In der Mathematik ist eine monotone Funktion eine Funktion zwischen geordneten Mengen , die die Reihenfolge beibehält oder umkehrt. Im ersten Fall sprechen wir von einer steigenden Funktion und im anderen von einer fallenden Funktion . Dieses Konzept erstmals erschien reale Analyse für numerische Funktionen und wurde dann in dem abstrakteren Rahmen der Ordnung verallgemeinert Theorie .
Intuitiv (siehe nebenstehende Abbildungen) ist die grafische Darstellung einer monotonen Funktion über ein Intervall eine Kurve, die ständig "nach oben" oder "nach unten" geht. Wenn dieser grafische Aspekt unmittelbar gesprochen wird, ist er jedoch nicht die einzige Form, in der sich die Eigenschaft der Monotonie offenbart: Eine monotone Funktion ist eine Funktion, die sich immer gleich auf das Ordnungsverhältnis auswirkt . Bei einer aufsteigenden Funktion wird die Reihenfolge, die zwischen zwei Variablen existiert, in der Reihenfolge ihrer Bilder gefunden , bei einer absteigenden Funktion ist die Reihenfolge der Bilder im Vergleich zur Reihenfolge der Antezedenten umgekehrt .
Für eine Funktion, die über ein Intervall differenziert werden kann , ist das Studium der Monotonie mit dem Studium des Vorzeichens der Ableitung verbunden, das konstant ist: immer positiv oder immer negativ.
Sei I ein Intervall von ℝ und f eine Funktion mit reellen Werten, der Definitionsbereich enthält das Intervall I .
Monotonie im weitesten Sinne. Wir sagen, dass f ist:
Beispiel : für eine wirkliche x , lassen Sie uns bezeichnen hier E ( x ) der ganzzahlige Teil von x (es ist die einzigartige relativ ganze Zahl k , so dass k ≤ x <k + 1). Die Funktion E: ℝ → ℝ wächst auf ℝ, aber nicht streng (vgl. unten ), weil sie auf jedem Intervall [ i , i + 1 [ von ganzzahligen Enden konstant ist .
Strenge Monotonie. Wir sagen, dass f ist:
Beispiele : Sei n eine streng positive ganze Zahl.
Anmerkung 1 : für eine Funktion, die f auf I wächst (bzw. streng steigend) ist, ist es notwendig und ausreichend, dass - f oder fallend (bzw. streng fallend) auf I .
Bemerkung 2 : Damit eine monotone Funktion f aus I in strictly nicht streng so ist, ist es notwendig (und natürlich ausreichend), dass I ein nicht-triviales Intervall (d.h.nichtleer und nicht auf einen Punkt reduziert) enthält, auf dem f ist konstant.
Gegeben zwei aufsteigende Funktionen auf I . So :
Wir haben eine analoge Eigenschaft für streng wachsende Funktionen.
KompositionSeien f zwei Funktionen : I → ℝ und g : J → ℝ, wobei I und J zwei reelle Intervalle sind mit f ( I ) ⊂ J ; wir können die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : I → ℝ definieren.
Wenn f monoton auf I und g monoton auf J , dann g ∘ f monoton auf I . Etwas präziser :
Wir haben eine analoge Eigenschaft für streng monotone Funktionen.
InjektivitätEine streng monotone Funktion über ein Intervall I ist injektiv , das heißt, zwei verschiedene Elemente von I haben verschiedene Bilder.
In der Tat, wenn x , y zwei verschiedene Elemente von I sind , haben wir (unter der Annahme, dass zum Beispiel f streng wächst)
wenn x < y dann f ( x ) < f ( y ),
wenn x > y dann f ( x ) > f ( y ),
daher sind in beiden Fällen f ( x ) und f ( y ) verschieden.
Diese dem Satz der Zwischenwerte zugeordnete Eigenschaft ist nützlich, um die Anzahl der Nullstellen in einer Funktion zu ermitteln .
