verwendet. Es gibt auch mehrere andere Darstellungen: Götter, Denkmäler, Herrscher usw.
In 781 , Karl der Große wurde eine Währungsreform , die die Verwendung von alten Währungen verboten. Neue Münzen werden dann mit dem Monogramm (in Form eines Kreuzes) auf der Rückseite und einer kreisförmigen Legende um ein Kreuz auf der Vorderseite geprägt. Die Umkehrung, die als Schwänze bezeichnet wird, wurde bei einer zufälligen Auswahl als "Kreuz oder Stapel" bezeichnet. „Cross oder Batterie“ wird nach wie vor durch verwendet XVII th Jahrhundert durch die Chirurgen und Freibeuter Alexandre Exquemelin in seinem Logbuch , dann Bezüglich der „perulero“ der Stücke von 8 l ' spanisches Reich geprägt in Peru, wo die spanische Kreuz erscheint auf der Vorderseite und die Säulen des Herkules auf der Rückseite. Der Ausdruck wird auch später im Jahr 1856 in Le Père Goriot von Honoré de Balzac über ein Duell angetroffen . Die Herkunft des Begriffs Stapel bleibt ungewiss, siehe Artikel Umgekehrt (numismatisch) für weitere Details. Später erschien der Sohn Karls des Großen, Ludwig der Fromme , erneut mit einer Münze, die sein Bildnis trug.
Von Beginn der Renaissance an nutzten die Herrscher dank eines Befehls Heinrichs II. Vom 31. Januar 1548 die künstlerische Erneuerung, um ihr Porträt auf ähnliche und lohnende Weise darstellen zu lassen. Die Gesichtsseite ist daher die Seite, auf der das Gesicht des Königs, des Prinzen, des Kaisers oder einer Allegorie ( Marianne , der Sämann ) auf der Münze eingeschrieben war . Während der gescheiterten Flucht Ludwigs XVI. Im Jahr 1791 in Varennes wäre er vom Postmeister dank des königlichen Bildnisses auf der Vorderseite eines Schildes erkannt worden .
In numismatischer Sprache , Stapel , um die genannte Reverse - und Gesicht der Vorderseite . Heute ist die Stapelseite diejenige, die den Wert der Münze angibt. Bei Münzen der Europäischen Union ist die Rückseite die Seite der Münzen, die mit den Nummern 1 (Cent), 2 (Cent), 5 (Cent), 10 (Cent), 20 (Cent), 50 (Cent), 1 (Euro) gekennzeichnet sind. oder 2 (Euro). Auf der Vorderseite sind die französischen Münzen von 1, 2 und 5 Rappen mit einer Darstellung von Marianne abgebildet ; Die 10-, 20- und 50-Cent-Münzen stellen den Sämann dar , während auf den 1- und 2-Euro-Münzen ein Baum dargestellt ist. Einige europäische Länder haben sich dafür entschieden, Gesichter auf die 1- und 2-Euro-Münzen zu setzen.
Es gibt auch Münzen , deren beide Seiten identisch sind: Zwei- seitig oder zwei Schwänzen . Sie können echte Stücke sein, die aus einem Herstellungsfehler resultieren. In diesem Fall sind sie insbesondere für die Sammler von großem Wert. Die Münze hat dann eine Vorderseite und eine Rückseite , ohne die Möglichkeit einer Unterscheidung. Viele dieser Doppelmünzen sind jedoch gefälschte Münzen.
Der etymologische Begriff "Würfe oder Schwänze" und das Spiel "Würfe" existieren auch in anderen Sprachen. Einige Sprachen haben unterschiedliche Begriffe für das Konzept und das Spiel. Hier ist eine nicht erschöpfende Liste.
