Tesserakt

Tesseract
Hypercube
(8-Zellen)

Schlegel-Diagramm
Art Normales Poly
Zellen 8 {4.3}
Gesichter 24 {4}
Kanten 32
Scheitelpunkte 16
Schläfli-Symbol {4.3.3}
{4.3} × {}
{4} × {4}
{4} × {} × {}
{} × {} × {} × {}
Petrie-Polygon Achteck
Coxeter-Gruppe(n) C 4 , [3.3.4]
Coxeter-Dynkin-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten.pngCDel 3.pngCDel-Knoten.pngCDel 3.pngCDel-Knoten.png
CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten.pngCDel 3.pngCDel-Knoten.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.png
CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten.png
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CDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.png
Dual Hexadekachor
Eigenschaften Konvex, isogonal, isotoxal, isohedral

In Geometrie , die Tesseracts , auch als 8-Zellen oder octachore ist, die vier -dimensionalen analog des Würfels ( dreidimensionalen ), wobei die Bewegung entlang der vierten Dimension oft eine Darstellung für verwandte Transformationen des Würfels durch ist Zeit. . Der Tesserakt ist für den Würfel, was der Würfel für das Quadrat ist  ; oder formaler kann der Tesserakt als regelmäßiges konvexes 4-Polytop beschrieben werden, dessen Grenzen von acht kubischen Zellen gebildet werden .

Eine Verallgemeinerung des Würfels auf Dimensionen größer als drei wird als „  Hyperwürfel  “, „  n- Würfel“ oder „Messpolytop“ bezeichnet. Der Tesserakt ist der vierdimensionale oder 4-Würfel-Hyperwürfel. Es ist ein regelmäßiges Polytop . Es ist auch ein Sonderfall eines Parallelotops  : Ein Hyperwürfel ist ein gerades Parallelotop, dessen Kanten gleich lang sind.

Laut dem Oxford English Dictionary wurde das Wort "tesseract" erstmals 1888 von Charles Howard Hinton in seinem Buch A New Era of Thought auf Englisch konzipiert und verwendet , aus dem Altgriechischen τέσσερεις ἀκτίνες  / téssereis aktínes ("vier Strahlen") ionic , bezogen auf die vier Liniensegmente von jedem Scheitelpunkt zu den anderen Scheitelpunkten. Alternativ haben andere Leute dieselbe Figur als "Tetrawürfel" bezeichnet.

Geometrie

Der euklidische Standard - Tesserakt mit 4 Räumen ist durch die konvexe Einhüllende der Punkte (± 1, ± 1, ± 1, ± 1) gegeben. Das heißt, es besteht aus den Punkten:

Ein Tesserakt wird von acht Hyperebenen ( x i = ± 1) begrenzt. Jedes Paar nicht paralleler Hyperebenen schneidet sich, um 24 quadratische Flächen in einem Tesserakt zu bilden. An jeder Kante schneiden sich drei Würfel und drei Quadrate. Es gibt vier Würfel und sechs Kanten, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Insgesamt besteht es aus 8 Würfeln, 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Ecken.

Da jeder Scheitelpunkt eines Tesseraktes an vier Kanten angrenzt, ist die Scheitelpunktfigur eines Tesseraktes ein regelmäßiges Tetraeder . Somit ist der Tesserakt durch das Schläfli-Symbol {4,3,3} gegeben. Das duale Polytop des Tesserakts wird Hexadecachore oder 16-Zellen genannt, mit dem Schläfli-Symbol {3,3,4}.

2-dimensionale Projektionen

Die Konstruktion eines Hyperwürfels kann man sich wie folgt vorstellen:

Diese Struktur ist nicht leicht vorstellbar, aber es ist möglich, Tesserakte in dreidimensionale oder zweidimensionale Räume zu projizieren. Darüber hinaus werden Projektionen auf einer zweidimensionalen Ebene informativer, indem die Positionen der projizierten Punkte neu angeordnet werden. Auf diese Weise können Bilder gewonnen werden, die nicht mehr die räumlichen Verhältnisse im Tesserakt widerspiegeln, sondern die Verbindungsstruktur der Eckpunkte verdeutlichen, wie in den folgenden Beispielen gezeigt:

Hypercubeorder.svg     Hypercubecubes.svg     Hypercubestar.svg

Die Abbildung links zeigt, wie ein Tesserakt im Prinzip durch die Kombination zweier Würfel entsteht. Der Vorgang ähnelt dem Bau eines Würfels aus zwei Quadraten:

Stellen Sie zwei Kopien eines Würfels mit niedrigerer Dimension nebeneinander und verbinden Sie die entsprechenden Scheitelpunkte. Die Bildmitte kommt daher, dass jede Kante gleich lang ist. Dieses Bild ermöglicht es dem menschlichen Gehirn auch, eine Vielzahl von Würfeln zu finden, die entsprechend miteinander verbunden sind. Das Diagramm rechts ordnet schließlich die Eckpunkte des Tesseraktes unter Berücksichtigung der Abstände entlang der Kanten an, wobei der Basispunkt beibehalten wird. Diese Ansicht ist interessant, wenn Tesseracts als Grundlage für eine Netzwerktopologie verwendet werden , um mehrere Prozessoren beim parallelen Rechnen zu verbinden  : Der Abstand zwischen zwei Knoten beträgt maximal 4 und es gibt viele verschiedene Pfade, um einen Gewichtsausgleich zu ermöglichen.

