Logarithmische Darstellung
Eine logarithmische Skala ist ein Graduierungssystem im geometrischen Verlauf . Jeder Schritt multipliziert den Wert mit einer positiven Konstante . Daher ist die Position eines Wertes auf der Achse proportional zu seinem Logarithmus .
Eine logarithmische Skala eignet sich besonders zur Berücksichtigung von Größenordnungen in Anwendungen. Es zeigt auf kleinem Raum einen weiten Wertebereich, sofern diese nicht Null sind und das gleiche Vorzeichen haben.
Logarithmische Skalen werden entweder verwendet, um analoge Berechnungen durchzuführen oder um Ergebnisse in Diagrammen darzustellen .
Definition
Die logarithmische Skala platziert Werte auf der exponentiell wachsenden Achse . Durch denselben Abstand getrennte Punkte repräsentieren Werte im gleichen Verhältnis.
Die logarithmische Skala ist nur für streng positive Werte definiert.
Vergleich einer linearen Skala und einer logarithmischen Skala
Die obige Abbildung zeigt die beiden Arten von Skalen:
- Bei der linearen Skala befinden sich zwei Teilungen mit einer Differenz von 10 in einem konstanten Abstand.
- Bei der logarithmischen Skala befinden sich zwei Teilungen mit einem Verhältnis von 10 in konstantem Abstand.
Auf der logarithmischen Skala werden große Zahlen komprimiert, näher an 1 herangeführt und leicht dargestellt, während Zahlen unter 1 erweitert und sehr schnell auf eine negative Unendlichkeit zurückgeführt werden.
Logarithmische Einheiten
Manchmal werden logarithmische Einheiten verwendet, dh der Wert ist der Logarithmus des Verhältnisses zwischen zwei Werten einer Größe. Die gewählte logarithmische Basis hängt von den Gewohnheiten der Disziplin ab, die sie verwendet:
- Der natürliche Logarithmus , dessen Basis Null ist , erleichtert bestimmte Berechnungen und wird dank der Taylor-Reihe direkter ausgewertet , ermöglicht jedoch keinen intuitiven Zugriff auf die Dezimalgröße. Der Neper ist der natürliche Logarithmus des Verhältnisses zwischen zwei Potenzen.
- Der Dezimallogarithmus (Basis 10) gibt direkt einen Begriff der Größenordnung an, da das Merkmal , dh das Vorzeichen und der Teil vor dem Komma, ihn direkt angibt. Aufgrund seiner Lesbarkeit ist es in vielen Bereichen der Technologie nützlich , wenn auch in modifizierter Form. Es wird in der Statistik verwendet und definiert in der Chemie den pH-Wert .
- Das Dezibel , das üblicherweise in Telekommunikation , Elektronik und Akustik verwendet wird, ist definiert als das 10-fache des Dezimallogarithmus des Verhältnisses zwischen zwei Potenzen. aber wenn die Tabellen von Logarithmen und später, Taschenrechner nicht einfachen Zugriff auf den dekadischen Logarithmus gegeben hätte, würden wir mit Strenge sagen , dass der Dezibel ist die Basis Logarithmus 10 0,1 (oder etwa 1,26) die Beziehung zwischen beiden Mächten. In der Tat entspricht diesem Multiplikator ein Dezibel.
- Der Logarithmus zur Basis 2 wird beim Rechnen mit Bits und in der Musik mit Oktaven verwendet .
- Ebenso ist der Halbton der temperierten Tonleiter in der Musik, der der zwölfte Teil einer Oktave ist, der Basislogarithmus 2 1 ÷ 12 (oder ungefähr 1,06) der Frequenz .
Eine in einer logarithmischen Einheit abgestufte lineare Skala entspricht unter dem Gesichtspunkt der betrachteten Größe einer logarithmischen Skala.
Benutzen
Der Rechenschieber nutzt die Eigenschaften der logarithmischen Skala, um eine Multiplikation zu ermöglichen.
Die Diagramme im halblogarithmischen Rahmen werden verwendet, um die Entwicklung von Größen zu zeigen, von denen eine eine lineare Entwicklung (im Allgemeinen die unabhängige Variable auf der x-Achse) und die andere eine exponentielle Entwicklung aufweist.
Beispiel: Preisentwicklung:In der Wirtschaft sind die Werte internationaler Währungen , Aktien , Rohstoffe und anderer Handelsprodukte, die der Preisinflation unterliegen, auf der y-Achse in einer logarithmischen Skala angegeben, während die Zeit auf der x-Achse linear auf der x-Achse angegeben ist -Achse.
Beispiel: Frequenzgang:In der Elektronik wird der Frequenzgang eines Systems und insbesondere eines Filters im Allgemeinen in einem halblogarithmischen Diagramm dargestellt, mit einer logarithmischen Skala für die Frequenzen auf der Abszisse und einer linearen Skala auf der Ordinatenachse, die in Dezibel relativ abgestuft ist auf die bei einer bestimmten Frequenz (z. B. 1000 Hz ) erhaltene Spannung .
Da Dezibel eine logarithmische Einheit in Bezug auf elektrische Spannung oder Spannungsverhältnisse sind , ist die Skala auch logarithmisch, was im Bode-Diagramm asymptotische Diagramme in geraden Linien ermöglicht.
Die Diagramme in logarithmischer Markierung auf beiden Achsen eignen sich für Größen, einschließlich der unabhängigen Variablen, da die abhängige Variable extrem unterschiedliche Werte annehmen kann. Wenn einer proportional zur Höhe des anderen zu einer Potenz ist , zeichnet der Graph eine Linie, deren Steigung proportional zum Exponenten ist.
Leiterkonstruktion
Wir kennen die minimalen x min und maximalen x max Werte , die dargestellt werden müssen, und die Länge l der Skala zwischen diesen beiden Werten.
Die Länge l entspricht einer Multiplikation mit r = x max ÷ x min .
Der in der Mitte platzierte Punkt befindet sich im gleichen Abstand von x min und x max . Der Wert, der dem Mittelpunkt entspricht, ist das geometrische Mittel der Extremwerte .
Anstatt dies Schritt für Schritt zu berechnen, verwenden wir die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen:
log ( a × b ) = log ( a ) + log ( b )Wir können die Werteverhältnisse dank der Exponentialfunktion berechnen , die die reziproke Funktion der logarithmischen Funktion ist.
Um die Achse gemäß Ihren Anforderungen zu skalieren, können Sie das Verhältnis des Werts pro Längeneinheit auf der Achse berechnen. Der Logarithmus der Progression pro Längeneinheitszahl wird durch eine einfache Division erhalten: log ( r ) ÷ l und der Wert der Progression ist r 1 / l .
Auf diese Weise beträgt das Verhältnis der Werte, das jedem Segment entspricht, r 1 / n , wenn wir den Abstand l in n gleiche Segmente teilen . Die Gesamtlänge, die der Differenz zwischen x min und x max entspricht , entspricht somit gut einer Multiplikation mit r , während die Länge jedes Segments einer Multiplikation mit derselben Größe entspricht.
Gleich beabstandete Punkte bezeichnen Werte im geometrischen Verlauf .
Beispiel für die Konstruktion einer logarithmischen Skala:
- Mindestwert: 0,1
- Maximalwert: 100
- relative Abweichung: r = 100 ≤ 0,1 = 1000
- Achsenlänge: 600 Pixel
Wir möchten, dass Vielfache von 10 angegeben werden. Für das 1000-Verhältnis gibt es drei Multiplikationen mit 10, was drei Modulen mit einer Länge von 600 ÷ 3 = 200 Pixel entspricht.
Innerhalb dieser Module möchten wir die Position jedes Werts von 2 bis 9 angeben.
- Die Multiplikation mit 2 entspricht dem Abstand zwischen 0,1 und 0,2, 1 und 2, 10 und 20. Die entsprechende Länge ergibt sich aus einer Dreierregel für Logarithmen :, die 60,2 Pixel ergibt.
- In ähnlicher Weise ergibt die Multiplikation mit 3 95,4 Pixel zwischen 0,1 und 0,3, 1 und 3 sowie 10 und 30. Wir müssen natürlich abrunden.
- Ihre Vielfachen sind leicht zu erhalten: Der Abstand zwischen 1 und 4 ist der von zwei Multiplikationen mit zwei, also 120,4 Pixel; zwischen 1 und 8 das von drei Multiplikationen mit zwei, dh 180,6; zwischen 1 und 6 die einer Multiplikation mit drei und einer Multiplikation mit zwei, dh 95,4 + 60,2 = 155,6 Pixel; und zwischen 1 und 9 das von zwei Multiplikationen mit 3, dh 190,8 Pixel.
- Die Teilung 5 ist leicht zu erhalten: Da zwei mal fünf zehn sind, beträgt die Länge von 0,5 bis 1, von 5 bis 10, von 50 bis 100 60,2 Pixel (wir können daher feststellen, dass die Multiplikation mit 5 einer Länge von 200 entspricht - 60,2 = 139,8 Pixel).
- Es muss nur noch die 7 platziert werden, wobei die gleiche Dreierregel für Logarithmen angewendet wird.
- Die Länge dieser Segmente gilt sowohl für Multiplikationen als auch für Divisionen.
- Eine Verschiebung um ein Pixel nach rechts entspricht einer Zunahme von exp (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795
Jedes der Module wird dreimal reproduziert, die Form ist unveränderlich, nur die Legende der Punkte ändert sich.
Hinweis: Die Basis des Logarithmus, in dem die Berechnungen durchgeführt werden, ist irrelevant.Konstruktion ohne Rechenmaschine
- 2 zehnmal mit sich selbst multipliziert ergibt 1024. Es gibt also auf die nächsten 2% zehnmal die Länge des Segments, die der Multiplikation mit 2 zwischen den beiden Enden der Skala von 0,1 bis 100 entspricht, und daher misst dieses Segment 600 ÷ 10 ≈ 60 Pixel. Mit dieser Länge können wir die 2, 4, 5 und 8 wie oben gezeigt platzieren.
- 7 × 7 ergibt 49 oder 50 bis 2%. Die Länge für 100 beträgt zwei Module mit 200 Pixeln, dh 400 Pixel. Wir subtrahieren die Länge für 2, da der Wert durch zwei geteilt werden muss, der Rest 339,8; und der Wert für 7 ist die Hälfte oder 169,9, was auf 169 gerundet wird, da 7 × 7 etwas weniger als 50 ist.
- 3 × 3 ist 9. Wir kennen die Länge entsprechend 8, 3 × 60,2 = 180,6 Pixel, die Länge entspricht 10, 200 Pixel, die Länge entsprechend 9 liegt zwischen den beiden, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; diejenige, die 3 entspricht, ist die Hälfte, die auf 95 gerundet ist.
Wenn ein bestimmter Wert als Referenz verwendet wird (z. B. 1), wird der Abstand von einem Punkt, der eine Zahl darstellt, zu dem Punkt, der diesen Wert darstellt, als logarithmische Koordinate bezeichnet .
Siehe auch
Zum Thema passende Artikel
Externe Links
- Aix-en-Provence Planetarium : Logarithmen
- (de) Semi-Log-Blankopapier