Achteck

Regelmäßiges Achteck


Art	Regelmäßiges Vieleck
Kanten	8
Eckpunkte	8

Schläfli-Symbol	{8}
Coxeter-Dynkin-Diagramm
Symmetriegruppe	Diedergruppe D 16
Innenwinkel	135 °
Eigenschaften	Baubar

Ein Achteck (aus dem griechischen ὀκτάγωνον oktágōnon , vgl. Eightκτώ oktṓ „acht“ und γωνία gōnía „Winkel“) ist ein Polygon mit acht Eckpunkten , also acht Seiten und zwanzig Diagonalen .

Die Summe der Innenwinkel eines nicht gekreuzten Achtecks beträgt $6 π rad$ oder 1.080 ° .

Regelmäßiges Achteck

Ein reguläres Achteck ist ein Achteck, dessen acht Seiten die gleiche Länge und dessen Innenwinkel den gleichen Wert haben.

Es gibt einen regelmäßigen Achteck Stern (der octagramme (in) regelmäßig, bemerkte {8/3} ) , aber in der Regel „Achteck“ bezieht sich implizit regelmäßigen Achtecks konvex , bemerkte {8}.

Eigenschaften

Für ein reguläres Achteck mit Seite $a$ :

der Innenwinkel beträgt $3π / 4 rad$ , dh 135 °;
der Radius des umschriebenen Kreises ist ${\ displaystyle R = {\ tfrac {a} {2 \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} {\ text {(rad)}} \ right)}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} \ simeq 1 {,} 3066 ~ a ~;}$
der Radius des Beschriftungskreises und damit die Länge des Apothems ist ${\ displaystyle r = {\ tfrac {a} {2}} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = {\ tfrac {a} {2}} (1 + {\ sqrt {2}}) \ simeq 1 {,} 2071 ~ a}$ ( $Kinderbett$ ist hier die Kotangensfunktion );
der Umfang ist gleich $8 a$ ;
die Fläche ist gleich ${\ displaystyle 2a ^ {2} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = 2 (1 + {\ sqrt {2}}) ~ a ^ {2} \ simeq 4 {,} 82843 ~ a ^ {2}.}$ Es lohnt sich auch ${\ displaystyle 2R ^ {2} {\ sqrt {2}} = 8r ^ {2} {({\ sqrt {2}} - 1)}.}$

Konstruktion

Nach dem Gauß-Wantzel-Theorem und da 8 eine Potenz von 2 ist , ist das reguläre Achteck mit einem Lineal und einem Kompass konstruierbar . Folgende Konstruktion ist möglich:

1: Zeichne eine Linie.
2: Zeichnen Sie einen Kreis, dessen Mittelpunkt rechts liegt.
3: Zeichnen Sie einen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt am Schnittpunkt der Linie mit dem vorherigen Kreis liegt, mit demselben Radius wie dieser.
4: Zeichnen Sie eine Linie, die durch die beiden Punkte verläuft, an denen sich die Kreise schneiden.
5: Zeichnen Sie einen Bogen mit dem Schnittpunkt der beiden Linien als Mittelpunkt und durch den Mittelpunkt des ersten Kreises.
6: Zeichnen Sie eine Linie, die durch den Schnittpunkt der letzten Linie und des letzten Kreises und durch den Mittelpunkt des in 2 gezeichneten Kreises verläuft.
7: Der Schnittpunkt mit dem Kreis gibt den Abstand an, der für jede Seite des Achtecks zu melden ist
8 bis 10: Seiten übertragen.
11 bis 18: Zeichnen Sie das Achteck.

Oder einfacher:

Zeichne ein Quadrat , zeichne die Diagonalen.
Führen Sie die halbe Diagonale von jeder Ecke zu den Seiten des Quadrats.
Verfolgen Sie das Achteck, indem Sie die Ecken des Quadrats abschneiden.

Die Architektur

Im Mittelmeerraum wurden verschiedene Denkmäler und Teichen auf einem achteckigen Form gebaut: Mehrere Denkmäler wurden nach einem achteckigen Grundriss errichtet, einschließlich der Turm der Winde in Athen ( I st und II th Jahrhundert vor Christus. Die) Felsendom in Jerusalem ( VII th Jahrhundert ) oder Castel del Monte in Apulien , das vom Kaiser Friedrich II, die Heiligen römischen Kaiser im XIII - ten Jahrhundert . Castel del Monte bietet die Besonderheit, sich als achteckige Burg zu präsentieren, die von acht achteckigen Türmen flankiert wird.

Der Turm der Winde in Athen inspiriert die anderen Denkmäler: der Torre del Marzocco in Livorno ( XV - ten Jahrhundert ), das Observatorium Radcliffe in Oxford ( XVIII - ten Jahrhundert ), das Mausoleum von Panayis Vagliano (de) , der Gründer der Nationalbibliothek von Griechenland ( West Norwood Cemetery , London ) oder der 1849 erbaute Sewastopol Tower of the Winds .

Die achteckigen Becken befinden sich gelegentlich in einigen alten Denkmälern wie Kirchen oder Hammams im Kaiserpalast von Rom , im Lateran-Baptisterium oder im Hamam von Amir Ahmad .

Für Alchemisten ist das Achteck die perfekte Mischung zwischen dem Quadrat (dem Menschen) und dem Kreis (dem Göttlichen).

Plan des Felsendoms .
Karte von Castel del Monte .
Octagonal Lodge (Pennsylvania, Vereinigte Staaten).

Anmerkungen und Referenzen

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Tabelle der genauen trigonometrischen Linien
Montmorillon Octagon : Romanische Kapelle
Stoppschild , Verkehrszeichen achteckig

Externe Links

(en) Eric W. Weisstein , " Octagon " , auf MathWorld
(de) Eric W. Weisstein , „ Trigonometry Angles - Pi / 8 “ , auf MathWorld