Pentagon | |
Ein konkaves Fünfeck und seine Innenwinkel . | |
Art | Polygon |
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Kanten | 5 |
Eckpunkte | 5 |
In der Geometrie ist ein Fünfeck ein Polygon mit fünf Eckpunkten , also fünf Seiten und fünf Diagonalen .
Ein Fünfeck ist entweder einfach ( konvex oder konkav ) oder gekreuzt . Das reguläre Sternfünfeck ist das Pentagramm .
Der Begriff „Fünfeck“ leitet sich vom lateinischen pentagonum mit gleicher Bedeutung, Substantivierung des Adjektivs pentagonus , lieh sich von der antiken griechischen , πεντάγωνος ( pentágônos ), „Fünfeck“, „die fünf Winkel hat, fünf Seiten“. Der griechische Begriff selbst besteht aus πέντε ( pente ), "fünf" und γωνία ( gônía ), "Winkel".
Der griechische Begriff erscheint in Buch IV der Elemente von Euklid , das wahrscheinlich um 300 v. Chr. Geschrieben wurde . AD , das sich mit eingeschriebenen oder umschriebenen Figuren befasst , insbesondere mit regulären Polygonen .
Die Summe der Innenwinkel eines einfachen Fünfecks (dessen Kanten sich nicht schneiden) beträgt 540 ° . Diese Gleichheit wird nicht überprüft, wenn das Fünfeck nicht einfach ist.
Jedes konvexe Fünfeck
Jedes konkave Fünfeck
Konkaves Fünfeck, dessen einer der Eckpunkte mit den anderen vier verbunden ist
Jedes Kreuz-Fünfeck
Gleichseitiges konvexes Fünfeck
Gleichseitiges konkaves Fünfeck
Gleichwinkliges konvexes Fünfeck
Ein beschreibbares Fünfeck ist ein Fünfeck, für das es einen umschriebenen Kreis gibt , der durch seine fünf Eckpunkte verläuft.
Die Fläche eines beschreibbaren Fünfecks kann als Quadratwurzel einer der Wurzeln einer Gleichung siebten Grades (in) ausgedrückt werden, deren Koeffizienten eine Funktion der Seiten sind.
Ein Fünfeck, dessen Kanten registriert sind und dessen Fläche rationale Zahlen sind, heißt Fünfeck Robbins (en) . Die Längen seiner Diagonalen sind entweder alle rational oder alle irrational ; wir vermuten, dass sie alle rational sein müssen.
Jedes konvexe beschreibbare Fünfeck und sein umschriebener Kreis.
Robbins Pentagon, Seiten 26, 80, 72, 136 und 154 und Bereich 13 104.
Ein reguläres Fünfeck ist ein Fünfeck, dessen fünf Seiten gleich lang sind und dessen fünf Innenwinkel gleich groß sind. Es gibt zwei Arten :
Die Diagonalen eines regelmäßigen konvexen Fünfecks mit Seite a bilden ein Pentagramm mit Seite φ a , wobei φ der goldene Schnitt ist .
Es ist möglich, die beiden regulären Pentagone mit einem Lineal und einem Kompass zu konstruieren . Es gibt viele Verfahren , von denen bereits bekannt ist Euklid III - ten Jahrhundert vor Christus. AD .
Eine einfache Faltmethode ermöglicht es, ein normales Fünfeck zu bauen: Sie müssen lediglich einen ausreichend langen Papierstreifen nehmen, eine Schlaufe einleiten, ein Ende durchlaufen und durch Einstellen festziehen .
Der vollständige Graph K 5 wird häufig in Form eines Pentagramms gezeichnet, das in ein reguläres konvexes Fünfeck eingeschrieben ist. Dieses Diagramm zeigt auch die orthogonale Projektion der 5 Kanten und 10 Eckpunkte der Pentachore , einem regelmäßigen konvexen Polytop in Dimension vier.
Orthogonale Projektion einer Pentachore
Orthogonale Projektion von -5-korrigierten Zellen (en)
Es ist nicht möglich zu ebnen die euklidische Ebene mit regelmäßiger konvexer Fünfecke. Auf der anderen Seite ist es möglich, es mit beliebigen Pentagonen zu pflastern. Im Jahr 2015 kennen wir 15 Arten von fünfeckigen isohedralen Fliesen (in) , dh mit derselben Art von Fliesen. Es ist nicht bekannt, ob es andere gibt.
Die dichteste bekannte Anordnung von konvexen regelmäßigen Pentagonen gleicher Größe in einer Ebene ist eine Struktur, die 92,131% dieser Ebene bedeckt.
Die 15 fünfeckigen Fliesen im Jahr 2015 bekannt.
Es gibt mehrere Polyeder, deren Gesichter Pentagone sind: