In der Geometrie gibt es verschiedene Möglichkeiten (geometrisch, kombinatorisch), Polyeder in Dualität zu versetzen : Wir können auf geometrische Unterstützung verzichten und einen Begriff der Dualität in rein kombinatorischen Begriffen definieren, der sich auch auf Polyeder und abstrakte Polytope erstreckt. In jedem Fall ist jedem Polyeder ein Polyeder zugeordnet, das als Dual des ersten bezeichnet wird, wie z.
Das einfachste Beispiel für Dualität wird für reguläre konvexe Polyeder erhalten, indem die Zentren benachbarter Flächen verbunden werden (siehe § Dualität platonischer Körper ).
Man kann auch die unten angegebene sogenannte Dorman Luke-Konstruktion verwenden .
Allgemeiner wird eine Dualität definiert, indem die Operation der Konjugation in Bezug auf die umschriebene Sphäre betrachtet wird .
Das Dual des Würfels ist das Oktaeder. | Das Dual des Oktaeders ist der Würfel. |
Das Dual des Dodekaeders ist das Ikosaeder. | Das Dual des Ikosaeders ist das Dodekaeder. |
fest regelmäßig konvex | doppelt regelmäßig konvex | ||
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Tetraeder | Tetraeder | ||
Würfel | Oktaeder | ||
Oktaeder | Würfel | ||
Ikosaeder | reguläres Dodekaeder | ||
reguläres Dodekaeder | Ikosaeder |
Das kleine Stern-Dodekaeder ist das Dual des großen Dodekaeders, und das große Stern-Dodekaeder ist das Dual des großen Ikosaeders.
(Siehe den Kepler-Poinsot- Artikel Solid .)
fest regelmäßig nicht konvex | reguläres nicht konvexes Dual | ||
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kleiner Stern Dodekaeder | großes Dodekaeder | ||
großer Stern Dodekaeder | großes Ikosaeder |
Die Duale der archimedischen Körper sind die katalanischen Körper .
Die Dualen von Prismen sind Diamanten (oder Bipyramiden ).
Die Dualen der Antiprismen sind Antidiamanten (oder Trapezoeder ).
ungleichmäßiger konvexer Körper , aber alle seine Eckpunkte sind in der gleichen Größenordnung (3) |
dual konvex nicht-isoedrisch , aber alle seine Gesichter sind in der gleichen Reihenfolge (3) |
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Waben Druse | Geode durch Triangulation |
Für ein einheitliches Polyeder können die Flächen des Doppelpolyeders aus den Scheitelpunktfiguren des ursprünglichen Polyeders unter Verwendung der sogenannten Dorman-Luke-Konstruktion ermittelt werden .
Als Beispiel zeigt die folgende Abbildung eine Scheitelpunktfigur (rot) des Kuboktaeders , mit der eine (blaue) Fläche des rhombischen Dodekaeders erhalten wurde .
Konstruktionsdetails von Dorman Luke:
- Zeichnen Sie die Scheitelpunktzahl, die Sie erhalten, indem Sie die Mittelpunkte A, B, C, D jeder Kante markieren, die sich aus dem betrachteten Scheitelpunkt ergeben. - Zeichnen Sie den Kreis, der dem Polygon ABCD umschrieben ist . - Verfolgen Sie die Tangenten bis zu dem Kreis, der an jedem Scheitelpunkt A , B , C , D umschrieben ist . - Markieren Sie die Punkte E , F , G , H, an denen jede Tangente auf eine benachbarte Tangente trifft. - Das EFGH- Polygon ist eine Fläche des Doppelpolyeders.In diesem Beispiel befindet sich der der Scheitelpunktfigur umschriebene Kreis auf der Intersphäre des Kuboktaeders, die auch zur Intersphäre des dualen rhombischen Dodekaeders wird.
Die Konstruktion von Dorman Luke kann nur verwendet werden, wenn ein Polyeder eine solche Zwischenkugel hat und die Scheitelpunktfigur kreisförmig ist. Insbesondere kann es auf gleichförmige Polyeder angewendet werden .