Bernoulli-Zahl
In der Mathematik bilden Bernoulli-Zahlen , notiert B n (oder manchmal b n , um sie nicht mit Bernoulli-Polynomen oder mit Bell-Zahlen zu verwechseln ), eine Reihe von rationalen Zahlen .
Diese Zahlen wurden zuerst von Jacques Bernoulli untersucht (was Abraham de Moivre dazu veranlasste, ihnen den Namen zu geben, den wir heute kennen), indem er nach Formeln suchte, um Summen des Typs auszudrücken
Σk=0nicht-1kich=0ich+1ich+2ich+⋯+(nicht-1)ich.{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {m} = 0 ^ {m} + 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + {(n-1) } ^ {m}.}
Für ganzzahlige Werte von m wird diese Summe als Polynom der Variablen n geschrieben, deren erste Terme sind:
Σk=0nicht-1kich=1ich+1(nichtich+1-12(ich+11)nichtich+16(ich+12)nichtich-1-130(ich+14)nichtich-3+142(ich+16)nichtich-5+...).{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (n ^ {m + 1} - {\ frac { 1} {2}} {m + 1 \ wähle 1} {n ^ {m}} + {\ frac {1} {6}} {m + 1 \ wähle 2} {n ^ {m-1}} - {\ frac {1} {30}} {m + 1 \ wähle 4} {n ^ {m-3}} + {\ frac {1} {42}} {m + 1 \ wähle 6} {n ^ { m-5}} + \ ldots \ rechts).}
Die ersten Bernoulli-Zahlen ergeben sich aus der folgenden Tabelle:
nicht
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
---|
B nein
|
1
|
-1/2
|
1/6
|
0
|
-1/30
|
0
|
1/42
|
0
|
-1/30
|
0
|
5/66
|
0
|
-691/2730
|
0
|
7/6
|
---|
Wir können sie mit Hilfe der ganzzahligen Reihenentwicklung definieren (konvergieren wenn | x | <2π ):
xex-1=Σk=0∞Bkxkk!=1-12x+16x22!-130x44!+142x66!-130x88!+566x1010!-6912730x1212!+76x1414!+...{\ displaystyle {\ frac {x} {{\ rm {e}} ^ {x} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} \, {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \, x + {\ frac {1} {6}} \, {\ frac {x ^ {2}} { 2 !}} - {\ frac {1} {30}} \, {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {1} {42}} \, {\ frac {x ^ {6}} {6!}} - {\ frac {1} {30}} \, {\ frac {x ^ {8}} {8!}} + {\ frac {5} {66}} \ , {\ frac {x ^ {10}} {10!}} - {\ frac {691} {2 \; 730}} \, {\ frac {x ^ {12}} {12!}} + {\ frac {7} {6}} \, {\ frac {x ^ {14}} {14!}} + \ Ldots}
Bernoulli-Zahlen erscheinen in vielen Anwendungen aus der Euler-Maclaurin-Formel :
Σk=0nicht-1f(k)≈∫0nichtf(x)dx-12(f(nicht)-f(0))+16f'(nicht)-f'(0)2!-130f(3)(nicht)-f(3)(0)4!+142f(5)(nicht)-f(5)(0)6!+...{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (k) \ approx \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, {\ rm {d}} x - {\ frac {1} {2}} (f (n) -f (0)) + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(n) -f' (0)} {2!} } - {\ frac {1} {30}} {\ frac {f ^ {(3)} (n) -f ^ {(3)} (0)} {4!}} + {\ frac {1} {42}} {\ frac {f ^ {(5)} (n) -f ^ {(5)} (0)} {6!}} + \ Ldots},
oder die Summen, die die Riemannsche Zetafunktion definieren , nach Leonhard Euler :
ζ(2p)=1+122p+132p+142p+⋯+1nicht2p+⋯=|B2p|22p-1(2p)!π2p,{\ displaystyle \ zeta (2p) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {2p}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2p}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2p}}} + \ cdots + {\ frac {1} {n ^ {2p}}} + \ cdots = |B_ {2p} | {\ frac {2 ^ {2p-1}} {(2p)! }} \ pi ^ {2p},}
up-Ansatz von Kummer des letzten Satzes von Fermat .
Die Zahlen A =1/6, B = -1/30, C =1/42, D = -1/30, ... erscheinen in Bernoullis Ars Conjectandi , 1713, Seite 97 .
Es empfiehlt sich auch, diese Zahlen mit 1/2 statt -1/2 zu betrachten, die sogenannten zweiten Bernoulli-Zahlen. Sie sind die Binomialtransformation der ersteren und werden aus Worpitzky-Zahlen oder, was äquivalent ist, durch Anwendung des Akiyama-Tanigawa-Algorithmus auf 1 / ( n +1) erhalten .
