Dimensionsanalyse

Die Maßanalyse eine bequeme Möglichkeit besteht darin , die zu überprüfen Homogenität einer Formel physikalischen durch ihre Gleichungen Dimensionen , also die Zersetzung von sagen physikalischer Größen es in einer Produktmenge Basis beinhaltet: Länge , Dauer , Masse , elektrische Intensität , usw. , nicht miteinander reduzierbar.

Die Dimensionsanalyse basiert auf der Tatsache, dass wir nur Größen mit derselben Dimension vergleichen oder hinzufügen können. man kann eine Länge zu einer anderen hinzufügen, aber man kann nicht sagen, dass sie größer oder kleiner als eine Masse ist. Intuitiv kann sich ein physikalisches Gesetz nur im numerischen Wert seiner Konstanten ändern, aus dem einfachen Grund, dass es in anderen Einheiten ausgedrückt wird. Das Vaschy-Buckingham-Theorem demonstriert dies mathematisch.

In der Grundlagenphysik ermöglicht die Dimensionsanalyse, a priori die Form einer Gleichung aus Hypothesen über die Größen zu bestimmen , die den Zustand eines physikalischen Systems bestimmen , bevor eine vollständigere Theorie diese Hypothesen validiert. In der angewandten Wissenschaft ist es die Grundlage für das Modell für Modell und die Untersuchung von Skaleneffekten .

Anwendungen

Die Dimensionsanalyse kann bei vielen Problemen Anwendung finden, insbesondere bei der Bestimmung dimensionsloser Zahlen, die an physikalischen Phänomenen beteiligt sind und zur Modellierung des Phänomens durch Modelle oder zur a priori Bestimmung der Skaleneffekte verwendet werden . Es kann zum Beispiel in den folgenden Bereichen gefunden werden:

die Aerodynamik für die aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs und allgemein das Verhalten des Körpers bei einer Flüssigkeitsbewegung (Optimierung von Hängebrücken);
Strömungswiderstand und Druckabfall in der Strömung eines Fluids durch die Leitungen;
Wellenbildung und -ausbreitung an verschiedenen Grenzflächen;
Wärmediffusion und Transport;
Detonik , Untersuchung der Detonationen und ihrer Auswirkungen;
Materialfestigkeit und Crashtests testen ;
Modell der Auswirkungen von Erdbeben (z. B. für Hochhäuser);
Alterung und Ansiedlung in Böden zur Untersuchung von Baugrundstücken oder Erdrutschen und Lawinen;
Hydraulik von Kanälen, Sedimenttransport in Flüssen;
in Medizin und Biologie Skaleneffekt in der Bionik , Entwicklung der Durchblutung oder Pflanzenwachstum.

Die Dimensionsanalyse dieser Phänomene liefert nützliche Proportionalitätsregeln . Es ermöglicht, die Kalibrierung der experimentellen Modelle zu spezifizieren und die Variationsstudien zu leiten. In vielen Fällen hilft es, funktionale Abhängigkeiten zu identifizieren. In jedem Fall trägt es zu einem besseren Verständnis des Problems bei.

Die Dimensionsanalyse ist die Grundlage von Systemen natürlicher Einheiten .

Maße, Einheiten und Abmessungen

Homogene Formeln

In einer physikalischen Formel sind die vorhandenen Variablen nicht „nur“ Zahlen, sondern repräsentieren physikalische Größen.

Eine physikalische Größe ist ein messbarer Parameter, mit dem ein Zustand, ein Objekt definiert wird. Zum Beispiel sind die Länge, die Temperatur , die Energie , die Geschwindigkeit , der Druck, eine Kraft (wie das Gewicht ), die Trägheit (Masse), die Materiemenge (Anzahl der Mol ) ... physikalische Größen. Eine physikalische Messung drückt den Wert einer physikalischen Größe durch ihre Beziehung zu einer konstanten Menge von der gleichen Art wie die Referenz genommen Maßeinheit ( Standard oder Einheit).

Die Größe wird dann durch eine rationale Zahl ausgedrückt, die die Maßeinheit multipliziert. Daher beziehen sich die Operationen zwischen physikalischen Größen nicht nur auf Zahlen, sondern auch auf Einheiten. Diese in den physikalischen Formeln vorhandenen Einheiten beschränken die Form, die diese Formeln annehmen können, da bestimmte mögliche Operationen an einfachen Zahlen unmöglich werden, wenn diese Zahlen Einheiten zugeordnet werden. Diese Einschränkungen machen eine physikalische Formel als „homogen“ qualifiziert:

Multiplikation (oder Division) ist zwischen allen Einheiten oder mit dimensionslosen Konstanten möglich, aber es ist praktisch die einzige Operation, die ohne Einschränkung zulässig ist. Die Multiplikation oder Division physikalischer Größen ist ebenfalls möglich und bezieht sich sowohl auf die numerischen Werte als auch auf die Einheiten dieser Größen.
Die Addition (oder Subtraktion) physikalischer Größen unterschiedlicher Natur ist nicht sinnvoll. Die Addition oder Subtraktion physikalischer Größen gleicher Art ist möglich, sofern sie mit derselben Einheit ausgedrückt werden (vgl. nächster Abschnitt);
Mit Ausnahme der Anhebung zu einer Potenz (eine Verallgemeinerung von Multiplikation und Division) kann sich eine mathematische Funktion (wie der Sinus oder das Exponential ) nur auf "reine" Zahlen ohne Dimension beziehen.

Eine solche Steuerung kann automatisiert werden. Bereits 1976 bemerkte Michel Sintzoff, dass man die Zuverlässigkeit von Berechnungsprogrammen in der Physik stärken kann, indem man die physikalischen Variablen als solche deklariert und ihre Dimension danach mit Exponenten codiert, die sich auf die Grunddimensionen in einer festen Reihenfolge beziehen. Es ist dann möglich, ihre Dimensionshomogenität während der Zusammenstellung durch symbolische Bewertung zu überprüfen . Hierzu stellen wir insbesondere fest, dass:

Die Abmessungen der verschiedenen Größen bilden eine multiplikative Gruppe mit den Grundabmessungen als Generatoren.
die Addition, die Subtraktion, die Kombinationen min / max, die Zuordnung von Größen setzen Operanden und Ergebnisse derselben Dimension voraus;
Die Dimension des Ergebnisses des Produkts (bzw. Quotienten) zweier Größen ist das Produkt (bzw. Quotient) ihrer Dimensionen.

"Natur" und Einheit

Anatomie physikalischer Größe: 1.852 m

1,852	Gemessen	Anzahl gemessen	Verhältnis von Größe zu Referenz.
m	Umrechnungsfaktor	Konventionelle konstante Anzahl	Reflektiert die Willkür der praktischen Einheit.
$L.$	Größe	Eigene physische Natur	Natürliche Einheit?

Eine "Maßeinheit" ist eine physikalische Größe, die es ermöglicht, den Wert eines physikalischen Maßes durch seine Beziehung zu einer konstanten Größe derselben Art auszudrücken . Wenn also die " Stunde " eine Maßeinheit für die Zeit ist, liegt dies daran, dass man zeitliche Größen mit der bestimmten Größe vergleichen kann, die "eine Stunde" ist: Jede physikalische Messung bewertet nur ein Zeitverhältnis zwischen zwei Größen derselben Art .

Diese Maßeinheiten sind selbst messbare physikalische Größen, daher ist eine einer Einheit zugeordnete Zahl und die Verwendung von "einer Stunde" oder "einer Minute" als Referenz grundsätzlich eine willkürliche Wahl. Die willkürliche Natur dieser Wahl kann frustrierend sein, weil sie nicht erfasst, was die "Natur" einer Einheit ist: Obwohl ein Maß eine Zahl ist, die einer Einheit zugeordnet ist (was diesem Maß daher seine Natur gibt), können wir dies nur in der Realität tun Stellen Sie Beziehungen her und greifen Sie auf dimensionslose Zahlen zu.

