Affines Gesetz

Ein affines Gesetz ist ein physikalisches oder mathematisches Gesetz , das zwei Größen x und y in Form einer affinen Funktion verbindet  :

y = ƒ ( x )

mit

ƒ ( x ) = ax + b

Die Koeffizienten a (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) sind Konstanten.

Wenn der Achsenabschnitt b Null ist,

ƒ ( x ) = ax

Wir sprechen vom linearen Gesetz oder vom proportionalen Gesetz .

Bedeutung affiner Gesetze

Betrachten Sie zwei Phänomene, deren Intensität variiert. bezeichnen x die Intensität des einen und y die Intensität des anderen. Wenn x und y gleichzeitig variieren, können wir schätzen, dass die Größen zusammenhängen, ihre Variationen werden als korreliert bezeichnet  ; es ist daher verlockend, sich durch ein Typgesetz verbinden zu wollen

y = ƒ ( x )

Das einfachste Gesetz zur Beschreibung einer korrelierten Variation ist das affine Gesetz: Es wird geschätzt, dass die Variationen der Intensitäten proportional sind oder sogar, dass die Intensitäten proportional sind (lineares Gesetz).

Es können vier Fälle auftreten:

• in Mathematik,
  • es wird gezeigt, dass zwei Größen durch ein affines oder lineares Gesetz verbunden sind; das ist ein genaues Gesetz;
    Beispielsweise ist der Umfang p eines Kreises proportional zu seinem Radius r  : p = 2π r  ;
  • Das Gesetz, das die beiden Größen verbindet, ist komplexer, aber in erster Näherung können wir uns auf ein affines Gesetz reduzieren, indem wir typischerweise eine Erweiterung durchführen, die auf Ordnung 1 beschränkt ist. Dies ermöglicht es in einigen Fällen, auf einfache Weise interessante Schlussfolgerungen zu ziehen, siehe Asymptotischer Vergleich  ;
• in experimentellen Wissenschaften  :
  • Die entwickelte Theorie zeigt, dass zwei Größen durch ein affines oder lineares Gesetz verbunden sind.
    Beispielsweise ändert sich für eine gleichmäßige geradlinige Bewegung auf der Abszissenachse die Position x in affiner Weise in Bezug auf die Zeit t  : x = x 0 + vt  ;
    Beobachtungen oder Experimente ermöglichen es, dieses Gesetz zu validieren oder ungültig zu machen;
  • Die Theorie gibt ein komplexes Gesetz an, das aber wie in der Mathematik als erste Annäherung als affin angesehen werden kann.
    Zum Beispiel ist das Hookesche Gesetz ein lineares Gesetz für kleine Stämme; bei großen Verformungen wird es asymmetrisch;
  • die Theorie gibt ein sogenanntes "  Potenz  " -Gesetz vom Typ y = a⋅x α an  ; In einem Log-Log-Diagramm erhalten wir ein lineares Gesetz: ln ( y ) = ln ( a ) + α⋅ln ( x );
    siehe zum Beispiel den pH-Wert in der Chemie oder das Dezibel- Konzept für Filter in der Elektronik;
    global kann die Transformation einer der Variablen es ermöglichen, auf eine lineare Studie zu reduzieren;
  • Wir haben keine Theorie, die ein Gesetz gibt. Das affine Gesetz ist das erste Gesetz, das geprüft wird.

Der große Unterschied zwischen den Gesetzen der Mathematik und den Gesetzen der experimentellen Wissenschaften ist der Messfehler . Die experimentelle Bestimmung der Koeffizienten erfolgt durch lineare Regression  ; Die Überprüfung der Relevanz des Gesetzes (ist es legitim, ein affines Gesetz zu verwenden) erfolgt durch Berechnung des linearen Korrelationskoeffizienten .

Affine Gesetze sind auch für die Interpolation oder Extrapolation von größter Bedeutung . In der Tat, wenn man das Gesetz, das zwei Größen verbindet und das wenige Punkte hat, nicht kennt, ist es „am vernünftigsten“ anzunehmen, dass das Gesetz lokal verfeinert wird. Der Fehler, den man begeht, ist dann moderat, solange das reale Gesetz in der betrachteten Zone monoton ist , und umso mehr, als die Krümmung des Gesetzes schwach ist - das heißt in erster Näherung, dass | ƒ | ist schwach.

Beachten Sie, dass der Begriff der Linearität des Gesetzes vom Standpunkt abhängt. Zum Beispiel in der Elektrizität das Gesetz, das die Intensität des Stroms mit der Spannung an den Anschlüssen eines passiven Dipols in Beziehung setzt

I = U / R.

ist in U linear, wobei der Proportionalitätskoeffizient 1 / R beträgt; aber es ist ein umgekehrtes Gesetz in R.

