Taylor-Serie

In der Mathematik und genauer in der Analyse ist die Taylor-Reihe am Punkt $a$ einer an diesem Punkt unendlich differenzierbaren Funktion $f$ ( real oder komplex ) , auch Taylor-Reihen-Erweiterung von $f$ an $a genannt$ , eine ganzzahlige Reihe : konstruiert aus $f$ und seine aufeinanderfolgenden Derivate in $a$ . Eine Funktion $f$ gilt als analytisch in $a,$ wenn diese Reihe mit $f$ in der Nachbarschaft von $a zusammenfällt$ . ${\ textstyle \ sum c_ {n} (xa) ^ {n}}$

Prinzip

Sei $f$ eine unendlich differenzierbare Funktion an einem Punkt $a$ . Die Taylor-Expansion an diesem Punkt eines Polynoms $P$ mit einem Grad kleiner oder gleich $n$ ist:

{\ displaystyle P (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {P ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k}}

Das eindeutige Polynom mit einem Grad kleiner oder gleich $n,$ dessen Ableitungen in $a$ bis zur Ordnung $n$ mit denen der Funktion $f$ übereinstimmen, ist daher:

{\ displaystyle P_ {n} (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k} }}

Es heißt das Hermit-Interpolationspolynom von $f$ in $a$ bis zur Ordnung $n$ . Dieses Polynom $P n$ ist auch der Hauptteil der begrenzten Expansion von $f$ in $a$ bis zur Ordnung $n$ , die durch Taylors Formel gegeben ist .

Die Taylor-Reihe von $f$ bei $a$ wird definiert ( siehe unten ) als die ganzzahlige Reihe, deren $n-$ te Teilsumme für alle ganzen $n$ $n$ gleich $P n$ ist . Diese Reihe kann für " theoretische Demonstrationen " verwendet werden, während wir uns auf die Entwicklung beschränken, $n$ für numerische Verwendungen zu bestellen .

Definition

Sei $f$ eine Funktion einer reellen oder komplexen Variablen, die an einem Punkt $a auf$ unbestimmte Zeit differenzierbar ist . Die Taylor-Reihe von $f$ an diesem Punkt ist die Reihe von Funktionen :

{\ displaystyle f (a) + {\ frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + {\ frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + \ cdots}

welches in synthetischer Form geschrieben ist:

\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {f ^ {{(n)}} (a)} {n!}} (xa) ^ {{n}}

wo $n !$ ist die Fakultät von $n$ und $f ( n )$ bezeichnet die n- te Ableitung von $f$ .

Diese Reihe von Funktionen (konvergent oder nicht) ist eine ganzzahlige Reihe der Variablen $x - a$ .

Die Notation hat in der Funktionsanalyse in normalisierten , realen oder komplexen Algebren immer noch eine Bedeutung . Diese Verallgemeinerung wird in diesem Artikel jedoch nicht behandelt.

Wenn $a = 0 ist$ , wird die Reihe auch als Maclaurin- Reihe von $f bezeichnet$ .

Maclaurin serielle Erweiterungen der üblichen Funktionen

Notationen : In der folgenden Tabelle wurden die folgenden Notationen verwendet:

Die Zahlen $B 2 n,$ die in den Erweiterungen von $tan ( x )$ und von $th ( x ) erscheinen,$ sind die Bernoulli-Zahlen ;
${\ alpha \ wähle n}$ Bei der Entwicklung von $(1+ x ) α$ tritt ein Binomialkoeffizient (allgemein) auf ; ${\ alpha \ wähle n} = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) \ dots (\ alpha -n + 1)} {n!}}$
Die Zahlen $E k$ in der Erweiterung von $sec ( x )$ sind die Euler-Zahlen .

Funktionsname	Maclaurin-Serie		Konvergenzradius
Exponentiell	${{\ rm {e}}} ^ {x} =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}$	Unendlich
Logarithmus	$\ ln (1 + x) =$	$\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n + 1}}} n} x ^ {n}$	1
Summe einer geometrischen Reihe	${\ frac {1} {1-x}} =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x ^ {n}$	1
Paar Serie	$(1 + x) ^ {\ alpha} =$	$1+ \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ alpha \ wähle n} x ^ {n}$	1
Trigonometrische Funktionen	$\ sin (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {{2n + 1}}$	Unendlich
	$\ cos (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {{2n}}$	Unendlich
	$\ tan (x) =$	$\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \| B _ {{2n}} \| {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)! }} x ^ {{2n-1}}$	${\ frac {\ pi} {2}}$
	$\ sec (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} E _ {{2n}}} {(2n)!}} x ^ {{2n} }}$	${\ frac {\ pi} {2}}$
	$\ arcsin (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ { {2n + 1}}$	1
	$\ arccos (x) =$	${\ frac {\ pi} {2}} - \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ { 2} (2n + 1)}} x ^ {{2n + 1}}$	1
	$\ arctan (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} x ^ {{2n + 1}}$	1
Hyperbolische Funktionen	${\ mathrm {sh}} (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {(2n + 1)!}} x ^ {{2n + 1}}$	Unendlich
	${\ mathrm {ch}} (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {(2n)!}} x ^ {{2n}}$	Unendlich
	${\ mathrm {th}} (x) =$	$\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} B _ {{2n}} {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {{2n-1}}$	${\ frac {\ pi} {2}}$
	${\ mathrm {argsh}} (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n +1)}} x ^ {{2n + 1}}$	1
	${\ mathrm {argth}} (x) =$	$\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {2n + 1}} x ^ {{2n + 1}}$	1
Lamberts W-Funktion	$W_ {0} (x) =$	$\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-n) ^ {{n-1}}} {n!}} x ^ {n}$	${\ frac 1 {{\ rm {e}}}}$

Konvergenz der Taylor-Serie

Die Taylor-Reihe einer Polynomfunktion hat nur eine endliche Anzahl von Termen ungleich Null.

Taylors Serie ist eine ganze Serie . Es lässt daher einen Konvergenzradius $R zu$ , und auf der Scheibe mit Zentrum $a$ und Radius $R$ konvergiert die Reihe normalerweise auf jedem Kompakt. Jedoch:

der Konvergenzradius gibt im Allgemeinen keine Auskunft über die Größe des Definitionsbereichs von $f$ ;
für Funktionen der reellen Variablen kann sich die Summe der Taylor-Reihe von $f$ an $a$ auf ihrer Konvergenzscheibe von der Funktion $f unterscheiden$ ;
für Funktionen $f$ der reellen Variablen kann es vorkommen, dass $R$ Null ist (die Reihe divergiert an einem anderen Punkt als dem Ursprung), obwohl $f$ an jedem Punkt auf unbestimmte Zeit differenzierbar ist; Diese beiden letzten Phänomene können bei komplexen variablen Funktionen nicht auftreten.

Wenn zum Beispiel $f ( x ) = exp (-1 / x 2 )$ , erweitert durch Kontinuität in 0 um $f (0) = 0$ , dann ist $f$ an jedem Punkt auf unbestimmte Zeit differenzierbar, und alle Ableitungen von $f$ sind bei $x$ Null $= 0$ , also ist die Summe der Taylor-Reihe von $f$ Null (und ihr Konvergenzradius ist unendlich), während die Funktion niemals Null ist, außer bei 0. Dieses Phänomen beruht auf der Tatsache, dass die Funktion flach ist (en) ( vernachlässigbar nahe 0 in Bezug auf jede Potenz von $x$ ). Dies ist ein Beispiel für eine nicht analytische reguläre Funktion .

Ist die Funktion $f$ ist $gleich$ der Summe der gesamten Serie in der Nachbarschaft $ein$ , dann sagen wir , dass $f$ ist analytisch . Diese Definition gilt sowohl für die Funktionen einer realen Variablen als auch für die Funktionen einer komplexen Variablen. Eine Funktion einer komplexen analytischen Variablen wird jedoch häufiger als holomorph bezeichnet : Um dies zu erreichen, genügt die Annahme, dass sie differenzierbar ist. Es ist eines der ersten Ergebnisse der Starrheit in der komplexen Analyse . Für eine ganze Funktion , dh holomorph auf der gesamten komplexen Ebene, hat die Taylorreihenexpansion an jedem Punkt einen unendlichen Konvergenzradius und die Summe der Reihen stimmt mit der Funktion überein.

Anmerkungen und Referenzen

Anmerkungen

Es wird verwendet, um ungefähre Werte der Funktion in der Nähe eines Punktes zu berechnen. In diesem Fall berechnen wir einen „ Rest “, der die Grenzen für den Fehler bereitstellt. Die begrenzte Entwicklung und die Berechnung des Restes wurden von Taylor nicht untersucht, aber fast ein Jahrhundert später, als Lagrange 1799 zum ersten Mal die Notwendigkeit betonte, den Rest genau zu definieren.
Ein verwendet es zum Beispiel , um Eulers Formel zu beweisen .
Für eine meromorphic Funktion der Konvergenzradius bei $a$ ist der Abstand zwischen $einem$ und dem Pol am nächsten $ein$ .

Verweise

Jean-Luc Chabert & al. Geschichte der Algorithmen, Stone to Chip , Belin, 1993, p. 455.
Joseph-Louis Lagrange, Lektionen über die Berechnung von Funktionen , 1799, neu veröffentlicht 1806, Lektion 9, S. 88: „Solange diese Entwicklung nur der Erzeugung abgeleiteter Funktionen dient, ist es unerheblich, ob die Reihe ins Unendliche geht oder nicht; es ist auch so, wenn wir die Entwicklung nur als eine einfache analytische Transformation der Funktion betrachten; Wenn wir es jedoch verwenden möchten, um den Wert der Funktion in bestimmten Fällen als Ausdruck einer einfacheren Form [...] zu erhalten, können wir nur eine bestimmte Zahl plus oder weniger Begriffe berücksichtigen. Es ist wichtig, eine Möglichkeit zu haben, den Rest der vernachlässigten Reihe zu bewerten oder zumindest Grenzen des Fehlers zu finden, den man begeht, indem man diesen Rest vernachlässigt. ""
Dies ist bei der Funktion der Fall (dieses Beispiel stammt von Matyáš Lerch ); Es ist sogar möglich, Funktionen zu erstellen, für die die Taylor-Reihe an jedem Punkt einen Konvergenzradius von Null aufweist: siehe Walter Rudin , Real and Complex Analysis , McGraw-Hill, 3 e ed., p. 384, Übung 13. ${\ displaystyle x \ mapsto \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (2 ^ {n} x)} {n!}}}$
Beispiel von Augustin Louis Cauchy , Zusammenfassungen der Lektionen an der Ecole Royale Polytechnique über Infinitesimalrechnung, Imprimerie Royale, Paris 1823.

Siehe auch