Sprache | Konfession | Bedeutung | |
---|---|---|---|
Do | Begriff | ||
(aus) Deutsch | Münzwurf | Kopf oder Zahl | Kopf oder Nummer |
(in) Englisch | Münzwurf | Kopf oder Zahl | Kopf oder Schwanz |
(ar) Arabisch (Libanon) | طرة و نقشة | أرز أو شختور | Zeder oder Boot |
(ca) Katalanisch | Cara o creu | Gesicht oder Kreuz | |
(es) Spanisch | Cara o cruz | Gesicht oder Kreuz | |
(ga) Gälisch | Ceann nó Cláirseach | Kopf oder Harfe | |
(el) Griechisch | Κορώνα γράμματα | Krone oder Buchstaben | |
(er) Hebräisch | הטלת מטבע | עץ או פלי | Baum oder Palästina (kurz Pali nach Palästina) |
(hu) Ungarisch | Fej vagy írás | Kopf oder Schreiben | |
(es) Italienisch | Testa o croce | Kopf oder Kreuz | |
(ja) Japanisch | Kイ ン ト ス ( koin tosu ) |
||
(lv) Lettisch | Cipars vai ģerbonis | Anzahl oder Wappen | |
(es) Mexikaner | Aguila o sol | Adler oder Sonne | |
(nl) Niederländisch | Tossen | Kruis von munt | Kopf oder Nummer |
(nein) Norwegisch | krone eller mynt | Krone oder Münze | |
(oc) Okzitanisch | Crotz e piela / Testa ò crotz | Kreuz und Stapel / Kopf oder Kreuz | |
(pt) Portugiesisch | Cara oder Coroa | Gesicht oder Krone | |
(ro) Rumänisch | Cap sau pajură | Kopf oder Adler | |
(ru) Russisch | Орлянка (Orlianka) |
Орёл или ре́шка (Oriol ili réchka) |
Adler oder Gesicht (zweifelhafte Etymologie) |
(sv) Schwedisch | Krona eller klave | Krone oder Wappen | |
(tr) Türkisch | Yazı Tura | Schreiben oder Gesicht | |
(vi) Vietnamesisch | ngửa hay sấp | Gesicht oder Rückseite |
Der Adler und die Sonne auf einem mexikanischen Peso im Jahr 1908 .
Krone auf einem portugiesischen Real von 1909 .
Adler auf einem russischen Rubel von 1998 .
Das Spiel mit Kopf oder Zahl hilft bei der Entscheidung für eine binäre Wahl. Die gebräuchlichste Methode zum Umwerfen einer Münze besteht darin, sie horizontal auf der Daumenspitze und der Kante des Zeigefingers zu positionieren. Es reicht dann aus, eine Streckung des Daumens auszuüben, um dem Teil eine Drehbewegung zu verleihen, das Teil muss mindestens eine volle Umdrehung in der Luft ausführen. Laut einer statistischen Studie beträgt die durchschnittliche Anzahl der Münzwürfe für einen typischen Münzwurf 19. Die Münze darf zu Boden fallen oder wird gefangen und horizontal auf den Rücken der anderen Hand gelegt. In allen Fällen ist es die Oberseite des Teils, die das Ergebnis liefert.
Es ist üblich , um Wette auf Köpfe oder Schwänze vor der Münzwurf. Sie können auch wetten, während die Münze in der Luft ist, wodurch jeder Betrugsversuch des Werfers vermieden wird.
Kopf oder Zahl per TelefonDas Spielen eines Münzwurfs über das Telefon ist a priori unmöglich, da nur die Person, die die Münze wirft, das Ergebnis des Wurfs sieht und daher über das Ergebnis lügen kann. Es ist jedoch möglich, eine Prozedur zu entwerfen, um mithilfe einer Hash-Funktion fair über das Telefon zu spielen . Die verwendete Hash-Funktion muss so sein, dass es aus einem Hash nicht möglich ist , einen Antezedenz wie z . und so, dass es auch nicht denkbar ist, eine Kollision zu bestimmen , dh zwei unterschiedliche und verifizierende Eingaben . SHA-256 ist ein Beispiel für eine Hash-Funktion, die verwendet werden kann.
Angenommen, Alice und Bob möchten einen fairen Münzwurf über das Telefon spielen:
Die Robustheit des Protokolls beruht auf der Tatsache, dass Alice verpflichtet ist, sich vor dem Werfen der Münze auf Tails (0) oder Faces (1) festzulegen, ohne dass Bob den Wert dieser Verpflichtung kennt. Für Alice setzt dies voraus, dass wir keine zwei Zahlen finden können, deren höchstwertige Bits unterschiedlich sind, deren Hash jedoch identisch ist, was die Illusion erwecken würde, dass Alice der Wahl (0) oder der Wahl (1) entsprechend ihrer Zweckmäßigkeit verpflichtet ist. Für Bob setzt dies voraus , dass wir nicht ableiten kann aus .
Eine andere Möglichkeit besteht darin, eine öffentliche, manipulationssichere und kontrollierbare Zufallsquelle zu verwenden, z. B. die Parität der Zehntelstelle der von Météo France an einem bestimmten Ort und Datum aufgezeichneten Temperatur .