Die Idee eines Systems natürlicher Einheiten reagiert auf diese Idee, den willkürlichen Teil der Messung zu eliminieren: Wenn es eine natürliche Einheit "T" gibt, die als universelle Referenz für die Zeitmessung dienen kann, können Minute und Stunde beschrieben werden als jeweils nT und sechzigmal nT . Wenn die Einheit natürlich ist, können wir annehmen, dass "T" das Wesen dieser Größe konzentriert und ihre Natur ist, was dazu führt, dass eine Zahl ihre Natur ändert und zu einem physikalischen Maß wird: der willkürlichen Einheit, in die der tägliche Gebrauch auf diese Weise dissoziiert eine wesentliche physikalische Größe, die ihr ihre "Natur" verleiht, und ein für diese Einheit spezifischer Umrechnungsfaktor, der all seine Willkür unterstützt.

Bei diesem Ansatz impliziert eine Messung einer physikalischen Größe dann konzeptionell drei Einheiten: eine natürliche Einheit, die die "Art" der Messung angibt, einen Umrechnungsfaktor, der sich aus der als praktische Einheit verwendeten Größe ergibt, und eine gemessene Zahl, die die darstellt Verhältnis zwischen der gemessenen Menge und der praktischen Einheit. Dass die natürliche Einheit nicht klar definiert ist (die einzige klar natürliche Einheit ist die Lichtgeschwindigkeit ), ist von keiner praktischen Bedeutung. Ein Umrechnungsfaktor hat, wenn er berechnet werden muss, immer die Form eines Verhältnisses zwischen zwei Messungen derselben Art und hängt daher nicht vom genauen Wert der natürlichen Einheit ab.

Physikalische Formeln und Mengen

Unabhängig davon, wie hoch der Wert einer natürlichen Einheit sein sollte, können wir in dieser Perspektive berücksichtigen, dass ein physikalischer Ausdruck Operationen an komplexen Objekten übersetzt und eine Zahl, eine Einheit und einen Umrechnungsfaktor zuordnet.

Es gibt die numerischen Operationen, die an Zahlen durchgeführt werden, auf die sich die Praktiker, die die Formel verwenden, konzentrieren. Dies macht das praktische Interesse der Formel aus.

Andererseits gibt es gleichzeitige Operationen an Mengen, die die "Art" der beteiligten physikalischen Messungen darstellen - und dies unabhängig von der Wahl einer Einheit; Darauf konzentriert sich der Theoretiker bei der Untersuchung der "Dimensionsgleichung".

Schließlich gibt es Operationen mit den Umrechnungsfaktoren, die sich aus der Wahl eines Systems potenziell willkürlicher Einheiten ergeben . Dies muss beim Wechsel von einem Einheitensystem zu einem anderen berücksichtigt werden. In einer physikalischen Formel wird diese Wahl in der Realität niemals übersetzt, außer durch einen Umrechnungsfaktor ohne Dimension (wodurch die "Natur" des Ausdrucks nicht verändert wird). Und da dieser Faktor nur eine willkürliche Auswahl widerspiegelt, ordnet man in gut konzipierten Systemen (wie dem metrischen System) die Einheiten so an, dass der Umrechnungsfaktor "Eins" ist und aus der Formel verschwindet.

Die Dimensionsgleichung einer physikalischen Formel ist eine "Größengleichung", die dieselbe Form wie die anfängliche physikalische Formel hat, wobei jedoch weder die Zahlen noch die Umrechnungsfaktoren oder die numerischen Konstanten berücksichtigt werden. Dimensionslos: nur die Größen. Wir stellen die durch ein Symbol gemessenen Phänomene dar; Beispielsweise wird dort ein Schlag durch den Buchstaben "T" dargestellt, eine Länge durch den Buchstaben "L". Es ist diese Formel, die es ermöglicht, die Dimension zu bestimmen, in der das Ergebnis einer physikalischen Formel ausgedrückt werden muss, unabhängig von den Zahlen, die sich aus den Messungen ergeben.

Umrechnungsfaktor

Die physikalischen Gleichungen verknüpfen physikalische Größen, also Zahlen und Einheiten, und möglicherweise Umrechnungsfaktoren in Abhängigkeit von der Wahl dieser Einheiten.

Beispiel:

Eine physikalische Kinematikformel sagt uns, dass die Geschwindigkeit (wenn sie konstant ist) als zurückgelegte Länge geteilt durch die Fahrzeit gemessen wird. In diesem Fall sollte die Formel auch einen Umrechnungsfaktor enthalten , wenn wir die Länge in Ligen , die Zeit in Stunden und die Geschwindigkeit in Knoten messen .

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {knoten}} = k _ {\ rm {\ left (knoten {\ frac {liga} {stunde}} \ rechts)}}. D _ {\ mathrm {liga}} / T _ {\ mathrm {Stunden}}}

, mit:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (Knoten {\ frac {liga} {Stunde}} \ rechts)}} = 2.317 \ 336 \ 792}

Berechnung des Umrechnungsfaktors

Im Allgemeinen ist die Bestimmung dieses Umrechnungsfaktors eine komplexe Operation. Indem ein modernes und rationales Einheitensystem als Referenz verwendet wird, wie beispielsweise das internationale Einheitensystem , wird die Berechnung etwas vereinfacht:

1 Knoten = 0,514 m s –1
1 Stunde = 3600 s
1 Liga = 4 288 m (Liga von den Pfosten)

Und in diesem Fall, indem Sie die nativen Einheiten in Intensivstationen verwandeln:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (Knoten {\ frac {liga} {Stunde}} \ rechts)}} = (D _ {\ mathrm {SI}} / 4288) / (T _ {\ mathrm {SI}} / 3600) / (V _ {\ mathrm {SI}} / 0,514)}

Aber wie im internationalen Einheitensystem , das ein rationales System ist, haben wir

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {SI}} = D _ {\ mathrm {SI}} / T _ {\ mathrm {SI}}}

Wir können ableiten:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (Knoten {\ frac {Liga} {Stunde}} \ rechts)}} = {\ frac {1} {0.514}} \ times {\ frac {4288} { 3600}} = 2,317}

In diesen Einheiten des alten Regimes entspricht die Geschwindigkeit (in Knoten ) daher der Entfernung (in Ligen ) geteilt durch die Zeit (in Stunden ), multipliziert mit einem Umrechnungskoeffizienten von 2,317336792, der die willkürliche Wahl der Einheiten widerspiegelt.

Umgekehrt können wir, wenn wir diese Formel V = D / T kennen und Zeit- und Längeneinheiten (die Sekunde und der Zähler im metrischen System) erhalten, die Geschwindigkeitseinheit wählen , um den Umrechnungsfaktor zu eliminieren: diese "abgeleitete" Einheit ist dann der Zähler pro Sekunde im metrischen System.

Größe einer Einheit

Basisgröße

Im Allgemeinen ist es durch Übergang von einem physikalischen Gesetz zum anderen möglich, die Dimension aller physikalischen Größen schrittweise als Funktion von sieben Grunddimensionen auszudrücken.

