Stirling-Formel

Die Stirling-Formel , benannt nach dem Mathematiker Scottish James Stirling gibt einen Äquivalent des Fakultäts einer natürlichen Zahl n , wenn n neigt zur Unendlichkeit :

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} {n \ ,! \ over {\ sqrt {2 \ pi n}} \; \ left ({n} / {{\ rm {e}}} \ right) ^ {{n}}} = 1

das finden wir oft wie folgt geschrieben:

n \,! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({n \ over {{\ rm {e}}}} \ right) ^ {n}

wobei die Zahl $e$ die Basis des Exponentials bezeichnet .

Geschichte

Es war Abraham de Moivre, der zunächst die folgende Formel demonstrierte:

{\ displaystyle n \,! \ sim C \; n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} \, \ mathrm {e} ^ {- n}}

Dabei ist $C$ eine reelle Konstante (ungleich Null).

Stirlings Beitrag bestand darin , der Konstanten den Wert $C$ = $\sqrt 2π$ $zuzuweisen$ und jeder Ordnung eine Erweiterung von $ln ( n !)$ Zu geben.

Demonstration

Die Bestimmung der Konstante erfolgt nicht sofort, aber es ist einfach, das Ergebnis von De Moivre zu zeigen , indem überprüft wird, ob es sich um die n- te Teilsumme einer konvergenten Teleskopreihe handelt . Der klassische Weg, um dann die asymptotische Formel abzuleiten, wird im Artikel über Wallis-Integrale erläutert . ${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} \ operatorname {e} ^ {- n}} {n \ ,!}} \ right)}$
Um den De-Moivre-Faktor einzuführen, lautet eine andere Art der Darstellung wie folgt: Die Euler-Maclaurin-Formel, die auf die Funktion $ln$ zwischen 1 und n angewendet wird, ergibt ${\ displaystyle \ ln (n!) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ ln k = \ int _ {1} ^ {n} \ ln x \; \ mathrm {d} x + {\ frac {\ ln 1+ \ ln n} {2}} + O (1) = n \ ln n-n + {\ frac {\ ln n} {2}} + O (1).}$ Wir nehmen dann das Exponential und das gibt die Idee der obigen Berechnung.
Wir können sogar den Faktor $\sqrt 2π$ durch die Methode des schnellen Abstiegs einführen . Diese Methode ist sehr leistungsfähig und wenn wir sie anwenden, „verstehen“ wir das Erscheinungsbild von $\sqrt 2π$ und finden sofort das Stirling-Ergebnis.
Man kann aber auch direkt und elementar ein genaueres Ergebnis für die Funktion $Γ$ von Euler demonstrieren , dessen besonderer Fall für die Fakultät geschrieben steht: ${\ displaystyle \ left | \ left ({\ frac {\ mathrm {e}} {n}} \ right) ^ {n} \, n! - {\ sqrt {2 \ pi n}} \ right | \ leq 2}$ .

Asymptotische Entwicklung

Unter der Annahme des bereits bekannten Koeffizienten $C$ = $\sqrt 2π$ ergibt die Euler-Maclaurin-Formel die asymptotische Entwicklung von $ln ( n !)$ In der Nähe der Unendlichkeit in der Ordnung $K \geq 1$ :

{\ displaystyle \ ln (n \ ,!) = n \ ln n-n + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi n) + \ sum _ {k = 1} ^ {K} {\ frac {(-1) ^ {k + 1} B_ {k + 1}} {k (k + 1) n ^ {k}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {K + 1}}} \ right)}

wobei das $B i$ die Bernoulli-Zahlen sind . Es ist zu beachten, dass die obige Summe nicht zu einer endlichen Grenze tendiert, wenn $K$ gegen unendlich tendiert.