Einführung: Potenzsummen
Jacques Bernoulli kannte einige Formeln wie:
1+2+3+⋯+(nicht-1)=12nicht2-nicht2=nicht(nicht-1)2;12+22+32+⋯+(nicht-1)2=13nicht3-12nicht2+nicht6=nicht(nicht-1)(2nicht-1)6;13+23+33+⋯+(nicht-1)3=14nicht4-12nicht3+14nicht2=nicht2(nicht-1)24;14+24+34+⋯+(nicht-1)4=15nicht5-12nicht4+13nicht3-nicht30=nicht(nicht-1)(2nicht-1)(3nicht2-3nicht-1)30;15+25+35+⋯+(nicht-1)5=16nicht6-12nicht5+512nicht4-112nicht2=nicht2(nicht-1)2(2nicht2-2nicht-1)12.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-1) & = {\ frac {1} {2}} n ^ {2} - {\ frac {n} {2} } && = {\ frac {n (n-1)} {2}} \,;\\ 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + {(n-1) } ^ {2} & = {\ frac {1} {3}} n ^ {3} - {\ frac {1} {2}} n ^ {2} + {\ frac {n} {6}} && = {\ frac {n (n-1) (2n-1)} {6}} \,;\\ 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + {(n -1)} ^ {3} & = {\ frac {1} {4}} n ^ {4} - {\ frac {1} {2}} n ^ {3} + {\ frac {1} {4 }} n ^ {2} && = {\ frac {n ^ {2} (n-1) ^ {2}} {4}} \,;\ 1 ^ {4} + 2 ^ {4} +3 ^ {4} + \ cdots + {(n-1)} ^ {4} & = {\ frac {1} {5}} n ^ {5} - {\ frac {1} {2}} n ^ { 4} + {\ frac {1} {3}} n ^ {3} - {\ frac {n} {30}} && = {\ frac {n (n-1) (2n-1) (3n ^ { 2} -3n-1)} {30}} \,;\\ 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + {(n-1)} ^ {5} & = {\ frac {1} {6}} n ^ {6} - {\ frac {1} {2}} n ^ {5} + {\ frac {5} {12}} n ^ {4} - { \ frac {1} {12}} n ^ {2} && = {n ^ {2} (n-1) ^ {2} (2n ^ {2} -2n-1) \ über 12}. \ end { ausgerichtet}}}
Bernoulli beobachtete, dass der Ausdruck
Sich(nicht)=Σk=0nicht-1kich=0ich+1ich+2ich+⋯+(nicht-1)ich{\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {m} = 0 ^ {m} + 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + {(n-1)} ^ {m}}
ist immer ein Polynom in n vom Grad m + 1 , vom konstanten Term Null, dessen dominantes Monom istn m +1/m +1und das Monom vom Grad m ist (wenn m > 0 ) -n m/2. Wir beweisen (siehe Abschnitt „ Rekursionsformeln “ weiter unten ), dass allgemeiner für 0 ≤ k generally m der Koeffizient von n m + 1– k das Produkt von m ist ! / ( m + 1 - k )! durch eine rationale Zahl B k , die nur von k und nicht von m abhängt . Wir können daher die Bernoulli-Zahlen B k definieren durch:
Sich(nicht)=Σk=0ichich!(ich+1-k)!Bkk!nichtich+1-k=1ich+1Σk=0ich(ich+1k)Bknichtich+1-k=Σk=0ich(ichk)Bknichtich+1-kich+1-k.{\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {m!} {(m + 1-k)!}} {\ frac {B_ {k}} {k!}} \, n ^ {m + 1-k} = {1 \ über {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m + 1 \ wähle k} B_ {k } \, n ^ {m + 1-k} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ wähle k} B_ {k} \, {\ frac {n ^ {m + 1-k} } {m + 1-k}}.}
Insbesondere ist der Koeffizient von n im Polynom S m ( n ) die Zahl B m .
Erste Bernoulli-Zahlen
Indem wir m den Wert 0 geben, erhalten wir (mit 0 0 = 1 ): für jede ganze Zahl n > 0 ,
B0nicht=S0(nicht)=00+10+⋯+(nicht-1)0=nicht,{\ displaystyle B_ {0} n = S_ {0} (n) = 0 ^ {0} + 1 ^ {0} + \ cdots + (n-1) ^ {0} = n,}was zeigt, dass B 0 = 1 .
Indem wir m den Wert 1 geben, erhalten wir:
12(B0nicht2+2B1nicht)=S1(nicht)=0+1+2+...+(nicht-1)=12(nicht2-nicht),{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} n) = S_ {1} (n) = 0 + 1 + 2 + \ ldots + (n -1) = {\ frac {1} {2}} (n ^ {2} -n),}was bestätigt, dass B 0 = 1 und zeigt, dass B 1 = –1/2 .
Indem wir m den Wert 2 geben, erhalten wir:
13(B0nicht3+3B1nicht2+3B2nicht)=S2(nicht)=02+12+22+...+(nicht-1)2=13(nicht3-32nicht2+nicht2),{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} (B_ {0} n ^ {3} + 3B_ {1} n ^ {2} + 3B_ {2} n) = S_ {2} (n) = 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ ldots + (n-1) ^ {2} = {\ frac {1} {3}} \ links (n ^ {3} - { \ frac {3} {2}} n ^ {2} + {\ frac {n} {2}} \ rechts),}was weiter zeigt, dass B 2 = 1/6 .
Indem wir m den Wert 3 geben, erhalten wir:
14(B0nicht4+4B1nicht3+6B2nicht2+4B3nicht)=S3(nicht)=03+13+23+...+(nicht-1)3=14(nicht4-2nicht3+nicht2),{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (B_ {0} n ^ {4} + 4B_ {1} n ^ {3} + 6B_ {2} n ^ {2} + 4B_ {3} n) = S_ {3} (n) = 0 ^ {3} + 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + \ ldots + (n-1) ^ {3} = {\ frac {1} {4}} (n ^ {4} -2n ^ {3} + n ^ {2}),}was auch zeigt, dass B 3 = 0 ist .
Berechnung der Bernoulli-Zahlen durch Induktion
Aus der Anfangsbedingung B 0 = 1 können wir die Bernoulli-Zahlen durch Induktion berechnen, indem wir
∀ich∈NICHT*1ich+1Σk=0ich(ich+1k)Bk=Sich(1)=Σk=00kich=0ich=0,{\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m + 1 \ wähle k } B_ {k} = S_ {m} (1) = \ sum_ {k = 0} ^ {0} k ^ {m} = 0 ^ {m} = 0,}
was als Rezidivbeziehung angesehen werden kann:
(ich+1)Bich=-Σk=0ich-1(ich+1k)Bk.{\ displaystyle (m + 1) B_ {m} = - \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {m + 1 \ select k} B_ {k}.}
Diese Reihe von linearen Gleichungen
1+2B1=0,{\ displaystyle 1 + 2B_ {1} = 0,}
1+3B1+3B2=0,{\ displaystyle 1 + 3B_ {1} + 3B_ {2} = 0,}
1+4B1+6B2+4B3=0,{\ displaystyle 1 + 4B_ {1} + 6B_ {2} + 4B_ {3} = 0,}
1+5B1+10B2+10B3+5B4=0,{\ displaystyle 1 + 5B_ {1} + 10B_ {2} + 10B_ {3} + 5B_ {4} = 0,} usw.
nacheinander gibt B 1 = -1/2, B 2 = 1/6, B 3 = 0 ist , B 4 = -1/30 , usw.