Das internationale Einheitensystem trifft die folgende Wahl und empfiehlt die entsprechenden Notationen, die weit verbreitet sind:

Grundmengen und Abmessungen des SI

Basisgröße	Dimension Symbol
Länge	${\ displaystyle {\ mathsf {L}}}$
Masse	${\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$
Zeit oder Dauer	${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$
Elektrische Intensität	${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$
Thermodynamische Temperatur	${\ displaystyle {\ mathsf {\ Theta}}}$
Menge der Materie	${\ displaystyle {\ mathsf {N}}}$
Lichtintensität	${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$

Die Wahl dieser sieben Variablen ist ein historisches Gebäude, die Größen von der gewählten wurden XVIII - ten Jahrhundert auf die Bedürfnisse und Standards , die eine einfache und präzise Weise machen könnten. Sie sind von vornherein die grundlegendste und „die drei grundlegenden Einheiten“ sind der einzige direkte Zugriff auf das Maß für die Physik des XVIII - ten Jahrhundert, wäre es schwierig gewesen , so dass die Wahl anderer Basisgrößen vorstellbar.

Wir können jedoch andere Referenzgrößen wählen, zum Beispiel um die Geschwindigkeit als Basisgröße zu definieren und um die Standardlänge gemäß der Standardgeschwindigkeit und der Standardzeit zu definieren: Dies wird darüber hinaus jetzt implizit im metrischen System durchgeführt Der Geschwindigkeitsstandard ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Ebenso könnte eine Alternative zur elektrischen Intensität darin bestehen, die elektrische Ladung als Grundeinheit beizubehalten . Diese alternativen Entscheidungen führen dann zu Alternativen in Bezug auf das Einheitensystem.

Die Wahl der Grundgrößen im Vergleich zu den abgeleiteten Größen ist relativ willkürlich. In den meisten Fällen ist die Mechanik und die tatsächlich verwendeten Mengen auf "drei Grundeinheiten" von Maxwell, dem Subsystem $L, M, T, beschränkt$ . Es wäre jedoch möglich, ein System auf Kraft anstatt auf Masse ( $L, F, T$ ) zu stützen . Tatsächlich bedeutet das Ausdrücken von Einheiten in N m −2 oder in N rad −1 so, dass berücksichtigt wird, dass der Newton eine Basisgröße sein könnte, um diese abgeleiteten Größen zu definieren. Wir könnten die Zeit auch durch eine Geschwindigkeit oder eine Frequenz ersetzen oder uns auf Energie verlassen oder uns für eine andere Kombination von drei mechanischen Größen entscheiden, solange diese drei Größen unabhängig sind. Diese Wahl ist nur eine Frage der Bequemlichkeit. Die Dimensionsanalyse hängt nicht von den zurückbehaltenen Mengen ab.

Abgeleitete Mengen

Wie oben angegeben, enthält ein physikalisches Gesetz im allgemeinen Fall (für nicht rationale Einheitensysteme) einen konstanten Term, der die Umrechnung von Einheiten zwischen Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen widerspiegelt. Umgekehrt wird in einem rationalen System die Einheit der Ausgangsgröße so gewählt, dass ihr Umrechnungsfaktor gleich der Einheit ist, dh aus der Formel verschwindet, die das physikalische Gesetz beschreibt : Dieser Faktor hat keine physikalische Bedeutung.

Allmählich kann dieses Prinzip des physikalischen Gesetzes im physikalischen Gesetz alle Arten von "abgeleiteten Größen" bestimmen, um die Dimension zu kennen und wenn möglich eine zusammenhängende Einheit mit den zuvor ausgewählten Einheiten zu fixieren, für die der "Umrechnungsfaktor" gleich eins ist .

Eine abgeleitete Größe ist somit eine Größe, deren Dimension sich auf mindestens eine der sieben Grundgrößen bezieht. Ein physikalisches Gesetz drückt die Verbindung zwischen einer abgeleiteten Größe und den Basisgrößen (oder anderen abgeleiteten Größen) aus. Seine Aussage legt den Dimensionen eine bestimmte Gleichung auf .

Die Dimension einer abgeleiteten Größe wird als „einfach“ bezeichnet, wenn sie nur mit einer der sieben Basisgrößen verknüpft ist. Zum Beispiel ist die Dimension der Fläche einfach: Sie bezieht sich nur auf die Länge und entspricht dem Quadrat einer Länge. Die Dimension einer abgeleiteten Größe wird als "zusammengesetzt" bezeichnet, wenn sie mit mindestens zwei der sieben Basisgrößen verknüpft ist. Zum Beispiel ist Geschwindigkeit das Verhältnis einer Länge zu einer Dauer.

Dimensionsgleichung

Die Dimensionsgleichung ist die Gleichung, die die Dimension einer abgeleiteten Größe mit denen der sieben Basisgrößen in Beziehung setzt. In einer Dimensionsgleichung wird die Dimension der abgeleiteten Größe mit oder bezeichnet . $X.$ ${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X}}$ ${\ displaystyle [X]}$

Die allgemeine Form einer Dimensionsgleichung lautet:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X} = {\ mathsf {L}} ^ {\ alpha} {\ mathsf {M}} ^ {\ beta} {\ mathsf {T}} ^ {\ gamma } {\ mathsf {I}} ^ {\ delta} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {\ epsilon} {\ mathsf {N}} ^ {\ zeta} {\ mathsf {J}} ^ {\ eta} }}

oder :

${\ displaystyle {\ mathsf {L, M, T, I, \ Theta, N}}}$ und sind die jeweiligen Abmessungen der sieben Grundgrößen; ${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$
${\ displaystyle {\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon, \ zeta}}$ und sind die jeweiligen Exponenten der sieben Grundgrößen. ${\ displaystyle {\ eta}}$

Diese werden als "dimensionale Exponenten" bezeichnet. Ein solcher dimensionaler Exponent ist eine relative ganze Zahl. Es kann (streng) positiv, null oder (streng) negativ sein. Eine dimensionslose Größe oder Größe der Dimension 1 ist eine Größe, für die alle Dimensionsexponenten Null sind.

Die Dimension einer Größe ist also die Art und Weise, wie sie sich aus den sieben Grunddimensionen zusammensetzt.

Dimension einer Geschwindigkeit:

Wir sagen, dass "die Dimension einer Geschwindigkeit eine Länge geteilt durch eine Dauer ist " oder dass "die Geschwindigkeit bei einer Länge geteilt durch eine Dauer homogen ist ". Die Dimensionsgleichung stellt dies abgekürzt fest:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {V} \; = \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}

(oder nochmal ).

{\ displaystyle {\ rm {\ {\ mathsf {V}} \; \ equiv \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}}

Die Zusammensetzung kann komplexer werden.

Dimension einer Kraft:

Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz besagt, dass die Kraft proportional zum Produkt aus Masse und Beschleunigung ist. Beschleunigung ist eine Erhöhung der Geschwindigkeit, daher der Quotient der Geschwindigkeit nach Dauer . Eine Geschwindigkeit ist eine Länge geteilt durch eine Dauer, daher hat die Beschleunigung die Dimension einer Länge geteilt durch eine Dauer im Quadrat. Wir leiten die Dimension der Kraft ab:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} \; = \; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {\ frac {L} {T ^ {2}}} \; = \ ; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {L}} \ cdot {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}

das können wir auch feststellen

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} = {\ frac {{\ mathsf {M}} \ cdot {\ text {dim}} ~ {V}} {\ mathsf {T}}}.}

Systemerweiterungen

Notation von Winkeln

Das Bogenmaß und sein kugelförmiges Gegenstück, das Steradiant, nehmen in den Einheiten einen separaten Platz ein, weder eine Basiseinheit noch eine zu einer abgeleiteten Einheit wirklich homologe. Lange Zeit wurde es als "zusätzliche Einheit" bezeichnet; die 20 th Generalkonferenz der Internationalen Büro für Maße und Gewichte zog sich dieses Konzept. Das Bogenmaß ist jetzt eine "dimensionslose Einheit, deren Name und Symbol gegebenenfalls in Ausdrücken anderer von SI abgeleiteter Einheiten verwendet werden dürfen, jedoch nicht unbedingt" .