Da wir wissen, dass außer $B 1$ (das nicht in die Formel eingreift) alle Bernoulli-Zahlen mit ungeradem Rang Null sind, können wir die Erweiterung umschreiben (um $2 K$ zu ordnen ):

{\ displaystyle \ ln (n \ ,!) = n \ ln n-n + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi n) + \ sum _ {k = 1} ^ {K} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) n ^ {2k-1}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2K + 1}}} \ right)}

Wir definieren die Binet- Funktion $μ,$ indem wir $K$ formal gegen unendlich tendieren :

{\ displaystyle \ mu (n) \ triangleq \ ln (n \ ,!) - n \ ln (n) + n - {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi n)}

was erlaubt zu schreiben:

{\ displaystyle n \,! = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ right) ^ {n} \ operatorname {e} ^ {\ mu (n)}}

Durch Berechnung der ersten Terme von $e μ ( n )$ dank der Exponentialformel (en) (die die Bell-Polynome beinhaltet ) erhalten wir dann die asymptotische Expansion von $n !$ in der Nachbarschaft der Unendlichkeit:

{\ displaystyle n \,! = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ right) ^ {n} \ left [1 + {\ frac {1} {12n}} + {\ frac {1} {288n ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840n ^ {3}}} - {\ frac {571} {2488320n ^ {4} }} + {\ frac {163879} {209018880n ^ {5}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {6}}} \ right) \ right]}

Entwicklung, deren Zähler und Nenner von den Suiten A001163 und A001164 des OEIS referenziert werden . Es geht auch um die asymptotische Entwicklung der Gammafunktion .

Fortlaufende Version

Die vorherige Formel ist für den Sonderfall eines ganzzahligen Arguments eine Konsequenz der asymptotischen Formel von Stirling für die Gammafunktion :

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ sim z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} {\ mathrm {e}} ^ {- z} {\ sqrt {2 \ pi}}, \ quad | \ arg (z) | <\ pi}

Numerische Berechnungen

Genauigkeit der Stirlingschen Formel

Um seine Genauigkeit zu beurteilen, können wir die Tabelle der ersten Werte von n erstellen :

nicht	n !	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({n \ over {\ mathrm {e}}} \ right) ^ {n}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({n \ over {\ mathrm {e}}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {1} {12 \ n}} \ right)}$
1	1	0,92	0,999
2	2	1,92	1.999
3	6	5.84	5,998
4	24	2 3.51	2 3.996
5	120	1 18.02	1 19,99
6	720	7 10.08	7 19.94
7	5.040	4,980,4	5 0 39.7
8	40.320	39.902,4	40 3 18.1
9	362.880	3 59 536.9	362 8 66.0
10	3,628,800	3 598 696	628 3 685
fünfzehn	1,307,674,368,000	1,30 0 431 × 10 12	1,307 6 65 × 10 12
20	2,432,902,008 176,640,000	2,4 22 787 × 10 18	2,432 882 × 10 18
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,5 45 959 × 10 25	1,551 1 13 × 10 25
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480.000.000	2,6 45 171 × 10 32	2,652 5 19 × 10 32
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272.000.000.000	8,1 42 173 × 10 47	8,159 1 36 × 10 47

In $\sqrt n$ , wenn wir n durch n + ersetzen $1 /. 6$ sind die Berechnungen für kleine Werte von n deutlich verbessert ( Gosper- Näherung ); man kann auch einen Rahmen bevorzugen; Schließlich können wir die Suite A055775 aus dem OEIS nehmen .

Verwendbare Näherungswerte für Rechenmaschinen

Die Annäherung

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ ca. {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ left ({\ frac {z} {\ mathrm {e}}} {\ sqrt {z \ sinh {\ frac {1} {z}} + {\ frac {1} {810z ^ {6}}}} \ right) ^ {z}}

oder gleichwertig

{\ displaystyle 2 \ ln (\ Gamma (z)) \ approx \ ln (2 \ pi) - \ ln z + z \ left (2 \ ln z + \ ln \ left (z \ sinh {\ frac {1}) {z}} + {\ frac {1} {810z ^ {6}}} \ right) -2 \ right)}

kann erhalten werden, indem die erweiterte Stirling-Formel neu angeordnet wird und eine Übereinstimmung zwischen der resultierenden Potenzreihe und der Taylorreihenerweiterung der hyperbolischen Sinusfunktion festgestellt wird . Diese Näherung gilt bis zu mehr als 8 Dezimalstellen für z mit einem Realteil größer als 8. Robert H. Windschitl schlug 2002 vor, die Gammafunktion auf Programm- oder Speicherberechnungsmaschinen mit guter Genauigkeit zu berechnen. Begrenztes Register.