In verschiedenen Sportarten wie Badminton , Cricket , American Football , Handball oder sogar Rugby Union kann das Gewinnerteam beim Münzwurf die Startmannschaft oder die Seite des Feldes auswählen. Es ist auch üblich, den Münzwurf in Überstunden zu verwenden oder einen Gewinner in Spielen zu bestimmen, die zu lang sind oder in Spielen, die keinen Gewinner bestimmen.
In 1919 , der erste Präsident des spanischen Fußball - Club Valence CF wurde in einem Münzwurf - Spiel gewählt. Nach 7:35 Uhr eines Ping-Pong-Spiels wurde Marin Goldberger 1936 durch einen Münzwurf bei der Weltmeisterschaft zum Sieger ernannt . In 1963 , während der Meistervereine Cup , die beiden Teams von Galatasaray und FC Zürich wurden in der Qualifikation gebunden; Der FC Zürich war zum Werfen qualifiziert. Von 1966 bis 1985 , während des NBA-Entwurfs , verwendeten Basketballteams Würfe, um die erste Wahl des Spielers zu erhalten. In einem Halbfinale des Coupé de France von 1967 , am Ende der dritten Auslosung zwischen den Teams von Lyon und Angoulême , wurden die Lyoner durch einen Münzwurf qualifiziert.
Sie können einen Münzwurf spielen, indem Sie auf eine Wette setzen, ein Spiel, das häufig in Wahrscheinlichkeitsübungen vorkommt . Die Studie konzentriert sich dann auf gleichzeitige oder aufeinanderfolgende unabhängige Würfe. Es gibt verschiedene Wettregeln und -strategien.
Beispiel für eine Wettstrategie:Betrachten sie ein Spiel von Köpfen oder klassischen Gesicht: ein Spieler Wetten auf einer Summe Haufen oder Gesicht , wenn er das richtige Ergebnis bekommt er einmal seine Umsetzung gewinnt (zusätzlich zu seiner Wette), ansonsten er seine Wette verliert. Ein weiterer Münzwurf wird dann erneut gestartet. Es gibt eine Strategie, mit der der Spieler langfristig immer gewinnen kann: Der Spieler setzt 1 Euro für die erste Ziehung. Wenn er verliert, setzt er 2 Euro auf den zweiten Wurf, wenn er verliert, setzt er 4 Euro auf den dritten Wurf und so weiter. Wenn er immer noch nicht gewonnen hat, setzt er 2 n -1 auf den n-ten Wurf. Der Spieler hört auf zu spielen, wenn er gewinnt.
Dieses Spiel ist ein Gewinner für den Spieler. In der Tat, wenn er beim n-ten Wurf gewinnt , hat er Euro gesetzt und 2 n Euro gewonnen. Sein Gewinn beträgt daher 1 Euro. Außerdem endet das Spiel mit der Zeit. Die Grenze der Verwendung dieser Technik besteht darin, dass das Spiel nicht zeitlich begrenzt ist, das heißt, dass es sehr lange dauern kann. Um ein Gewinner zu sein, muss man also annehmen, dass der Spieler eine unendliche Geldbörse hat, das heißt, dass er 2 n auch für n große setzen kann.
Keine WettspieleEinige Spiele verwenden während ihres Kurses den Begriff der binären Chance (ja / nein, akzeptiert / abgelehnt, Gewinner / Verlierer zum Beispiel). Dies sind im Allgemeinen Rollenspiele, bei denen Aktionen oder Ereignisse dem Zufall überlassen werden. Lassen Sie uns zum Beispiel das Spiel Magic zitieren : die Baugruppe, in der bestimmte Karten die Realisierung eines Kopf- oder Schwanzspiels erfordern.
Bei Mehrfachauswahl (mehr als drei Möglichkeiten) werden im Allgemeinen mehrseitige Würfel verwendet ( 1W6 bedeutet das Würfeln eines sechsseitigen Würfels). 1d2 bedeutet daher , einen Münzwurf zu werfen. Einige "zweiseitige Würfel" haben dann die Form einer Münze.
Zitieren wir zum Beispiel das Spiel Prince Valiant, bei dem nur Münzen verwendet werden.
Beispiele für SpieleDie Stücke gelten als ausgewogen.
Wenn wir das Spiel vor dem Ende beenden, teilen sich die beiden Spieler den Einsatz des Spiels. Aber wie hoch ist der Anteil der einzelnen Spieler entsprechend der Anzahl der bereits erscheinenden Köpfe und Schwänze ? Pascal gab eine Lösung, indem er Schritt für Schritt argumentierte (insbesondere unter Verwendung des Pascal-Dreiecks ). Fermat gab dieselbe Lösung durch eine andere Argumentation (unter Verwendung gleichwahrscheinlicher Ereignisse ).