Beispiele für affines Recht

Lineare Gesetze in der Geometrie

Berechnung des Umfangs p eines gleichseitigen Polygons  :

• gleichseitiges Dreieck mit Seite a  : p = 3 a  ;
• Quadrat der Seite a  : p = 4 a  ;
• regelmäßiges Polygon (und allgemein gleichseitig) mit n Seiten der Länge a  : p = na .

Berechnung der entwickelten Länge L eines Kreisbogens mit Radius r und Winkel θ (im Bogenmaß ):

• L = θ r  ;
• Umfang des Kreises: P = L (2π) = 2π r .

Affine Gesetze in der Mechanik

Amplitude einer Bewegung in einem galiläischen Referenzrahmen  :

• gleichmäßige geradlinige Bewegung (null Beschleunigung) , die entlang der Abszissenachse: Beziehung zwischen der Position x , und dem Zeitpunkt t ‚( konstanten momentanen Geschwindigkeit v )
  x = x 0 + vt  ;
• gleichmäßige Drehbewegung (Winkelbeschleunigung Null) um eine feste Achse: Beziehung zwischen der Orientierung θ und dem Zeitpunkt t ( konstante Winkelgeschwindigkeit ω)
  θ = θ 0 + ω t  ;
• Gleitlager: Beziehung zwischen der momentanen Geschwindigkeit v des Fahrzeugs und der momentanen Winkelgeschwindigkeit ω des Speichenrades r
  v = r ω.

Elastische Verformung  :

• ideal Gesetz der Federn für Zug oder Druck, die auf die Längung ausgeübte Kraft in Bezug Δ x , für eine Feder der Steifigkeit K
  F = k Δ x
• Gesetz der Zugfedern für kleine Verformungen
  F = F 0 + k Δ x
• Hookesches Gesetz , das die relative Dehnung ε mit der Spannung (Kraft pro Flächeneinheit) σ eines Materials mit dem Elastizitätsmodul E (Steifheit)
  σ = Eε in Beziehung setzt

Lineare Gesetze in der Elektrizität

• Ohm'sches Gesetz

Lineare Gesetze in der Thermodynamik

• Beziehung zwischen der von einem System der Masse m absorbierten Wärme dQ und der Wärmekapazität bei konstantem Druck C p als Funktion der Temperaturänderung dT dQ = m C p dT
  
• Charles Gesetz
• Gay-Lussac-Gesetz

Affine Gesetze in der Chemie

Welches ist das am besten geeignete affine Gesetz?

Neben der Tatsache, dass es das Verhalten bestimmter Systeme gut „darstellt“, ist das affine Gesetz ein Gesetz, das leicht zu handhaben ist. Insbesondere ist es leicht rückgängig zu machen . Bei komplexen Berechnungen kann es interessant sein, eine Funktion durch eine affine Funktion zu ersetzen, um schneller und sicherer zu einem Ergebnis zu gelangen. Dieses Ergebnis kann dann unverändert genommen oder als Grundlage für eine genauere Berechnung verwendet werden.

Wenn das "echte" ƒ Gesetz eindeutig nicht verfeinert wird, wirft dies die Frage auf: Welches Gesetz verfeinert ƒ wurde anstelle des tatsächlichen Gesetzes verwendet?

Die Antwort auf diese Frage hängt vom Kontext der Berechnung und dem erwarteten Ergebnis ab.

Wenn wir an einem ganzen Bereich arbeiten [ x 1  ; x 2 ], dann wird die angepasste affine Funktion wahrscheinlich die lineare Regression des reellen Gesetzes über dieses Intervall sein. Somit minimieren wir die quadratische Abweichung zwischen dem realen Punkt y = ƒ ( x ) und dem ungefähren Punkt y a = ƒ a ( x ) (oder x a = ƒ a -1 ( y )).

Wenn wir einen „Arbeitspunkt“ haben ( x 0 , ƒ ( x 0 )), profitieren wir von der Arbeit mit der Tangente an die Kurve an diesem Punkt: Dies ermöglicht es, die absolute Differenz zwischen dem realen Punkt und dem Punkt zu minimieren näherte sich. Daher ist ƒ a die begrenzte Erweiterung erster Ordnung von ƒ in x 0 .

Wenn andererseits die Berechnung darin besteht, von einem gegebenen Startpunkt x d (typischerweise x d = 0) zum Betriebspunkt zu gelangen , ist es vorteilhaft, die Kabelverbindung ( x d , ƒ ( x d ) zu nehmen. ) bis ( x 0 , ƒ ( x 0 )). Somit sind wir sicher, dass die Berechnungen um die Abfahrts- und Ankunftspunkte realitätsnah sind.