Eine Zahl ist ein Konzept , das es ermöglicht, Größen oder Größenverhältnisse zu bewerten und zu vergleichen , aber auch Elemente durch Nummerierung zu ordnen. Oft geschrieben mit einem oder mehreren Ziffern , Zahlen interact durch Operationen , die durch zusammengefasst Berechnungsregeln . Die Eigenschaften dieser Zahlenbeziehungen sind Gegenstand des Studiums der Arithmetik , die bis zur Zahlentheorie reicht .
In Ermangelung einer zufriedenstellenden allgemeinen Definition dieses Begriffs schlägt die Mathematik verschiedene Arten von Zahlen vor, um physikalische Maße auszudrücken , Gleichungen zu lösen , sogar um die Unendlichkeit zu erfassen .
In der Physik werden dimensionslose Größen oft "Zahlen" genannt, wie die Reynolds-Zahl in der Strömungsmechanik oder Quantenzahlen .
Abgesehen von ihrer wissenschaftlichen Verwendung haben bestimmte Zahlen in verschiedenen Kulturen auch eine starke symbolische Aufladung erhalten . Dies ist beispielsweise bei der Zahl drei für Christen oder der Zahl zehn für die Pythagoräer der Fall .
Der Zahlbegriff hat seinen Ursprung in der Idee der Paarung , also der Entsprechung von Mengen (zum Beispiel Menschen einerseits und Pferde andererseits). Wenn wir versuchen, alle Elemente in Paare zu unterteilen, die ein Element jeder Menge umfassen, ist es möglich, dass einige Elemente einer Menge zu viel übrig sind, einige fehlen oder gerade genug vorhanden sind. Die Erfahrung zeigt, dass die Art der Verteilung das Ergebnis nicht ändert, daher der Begriff der Quantität , des intrinsischen Charakters und der Vergleichbarkeit.
Diese Menge ist noch keine Zahl, wird aber manchmal als "Anzahl von" bezeichnet. Die Zahl als solche hat keine Maßeinheit . Es ist nach Euklid "eine aus Einheiten zusammengesetzte Versammlung", wobei "die Einheit das ist, nach dem jedes der existierenden Dinge als eins bezeichnet wird. "
Zusammen mit dem Begriff der Menge, der mit dem „kardinalen“ Aspekt verknüpft ist, führt der Begriff der Identifizierung in einer Liste zur Definition der „ordinalen“ Zahl: der ersten Zahl folgt eine zweite, ihr selbst folgt eine andere und so weiter "zur Unendlichkeit".
Ohne Berechnung sind Zahlen auf die Anzahl der verwendbaren Symbole beschränkt. Die Entdeckung elementarer numerischer Operationen (insbesondere Addition und Multiplikation) wird es der Mathematik ermöglichen, die Beschreibung viel größerer Zahlen mit verschiedenen Zahlensystemen zu erleichtern . Die babylonische Zivilisation entdeckt einschließlich Stellenschreibweise im III th Jahrtausend vor Christus und übt dann die Berechnung mit Zahlen mit einem Bruchteil .
Die Brüche werden im alten Ägypten in Form von "Tageszahlen", also inversen ganzen Zahlen, entworfen. Ihre Handhabung unterliegt dann gewissen Zwängen, die erst durch die geometrische Interpretation wie Längenverhältnis (Ganzes) überwunden werden. Allerdings werden weder Brüche noch andere geometrische Proportionen wie Pi , der Goldene Schnitt oder die Diagonale des Quadrats von den Mathematikern des antiken Griechenlands , für die die einzigen Zahlen ganze Zahlen sind, wirklich als Zahlen angesehen werden .
Obwohl die Zahl „0“ in einigen Positionszahlensystemen von mehreren alten Kulturen verwendet wird, die Zahl Null wird als solche angezeigt bei VII th Jahrhundert in indischer Mathematik . Es wird von der Zivilisation des Islam und nach Europa importiert in dem aufgenommen X - ten Jahrhundert. Unter der Qualifikation von „absurd“, die negativen Zahlen sind bereits in dem untersuchten XVI E Jahrhundert aber ihre arithmetischen Eigenschaften sind noch umstritten zu Beginn des XIX E Jahrhunderts.
Die algebraischen Zahlen reell positiv werden mit der Entwicklung der Algebra von arabischen Mathematikern untersucht . Diese in Rechen ungefähre Werte in Dezimalschreibweise aus dem XII - ten Jahrhundert. Das gleiche Algebra führte einige italienischen Mathematiker die erfundenen XVI th Jahrhundert Zahlen „imaginären“ ersten Ansatz von komplexen Zahlen , die in zufriedenstellender Weise definiert werden XVIII - ten Jahrhundert. Auf ihren geometrischen Aufbau werden im Laufe des folgenden Jahrhunderts auch schnell die von Quaternionen und dann andere hyperkomplexe Zahlen folgen.
Paradoxerweise war es nicht bis zum XIX - ten Jahrhundert, die die Existenz anerkannt transzendenter Zahlen , kurz vor oder die Vorstellung von formalisierten tatsächlichen unabhängig von Geometrie. Die Prozedur Abschluss Zahlen rational wird in den frühen nachgeahmt werden XX - ten Jahrhunderts zu bauen Zahlen p -adic .
Die transfiniter Zahlen werden auf verschiedene Weise vom Ende des eingeführten XIX - ten Jahrhunderts, als Georg Cantor die definiert Ordnungs und Kardinal . In der zweiten Hälfte des XX - ten Jahrhunderts, die Nicht - Standard - Analyse verwenden Marken Zahlen hyperrealen dann superréels während Conway die hat Zahlen und surreal pseudo-real .
In verschiedenen Experimenten werden die digitalen Fähigkeiten von Kleinkindern untersucht.
In der Erziehung beginnt das Zahlenlernen mit dem Erwerb der „ digitalen Kette “, insbesondere mit Hilfe von Kinderreimen : „eins, zwei, drei …“ Diese Liste wird nach und nach erweitert, damit das Kind „ aufzählen“ kann Objekte, die er manipuliert, um sie zu zählen (indem er diese Größe dem letzten Term der Aufzählung zuordnet), aber auch um eine Position in einer geordneten Reihe zu finden.
Während der Schulzeit wird das Kind dazu gebracht, verschiedene Arten von Zahlen zu betrachten, die in einer aufsteigenden Reihenfolge von Mengen angeordnet sind:
Die Idee der Quantität und ihre visuelle Kodierung gehen wahrscheinlich vor dem Erscheinen der Schrift zurück. Nach und nach werden verschiedene Zählmethoden entwickelt, um die Größe einer Herde zu beschreiben und ihre Entwicklung zu kontrollieren, einem Kalender zu folgen oder Ernten zu messen.
In der IV - ten Millennium BC, die mesopotamischer Kulturen und die Verwendung clay Hohlkugeln enthaltenden Tokens und clay Regale mit Marken. Zur Bezeichnung diskreter Größen wird ein Notationssystem (sogenanntes „S-System“) verwendet, während die Flächen und sonstigen Größen jeweils nach einem eigenen Notationssystem dargestellt werden. Erst die Fusion dieser Systeme am Ende der III th Jahrtausend vor Christus, um zu sehen , ob wirklich das Konzept der abstrakten Zahl, unabhängig von seinen konkreten Leistungen bilden.
In additiven Nummernsystemen stellen bestimmte Symbole (je nach Kulturpflanze variabel) genaue Mengen dar und werden nebeneinander gestellt, um alle nützlichen Zahlen zu bezeichnen.
Alphabetische Systeme verbinden die Liste der Buchstaben des Alphabets (verstärkt ungewöhnliche, veraltete oder erfundene Buchstaben) mit neun Einsen, neun Zehnern und neun Hundertern, um jede Zahl zwischen 1 und 999 in bis zu drei Zeichen zu schreiben. Um höhere Werte zu schreiben, wird links eine neue Gruppe von bis zu drei Tausenderbuchstaben platziert, getrennt durch einen Apostroph.
Dieses System kommt dem verschlüsselten Positionsschreiben nahe, bei dem jede Position (höchstens) nur eine Ziffer enthält.
Die Ziffern der Dezimalzahl entsprechen den ersten zehn ganzen Zahlen: null , eins , zwei , drei , vier , fünf , sechs , sieben , acht und neun .
Da die Mengen durch Symbole dargestellt werden, muss die Manipulation der Mengen durch Operationen an den Zahlen übersetzt werden. Somit definiert die Vereinigung zweier Größen die Additionsoperation und die Wiederholung einer bestimmten Größe führt zur Multiplikation . Diese beiden direkten Operationen lassen reziproke Operationen zu : Subtraktion und Division , die es ermöglichen, einen der Operanden aus dem Ergebnis und den anderen Operanden zu finden.
Jede dieser Operationen wird unter Verwendung verschiedener Berechnungstechniken durchgeführt . Im Gegensatz zu direkten Operationen, die ohne Einschränkung definiert sind, sind reziproke Operationen jedoch nur unter bestimmten Bedingungen erfolgreich. Daher kann vor der Verwendung negativer Zahlen eine Zahl nur von einer größeren Zahl subtrahiert werden. Ebenso beschreibt der Begriff der Teilbarkeit die Durchführbarkeit einer Teilung. Jedoch ist die Division mit Rest - Prozess hat den Vorteil , ein Ergebnis , auch ohne die Teilbarkeit Annahme bereitstellt. Letzteres wird dann durch das Fehlen von Rest ausgedrückt .