Die Idee eines Münzwurfspiels, dh eines zufälligen Experiments, bei dem das Ergebnis Erfolg oder Misserfolg ist, veranschaulicht das Konzept einer zufälligen Wahl. Blaise Pascal verwendet in seinen Gedanken die Metapher des Münzwurfspiels, um seine berühmte Wette zu veranschaulichen :
„Lassen Sie uns diesen Punkt untersuchen und sagen: Gott ist oder er ist nicht. Aber in welche Richtung werden wir uns lehnen? Die Vernunft kann nichts bestimmen. Es gibt endloses Chaos, das uns trennt. Am Ende dieser unendlichen Distanz wird ein Spiel gespielt, bei dem es ein Kreuz oder einen Schwanz gibt: Was werden Sie wetten? [...] Lasst uns den Gewinn und den Verlust abwägen und das Kreuz nehmen, das Gott ist. Lassen Sie uns diese beiden Fälle abschätzen: Wenn Sie gewinnen, gewinnen Sie alles; Wenn du verlierst, verlierst du nichts. Wetten Sie also, dass es ohne zu zögern ist! ""
Das Münzwurfspiel wird verwendet, um das Yi Jing- Wahrsagungssystem zu konsultieren . Der Wert 2 wird dem Stapel und 3 dem Gesicht zugewiesen und summiert dann die Ergebnisse von drei Münzwürfen. In einem wissenschaftlicheren Bereich sind die verschiedenen Schritte eines zufälligen Spaziergangs durch das Ergebnis eines Münzwurfspiels gegeben. Es wird als Metapher in der Quantenmechanik verwendet: Das Ergebnis von Schrödingers Katzenexperiment wird durch „ein Münzwurfspiel bestimmt, dessen Ergebnis vor dem Öffnen der Schachtel unbekannt ist“.
Im Jahr 1851 bestimmt ein Münzwurf, ob eine neue Stadt in Oregon nach Boston oder Portland benannt wird , Portland gewinnt. Im Jahr 1939 gaben Bill Hewlett und Dave Packard einen Münzwurf, ob ihre Firma Hewlett-Packard oder Packard-Hewlett heißen würde . In der Nacht ihres Besuchs beim Monterey Pop Festival im Jahr 1967 mussten sie werfen, und wer gewann , um herauszufinden, welche der Who- oder Jimi Hendrix-Erfahrungen vor den anderen kommen würden. In 1968 , Roland Moreno erfand einen Münzwurf Maschine, die „Matapof“. In 1970 , werfen der Züchter Ogden Phipps und das Paar Christopher und Penny Chenery das Recht einer der drei Fohlen des Hengstes zu wählen Bold Ruler . Die Verlierer im Spiel werden Besitzer eines der größten Champions der Renngeschichte: des englischen Vollblut- Sekretariats . In 1987 , Corynne Charby den Song „Pile ou face“ komponiert von Franck Yvi und Jean-Louis D'Onorio. Dieses Lied wurde von Emmanuelle Béart im Jahr 2002 im Film Huit femmes von François Ozon wiederholt . Das Thema des Songs ist, "deine Lebenswürfe zu werfen", das heißt, den Zufall entscheiden zu lassen. In 2007 wurde ein amerikanischer Richter nach der Entscheidung durch das Werfen seines Amtes enthoben , wer, Vater oder Mutter, hatte das Recht Weihnachten mit ihrem Kind zu verbringen.
Der Wahlkreisführer der Demokratischen Partei von Iowa sieht vor, dass bei einem Gleichstand zwischen zwei Kandidaten die Wahl für die Münze getroffen werden musste. Diese Situation trat 2016 während der Präsidentschaftswahlen sechsmal auf.
Einige Filmfiguren sind mit dem Spiel des Werfens verbunden, wobei letztere manchmal sogar zur Identität der Figur werden. In dem amerikanischen Film Scarface , der 1932 unter der Regie von Howard Hawks veröffentlicht wurde , ist der Charakter Guino Rinaldo, gespielt von George Raft , ein Gangster, der ständig Würfe spielt. Dieser Charakter wurde von parodiert Bugs Bunny in der Karikatur Racketeer Kaninchen in 1946 . George Raft parodierte seinen eigenen Charakter in der Komödie Some Like It Hot von Billy Wilder mit dem Charakter von Spats Colombo. Spats trifft einen rivalisierenden Gangster, der eine Münze wirft. Er fragt: "Wo hast du das gelernt?" ". Der schizophrene Double-Face- oder Heads-or-Tails-Charakter Batman, der 1942 von Bob Kane und Bill Finger geschaffen wurde, entscheidet über die Legalität seiner Verbrechen durch ein Münzwurfspiel. Er benutzt eine Münze mit zwei identischen Seiten, bis auf einen Messerkratzer auf einer von ihnen. Es ist ein Stück Dollar in bar . Es gibt auch den Roman Nein, dieses Land ist nichts für den alten Mann und seine 2007 von Joel und Ethan Coen veröffentlichte Verfilmung No Country for Old Men , in der der psychopathische Killer Anton Chigurh einen Münzwurf benutzt und das Schicksal das Leben bestimmen lässt seiner Opfer. Eine Parodie wurde in Episode 19 der zwanzigsten Staffel von The Simpsons , A Chic Address gemacht .
Das Münzwurfspiel ist auch die Quelle einiger fiktiver Handlungen. Am Ende von Isaac Asimovs 1961 veröffentlichter Kurzgeschichte Die Maschine, die den Krieg gewann , enthüllt der Charakter von Lamar Swift seinen Mitarbeitern, dass der Computer nicht alle Informationen lieferte und dass er die großen Entscheidungen spielte. Kopf oder Zahl. In Folge 16 der zweiten Staffel der Fernsehserie The Fourth Dimension gewinnt die Hauptfigur telepathische Kräfte, nachdem sie eine Münze geworfen hat, die auf mysteriöse Weise am Rande bleibt. Sein Geschenk verschwindet, als er das Stück auf den Rand fallen lässt.
Das Spiel Begriff der Unendlichkeit Münzwurf wird verwendet , um die absurd wie im Spiel zu illustrieren Rosencrantz & Guildenstern sind tot in 1966 , und seine Verfilmung von 1990 mit dem gleichen Namen , von Tom Stoppard . Die beiden Figuren Rosencrantz und Guildenstern aus William Shakespeares Stück Hamlet sind Zeugen ihrer eigenen Geschichte. Zu Beginn des Spiels gewinnt Rosencrantz 85 Mal hintereinander den Wurf. Die sehr geringe Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zeigt, dass die Situation, in der sich die Charaktere befinden, absurd, aber möglich ist.
Der binäre Aspekt des Spiels wird in der zehnten Folge der fünften Staffel der Zeichentrickserie Futurama von Matt Groening veranschaulicht . Der Professor Hubert Farnsworth schafft ein Paralleluniversum , in dem das Ergebnis der Batterie oder Schwänze umkehrt Batterie in einer Welt , wo das Ergebnis ist , entgegengesetzt in den anderen Seite (und umgekehrt).
Darüber hinaus verlor Joey in der Episode 15 der zehnten Staffel von Friends (veröffentlicht im Jahr 2004 ) auf humorvolle Weise 57 Mal hintereinander gegen Rachel, um die folgenden Regeln einzuhalten: Gesicht, das sie gewinnt, und Batterieverlust .
Geben wir hier eine mathematische Formalisierung des Raums und des Wahrscheinlichkeitsgesetzes für ein Münzwurfspiel. Dies ist ein Sonderfall, der in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig verwendet wird, da wir mathematische Objekte explizit beschreiben können.
Für das Umwerfen einer Münze besteht das Universum der Möglichkeiten darin , dass es aus zwei Elementen 0 (oder F ) nach vorne und 1 (oder P ) für die Batterie besteht . Wir versorgen dieses endliche Universum mit allen Teilen . Intuitiv repräsentiert das Set die möglichen Ergebnisse nach einem Münzwurf.
Wir definieren dann eine Wahrscheinlichkeit, indem wir ihre Werte für die Ereignisse {get tails} und {get tails} angeben, dh jeweils und : und mit . Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine Batterie zu erhalten, beträgt p und die Wahrscheinlichkeit , eine Fläche zu erhalten, beträgt 1 - p . ( p = 1 - p = 1/2 für einen ausgeglichenen Teil). Somit definieren die Daten mathematisch einen Münzwurf.
Bei zwei aufeinanderfolgenden Würfen derselben Münze (oder zweier Münzen mit demselben Gesetz ) ist das Universum, dessen Elemente den Ergebnissen in der Reihenfolge der beiden Münzen entsprechen. Wir definieren eine Wahrscheinlichkeit, mit der a und b gleich 0 oder 1 sind. Das heißt, dass die Würfe unabhängig sind und dass jeder Wurf das Gesetz eines Münzwurfs hat.