Das Detail der Berechnung von B 4 ist beispielsweise:
5B4=-(1+5B1+10B2+10B3)=-(1-52+106)=-16.{\ displaystyle 5B_ {4} = - (1 + 5B_ {1} + 10B_ {2} + 10B_ {3}) = - \ links (1 - {\ frac {5} {2}} + {\ frac {10 } {6}} \ rechts) = - {\ frac {1} {6}}.}
Verknüpfung mit Bernoulli-Polynomen
Die Bernoulli-Polynome B m ( X ) sind mit den Bernoulli-Zahlen durch
Bich(x)=Σk=0ich(ichk)Bkxich-k.{\ displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ select k} B_ {k} \, x ^ {mk}.}
Sie überprüfen die Beziehungen:
-
B0(X)=1{\ Anzeigestil B_ {0} (X) = 1} ;
-
∀nicht∈NICHTBnicht+1'(X)=(nicht+1)Bnicht(X){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad B '_ {n + 1} (X) = (n + 1) B_ {n} (X)} ;
-
∀nicht∈NICHT*∫01Bnicht(x)dx=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (x) {\ rm {d}} x = 0} ;
-
B m (0) = B m wenn m 0 (der konstante Term des Bernoulli-Polynoms ist gleich der Bernoulli-Zahl desselben Index);
-
B m (1) = B m , wenn m ≠ 1 .
Die Polynome S m ( n ) sind auch mit den Bernoulli-Polynomen verwandt:
∀ich,nicht∈NICHTSich(nicht)=Bich+1(nicht)-Bich+1(0)ich+1.{\ displaystyle \ forall m, n \ in \ mathbb {N} \ quad S_ {m} (n) = {\ frac {B_ {m + 1} (n) -B_ {m + 1} (0)} { m + 1}}.}
Von
Bnicht+1'=(nicht+1)Bnicht,{\ displaystyle B '_ {n + 1} = (n + 1) B_ {n},}wir folgern das
Sich'(X)=Bich+1'(X)ich+1=Bich(X).{\ displaystyle S '_ {m} (X) = {\ frac {B' _ {m + 1} (X)} {m + 1}} = B_ {m} (X).}Folglich sind die Polynome S m die Primitiven der Bernoulli-Polynome, die sich bei Null aufheben:
Sich(x)=∫0xBich(t)dt=Σk=0ich(ichk)Bkxich+1-kich+1-k.{\ displaystyle S_ {m} (x) = \ int _ {0} ^ {x} B_ {m} (t) {\ rm {d}} t = \ sum _ {k = 0} ^ {m} { m \ wähle k} B_ {k} \, {\ frac {x ^ {m + 1-k}} {m + 1-k}}.}
Andere Konventionen und Notationen zur Definition von Bernoulli-Zahlen
Wir verwenden manchmal die Notation b n , um Bernoulli- Zahlen von Bell-Zahlen zu unterscheiden .
Die in diesem Artikel verwendete Definition bestätigt B m = B m (0) wobei B m ( x ) das Bernoulli-Polynom bezeichnet.
Wir erfüllen auch die Konvention B m = B m (1) , wobei B m ( x ) das Bernoulli-Polynom bezeichnet.
Die beiden Konventionen unterscheiden sich nur im Vorzeichen von B 1 ; wir haben :
B1(0)=-12;B1(1)=+12.{\ displaystyle B_ {1} (0) = - {\ frac {1} {2}} \ qquad \,; \ qquad B_ {1} (1) = + {\ frac {1} {2}}.}
Eine andere Notation, die in der Topologie verwendet wird , besteht darin, gerade Terme ohne ihr Vorzeichen zu betrachten (wir haben b 2 k = (–1) k –1 | b 2 k | ):
bich=Bich(0);Bich=|b2ich|.{\ displaystyle b_ {m} = B_ {m} (0) \ qquad \,; \, \ qquad B_ {m} = | b_ {2m} |.}
Definition durch eine Generatorfunktion
Bernoulli-Zahlen können auch über eine Generatorfunktion definiert werden . Die der Folge zugeordnete exponentielle Generatorreihe ist x / (e x - 1) , so dass
xex-1=Σnicht=0∞Bnichtxnichtnicht!{\ displaystyle {\ frac {x} {{\ rm {e}} ^ {x} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ frac {x ^ { n}} {n!}}}
für jedes x mit einem Absolutwert kleiner als 2π (der Konvergenzradius dieser gesamten Reihe).
Diese Definition kann durch eine Induktionsfolge äquivalent zur vorherigen gezeigt werden : Der erste Term der Reihe ist eindeutig B 0 (durch Verlängerung durch Stetigkeit ).
Um die Rekursionsbeziehung zu erhalten, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit
e x - 1 . Verwenden Sie also die
Taylor-Reihe für die
Exponentialfunktion ,
x=(Σj=1∞xjj!)(Σk=0∞Bkxkk!).{\ displaystyle x = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {j}} {j!}} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} x ^ {k}} {k!}} \ richtig).}
Indem wir dies zu einem Cauchy-Produkt entwickeln und leicht neu anordnen, erhalten wir
x=Σich=0∞(Σj=0ich(ich+1j)Bj)xich+1(ich+1)!.{\ displaystyle x = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {m} {m + 1 \ select j} B_ {j} \ right) {\ frac {x ^ {m + 1}} {(m + 1)!}}.}
Aus dieser letzten Gleichheit ist klar, dass die Koeffizienten in dieser ganzen Reihe dieselbe Rekursionsrelation erfüllen wie die Bernoulli-Zahlen (siehe Abschnitt: „ Berechnung von Bernoulli-Zahlen durch Rekursion “).