Das Verbindungsmuster der Scheitelpunkte des Tesserakts ist das gleiche wie eine Reihe von 4 × 4 Quadraten, die auf einem Torus gezeichnet sind  ; jede Zelle (die einen Scheitelpunkt des Tesserakts darstellt) grenzt an genau vier andere Zellen. Tesserakte sind auch zweiteilige Graphen , wie ein Pfad, ein Quadrat, ein Würfel und ein Baum.

3-dimensionale Projektionen

Die parallele Zell-zuerst- Projektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine kubische Hülle. Die nächsten und am weitesten entfernten Zellen werden auf den Würfel projiziert und die restlichen 6 Zellen werden auf die 6 quadratischen Flächen des Würfels projiziert.

Die gesichtsseitige Parallelprojektion des Tesserakts im dreidimensionalen Raum hat eine quaderförmige Hülle. Zwei Zellenpaare werden auf die obere und untere Hälfte dieser Hülle projiziert, und die restlichen 4 Zellen werden auf die Seitenflächen projiziert.

Die parallele Kante-zuerst- Projektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine Hülle in Form eines hexagonalen Prismas. Die 8 Zellen werden auf die Volumina der Form von Parallelogrammprismen projiziert, die im hexagonalen Prisma analog zur Anordnung der Flächen auf einer 3D-Würfelprojektion auf 6 Parallelogrammen in einer hexagonalen Hülle unter einer Scheitelpunktprojektion in first in angeordnet sind .

Die eckpunkt-erste Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine rhombische Dodekaeder- förmige Hüllkurve . Es gibt genau zwei Möglichkeiten, ein rhombisches Dodekaeder in 4 kongruente Quader zu zerlegen , was insgesamt 8 mögliche Quader ergibt. Die Bilder der Zellen des Tesserakts unter dieser Projektion sind genau diese 8 Quader. Diese Projektion hat auch die maximale Lautstärke.

Entwicklung des Tesseracts

Der Tesseract kann in acht Würfel erweitert werden, ebenso wie der Würfel in sechs Quadrate erweitert werden kann. Die Entwicklung eines Polyeders wird als Muster bezeichnet . Es gibt 261 verschiedene Muster des Tesserakts (siehe nebenstehende Abbildung für ein Beispiel für eines dieser 261 Muster). Die Ausdehnungen der Tesserakte können gezählt werden, indem die Muster auf Bäume mit Paaren angewendet werden (ein Baum, der in perfekter Übereinstimmung mit seinem Komplement steht ).

In Kunst und Literatur

Siehe Tesseract (Begriffsklärung)

In der Computerarchitektur

In der Informatik bezieht sich der Begriff Hypercube auf zwei Konzepte:

  1. Eine mehrdimensionale Basis für Berichts- und Analysezwecke. Es zerfällt in "Dimensionen" und "Fakten"; die Fakten sind die Zahlenwerte (typischerweise „Anzahl der Verkäufe“), die Dimensionen sind die Identifikatoren, die es ermöglichen, die Fakten in den Speicherzellen zu finden; wir können also einen „Unterwürfel“ (nicht unbedingt konvex ...) als Ergebnis einer Abfrage auf einen Würfel erhalten und ihn durch Vereinigung, Schnittmenge mit einem anderen Abfrageergebnis verarbeiten.
  2. ein präziser Computertyp bei der Parallelberechnung , dessen Prozessoren oder die Rechenelemente (PEs) wie die Eckpunkte eines Hyperwürfels miteinander verbunden sind.

Somit hat ein n- dimensionaler Hyperwürfelcomputer 2 n PEs, die jeweils direkt mit n anderen PEs verbunden sind.

Beispiele sind Machinery nCUBE  (as) , mit dem der erste Preis Gordon Bell  (in) gewonnen wurde , der Caltech Cosmic Cube  (in) und die Connection Machine  (in) , die die Hypercube-Topologie verwendet, um Gruppen von Prozessoren zu verbinden . SGI bietet in seinem Katalog Maschinen mit Infiniband-Netzwerken in Hypercube-Topologie an.

Hinweise und Referenzen

(fr) Dieser Artikel ist teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen englischen Titeln „  Tesseract  “ ( siehe die Liste der Autoren ) .
  1. Sehen Sie (in) Steven H. Cullinane, "  Geometry of the 4x4 Square  ", die die Spitze der Nachbarschaftseigenschaften zeigt.
  2. (in) Auffalten des Tesserakts .
  3. (in) "Tesseract (Band)" in Wikipedia ,15. Januar 2020( online lesen ).

Anhänge

Zum Thema passende Artikel

Literaturverzeichnis

Externe Links