Für zwei Würfe von zwei verschiedenen Stücken, die nicht das gleiche Gesetz haben; das heißt, das erste hat für das Gesetz, das mit dem Parameter p definiert ist, und das zweite für das Gesetz, das mit dem Parameter q ≠ p definiert ist . Das Universum ist still und wir definieren das Maß der Wahrscheinlichkeit .
Diese Definitionen verallgemeinern für mehr Würfe.
Das Werfen einer Münze ist ein Bernoulli-Test , dh es wird ein Zufallstest durchgeführt, dessen Ergebnis Erfolg oder Misserfolg ist. Dieses Ergebnis wird durch eine Zufallsvariable des Bernoulli-Gesetzes dargestellt . Die möglichen Werte sind 0 und 1 (zugehörige Batterie und Fläche oder umgekehrt). Wenn die Münze ausgeglichen ist, ist der Parameter des Bernoulli-Gesetzes p = 1/2, dh Kopf und Zahl haben die gleiche Wahrscheinlichkeit zu erscheinen. Wenn die Münze nicht ausgeglichen ist, ist der Parameter p des Bernoulli-Gesetzes nicht 1/2 und es ist wahrscheinlicher, dass eine Seite der Münze erscheint als die andere. Wenn p > 1/2 . Beachten Sie, dass in der Wahrscheinlichkeitstheorie angenommen wird, dass die Münze in dem Sinne perfekt ist, dass die Münze nicht auf ihre Kante fallen kann.
Lassen Sie uns einen Link zum Binomialgesetz geben. Wenn mehrere Würfe desselben Stücks oder Stücke mit demselben Gleichgewicht ausgeführt werden, wird angenommen, dass die Würfe unabhängig sind. Die Häufigkeit, mit der die Schwanzseite bei n Würfen erscheint, folgt einer Binomialverteilung B ( n , p ), wobei der Parameter p die Wahrscheinlichkeit ist, dass die dem Ergebnis 1 zugeordnete Seite erscheint.
Es gibt auch einen Zusammenhang mit dem geometrischen Gesetz. Wenn die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens Batterie ist p und die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens Fläche 1- p ( p = 1 p = 1/2 in dem symmetrischen Fall ist ), dann ist die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens Fläche für die n erste Würfe und Batterie für die n + 1 th throw gleich (1 - p ) n p . Die Anzahl der Würfe, die für das Erscheinen der ersten Schwanzseite erforderlich sind, folgt daher einem geometrischen Gesetz .
Verknüpfungen mit anderen Wahrscheinlichkeitsgesetzen sind möglich, indem asymptotische Ergebnisse verwendet werden, beispielsweise das Normalgesetz , indem n gegen unendlich tendiert (siehe Konvergenz zum Normalgesetz ).
Wenn n gegen unendlich tendiert , muss eine Reihe von Würfen berücksichtigt werden, die gegen unendlich tendieren. Für eine unendliche Anzahl von Stückwürfen bedeutet die Tatsache, dass eine Folge von 100 aufeinanderfolgenden Gesichtern unendlich oft ausgeführt wird und ein Schwanzereignis bedeutet, dass seine Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 ist. Es ist die Null des Kolmogorov-Gesetzes .
Das Münzwurfspiel ermöglicht es, viele probabilistische Konzepte in Angriff zu nehmen. Es wurde in die Liste der mündlichen Prüfungen für den Mathematik-Aggregationswettbewerb aufgenommen .
„Das Münzwurfspiel, dessen Prinzip so einfach ist, hat einen sehr großen Charakter der Allgemeinheit und führt, wenn man es im Detail studiert, zur höchsten Mathematik. ""
- Émile Borel , Klassische Prinzipien und Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kapitel V: Ein Münzwurfspiel; 1924
Die mathematische Modellierung des Münzwurfspiels oder die Verwendung des Bernoulli-Gesetzes wurde als erster Ansatz für mathematische Ergebnisse verwendet, die auf allgemeinere Gesetze anwendbar sind:
Betrachten Sie ein klassisches Münzwurfspiel zwischen zwei Spielern mit einem Einsatz von 1 pro Spiel. Wir sind an dem Gewinn eines der beiden Spieler während eines Spiels interessiert, das eine unendliche Anzahl von Würfen enthält. Es wird angenommen, dass die Spieler kein Geldlimit haben (unendliches Vermögen) und dass das Vermögen möglicherweise negativ sein kann. Nach einem Satz von George Pólya werden die beiden Spieler während des Spiels unendlich oft ihr ursprüngliches Vermögen zurückgewinnen. Es sollte beachtet werden, dass, wenn ein Spieler sein anfängliches Vermögen wiedererlangt, der andere auch. Die Anzahl der Spiele, die benötigt werden, um zum ursprünglichen Vermögen zurückzukehren, ist eine Zufallsvariable. Diese Variable ist endlich, aber ihre Erwartung ist unendlich.