Werte
Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten wie folgt:
Bernoulli-Zahlen
nicht |
B nein
|
Dezimalwert
|
---|
0 |
1
|
1 |
−1 / 2 |
= −0,5
|
2 |
1/6 |
0,166 7
|
3 |
0
|
4 |
-1 / 30 |
−0,033 3
|
5 |
0
|
6 |
1/42 |
0,023 81
|
7 |
0
|
8 |
-1 / 30 |
−0,033 3
|
9 |
0
|
10 |
5/66 |
0,075 76
|
11 |
0
|
12 |
−691 / 2 730 |
≈ −0,253 1
|
13 |
0
|
14 |
7/6 |
166 1.166 7
|
fünfzehn |
0
|
16 |
-3 617/510 |
−7.092 2
|
|
nicht |
B nein
|
Dezimalwert
|
---|
17 |
0
|
18 |
43.867 / 798 |
54.971 2
|
19 |
0
|
20 |
−174 611/330 |
−529.124
|
21 |
0
|
22 |
854 513/138 |
6.192,12 €
|
23 |
0
|
24 |
−236.364.091 / 2.730 |
≈ −86 580.3
|
25 |
0
|
26 |
8 553 103/6 103 |
1.425.517
|
27 |
0
|
28 |
−23 749 461 029/870 |
−27 298 231
|
29 |
0
|
30 |
8 615 841 276 005/14 322 |
601 580 874
|
31 |
0
|
32 |
−7 709 321 041 217/510 |
−15 116 315 767
|
33 |
0
|
|
Bernoulli-Nummernzeichen
Unter Verwendung des Generator - Funktion, können wir zeigen , dass B n = 0 , wenn n ist ungerade und verschieden von 1 ist , und dass die Zeichen der B n Stellvertreter für sogar n . Also haben wir :
B2k=(-1)k-1|B2k|.{\ displaystyle B_ {2k} = (- 1) ^ {k-1} | B_ {2k} |.}
Wiederholungsformeln
Hier begründen wir die in der Einleitung angekündigte Definition der Bernoulli-Zahlen. Fangen wir mit Summen an
Sich(nicht)=Σk=0nicht-1kich{\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {m}}
für alle natürlichen Zahlen m und n (insbesondere S m (0) = 0 ).
Beachten Sie, dass (gemäß der Binomialformel nach der Neuindizierung):
Sich+1(nicht+1)=Σk=1nichtkich+1=Σk=0nicht-1(k+1)ich+1=Σk=0nicht-1Σj=0ich+1(ich+1j)kj=Σj=0ich+1(ich+1j)Sj(nicht)=Sich+1(nicht)+Σj=0ich(ich+1j)Sj(nicht),{\ displaystyle S_ {m + 1} (n + 1) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} ( k + 1) ^ {m + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {m + 1} {\ binom {m + 1} {j} } k ^ {j} = \ sum_ {j = 0} ^ {m + 1} {\ binom {m + 1} {j}} S_ {j} (n) = S_ {m + 1} (n) + \ sum_ {j = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {j}} S_ {j} (n),}
nichtich+1=Sich+1(nicht+1)-Sich+1(nicht)=Σj=0ich(ich+1j)Sj(nicht)=(ich+1)Sich(nicht)+Σj=0ich-1(ich+1j)Sj(nicht){\ displaystyle n ^ {m + 1} = S_ {m + 1} (n + 1) -S_ {m + 1} (n) = \ sum _ {j = 0} ^ {m} {\ binom {m +1} {j}} S_ {j} (n) = (m + 1) S_ {m} (n) + \ sum_ {j = 0} ^ {m-1} {\ binom {m + 1} {j}} S_ {j} (n)}
und wir bekommen schließlich:
∀ich,nicht∈NICHTSich(nicht)=nichtich+1ich+1-ich!Σj=0ich-1Sj(nicht)j!(ich+1-j)!,{\ displaystyle \ forall m, n \ in \ mathbb {N} \ quad S_ {m} (n) = {\ frac {n ^ {m + 1}} {m + 1}} - m! \ sum _ { j = 0} ^ {m-1} {\ frac {S_ {j} (n)} {j! (m + 1-j)!}},}
was als Definition von S m ( n ) durch Induktion auf m ( einschließlich der Initialisierung S 0 ( n ) = n ) angesehen werden kann. Dieser Ansatz erlaubt durch Induktion zu beweisen, dass die Koeffizienten S m ( n ) die in der Einleitung angegebene Form haben .
Sich(nicht)=Σich=0ichich!(ich+1-ich)!Bichich!nichtich+1-ich{\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {m} {\ frac {m!} {(m + 1-i)!}} {\ frac {B_ {i}} {i!}} \, n ^ {m + 1-i}}
Für alle j ≥ 0 , Note B j Koeffizient der n in S j ( n ) , und folgern die Rekursionsformel von S m ( n ) , oben, durch Induktion über j , dem Koeffizienten c k , j von n j + 1- k in S j ( n ) ist das Produkt von j /! ( j + 1 - k )! von B k / k ! nicht nur für k = j , sondern auch für jede natürliche Zahl k < j (die für k = 0 unmittelbar ist ). Unter der Annahme, dass die Eigenschaft für alle j < m wahr ist , finden wir als Koeffizienten c m , i von n m + 1– i in S m ( n ) , für 0 < i < m :
Sj(nicht)=Bjnicht+Σk<jvsk,jnichtj+1-k{\ displaystyle S_ {j} (n) = B_ {j} n + \ sum _ {k <j} c_ {k, j} n ^ {j + 1-k}}
vsich,ich=-ich!Σj<ich,k⩾0j+1-k=ich+1-ich1j!(ich+1-j)!j!(j+1-k)!Bkk!=ich!(ich+1-ich)!Σk=0ich-1-Bk(ich+1-k)!k!=ich!(ich+1-ich)!Bichich!,{\ displaystyle c_ {m, i} = - m! \ sum _ {{j <m, \, k \ geqslant 0} \ atop {j + 1-k = m + 1-i}} {1 \ über j (m + 1-j)!} {j! \ über (j + 1-k)!} {B_ {k} \ über k!} = {m! \ über (m + 1-i)!} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {- B_ {k} \ über (i + 1-k)! k!} = {m! \ über (m + 1-i)!} {B_ {i} \ über i!},}
die erste Gleichheit aus der Induktionshypothese und die letzte Gleichheit aus § Berechnung der Bernoulli-Zahlen durch Induktion :
Bich=-1ich+1Σk=0ich-1(ich+1k)Bk=-Σk=0ich-1ich!(ich+1-k)!k!Bk.{\ displaystyle B_ {i} = - {\ frac {1} {i + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {i + 1 \ select k} B_ {k} = - \ Summe _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {i!} {(i + 1-k)! k!}} B_ {k}.}
Bernoulli-Zahlen und Riemannsche Zetafunktion
Die erste Relation hat Leonhard Euler in folgender Form
erhalten obtained
B2nicht=(-1)nicht+12(2nicht)!(2π)2nicht[1+122nicht+132nicht+142nicht+⋯].{\ displaystyle B_ {2n} = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {2 (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}} \ left [1 + {\ frac {1 } {2 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2n}}} + \ cdots \; \ right].}
(Sie kann als Korollar der Berechnung der Fourier-Reihe von Bernoulli-Polynomen erhalten werden .)