Gergő Nemes schlug 2007 eine Annäherung vor, die die gleiche Anzahl exakter Zahlen wie die von Windschitl liefert, aber viel einfacher ist:

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ ungefähr {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ left ({\ frac {1} {\ mathrm {e}}} \ left (z + {\ frac {1} {12z - {\ frac {1} {10z}}} \ right) \ right) ^ {z}}

oder gleichwertig

{\ displaystyle \ ln (\ Gamma (z)) \ approx {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ ln (2 \ pi) - \ ln z \ right] + z \ left [\ ln \ left (z + {\ frac {1} {12z - {\ frac {1} {10z}}} \ right) -1 \ right]}

Logarithmische Approximation

Im Kontext der statistischen Thermodynamik ( Boltzmann-Verteilung ) ist es zweckmäßig, den natürlichen Logarithmus einer Fakultät durch Stirling-Näherung zu berücksichtigen. Die Näherung besteht darin, die Summe einem Integral zu assimilieren, wenn n ausreichend groß ist.

{\ displaystyle \ ln \ left (n! \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ ln i} \ simeq \ int _ {1} ^ {n} {\ ln x \, \ mathrm {d} x} = \ left [x \ ln xx \ right] _ {1} ^ {n} = n \ ln nn + 1}

Wir erhalten schließlich die folgende Annäherung:

{\ displaystyle \ ln \ left (n! \ right) \ simeq n \ ln nn}

für die der relative Fehler weniger als 1% beträgt, wenn n > 100 ist. Diese Näherung wird im Rahmen der Boltzmann-Verteilung als gültig angesehen (der Fehler ist vernachlässigbar), da die großen Werte von n verwendet werden (die den makroskopischen Zustand der mikroskopischen Konfigurationen darstellen). .

Eine viel genauere Annäherung an $ln ( n !)$ Wurde von Srinivasa Ramanujan gegeben :

{\ displaystyle \ ln (n!) = n \ ln n-n + {\ frac {\ ln (8n ^ {3} + 4n ^ {2} + n + 1/30 + o (1))} {6}} + {\ frac {\ ln \ pi} {2}}}

( Ramanujan 1988 ).

Anmerkungen und Referenzen

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel " Stirlings Annäherung " ( siehe Autorenliste ) .

Anlässlich seines Beweises des zentralen Grenzwertsatzes im besonderen Fall des Binomialgesetzes .
(La) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione und Interpolatione Serierum Infinitarum (1730), Proposition 28, S.135 . Der Wert des Dezimallogarithmus von $\sqrt 2π$ ist p gegeben. 137 .
Siehe zum Beispiel diese korrigierte Übung der Lektion "Numerische Reihe" über Wikiversity .
Siehe das Dokument Riemann Integration / Duty / Gamma Function und Stirling Formula auf Wikiversity .
(in) Eric W. Weisstein , " Stirlings Annäherung " an MathWorld .
(in) VT Toth Programmierbare Taschenrechner: Taschenrechner und die Gammafunktion (2006).
(in) Gergő Nemes , " Neue asymptotische Erweiterung für die Gamma-Funktion " , Archiv der Mathematik , vol. 95, n o 22010, p. 161-169 ( ISSN 0003-889X , DOI 10.1007 / s00013-010-0146-9 ).
Atkins, Physikalische Chemie , 3 e Aufl., Boeck, Brüssel, 2008.
Jannès, Chimie Physique: Verbreitung von Boltzmann , HELdB IMC, Brüssel, 2010.
(in) Herr Trott , The Mathematica Guidebook for Symbolics , Birkhauser,20061454 p. ( ISBN 978-0-387-95020-4 , online lesen ) , p. 359.