Seien] a , b [ein offenes Intervall (beschränkt oder nicht) und eine steigende Funktion f :] a , b [→ ℝ. So :
Ein analoger Satz für abnehmende Funktionen folgt sofort, indem man f durch -f ersetzt .
Eine Folge dieses Satzes ist die Stetigkeit jeder monotonen Surjektion eines Intervalls auf einem Intervall .
Eine weitere typische Anwendung betrifft die Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen .
DiskontinuitätsstellenSatz von Froda (1929): Die Menge D der Unstetigkeitspunkte einer monotonen Funktion ist endlich oder abzählbar (wir sagen, sie ist höchstens abzählbar ). Tatsächlich ist nach x = f ( x + ) - f ( x - ) die Familie ( of x ) x ∈ D ∩ [ c , d ] der streng positiven reellen Zahlen also höchstens abzählbar für alle [ c , d ] im Monotonieintervall enthalten. Froda hat in der Tat gezeigt, dass für jede reelle Funktion die Menge der Unstetigkeitspunkte erster Art höchstens abzählbar ist. Für eine monotone Funktion sagt der monotone Grenzwertsatz jedoch genau, dass diese Art von Diskontinuität die einzig mögliche ist.
Eine klassische und wichtige Anwendung der Differentialrechnung ist die Charakterisierung unter den ableitbaren Funktionen (einer reellen Variablen und mit reellen Werten), die über ein Intervall monoton (im weiteren Sinne oder im engeren Sinne) sind.
Satz - Sei I ein reelles Intervall und f : I → ℝ eine differenzierbare Abbildung.
Punkt 1 ist klassisch (wir verwenden den Grenzübergang in Ungleichungen und den Satz der endlichen Inkremente ).
Punkt 2 kann hieraus mit Bemerkung 2 oben abgeleitet werden . Detail: im direkten Sinne: wenn f ' über ein nicht-triviales Intervall verschwindet, dann ist f über dieses Intervall konstant, also nicht streng monoton. Nehmen wir umgekehrt an, dass f monoton ist, aber nicht streng. Aus Bemerkung 2 gibt es ein nicht-triviales Intervall, über das f konstant ist; über ein solches Intervall ist f ' null.
BemerkungenEine steigende Funktion ist fast überall differenzierbar (wir zeigen zuerst - dank der maximalen Hardy-Littlewood-Ungleichung -, dass ihre vier Dini-Ableitungen fast überall endlich sind, dann - dank Vitalis Recovery Theorem - dass sie eine weitere Methode für diesen zweiten Schritt sind: Beweisen Sie es für den Fall, dass die Funktion stetig ist - dank dem Lemma der aufgehenden Sonne - dann ist zu beachten, dass jede steigende Funktion die Summe einer stetig steigenden Funktion und eines "Funktionssprungs" ist und dass letzterer fast überall Null ist Ableitung ).
Wir leiten zwei Folgerungen ab:
Eine Anwendung zwischen zwei topologischen Räumen heißt monoton, wenn jede ihrer Fasern zusammenhängend ist, das heißt, dass für alles in der Menge (die leer sein kann ) zusammenhängend ist.
In der Funktionalanalysis heißt ein Operator auf einem topologischen Vektorraum (der nichtlinear sein kann) monotoner Operator, wenn
Der Satz von Kachurovskii (en) zeigt, dass die Ableitungen konvexer Funktionen auf Banachräumen monotone Operatoren sind.
Die Ordnungstheorie befasst sich mit teilweise geordneten Mengen und allgemeinen vorgeordneten Mengen , zusätzlich zu Intervallen von reellen Zahlen. Die obige Definition von Monotonie ist auch in diesen Fällen relevant. Betrachten Sie zum Beispiel eine Abbildung f von einer geordneten Menge ( A , A ) auf eine geordnete Menge ( B , ≤ B ).
Monotone Anwendungen sind zentral in der Ordnungstheorie. Einige bemerkenswerte monotone Anwendungen sind um Einbettungen (Anwendungen , für die x ≤ y , wenn und nur dann , wenn f ( x ) ≤ f ( y )) , und um Isomorphien ( um Einbettungen die surjektiv sind).