Die Beziehung wird mit der Zeta-Funktion von Riemann geschrieben :
B2nicht=(-1)nicht-12(2nicht)!(2π)2nichtζ(2nicht),{\ displaystyle B_ {2n} = (- 1) ^ {n-1} {\ frac {2 \, (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}} \;\zeta (2n), }
Relation, die sich ergibt (für n > 0 ):
2ζ(2nicht)=(2π)2nicht(2nicht)!|B2nicht|.{\ displaystyle 2 \, \ zeta (2n) = {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n}} {(2n)!}} \, |B_ {2n} |.}
Das Aussehen von B 12 = -691/2730scheint zu zeigen, dass die Werte von Bernoulli-Zahlen nicht einfach beschrieben werden können; tatsächlich sind sie im Wesentlichen Werte der Riemann- Funktion ζ für negative ganzzahlige Werte der Variablen, da,
ζ(-nicht)=(-1)nichtBnicht+1nicht+1{\ displaystyle \ zeta (-n) = (- 1) ^ {n} {\ frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}}
und wir wissen, dass letzteres schwer zu studieren ist (siehe Riemanns Hypothese ).
Es ist möglich, Bernoulli-Zahlen mit der Riemann-Zeta-Funktion wie folgt auszudrücken:
Bnicht=-nichtζ(1-nicht)nicht>1{\ displaystyle B_ {n} = - n \ zeta (1-n) \ quad n > 1}
und
B1=ζ(0).{\ displaystyle B_ {1} = \ zeta (0).}
Bestimmtes :
ζ(0)=B1=-12,ζ(-1)=-112,ζ(-3)=1120,ζ(-5)=-1252,ζ(-7)=1240.{\ displaystyle \ zeta (0) = B_ {1} = - {\ frac {1} {2}} \ ,, \ qquad \ zeta (-1) = - {\ frac {1} {12}}, \ qquad \ zeta (-3) = {\ frac {1} {120}}, \! \ qquad \ zeta (-5) = - {\ frac {1} {252}}, \! \ qquad \ zeta (- 7) = {\ frac {1} {240}}.}
Asymptotisches Verhalten von | B 2 n |
Für Bernoulli-Zahlen mit geradem Index gilt folgende Gleichheit:
|B2nicht|=(2nicht)!ζ(2nicht)22nicht-1π2nicht.{\ displaystyle | B_ {2n} | = {\ frac {(2n)! \ zeta (2n)} {2 ^ {2n-1} \ pi ^ {2n}}}.}
Aus der Definition der Riemannschen Zetafunktion leiten wir ab, dass ζ (2 n )> 1 (wenn n > 0.5 ). Daher haben wir den Rahmen:
2(2nicht)!(2π)2nicht<|B2nicht|⩽2ζ(2)(2nicht)!(2π)2nicht.{\ displaystyle {\ frac {2 \; (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}} <| B_ {2n} | \ leqslant {\ frac {2 \ zeta (2) \; (2n )!} {(2 \ pi) ^ {2n}}}.}
Aus der Ungleichung (wenn n > 0 ) folgt: (wenn n > 0 ), also:
e2nicht>(2nicht)2nicht(2nicht)!{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2n}> {\ frac {(2n) ^ {2n}} {(2n)!}}}(2nicht)!>(2nichte)2nicht{\ displaystyle (2n)!> \ left ({\ frac {2n} {\ rm {e}}} \ right) ^ {2n}}
|B2nicht|>2(nichtπe)2nicht.{\ displaystyle | B_ {2n} |> 2 \ left ({\ frac {n} {\ pi {\ rm {e}}}} \ right) ^ {2n}.}
Deshalb :
limnicht→∞|B2nicht|=+∞.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | B_ {2n} | = + \ infty.}
Wir haben das Äquivalent:
B2nicht~(-1)nicht-12(2nicht)!(2π)2nicht{\ displaystyle B_ {2n} \ sim (-1) ^ {n-1} {\ frac {2 \; (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}}}.
Verwenden der Stirling-Formel , um ein Äquivalent von (2 n ) zu schreiben ! , beweisen wir das Äquivalent, wenn n gegen unendlich geht:
|B2nicht|~4πnicht(nichtπe)2nicht{\ displaystyle \ left | B_ {2n} \ right | \ sim 4 {\ sqrt {\ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ pi {\ rm {e}}}} \ right) ^ {2n}}.
Anwendungen in der Analyse
Bernoulli-Zahlen tauchen in der Taylor-Reihenentwicklung von Tangentialfunktionen (kreisförmig und hyperbolisch), in der Euler-Maclaurin-Formel sowie in Ausdrücken bestimmter Werte der Riemannschen Zetafunktion auf.
Euler-Maclaurin-Formel
Sei a eine reelle Zahl und N eine natürliche Zahl. Wenn f eine Klassenabbildung (mit k 1 ) auf [ a , a + N ] ist .
VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}
f(beim)+f(beim+1)+f(beim+2)+⋯+f(beim+NICHT-1)=∫beimbeim+NICHTf(x)dx+Σj=1kBjf(j-1)(beim+NICHT)-f(j-1)(beim)j!+Rk,beim,NICHT{\ displaystyle f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + \ cdots + f (a + N-1) = \ int _ {a} ^ {a + N} f (x) \, {\ rm {d}} x + \ sum _ {j = 1} ^ {k} B_ {j} {\ frac {f ^ {(j-1)} (a + N) -f ^ {( j -1)} (a)} {j!}} + R_ {k, a, N}}
mit
Rk,beim,NICHT=(-1)k-1k!∫beimbeim+NICHTf(k)(x)Bk~(x-beim)dx{\ displaystyle R_ {k, a, N} = {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k!}} \ int _ {a} ^ {a + N} f ^ {(k) } (x) {\ tilde {B_ {k}}} (xa) \, {\ rm {d}} x}
wobei die periodische Funktion der Periode & sub1 ; gleich B k ( x ) , die Bernoulli - Polynom - Index k , über das Intervall [0; 1 [ .
Bk~(x){\ displaystyle {\ tilde {B_ {k}}} (x)}
Bk~(t)=Bk(t-⌊t⌋){\ displaystyle {\ tilde {B_ {k}}} (t) = B_ {k} (t- \ lfloor t \ rfloor)}wobei ⌊ t ⌋ den ganzzahligen Teil von t bezeichnet .
Taylor-Serienentwicklungen
Von der Generatorfunktion,
xex-1=Σk=0∞Bkxkk!=1-x2+Σnicht=1∞B2nichtx2nicht(2nicht)!,|x|<2π{\ displaystyle {\ frac {x} {{\ rm {e}} ^ {x} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} {\ frac {x ^ { k}} {k!}} = 1 - {\ dfrac {x} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {x ^ {2n}} { (2n)!}}, |X|<2\pi},
wir beweisen die folgenden Formeln:
1-x2cotanx2=Σnicht=1∞|B2nicht|x2nicht(2nicht)!,|x|<2π,{\ displaystyle 1 - {\ frac {x} {2}} \; \ Operatorname {cotan} {\ frac {x} {2}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n } | {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}, |x | <2 \ pi,}
xcotanx=1-Σnicht=1∞|B2nicht|22nicht(2nicht)!x2nicht,|x|<π,{\ displaystyle x \; \ Operatorname {cotan} x = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {2 ^ {2n}} {(2n)!} } x ^ {2n}, | x | <\ pi,}
cotanx=1x-Σnicht=1∞|B2nicht|22nicht(2nicht)!x2nicht-1,0<|x|<π,{\ displaystyle \ Operatorname {cotan} x = {\ dfrac {1} {x}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {2 ^ {2n}} {(2n)!}} X ^ {2n-1}, 0 <| x | <\ pi,}
1Sündex=1x+Σnicht=1∞|B2nicht|2(22nicht-1-1)(2nicht)!x2nicht-1,0<|x|<π,{\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ sin x}} = {\ dfrac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac { 2 (2 ^ {2n-1} -1)} {(2n)!}} X ^ {2n-1}, 0 <| x | <\ pi,}
bräunenx=Σnicht=1∞|B2nicht|22nicht(22nicht-1)(2nicht)!x2nicht-1,|x|<π/2,{\ displaystyle \ tan x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1)} {(2n)! }} x ^ {2n-1}, |x | <\ pi / 2,}
|
2ex+1=1-Σnicht=1∞B2nicht2(22nicht-1)(2nicht)!x2nicht-1,|x|<π,{\ displaystyle {\ dfrac {2} {{\ rm {e}} ^ {x} +1}} = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {2 (2 ^ {2n} -1)} {(2n)!}} X ^ {2n-1}, |x | <\ pi,}
12ex+1ex-1=12coth(x2)=1x+Σnicht=1∞B2nichtx2nicht-1(2nicht)!,0<|x|<2π,{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \; {\ dfrac {{\ rm {e}} ^ {x} +1} {{\ rm {e}} ^ {x} -1}} = {\ dfrac {1} {2}} \, \ Operatorname {coth} ({\ frac {x} {2}}) = {\ dfrac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, 0 <| x | <2 \ pi,}
cothx=ex+e-xex-e-x=1x+Σnicht=1∞B2nicht22nicht(2nicht)!x2nicht-1,0<|x|<π,{\ displaystyle \ Operatorname {coth} x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {x} + {\ rm {e}} ^ {- x}} {{\ rm {e}} ^ {x } - {\ rm {e}} ^ {- x}}} = {\ dfrac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {2 ^ {2n}} {(2n)!}} X ^ {2n-1}, 0 <| x | <\ pi,}
1Schx=1x-Σnicht=1∞B2nicht2(22nicht-1-1)(2nicht)!x2nicht-1,0<|x|<π,{\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ Operatorname {sh} x}} = {\ dfrac {1} {x}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {2 (2 ^ {2n-1} -1)} {(2n)!}} X ^ {2n-1}, 0 <| x | <\ pi,}
dasx=Σnicht=1∞B2nicht22nicht(22nicht-1)(2nicht)!x2nicht-1,|x|<π/2.{\ displaystyle \ operatorname {th} x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1)} {(2n) !}} x ^ {2n-1}, |x | <\ pi / 2.}
|
Die Zahlen sind ganze Zahlen, die Tangenszahlen oder Eulerzahlen zweiter Art genannt werden.
