Gipfelfigur

In der Geometrie ist eine Scheitelpunktfigur eines bestimmten Scheitelpunkts eines Polytops intuitiv die Menge von Punkten, die durch eine Kante direkt mit diesem Scheitelpunkt verbunden sind . Dies gilt auch für unendliche Pflasterungen oder Pflasterungen Füllraum mit polytopischen Zellen .

Genauer gesagt ist eine Scheitelpunktzahl für ein n-Polytop ein (n-1) -Polytop . Somit ist eine Scheitelpunktfigur für ein Polyeder eine polygonale Figur , und die Scheitelpunktfigur für einen Polychorus ist eine Polyederfigur . Das ( n -1) -Polytop, eine Scheitelpunktzahl, die einem gegebenen Scheitelpunkt A des n- Polytops entspricht, ist wie folgt definiert:

• Jeder Scheitelpunkt des Scheitels Figur entspricht einer Kante des Originals Polytop, von A.
• Jede Kante der Scheitelpunktfigur entspricht einer Fläche des ursprünglichen Polytops und verbindet zwei aufeinanderfolgende Scheitelpunkte der Scheitelpunktfigur, die im Anfangspolytop entsprechen, zwei Kanten derselben Fläche.
• Jede Fläche der Scheitelpunktfigur entspricht einer 3-Zelle des ursprünglichen n- Polytops (für n > 3), wobei ihre Kanten im Anfangspolytop Flächen entsprechen, die zu derselben 3-Zelle gehören.
• … Und so weiter für Elemente höherer Ordnung in Polytopen höherer Ordnung.

Die Oberseite der Figuren ist am nützlichsten für einheitliche Polytope  (in), da eine obere Figur das gesamte Polytop betreffen kann.

Bei Polyedern kann die Scheitelpunktfigur durch eine Scheitelpunktkonfigurationsnotation  (en) dargestellt werden , in der die Flächen in einer Reihenfolge um den Scheitelpunkt aufgelistet sind. Zum Beispiel ist 3.4.4.4 ein Scheitelpunkt mit einem Dreieck und drei Quadraten und repräsentiert das kleine Rhombikuboktaeder .

Wenn das Polytop einen einheitlichen Scheitelpunkt hat , existiert die Scheitelpunktfigur in einer Hyperebenenfläche des n- Raums. Im Allgemeinen müssen Scheitelpunktzahlen nicht planar sein.

Wie nicht konvexe Polyeder können auch Scheitelpunktfiguren nicht konvex sein. Einheitliche Polytope können beispielsweise Flächen in Sternpolygonen und Scheitelpunktfiguren aufweisen .

Wenn ein Polytop regelmäßig ist, kann es durch ein Schläfli-Symbol dargestellt werden , und sowohl die Zell- als auch die Scheitelpunktfigur können trivial aus dieser Notation extrahiert werden.

Im Allgemeinen hat ein reguläres Polytop mit einem Schläfli-Symbol {a, b, c, ..., y, z} Zellen {a, b, c, ..., y} und Scheitelpunktzahlen {b, c ,. .., y, z}.

1. Für ein reguläres Polyeder {p, q} ist die Scheitelpunktzahl {q}, ein q-weg.
   • Beispiel: Die Scheitelpunktzahl für einen Würfel {4.3} ist das Dreieck {3}.
2. Für einen regulären Polychorus oder eine Kachelung, die den Raum {p, q, r} ausfüllt , ist die Scheitelpunktzahl {q, r}.
   • Beispiel: Die Scheitelpunktzahl für einen Hyperwürfel {4,3,3} ist ein reguläres Tetraeder {3,3}.
   • Die Scheitelpunktzahl für eine kubische Wabe  (in) {4,3,4} ist das reguläre Oktaeder {3,4}.

Da das Doppelpolytop eines regulären Polytops ebenfalls regulär ist und durch das Schläfli-Symbol dargestellt wird, dessen Indizes invertiert sind, ist leicht zu erkennen, dass die Scheitelpunktzahl des Doppelpolytops die Zelle des Doppelpolytops ist.

Ein Beispiel für eine Waben-Topfigur

Die Figur der Spitze einer abgeschnittenen kubischen Wabe  (en) ist eine quadratische Pyramide, die ungleichmäßig ist. Ein Oktaeder und vier abgeschnittene Würfel treffen sich an jedem Scheitelpunkt, um eine Tessellation zu bilden, die den Raum ausfüllt.

Gipfelfigur  : Eine ungleichmäßige quadratische Pyramide
Erstellt als quadratische Basis aus einem Oktaeder
Und vier Seiten in gleichschenkligen Dreiecken aus abgeschnittenen Würfeln

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