Mathematisch gesehen ist der Gewinn eines Spielers während des Spiels ein zufälliger Schritt, bei dem jeder Schritt +1 für den Sieg eines Spielers und -1 für eine Niederlage beträgt. Die Rückkehrzeit zum ursprünglichen Vermögen ist die erste Rückkehr zu 0 des zufälligen Spaziergangs : . Diese Zufallsvariable ist gesetzlich vorgeschrieben
.Durch eine einfache Berechnung schließen wir, dass die Erwartung unendlich ist.
Eine statistische Studie wurde von zwei Ärzten an Patienten in der HNO in Vancouver durchgeführt . Sie baten dreizehn Patienten, jeweils dreihundert Würfe zu machen und zu versuchen, ein Gesicht zu bekommen . Diese Patienten erhielten ein Teilehandhabungstraining und konnten innerhalb von Minuten nach dem Experiment üben.
Dreizehn Patienten konnten mehr Gesicht als Stapel bekommen , darunter sieben Patienten statistisch signifikant. Die Besten bekamen 68% des Gesichts . Es ist zu beachten, dass die beiden besten Patienten vor dem Experiment durch eine (finanzielle) Belohnung motiviert wurden.
Es werden verschiedene Erklärungen gegeben: Wir können das Ergebnis durch Übung zur Teilemanipulation beeinflussen (dies ist bei einigen Magiern der Fall, die eine Illusion der Rotation des Teils erzeugen). Das Ergebnis hängt von der Seite des Teils ab, die sich vor dem Werfen zunächst oben befindet Das Ergebnis der Empfangsfläche (mit der Hand oder auf einer festen Fläche wie einem Tisch) hängt von der Münze ab (die belgische 1-Euro-Münze würde mehr als das Gesicht fallen ).
Die Frage ist: "Ist eine Münze ausgewogen oder nicht?" Geben wir einige experimentelle Methoden an, um dies zu beantworten. In Bezug auf den vorherigen Unterabschnitt wird hier angenommen, dass der Münzwurf selbst gleich wahrscheinlich ist.
Zuverlässigkeit ( 100% - α ) | 1% | 5% | 10% | 50% | 90% | 95% | 99% | 99,9% |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schwelle ( α ) | 99% | 95% | 90% | 50% | 10% | 5% | 1% | 0,1% |
χ 2 krit | 0,000 2 | 0,004 | 0,02 | 0,45 | 2.71 | 3,84 | 6.63 | 10.83 |
Beispiel: Wir führen n = 100 Würfe aus und wählen einen Schwellenwert α = 5%
Intuitiv scheinen die Antworten auf die nächsten beiden Fragen identisch zu sein. Ihr Unterschied ist jedoch die Quelle vieler Fehler und mathematischer Paradoxien.
Die Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zehnte Akku weiß, dass wir bei den ersten neun Schüssen das Gesicht bekommen haben ?" “ , Entsteht zwischen dem neunten und dem zehnten Wurf, wissend, dass wir die Ergebnisse der ersten Würfe bereits kennen.
Die Antwort ist daher 1/2, da die Münzwürfe unabhängig sind.
Mathematisches Schreiben:
Die Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie zum zehnten Mal gestartet wird und die ersten neun Schüsse ins Gesicht sehen ?" » Entsteht vor dem ersten Wurf die Wahrscheinlichkeit bezüglich der zehn Würfe.
Die Antwort lautet daher (1/2) 10 ≈0.001.
Mathematisches Schreiben:
Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, Köpfe auf dem zehnten Wurf und immer Köpfe auf der ersten neun Würfe (mit anderen Worten des Erhaltens Köpfe auf 10 aufeinanderfolgende Würfe) auch (1/2) 10 .
Das Paradoxon, das durch den Unterschied zwischen diesen beiden Fragen entsteht, wird als Wetterfehler bezeichnet . Probleme, die auf dem Wurfspiel beruhen, wurden oft angegeben, um allgemeinere Paradoxien zu veranschaulichen. Einige sind nicht intuitiv, andere müssen noch gelöst werden. Hier einige Beispiele.