Tnicht=|B2nicht|22nicht(22nicht-1)2nicht{\ displaystyle T_ {n} = | B_ {2n} | {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1)} {2n}}}
Wir haben folgende Entwicklung: bräunenx=Σnicht=1∞Tnichtx2nicht-1(2nicht-1)!,|x|<π/2.{\ displaystyle \ Operatorname {tan} x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} T_ {n} {\ frac {x ^ {2n-1}} {(2n-1)!}}, | x | <\ pi / 2.}
Reihenentwicklungen von Bernoulli-Zahlen
|B2nicht|=(2nicht)!22nicht-1π2nichtΣk=1∞1k2nicht=2(2nicht)!(22nicht-1)π2nichtΣk=0∞1(2k+1)2nicht=(2nicht)!(22nicht-1-1)π2nichtΣk=1∞(-1)k-1k2nicht.{\ displaystyle {\ begin {aligned} | B_ {2n} | & = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n-1} \ pi ^ {2n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2n}}} \\ & = {\ frac {2 (2n)!} {(2 ^ {2n} -1) \ pi ^ {2n}} } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2n}}} \\ & = {\ frac {(2n)!} {(2 ^ { 2n-1} -1) \ pi ^ {2n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k ^ {2n}} }. \ end {ausgerichtet}}}
Arithmetische Eigenschaften
Bernoulli-Zahlen und Gruppen idealer Klassen
Die Teilbarkeitseigenschaften der Zähler der Bernoulli-Zahlen sind durch einen Satz von Kummer auf die Gruppen der idealen Klasse von zyklotomischen Körpern bezogen . Im Jahr 1847 zeigte Kummer, dass der letzte Satz von Fermat für eine bestimmte Menge von Primzahlen gilt, die als reguläre Primzahlen bezeichnet werden . Wir sagen, dass eine ungerade Primzahl „regulär“ ist, wenn sie die Anzahl der Klassen von ℚ (ζ p ) nicht teilt , andernfalls sagen wir, dass p unregelmäßig ist. Kummer entdeckte einen Zusammenhang mit den Teilbarkeitseigenschaften der Zähler von Bernoulli-Zahlen: Eine ungerade Primzahl p ist genau dann regulär, wenn p den Zähler einer der Zahlen B 2 , B 4 ,…, B p nicht teilt - 3 . Die Primzahl 3 ist regulär. Die ersten unregelmäßigen Primzahlen sind: 37, 59, 67, 101, 103, 149 und 157. Wenn p regulär ist, dann hat die Gleichung x p + y p = z p keine ganzzahlige Lösung (außer 1, 0 und 1) . Dies ist der Grund, warum Bernoulli-Zahlen tiefe arithmetische Eigenschaften haben.
Der Satz von Kummer wurde durch den Satz von Herbrand-Ribet verstärkt . Bernoulli-Zahlen sind auch durch die Ankeny-Artin-Chowla-Kongruenz mit den Klassenzahlen quadratischer Körper verbunden .
Verbindungen zur algebraischen K-Theorie
Es besteht auch ein Zusammenhang mit der K-Theorie der Algebraik: Als Konsequenz der Vermutung von Quillen-Lichtenbaum (in) ergibt sich folgendes Ergebnis:
- wenn n = 4 k - 2 und c k ist der Zähler von B 2 k / k , dann ist die Reihenfolge der K n (z) ist | c k | wenn k gerade ist ( n 6 mod 8 ), und 2 c k wenn k ungerade ist ( n 2 mod 8 );
- wenn n = 4 k - 1 und d k ist der Nenner von B 2 k / k , dann ist die Reihenfolge der K n (z) ist 4 d k , wenn k gerade ist ( n ≡ 7 mod 8 ) und 8 d k , wenn k ist ungerade ( n 3 mod 8 ).
Satz von Staudt-Clausen
Das Theorem von Staudt-Clausen bezieht sich auch auf die Teilbarkeit. Darin heißt es:
wenn wir zu
B n die Inversen
1 ⁄ p für jede
Primzahl p addieren, so dass
p - 1 n teilt , erhalten wir, wenn
n = 1 oder
n gerade von Null verschieden ist, eine
ganze Zahl .
Diese Tatsache macht es sofort möglich, die Nenner der nicht ganzzahligen Bernoulli-Zahlen B n als das Produkt aller Primzahlen p zu charakterisieren, so dass p - 1 n teilt . Folglich wird , wenn 2 n ist eine ganze Zahl ungleich null, der Nenner der Bernoulli - Zahl B 2 n wird quadriert und teilbar durch 6 .
Beispiele
B1+12=0;B2+12+13=1;B4+12+13+15=1{\ displaystyle B_ {1} + {\ frac {1} {2}} = 0 \ qquad; \ qquad B_ {2} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } = 1 \ qquad; \ qquad B_ {4} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} = 1}
B6+12+13+17=1;B10+12+13+111=1{\ displaystyle B_ {6} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {7}} = 1 \ qquad; \ qquad B_ {10 } + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {11}} = 1}B12+12+13+15+17+113=1;B14+12+13=2;B16+12+13+15+117=-6.{\ displaystyle B_ {12} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7} } + {\ frac {1} {13}} = 1 \ qquad;\ qquad B_ {14} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} = 2 \ qquad; \ qquad B_ {16} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {17}} = -6.}Die Eigenschaft ergibt: pB 2 m ≡ −1 mod p falls p - 1 2 m teilt . (Die Notation a ≡ b mod p bedeutet, dass p den Zähler von a - b teilt, aber nicht den Nenner.)
Die Agoh-Giuga-Vermutung postuliert, dass p genau dann eine Primzahl ist, wenn pB p −1 ≡ −1 mod p .
Kontinuität p -adic
Eine besonders wichtige Kongruenzeigenschaft von Bernoulli-Zahlen kann als p- adische Stetigkeitseigenschaft charakterisiert werden . Wenn p , m und n positive ganze Zahlen sind, so dass m und n nicht durch p - 1 teilbar sind und dann
ich≡nichtmodpb-1(p-1),{\ displaystyle m \ equiv n \, {\ bmod {\,}} p ^ {b-1} (p-1),}
(1-pich-1)Bichich≡(1-pnicht-1)Bnichtnichtmodpb.{\ displaystyle (1-p ^ {m-1}) {B_ {m} \ über m} \ equiv (1-p ^ {n-1}) {B_ {n} \ über n} \, {\ bmod {\,}} p ^ {b}.}
(Die Notation a ≡ b mod p k bedeutet, dass p k den Zähler von a - b teilt, aber nicht den Nenner.)
Wegen B n = - n ζ (1– n ) kann dies auch geschrieben werden
(1-p-du)ζ(du)≡(1-p-v)ζ(v)modpb{\ displaystyle (1-p ^ {- u}) \ zeta (u) \ equiv (1-p ^ {- v}) \ zeta (v) \, {\ bmod {\,}} p ^ {b} }
wobei u = 1 - m und v = 1 - n , so dass u und v negativ und nicht kongruent zu 1 mod p - 1 sind .
Dies sagt uns, dass die Riemannsche Zetafunktion mit 1 - p −s in der Eulerschen Produktformel weggelassen ist für p -adische Zahlen über negative ganze Zahlen kongruent mod p - 1 zu einer festen ganzen Zahl ist und daher zu einer stetigen Funktion erweitert werden kann ζ p ( s ) auf der topologischen Ring z p ganzen Zahlen p -adic: die Zeta - Funktion p -adic (en) .
beim≢1modp-1{\ displaystyle a \ not \ equiv 1 \, {\ bmod {\,}} p-1}
Formel Kervaire - Milnor der Reihenfolge des zyklischen Gruppe Klassen Diffeomorphismus der (4 n - 1) - exotische Sphären welcher Grenze die parallelisierbaren Sorten für n ≥ 2 umfassen die Bernoulli - Zahlen: wenn N n ist der Zähler von B 4 n / n , dann ist die Anzahl dieser Diffeomorphismusklassen exotischer Kugeln
22nicht-2(1-22nicht-1)NICHTnicht.{\ displaystyle 2 ^ {2n-2} (1-2 ^ {2n-1}) N_ {n}.}Die Formel in der Topologie unterscheidet Artikel gegeben , weil topologists eine verwenden andere Konvention die Bernoulli - Zahlen zu nennen (sie beachten B n die Folge 1, 1/6, 1/30 , ...).
Explizite Formeln
Tatsächlich können wir das B n auch ohne Wiederholung definieren: Mit den Stirling-Zahlen (zweiter Art) haben wir (für n > 1)
Bnicht=Σk=0nicht(-1)kk!k+1{nichtk}.{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {k!} {k + 1}} \ left \ {{\ begin {matrix } n \\ k \ end {Matrix}} \ rechts \}.}daher (unter Verwendung der expliziten Formeln für Stirling-Zahlen und Vereinfachung)
Bnicht=Σk=0nicht(-1)kk!k+1(1k!Σj=1k(-1)k-j(kj)jnicht)=Σk=0nicht1k+1Σj=0k(-1)j(kj)jnicht.{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {k!} {k + 1}} \ left ({\ frac {1} {k!}} \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {k \ wähle j} j ^ {n} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ { n} {\ frac {1} {k + 1}} \ sum_ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} {\ binom {k} {j}} j ^ {n}. }Sehr oft finden wir in der Literatur die Behauptung, dass explizite Formeln für Bernoulli-Zahlen nicht existieren; die letzten beiden Gleichungen zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Tatsächlich listete Louis Saalschütz (de) bereits 1893 insgesamt 38 explizite Formeln auf, die in der Regel viel ältere Referenzen anführten.
Bemerkenswerte Identitäten
Ramanujan-Beziehungen
Die folgenden drei Beziehungen aufgrund von Ramanujan bieten eine effizientere Methode zur Berechnung von Bernoulli-Zahlen:
- ich≡0mod6(ich+3ich)Bich=ich+33-Σj=1ich/6(ich+3ich-6j)Bich-6j,{\ displaystyle m \ equiv 0 \, {\ bmod {\,}} 6 \ qquad {{m + 3} \ select m} B_ {m} = {{m + 3} \ over 3} - \ sum _ { j = 1} ^ {m / 6} {m + 3 \ wählen {m-6j}} B_ {m-6j},}
- ich≡2mod6(ich+3ich)Bich=ich+33-Σj=1(ich-2)/6(ich+3ich-6j)Bich-6j,{\ displaystyle m \ equiv 2 \, {\ bmod {\,}} 6 \ qquad {{m + 3} \ select m} B_ {m} = {{m + 3} \ over 3} - \ sum _ { j = 1} ^ {(m-2) / 6} {m + 3 \ wählen {m-6j}} B_ {m-6j},}
- ich≡4mod6(ich+3ich)Bich=-ich+36-Σj=1(ich-4)/6(ich+3ich-6j)Bich-6j.{\ displaystyle m \ equiv 4 \, {\ bmod {\,}} 6 \ qquad {{m + 3} \ select m} B_ {m} = - {{m + 3} \ over 6} - \ sum _ {j = 1} ^ {(m-4) / 6} {m + 3 \ wähle {m-6j}} B_ {m-6j}.}
Eine Carlitz-Identität
Wenn m und n streng positive ganze Zahlen sind:
(-1)ichΣr=0ich(ichr)Bnicht+r=(-1)nichtΣso=0nicht(nichtso)Bich+so{\ displaystyle (-1) ^ {m} \ sum _ {r = 0} ^ {m} {m \ select r} B_ {n + r} = (- 1) ^ {n} \ sum _ {s = 0} ^ {n} {n \ wähle s} B_ {m + s}}.
Hinweise und Referenzen
(fr) Dieser Artikel ist ganz oder teilweise dem Wikipedia-Artikel in
englischer Sprache mit dem Titel
" Bernoulli-Nummer " entnommen
( siehe Autorenliste ) .
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(in) Kenneth Ireland und Michael Rosen , Eine klassische Einführung in die moderne Zahlentheorie , Springer , al. " GTM " ( n o 84);1990( Repr. 1998), 2 th ed. , 389 S. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , online lesen ) , p. 228.
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(in) Alain Robert (in) , Ein Kurs in p-adischer Analyse , Springer al. " GTM " ( n o 198)2000( online lesen ) , s. 273.
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Siehe auch Jean-Pierre Serre , Arithmetikkurs ,1970[ Ausgabedetails ], s. 147 .
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(La) E212 - Institutiones calculi differentis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum (1755), Teil II , Kap. 5 , englische Übersetzung [PDF] von David Pengelley (2000).
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Siehe auch
Literaturverzeichnis
John H. Conway und Richard K. Guy , Das Buch der Zahlen , Eyrolles , 1998 ( ISBN 2-212-03638-8 )
Zum Thema passende Artikel
-
Kongruenz Kummer (de)
-
Eisenstein-Kronecker-Zahl (in)
Externe Links
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