Von dem Moment an, in dem die Multiplikation als rein numerische Operation erscheint, definiert ihre Wiederholung die Potenzen einer Zahl, deren reziproke Operationen Wurzeln genannt werden . Andere Operationen wie die Fakultät werden im Rahmen der Kombinatorik entwickelt .
In diesem Absatz handelt es sich bei den betrachteten Zahlen um natürliche ganze Zahlen ungleich Null.
Bei einer Zahl, die Menge seines Multiples ist unendlich , aber regelmäßig verteilt und leicht durch eine beschreiben arithmetische Folge . Zum Beispiel sind Vielfache von 2 gerade Zahlen , die unter allen ganzen Zahlen mit ungeraden Zahlen abgewechselt werden.
Im Gegenteil, die Menge der Teiler einer Zahl ist immer endlich und ihre Verteilung hat überhaupt nicht dieselbe Regelmäßigkeit. Es enthält sicherlich immer die zu teilende Zahl und die Zahl 1, alle anderen Teiler, die zwischen diesen beiden Extremen liegen. Aber es ist im Allgemeinen schwierig, diese anderen Teiler aus einer Schreibweise der Zahl in einer gegebenen Basis aufzulisten .
Dieses Problem ist teilweise auf den Mangel an einfachen Kriterien zurückzuführen, um ohne Berechnung zu bestimmen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. In einem dezimalen Positionszahlensystem sind für kleine Teiler (insbesondere für 2, 3, 5, 9 und 10) mehrere Teilbarkeitskriterien bekannt, aber abgesehen von diesen wenigen Fällen ist es im Wesentlichen die euklidische Division, die uns die Beantwortung dieser Frage ermöglicht.
Abgesehen von der Zahl 1, die ihr einziger Teiler ist, lässt jede Zahl daher mindestens zwei verschiedene Teiler zu. Wer genau zwei zulässt, nennt man Primzahlen . Sie sind die einzigen, die andere Zahlen durch Division reduzieren können, ohne selbst in Produkte streng kleinerer Zahlen zerlegbar zu sein. Es gibt unendlich viele davon und jede Zahl wird auf einzigartige Weise in ein Produkt von Primzahlen zerlegt . Diese Zerlegung macht es unter anderem möglich, die Struktur der Menge von Teilern zu verstehen.
Die Arithmetik ist buchstäblich Wissenschaft ganzer Zahlen, bestehend aus der Definition elementarer Operationen der Addition und Multiplikation , ihrer inversen Operationen, der Teilbarkeit der Beziehung und abgeleiteten Eigenschaften, die die Behandlung von diophantischen Gleichungen ermöglichen . Aus dem XIX - ten Jahrhundert, die Zahlentheorie erweitert diese Konzepte die Werkzeuge der Verwendung von Algebra und die Analyse in den Reihen von Zahlen realen , komplexen oder p -adic .
Die Auswertung einer Menge von Objekten erfolgt je nach Art der Lagerung der Objekte mehr oder weniger schnell. Zum Beispiel sind sechzehn Spielsteine viel einfacher zu zählen, wenn sie in einem Quadrat angeordnet sind, als wenn sie ungeordnet auf einen Tisch geworfen werden. Ebenso ist die Tetraktys der Pythagoräer die Anordnung von zehn Punkten in einem Dreieck . Andere Formen sind von diesem Winkel in der Ebene (sucht Hexagonen zum Beispiel) oder im Raum , der durch Stapel von Figuren.
Diese Vorstellung von Zahlen als geometrischen Konfigurationen ermöglicht es unter anderem, das Produkt zweier Zahlen wie des Rechtecks, dessen Seiten durch diese beiden Zahlen beschrieben werden, zu interpretieren, daher die notwendige Kommutativität der Multiplikation, d.h. die Ordnung in welche Multiplikation durchgeführt wird, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Andere arithmetische Eigenschaften können geometrisch angegeben werden. Eine Zahl ist also gerade, wenn sie durch ein Rechteck auf zwei Linien darstellbar ist; es ist eine Primzahl, wenn die einzige Möglichkeit, es als Rechteck darzustellen, eine Linie aus mehreren Punkten ist.
Einige Zahlen stammen aus geometrischen Verhältnissen wie pi , dem Verhältnis des Umfangs des Kreises zu seinem Durchmesser, oder dem Goldenen Schnitt, der aus dem Problem der Teilung "in extremen und durchschnittlichen Gründen" hervorgegangen ist.
Das Reich der Zahlen , DVD erschienen bei Arte Edition.
Jean-Pierre Dedieu, „ Die Worte der Zahlen “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Was tun? ) ,7. Februar 2007