Die beiden Stücke von d'AlembertLassen Sie uns eine trügerische Argumentation des berühmten Mathematikers Jean le Rond D'Alembert zitieren . Die Frage ist, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mindestens zwei Schwänze in zwei aufeinanderfolgenden Münzwürfen zu bekommen. Nach seiner Argumentation, gibt es drei mögliche Fälle: „bekommt Schwanz auf dem ersten Wurf“, „bekommt Schwanz auf dem zweiten Wurf“ und „nicht bekommt Schwanz auf beide werfen“. Von diesen drei Ergebnissen sind zwei günstig, sodass die Wahrscheinlichkeit 2/3 beträgt.
Die drei Fälle sind jedoch nicht gleich wahrscheinlich . Tatsächlich betrachtete d'Alembert den Fall "zwei Schwänze bekommen " im Fall " Schwänze beim ersten Wurf bekommen", da das Erhalten eines Schwanzes beim ersten Wurf das Spiel beendet. Dieses neue Ereignis, Wir bekommen das richtige Ergebnis: 3/4.
"D'Alemberts Verstand, normalerweise fair und gut, war in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung völlig unvernünftig."
- Joseph Bertrand , Wahrscheinlichkeitsrechnung , Vorwort
Paradox der drei MünzenDer Begriff Paradoxon wird in diesem Fall im kontraintuitiven Sinne verwendet ( erste Bedeutung von wiktionnaire ), er ist kein wirkliches mathematisches Paradoxon ( zweite Bedeutung von wiktionnaire ).
Wir werfen drei Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei auf derselben Seite landen, egal ob Wurf oder Schwanz ?
Die Antwort ist 1/4.
DornröschenproblemDas Dornröschenproblem ist ein umstrittenes probabilistisches Paradoxon, bei dem zwei widersprüchliche Interpretationen nebeneinander existieren.
Am Sonntagabend, während Dornröschen schläft, werfen wir eine Münze für einen Münzwurf.
Während des Interviews, ob es nur Montag oder Montag und Dienstag ist, wird ihm die Frage gestellt: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil auf den Stapel gefallen ist ?" Die Prinzessin ist sich der Regeln vollkommen bewusst.
Zwei Argumente sind entgegengesetzt. Das erste ist, nur die Münze zu sehen und Beauty antwortet 1/2. Das zweite ist, alle Erwachen zu sehen und die Schönheit reagiert 2/3.
Paradox von St. PetersburgDieses Paradoxon wurde 1713 von Nicolas Bernoulli festgestellt . Das St. Petersburg-Paradoxon läuft auf die folgende Frage hinaus: Warum weigern sich Spieler, ihr gesamtes Geld zu spielen, obwohl die Erwartung, ein Spiel zu gewinnen, mathematisch gesehen unendlich ist? Es ist daher kein rein mathematisches Problem, sondern ein Paradoxon des Verhaltens von Menschen, die mit den Ereignissen einer Zufallsvariablen konfrontiert sind, deren Wert wahrscheinlich klein ist, deren Erwartung jedoch unendlich ist . Berücksichtigen Sie in dieser Situation nicht, dass diese Hoffnung eine Entscheidung diktiert, die kein vernünftiger Akteur treffen würde: Wir müssen um jeden Preis spielen.
Penneys ParadoxonDieses mathematische Rätsel wurde festgestellt 1969 von Walter Penney und dann aufgenommen im Detail später von Martin Gardner in 1974 .
Zwei Spieler A und B treten in einer Reihe von Münzwürfen gegeneinander an. Jeder von ihnen wählt eine Konfiguration, die aus einer Reihe von drei Stapeln oder Flächen besteht. Zum Beispiel wählt eine die Konfiguration PPF = ( Batterie , Akku , Gesicht ) und die B - Konfiguration FPP (= Gesicht , Batterie , Akku ). Eine Münze wird dann mehrmals hintereinander geworfen, bis eine der beiden Konfigurationen erscheint, wodurch der Gewinner bestimmt wird. Bei den vorherigen Konfigurationen ist das Spiel nicht ausgeglichen. B hat drei Mal mehr Chancen als Gewinn A . Lassen Sie uns in der Tat die verschiedenen Fälle unterscheiden:
Von den vier möglichen Konfigurationen der ersten beiden Würfe ( FF , FP , PF , PP ) führen drei zum Sieg von B, während nur eine A gewinnen lässt. Diese vier Konfigurationen gleich wahrscheinlich sind, folgt daraus , dass B dreimal mehr Gewinnchancen als hat A .
Dann erscheint ein doppeltes Paradoxon: