Konvergenzradius

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Der Konvergenzradius einer ganzzahligen Reihe ist die positive reelle Zahl oder $+ \infty$ gleich der oberen Schranke der Modulmenge komplexer Zahlen, wo die Reihe konvergiert (im klassischen Sinne der einfachen Konvergenz ):

{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {konvergiert einfach}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Eigenschaften

Wenn $R$ der Konvergenzradius einer Potenzreihe ist, dann ist die Reihe auf der offenen Scheibe $D (0,$ $R$ $)$ vom Mittelpunkt $0$ und Radius $R$ absolut konvergent . Diese Scheibe wird Konvergenzscheibe genannt . Diese absolute Konvergenz bewirkt, was manchmal unbedingte Konvergenz genannt wird : Der Wert der Summe an jedem Punkt dieser Scheibe hängt nicht von der Reihenfolge der Terme ab. Wir haben zum Beispiel:

$\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n}} z ^ {{2n}} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n + 1}} z ^ {{2n + 1}}$ ;
${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ rechts) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}$ , wobei und die Konvergenzradien der beiden ganzen Reihen sind (siehe Cauchy-Produkt ). $R_1$ $R_2$

Wenn die ganze Reihe einen Konvergenzradius $R hat$ , dann gilt: $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}$

die Konvergenz ist auf jedem Kompakten in $D (0,$ $R$ $)$ sogar normal (daher gleichförmig $)$ ;
für jeden komplexen $z$ , so dass $| z | > R$ , die Reihe divergiert grob ;
für jeden komplexen $z$ , so dass $| z | = R$ , die Reihe kann entweder divergieren oder konvergieren;
der Kehrwert des Radius $R$ ist durch den Satz von Cauchy-Hadamard gegeben : wobei $lim sup$ die obere Grenze bezeichnet ; ${\ frac 1R} = \ limsup _ {{n \ bis \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {{n \ bis \ infty}} \ links | {\ frac {a _ {{n + 1}}} {a_ {n}}} \ rechts |$
wenn $R$ nicht null ist, dann ist die Summe $f$ der ganzen Reihe eine holomorphe Funktion auf $D (0, R )$ , wobei ${\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} }$ ;
ist der Radius $R$ unendlich, so heißt die ganze Reihe eine ganze Funktion .