Der besondere Status dieser Einheit ergibt sich aus der Dimension, die als "dimensionslos" des ebenen Winkels betrachtet wird . Ein Winkel wird tatsächlich durch das Verhältnis zwischen der Länge des Bogens (AB), den er auf einem Kreis mit dem Radius r schneidet, und dem Radius r dieses Kreises gemessen. Da diese beiden Messungen in einer Längeneinheit durchgeführt werden, schließen wir, dass die Abmessung des Bogenmaßes Null ist, $L 1-1 = L 0$ (und auf die gleiche Weise für das Steradiant das Verhältnis der abgefangenen Fläche zum Quadrat des Radius , $L 2 - 2 = L 0$ ). Paradoxerweise teilt die vierte Größe, die in der täglichen Erfahrung unmittelbar messbar ist, nicht den privilegierten Status der "drei Grundeinheiten": Ihre Einheit ist optional und wird nicht einmal als effektive Größe angesehen.

Die "Winkelgröße" ist dennoch wichtig, um die Notation einiger Einheiten zu verdeutlichen, was ihre optionale Verwendung im internationalen Einheitensystem rechtfertigt . Es ist also , dass die Winkelgeschwindigkeit $ω$ in vermerkt rad ⋅ s -1 , und somit aus auszeichnen Hertz und Becquerel , a priori der gleichen Dimension $T -1$ . Ebenso wird die Winkelbeschleunigung $α$ üblicherweise in rad ⋅ s −2 geschrieben .

Obwohl dies nicht die übliche Praxis ist, ist es auch richtig, die Winkelkomponente in den Größen zu notieren, die die Drehung beschreiben, die einfach Schritt für Schritt durch die Dimensionsgleichungen identifiziert werden kann:

Die Arbeit eines Paares ist und ist in kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 . Das Paar $C$ ist daher in kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ rad −1 und unterscheidet sich somit von der Energieeinheit in kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ; ${\ displaystyle W = {\ vec {C}} \ cdot {\ vec {\ alpha}}}$
Die Gleichung drückt die kinetische Energie eines rotierenden Körpers aus. Wenn $E$ in kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ist , ist das Trägheitsmoment $I$ in kg ⋅ m 2 ⋅ rad −2 ; ${\ textstyle E = {\ frac {1} {2}} \, I \, \ omega ^ {2}}$
Daraus wird geschlossen, dass die konservative Rotationsgröße, der Drehimpuls , die Abmessung kg ⋅ m 2 ⋅ rad -2 × rad ⋅ s -1 = kg ⋅ m 2 ⋅ s -1 ⋅ rad -1 hat . ${\ textstyle {\ vec {L}} = I \, {\ vec {\ omega}}}$

Grundsätzlich können Winkel für die Dimensionsanalyse jedoch nicht als Variable des Problems betrachtet werden, da ihre klassische Definition ihnen keine eigene Dimension verleiht. Nehmen wir zum Beispiel ein Projektil, für das wir einen Ausdruck des Bereichs $P$ als Funktion des Winkels $θ$ und der Geschwindigkeit $v$ des Schusses sowie der Anziehungskraft der Schwerkraft $g$ suchen . In dieser Form hat das Problem vier Variablen in Abhängigkeit von drei Größen und sollte daher gut gestellt sein, um $P$ als Funktion der anderen drei bis zu einer Konstanten zu lösen . Da der Winkel $θ$ jedoch als dimensionslos betrachtet wird, kann die Art und Weise, wie er in einem Monom auftritt, nur beliebig sein: Diese „Variable“ erweist sich in einem klassischen Ansatz als unbrauchbar, wenn sie nicht von einer beliebigen Konstante unterschieden werden kann.

Dieses spezielle Problem wird nachstehend durch Projektion behandelt, indem die Komponenten $v x$ und $v z$ der Anfangsgeschwindigkeit in zwei Richtungen unterschieden werden. Diese Lösung durch Projektion ist jedoch keine allgemeine Behandlung und löst das spezifische Problem der Winkel nicht wirklich.

Trägheitsmasse und ernsthafte Masse

In der Thermodynamik oder Strömungsmechanik ist es manchmal interessant, zwischen Masse als Maß für die Trägheit (Trägheitsmasse) und Masse als Maß für die Menge der Materie (Grabmasse) nach einem Vorschlag von Huntley zu unterscheiden. Es gibt tatsächlich zwei Massen für jeder Körper:

Die inerte Masse ist eine dynamische Eigenschaft der Materie, die sich in der Trägheit des Körpers manifestiert. Konkret widersteht eine Masse von 20 kg einer Beschleunigung, die doppelt so hoch ist wie eine Masse von 10 kg ;
Die Bruttomasse (Latin gravis , schwer) ist eine statische Eigenschaft der Materie, die sich durch die Gravitation von Körpern manifestiert. Eine Masse von 20 kg erzeugt um sie herum ein doppelt so intensives Schwerkraftfeld wie eine Masse von 10 kg ; Darüber hinaus wird bei Vorhandensein des gleichen äußeren Schwerefeldes (z. B. der Erde) die Masse von 20 kg einer Kraft (dem Gewicht) ausgesetzt, die doppelt so groß ist wie die Masse von 10 kg .

Die Grabmasse entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz, die elektrische Ladung dem Coulombschen Gesetz : Sie ist in gewisser Weise eine Gravitationsladung . Obwohl ernsthafte Masse und Trägheitsmasse konzeptionell unterschiedlich sind, sehen wir in der Praxis, dass sie immer proportional sind, was rechtfertigt, dass wir für beide dieselbe Einheit verwenden können (dies ist das Äquivalenzprinzip ). Wenn jedoch die Verwendung derselben Masseneinheit möglich ist, ist dies keine Notwendigkeit, und es bleibt möglich, die beiden in einer Dimensionsgleichung zu unterscheiden: In seiner Analyse zeigt Huntley, dass eine physikalische Gleichung, an der die beiden Massentypen beteiligt sind, sein muss homogen für jede Art von Masse.

Richtungsprojektionen

Huntley bietet eine weitere Erweiterung an. Es besteht darin zu berücksichtigen, dass die drei Komponenten eines Vektors so betrachtet werden müssen, dass sie sich auf unterschiedliche Größen beziehen. In diesem Fall haben wir nicht nur eine undifferenzierte Länge $L$ , sondern eine Länge $L x$ in $x-$ Richtung und so weiter.

Um diese Idee zu veranschaulichen, können wir versuchen zu berechnen, in welcher Entfernung der Fallpunkt einer aus einer horizontalen Ebene abgefeuerten Kanonenkugel mit einer vertikalen Geschwindigkeit $V z$ und einer horizontalen Geschwindigkeit $V x sein wird$ .

Wenn man die Dimensionen des Raumes nicht berücksichtigt, sind die einzigen interessanten Größen $V x$ und $V y$ , beide in $L\cdotT -1$ , dem Bereich $P$ der Dimension $L$ und $g$ der Erdbeschleunigung von Abmessung $L\cdotT -2$ . Diese vier Größen hängen nur von zwei unabhängigen Größen ab, und es ist daher möglich, zwei dimensionslose Größen zu definieren.

Die für den Geltungsbereich gesuchte Gleichung hat folgende Form:

{\ displaystyle R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}}

Oder in Form einer Dimensionsgleichung:

L = (L / T) a + b (L / T 2 ) c

Daraus können wir ableiten, dass $a + b + c = 1$ und $a + b + 2 c = 0$ , woraus wir ableiten können, dass $c = -1$ , aber zwei Exponenten unbestimmt bleiben. Dies ist normal, da es zwei unabhängige Größen und vier Größen für eine einzelne Gleichung gibt.

Wenn wir jedoch zwischen den verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden, dann hat $V x$ die Dimension $L x \cdot T -1$ , $V y$ ist in $L y \cdot T -1$ , $R$ ist in $L x$ und $g$ ist in $L y \cdot T. -2$ . Die Dimensionsgleichung wird dann:

L x = (L x / T) a (L y / T) b (L y / T 2 ) c

Mit drei unabhängigen Größen und vier Größen für zwei Gleichungen ist es möglich, das System zu lösen, um $a = 1$ , $b = 1$ und $c = -1 zu finden$ ; und so :

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V_ {x} .V_ {y}} {g}}}

Wenn wir mit $θ$ den Zündwinkel bezeichnen, haben wir im Vergleich zur Anfangsgeschwindigkeit $V$ $V x = V cos ( θ )$ und $V y = V sin ( θ )$ , daher:

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V ^ {2}} {g}} \, \ sin (\ theta) \, \ cos (\ theta) = {\ frac {V ^ {2}} {g} } \, \ sin (2 \ theta)}

Wir können in diesem Beispiel sofort den Gewinn sehen, der durch die Einführung von direktional unterschiedlichen Längen hervorgerufen wird.

Die zugrunde liegende Begründung für einen solchen Ansatz ist, dass jede Komponente einer dimensional konsistenten Gleichung selbst dimensional konsistent sein muss, unabhängig davon, ob es sich um eine Skalar-, Vektor- oder Tensorgleichung handelt. Daher kann man durch Projizieren des Problems auf eine seiner Symmetrielinien (manchmal) unabhängige Gleichungen identifizieren, und jede zusätzliche Gleichung löst eine neue Variable.

Dieser Ansatz besteht darin, ein Problem im Raum der Dimension drei auf mehrere Probleme in linearen Räumen der Dimension eins zu reduzieren. Obwohl diese Erweiterung der von Huntley vorgeschlagenen Methode oft nützlich ist, weist sie dennoch einige Mängel auf:

Situationen mit Vektorprodukten werden nicht gut behandelt.
Es ist nicht möglich, die als physikalische Variablen betrachteten Winkel zu verwalten.
Es ist nicht immer einfach, diese Größen $L$ , $L x$ , $L y$ und $L z$ den verschiedenen Variablen des Problems zuzuordnen , dh relevante Projektionsachsen zu identifizieren.

Orientierungsalgebra

Anstatt nur drei Dimensionen der Länge $L x$ mit unterschiedlicher Orientierung einzuführen , wie von Huntley vorgeschlagen, schlug Donald Siano vor, den vektoriellen Charakter bestimmter Größen darzustellen, um als vollwertige Größe „Orientierungsgrößen“ $1 x$ , $1 y$ und $1$ beizubehalten $z$ in der Dimensionsgleichung repräsentiert das Symbol $1 0$ seinerseits eine skalare Größe ohne Orientierung. Mit diesem Ansatz wird die von Huntley vorgeschlagene projizierte Dimension $L x$ zu einer zusammengesetzten abgeleiteten Größe $L\cdot1 x$ , wobei $L$ das Zeichen "Länge" und $1 x$ das Zeichen "Orientierung" in eine bestimmte Richtung übersetzt, also im Wesentlichen vektorieller Charakter dieser Größe.

In den Dimensionsformeln haben die skalaren Größen dann unabhängig von der Richtung des Raums, in den sie projiziert werden, eine Dimension von $1 0$ , aber die Vektorgrößen erhalten eine Dimension mit einer Ausrichtung ungleich Null - deren Wahl in $x$ , $y , zist relativ willkürlich, solange diese Auswahlmöglichkeiten in der Dimensionsgleichung vereinfacht werden. Die Richtung kann zum Beispiel "die des Problems" 1 x sein, wenn nur eine Richtung beteiligt ist, wird jedoch "die andere Richtung der Ebene" 1 y, wenn eine Sekunde auftritt, und "die Richtung orthogonal zu den anderen beiden" 1 z, nach Bedarf.$

Diese Konvention führt insbesondere zu der Annahme, dass die Winkelabweichung eine Drehung in einem dreidimensionalen Raum übersetzt :

Eine Drehung hat die Abmessung

1 z

Das gleiche Ergebnis kann direkt durch Bemerken erzielt werden , daß in Polarkoordinaten $( R , α )$ , eine Elementarvariation $d α$ führt zu einem orthogonalen Verschiebung $d x = r d α$ : $d x$ ist Orientierungs $1 y$ in Bezug auf die Entfernung $r$ ausgeh der Orientierung $1 x$ , die Homogenität der Formel legt fest, dass dα die Orientierung $1 z hat$ , was daher die Dimension des Bogenmaßes ist . Wir können auch (durch die Erweiterung der Taylor-Reihe ) zeigen, dass sin (θ) wie jede ungerade Funktion dieselbe Orientierungsgröße hat wie ihr Argument $θ$ ; und dass $cos ( x )$ wie jede gerade Funktion immer eine skalare Ausrichtung hat - weder gerade noch ungerade Funktionen können nur skalare Argumente annehmen.

Kehren wir als Anwendungsbeispiel zum Problem der Reichweite eines Projektils zurück, wobei wir die Orientierungsmenge berücksichtigen . In Bezug auf die Richtung des Aufprallpunkts hat die Schwerkraft die Ausrichtung $1$ $z$ , und der Zündwinkel $&$ thgr $;,$ der in einer Ebene $xz$ liegt, hat eine senkrechte Abmessung, dh $1$ $y$ . Der Bereich $P$ hat dann die Form: ${\ displaystyle 1_ {x}}$

{\ displaystyle P \ propto g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}}

Dies impliziert, dass : .

{\ displaystyle \ mathrm {L} \, 1_ {x} \ sim \ left ({\ frac {\ mathrm {L} \, 1_ {z}} {\ mathrm {T} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathrm {L}} {\ mathrm {T}}} \ right) ^ {b} \, 1_ {y} ^ {c}}

Die dimensionale Homogenität legt dann korrekt fest, dass $a = -1$ und $b = 2$ ; und in Bezug auf die Orientierungsgröße muss $c$ dann eine ungerade ganze Zahl sein (kann daher gleich Eins genommen werden). Eine komplementäre Analyse zeigt, dass die in $θ$ gesuchte Funktion , die aus Gründen der Homogenität notwendigerweise ungerade ist, mit der Periode $2 π$ (daher von der Form $sin ( nθ )$ ) periodisch ist und für $θ = 0$ und $θ = π / 2$ verschwindet : daher $n = 2$ und die gesuchte Funktion ist $sin (2 & thgr; )$ . Also haben wir :

{\ displaystyle P \ propto {\ frac {v ^ {2}} {g}} \, \ sin (2 \, \ theta)}

Anwendungsbeispiele

"Nullprinzip" der theoretischen Physik

Die Kraft der Vorhersagekraft der Dimensionsanalyse im Vergleich zu ihrer Einfachheit veranlasste Wheeler , das folgende allgemeine Prinzip vorzuschlagen:

" Führen Sie niemals Berechnungen durch, bevor Sie das Ergebnis kennen ".

Diese Aussage, die a priori paradox erscheinen mag , bedeutet konkret: sich nicht auf eine komplizierte Berechnung einzulassen, ohne zuvor die qualitative Form des Ergebnisses mit der Dimensionsanalyse gefunden zu haben.

Die Dimensionsanalyse ermöglicht es tatsächlich, dank des Buckinghamschen Theorems (manchmal auch als " Pi- Theorem " bezeichnet) die Form der Lösung bestimmter Probleme zu finden, ohne Gleichungen lösen zu müssen . Diese Art der Berechnung ist nur gültig, wenn eine kleine Anzahl von Parametern die Lösung eines Problems steuert (2 oder 3).

Die Dimensionsanalyse ermöglicht es nur, die physikalische Gleichung zu finden, die das Phänomen regelt, bis zu einer numerischen Konstante $k$ nahe, dimensionslos, und die diese Methode daher nicht bestimmen kann. Es bedarf einer vollständigen expliziten Berechnung, um es zu finden (oder einer experimentellen Messung, um es zu bestimmen). Die Erfahrung zeigt jedoch, dass in einem System von Einheiten, die an das untersuchte Problem angepasst sind, diese Konstante $kliegt immer in der Größenordnung von 1 (in dem Sinne, dass π ~ e ~ 1 ist), daher die Relevanz der Dimensionsanalyse für die Vorhersage der Form des Ergebnisses einer Berechnung sowie seiner Größenordnung.$

Die Konstruktion homogener Gleichungen reicht jedoch nicht aus, um relevante physikalische Gesetze zu identifizieren. Die berühmte Gleichung $E = m c 2$ ist durch Änderung der Einheiten vollkommen homogen und unveränderlich; aber diese Homogenität reichte nicht aus, um dies vorauszusehen.

Zwei berühmte Beispiele sind die Berechnung der Leistung der ersten Atombombe und des Modells Kolmogorov der homogenen isotropen Turbulenz , die die gesamte Strömungsmechanik stark beeinflussten .

Gesetze fallender Körper

Galileo und der Fall der Körper

Galileo hatte ursprünglich (fälschlicherweise) angenommen, dass, sofern die auf einen Körper ausgeübte Schwerkraft (sein Gewicht) von seiner Masse abhängt, das Gesetz über den Fall von Körpern, d. H. Die Höhe h als Funktion der Zeit t und der Schwerkraft g , könnte auch von der Masse m dieses Körpers abhängen . In diesem Fall hätten wir:

{\ displaystyle h = f (g, m, t)}

Die Höhe h hat offensichtlich für die Abmessung , die Masse m ist in und t hat für die Abmessung ; und die Dimensionsanalyse liefert die g- Größe . Die einzige Kombination, die eine dimensionslose Menge ergibt, ist dann: $\ scriptstyle L.$ $\ scriptstyle M.$ $\ scriptstyle T.$ ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 2}}$

{\ displaystyle {\ frac {h} {gt ^ {2}}} = Cte}

Eine Funktion der Masse kann mit den Variablen g , t und h nicht dimensionslos gemacht werden , was zeigt, dass die Idee, dieses Gesetz von der Masse abhängig zu machen, physikalisch falsch ist. In der Realität greift die Masse nur dann in die Beschreibung der Flugbahn ein, wenn der Luftwiderstand berücksichtigt wird, da dann die Viskosität der Luft die Dimension einer Masse beeinflusst.

Galileo hatte keine Differentialrechnung und nahm an, dass die Geschwindigkeit v (deren Dimension ist ) proportional zur Fallhöhe h war , das heißt . Wenn er eine Dimensionsanalyse hätte verwenden können, hätte er sehen können, dass die einzige dimensionslose Größe, die aus v , h und g erhalten werden kann, ist: ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle v \ sim h}$

{\ displaystyle {\ frac {gh} {v ^ {2}}} = Cte}

Es kann daher keine lineare Abhängigkeit zwischen h und v geben , die daher ohne Differentialrechnung bestimmt werden kann.

Frequenz eines Masse-Feder-Systems

Oszillierendes Gewicht

Es wird versucht , die zu bestimmen Periode T der Schwingung des Masse-Feder - Systems in Abhängigkeit von der Steifigkeit k der Feder und dem Gewicht P , die darin suspendiert ist. Diese drei physikalischen Größen haben jeweils eine Dimension:

T : s ;
k : kg ≤ s –2 ;
p : kg ≤ m ≤ s −2 .

Wir sehen, dass in dieser Form das Problem unlösbar ist: Das Gewicht ist die einzige physikalische Größe mit einer Längenkomponente und kann daher nicht in einen Faktor ohne Dimension eingreifen. und die Steifheit ist dann die einzige Größe, die eine Komponente in der Masse hat, und kann daher auch nicht eingreifen.

Wenn wir das Produktgewicht der Masse durch die Erdbeschleunigung zerlegen, versuchen wir dann, diese Schwingungsperiode T einer Masse m zu bestimmen, die an eine ideale Feder der Steifheit k in einem Gravitationsfeld g gebunden ist . Diese vier physikalischen Größen haben jeweils eine Dimension:

T : s ;
m : kg ;
k : kg ≤ s –2 ;
g : m ⋅ s −2 .

Aus diesen vier Variablen ist es möglich, eine einzige Verbindung dimensionslos zu bilden . Keine Kombination hat einen Faktor g , denn hier ist es die einzige, die eine Längenkomponente hat. ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {k \, T ^ {2}} {m}}}$

Tatsächlich kann die Dimensionsanalyse die Relevanz einer physikalischen Größe für die Lösung eines Problems oder die Notwendigkeit, komplementäre Parameter einzubringen, stark einschränken. Hier gibt es genügend Variablen, um das Problem korrekt zu beschreiben, und die Schlussfolgerung ist, dass die Periode der Schwingungen einer an einer Feder befestigten Masse in Wirklichkeit nicht von der Gravitation g abhängt : Sie wäre an der Oberfläche von gleich die Erde oder auf dem Mond.

Der gefundene dimensionslose Faktor ist a priori eine "kleine Konstante", und die Gleichung kann in der äquivalenten Form (durch Aufstellen ) umgeschrieben werden : ${\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ sqrt {\ pi _ {1}}}}$

{\ displaystyle T = \ pi _ {2} {\ sqrt {m \ over k}}}

Die Dimensionsanalyse allein kann die Konstante nicht bestimmen . Wir finden auf andere Weise als . $\ pi _ {2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = 2 \ pi}$

Synchrotronpuls

Betrachten Sie einen Materialpunkt der Masse m und der elektrischen Ladung q , die einem gleichmäßigen Magnetfeld ausgesetzt sind . Der durch eine Geschwindigkeit animierte Materialpunkt ist der Lorentz-Kraft ausgesetzt : ${\ vec {B}}$ ${\ vec {vb}}$

{\ vec {F}} = q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}

Wenn der Materialpunkt einen Kreis in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ω beschreibt . Diese Winkelgeschwindigkeit muss von den Parametern m , q und dem Problem abhängen . ${\ vec {v}} \ perp {\ vec {B}}$ ${\ vec {B}}$

Wir können prüfen, ob zwischen diesen Parametern eine einfache Beziehung wie bei einem Produkt besteht:

\ omega = km ^ {{\ alpha}} q ^ {\ beta} B ^ {\ gamma}

wobei k , α, β und γ unbekannte Konstanten und dimensionslose Zahlen sind.

Zur Bestimmung dieser Zahlen werden Dimensionsgleichungen verwendet. In der Tat haben wir:

{\ rm {\ left [F \ right] = M \ cdot L \ cdot T ^ {{- 2}} = \ left [q \ cdot v \ cdot B \ right] = Q \ cdot L \ cdot T ^ { {-1}} \ left [B \ right]}}

daher die Gleichung für die Dimensionen eines Magnetfeldes:

{\ rm {\ left [B \ right] = M \ cdot T ^ {{- 1}} \ cdot Q ^ {{- 1}}}}

Wir leiten daraus die Gleichung mit den Dimensionen von ω ab :

\ left [\ omega \ right] = \ left [k \; m ^ {{\ alpha}} \; q ^ {{\ beta}} \; B ^ {{\ gamma}} \ right] = {\ rm {M ^ {{\ alpha}} \; Q ^ {{\ beta}} \; \ left [B \ \ right] ^ {{\ gamma}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \; Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \; T ^ {{- \ gamma}}}}

Darüber hinaus ist die Winkelgeschwindigkeit & ohgr; das Verhältnis eines Winkels geteilt durch eine Zeit T 0 (die Rotationsperiode):

\ omega = {\ frac {2 \ pi} {T_ {0}}}

Ein Winkel, der dimensionslos ist, kommt:

{\ rm {\ left [\ omega \ right] = T ^ {{- 1}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \ cdot Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \ cdot T ^ {{- \ gamma}}}}

Wir schließen daraus: γ = 1; α + γ = 0 → α = -1; und β-γ = 0 → β = 1. Daher die Form von ω : $\ omega = k \ cdot {\ frac {qB} {m}}$

Wir nennen " Zyklotronpulsation " die Größe: $\ omega _ {c} = {\ frac {qB} {m}}$

Für dieses genaue Beispiel zeigt die Lösung der Newtonschen Dynamikgleichung, dass k = 1 genau ist.

Außerdem ist B die einzige physikalische Größe dieses Monoms , die einen Orientierungscharakter hat (es ist ein Pseudovektor ). Die Beziehung kann daher in Vektorform geschrieben werden:

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} _ {c} = {q \ over m} \ cdot {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}

Energie einer Atombombe

Der Legende nach ermöglichte die Dimensionsanalyse Geoffrey Ingram Taylor 1950, die durch die Explosion einer Atombombe freigesetzte Energie abzuschätzen , als diese Informationen als streng geheim eingestuft wurden . Zu diesem Zweck beobachtete er einen Film über eine Atomexplosion in New Mexico, die das amerikanische Militär 1949 veröffentlicht hatte. Die Energie wurde aus der Expansion des Atompilzes abgeleitet.

Taylor geht a priori davon aus, dass der Expansionsprozess der Gaskugel zumindest von folgenden Parametern abhängt:

Zeit t ;
die durch die Explosion freigesetzte Energie E ;
die Dichte der Luft ρ .

Die Dimensionsanalyse führt es dann für den Radius der Gaskugel zum Zeitpunkt t zur Gleichung:

r = k \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}

wobei k eine dimensionslose Konstante ist. Taylor findet somit wieder das experimentelle Expansionsgesetz des Pilzes

r (t) \ propto t ^ {{2/5}}

das scheint seine Wahl der Parameter zu bestätigen. Er bestimmt dann r und t aus dem Film, und wenn angenommen wird, dass k in der Größenordnung der Einheit liegt und ρ bekannt ist, erhält er schließlich:

E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}

In Wirklichkeit hat Taylor diese vereinfachende Argumentation nicht verwendet. In seiner ersten Veröffentlichung, die 15 Seiten umfasst, verwendet er die Dimensionsanalyse, um die Differentialgleichungen zu vereinfachen, die den Fluss beschreiben. Nach vielen Berechnungen erhielt er schließlich die folgende sehr einfache Formel:

$r = k (\ gamma) \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}$

wobei die numerische Größe interveniert, die von der Konstante abhängt, die bei Umgebungstemperatur gleich 1,4 ist, aber bei hoher Temperatur abnimmt. Taylor ist daher in seinem zweiten Artikel von der sehr guten Übereinstimmung zwischen der Formel und den auf den Fotos gemessenen Werten überrascht und gibt an, dass er eine weniger gute Übereinstimmung erwartet. $k (\ gamma)$ $\Gamma$

Dank Taylors Berechnungen und der experimentellen Beobachtung, dass die Temperatur nicht interveniert, können wir daher nur a posteriori den Ausdruck des Radius des Kernpilzes als Funktion der Zeit und der Energie der Bombe sehr elegant finden.

Geoffrey Ingram Taylor und John von Neumann veröffentlichten diese elegante Lösung unabhängig voneinander während des Zweiten Weltkriegs, zusammen mit drei anderen nach dem Krieg, LI Sedov , R. Latter und J. Lockwood-Taylor.

Der Ausdruck von Energie im obigen Beispiel (Atombombe) kann allgemeiner erhalten werden, ohne auf die Ausdehnung einer Gaskugel Bezug zu nehmen. Da es darum geht, schnell das Monom zu finden, das in die Beziehung eingreift , ist jede Methode geeignet: $E = f (\ rho, r, t)$

Zum Beispiel und daher von wo $E = mc ^ {2} \ Rightarrow [E] = {\ rm {M \ cdot L ^ {2} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $\ rho = {\ frac mV} \ Rightarrow [\ rho] = {\ rm {M \ cdot L ^ {{- 3}}}}$ ${\ frac {[E]} {[\ rho]}} = {\ rm {L ^ {5} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}$

Verallgemeinerbar Methode: wir schauen wie mit , , und (siehe Tabelle unten ) ${\ displaystyle (a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c}}$ ${\ displaystyle [E] = ML ^ {2} T ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle [\ rho] = ML ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle [r] = L}$ ${\ displaystyle [t] = T}$

${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c} \ Rightarrow [E] = [\ rho] ^ {a} \ times [r] ^ {b} \ times [t] ^ {c} \ Leftrightarrow M ^ {1} L ^ {2} T ^ {- 2} = M ^ {a} L ^ {- 3a + b} T ^ {c} \ Leftrightarrow (a, b, c) = (1,5, -2) \ Rightarrow E = \ rho r ^ {5} t ^ {- 2}}$

Sedimentationsrate

Eine Möglichkeit, die Partikelgrößenanalyse eines feinen Sediments durchzuführen, besteht darin, es in eine homogene Suspension zu geben und dann die Höhe des Sediments als Funktion der Zeit zu messen. Diese Methode setzt voraus, dass wir die Sedimentationsrate eines Partikels als Funktion seines Durchmessers kennen . Offensichtlich hängt diese Sedimentationsrate auch von der Erdbeschleunigung , der Viskosität der Flüssigkeit und der relativen Dichte , dem Dichteunterschied zwischen Sediment und Flüssigkeit ab. Da es hier nur für drei Grunddimensionen fünf Parameter gibt, ist es a priori nur möglich, eine partielle Abhängigkeit zwischen den Parametern zu bestimmen. $v$ $d$ $G$ $\ mu$ $\ rho$

Es ist jedoch möglich, in der Dimension der Länge zwischen den in vertikaler Richtung in 1 z gemessenen Längen , der Richtung der Geschwindigkeit, der Beschleunigung und der Wirkung der Viskosität und den in 1 in horizontaler Richtung gemessenen Längen zu unterscheiden x , Richtung, in der der Durchmesser des effektiven Abschnitts gemessen werden muss. Das Volumen eines Partikels kombiniert sowohl eine vertikale als auch zwei horizontale Richtungen.

Die Dimensionen dieser Variablen sind dann:

$v$ : Geschwindigkeit in L · T -1 · 1 z $\,$
$d$ : Durchmesser L · 1 x
$G$ : Gravitationsbeschleunigung in L · T -2 · 1 z $\,$
$\ mu$ : Dynamische Viskosität M · L -1 · T -1 $\,$ $\,$ 1 z -1
$\ rho$ : Dichte M · L -3 $\,$ 1 z -1 1 x -2

Die Homogenität der Formel legt dann fest:

{\ displaystyle \ mathrm {Cte} = {v \ mu \ over \ rho gd ^ {2}}}

Dies entspricht dem Stokes'schen Gesetz , für das die Konstante gleich 2/9 ist.

Kosmologie: Hubble-Radius

In diesem für die Kosmologie anwendbaren Beispiel verwenden wir die Dimensionsanalyse (Länge, Masse und Zeit) aus den drei Konstanten G ,, und dem Produkt der Massen der drei Hauptatomteilchen (Elektron, Proton und Neutron), die am genauesten bestimmt wurden ( Präzision 10 -10 siehe CODATA 2018): $\ hbar$

${\ displaystyle m ^ {3} = m_ {e} \ times m_ {p} \ times m_ {n}}$
Die Dimensionsanalyse liefert die Entfernung: Milliarden von Lichtjahren; ${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} = 6.900}$
auf der anderen Seite, die charakteristische Länge des Horizonts eines Schwarzschild- schwarzes Loch ist , R H ist , um den Radius von Hubble , erhalten wir R H = 13,80 Milliarden Lichtjahren entspricht 70,84 km / s durch Mega Parsek ${\ displaystyle {\ frac {R_ {H}} {2}}}$

Dieses Ergebnis stimmt mit den jüngsten Schätzungen überein, außer dass es nicht mit einem Alter in Beziehung gesetzt werden kann, da die physikalischen und mathematischen Konstanten zeitlich und räumlich unveränderlich sind.

Historisch

Der Ursprung der Dimensionsanalyse wird unter Historikern diskutiert. Die Mathematiker Leonard Euler und Joseph Fourier sowie der Physiker Rayleigh haben allgemein wichtige Beiträge geleistet, unter der Annahme, dass physikalische Gesetze, wie sie nicht von den Einheiten abhängen sollten, die zur Messung der physikalischen Größen verwendet werden, die in der Formel erscheinen. Diese Anforderung führt zu der Schlussfolgerung, dass ein physikalisches Gesetz eine „homogene“ Gleichung zwischen diesen verschiedenen Einheiten bilden muss; Ergebnis schließlich mit dem Vaschy-Buckingham-Theorem formalisiert . Die erste Anwendung einer Dimensionsanalyse scheint jedoch auf den savoyischen Mathematiker François Daviet de Foncenex (1734–1799) zurückzuführen zu sein, der 1761, 61 Jahre vor dem Werk von Fourier, veröffentlicht wurde. Auf jeden Fall etabliert James Clerk Maxwell den modernen Ansatz zur Dimensionsanalyse, indem er Masse, Länge und Zeit als grundlegende Einheiten betrachtet und die anderen als "Derivat" qualifiziert. ${\ textstyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$

Obwohl Maxwell Zeit, Länge und Masse als "die drei Grundeinheiten" definierte, stellte er dennoch fest, dass die Gravitationsmasse eine aus Zeit und Länge abgeleitete Größe sein könnte, die zur Ableitung $M = L 3 \cdotT -2 führt$ , unter der Bedingung, dass dies berücksichtigt wird In Newtons universellem Gravitationsgesetz wird die Gravitationskonstante $G$ gleich Eins genommen. In ähnlicher Weise bestimmte Maxwell , indem er das Coulombsche Gesetz in einer Form schrieb, in der die Konstante $k e$ gleich Eins gesetzt ist, dass die Abmessung der elektrostatischen Einheit $Q = L 3/2 \cdotM 1/2 \cdotT -1 sein sollte$ , und $berücksichtigte$ berücksichtigen, dass er außerdem die Masse als abgeleitete Größe $M = L 3 \cdot T -2 betrachtete$ , die elektrische Ladung dann die gleiche Dimension wie eine Masse hatte, d. $h$ . $Q = L 3 \cdot T -2$ .

Die Dimensionsanalyse ermöglicht es auch, die Form abzuleiten, die die Beziehung zwischen den physikalischen Größen eines Phänomens haben muss, das man verstehen und charakterisieren möchte. Rayleigh scheint es in diesem Sinne das erste Mal im Jahr 1872 benutzt zu haben, um zu erklären, warum der Himmel blau ist. Rayleigh veröffentlichte seine Methode 1877 in seinem Buch über die Theorie des Klangs .

Es ist in seiner Arbeit Théorie de la Chaleur , dass Joseph Fourier die „Dimension“ stellt, die er ursprünglich von den Exponenten der Basiseinheiten genommen auf die numerischen Werte aufgenommen. Für ihn beispielsweise hat die Beschleunigung daher die Dimension 1 in Bezug auf die Längeneinheit und die Dimension -2 in Bezug auf die Zeiteinheit. Für Maxwell ist die "Dimension" der Beschleunigung der gesamte Ausdruck $L\cdotT -2$ und nicht die Reihe von Exponenten; Es ist diese Terminologie, die heute verwendet wird.

Modellieren

Vom Ende der 19. ten und frühen 20 - ten Jahrhundert, mit der weiteren Untersuchung der Eigenschaften von Flüssigkeiten und Körpern in Flüssigkeiten bewegen, Physiker wie Ludwig Prandtl , Theodore von Karman , Albert Shields , Johann Nikuradse und Rayleigh verwendeten dimensionale Analyse im Labor zu reproduzieren und unter steuerbaren Bedingungen das Verhalten physikalischer Phänomene, jedoch mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Dichten, basierend auf den Ähnlichkeitsgesetzen, die für Modelle unterschiedlicher Maßstäbe gelten. Dieses Ähnlichkeitsprinzip, das es ermöglicht, physikalische Phänomene auf verschiedenen Skalen zu untersuchen, ist die Grundlage der Ähnlichkeitstheorie, auch Modelltheorie genannt.

Die Dimensionsanalyse liegt in der Tat der Modellierung und Ähnlichkeit zugrunde. Das Vaschy-Buckingham-Theorem zeigt, dass für jede physikalische Formel mit $n$ unabhängigen dimensionalen Variablen in Abhängigkeit von $k$ Grundeinheiten die Formel in Abhängigkeit von nk dimensionslosen Variablen, die aus den Anfangsvariablen abgeleitet werden, in eine äquivalente Formel umgewandelt werden kann. Diese Transformation ermöglicht es, dasselbe Gesetz anzuwenden und daher dasselbe Phänomen in verschiedenen Maßstäben zu reproduzieren, solange diese dimensionslosen Zahlen in beiden Fällen identisch sind. In einem wichtigen speziellen Fall, wenn $n = k ist$ , gibt es keine freie Variable ohne Dimension, und der Satz impliziert, dass der dimensionslose Ausdruck, den die Variablen bilden können, für das betrachtete Phänomen konstant ist.

Umgekehrt ist es bei der Untersuchung eines physikalischen Phänomens nur erforderlich, das Verhalten des Systems zu untersuchen, wenn diese dimensionslosen Variablen variieren, der Rest wird durch Proportionalität abgeleitet. Eine Dimensionsanalyse ermöglicht es dann, die relevanten Variablen für die Untersuchung des betrachteten Phänomens zu identifizieren, was ein gutes Gefühl für die physikalische Realität erfordert, ermöglicht es dann jedoch, den Versuchsplan nur auf diese Dimensionen zu beschränken. Alle Ergebnisdiagramme, bei denen die Achsen dimensionslose Zahlen sind, werden aus der Dimensionsanalyse abgeleitet.

Anmerkungen und Referenzen

(en) / (de) / (it) Dieser Artikel teilweise oder vollständig aus den Artikeln Titel in Englisch „ Dimensionsanalyse “ ( die Liste der Autoren sehen ) , in Deutsch „ Dimensionsanalyse “ ( die Liste der Autoren sehen ) und in Italienisch " Analisi dimensionale " ( siehe Autorenliste ) .

Anmerkungen

Die logarithmische Ableitung ist eine scheinbare Ausnahme: wir lassen sie schreiben sogar, wenn $x$ nicht dimensionslos ist (statt , wo $x$ $0$ ist eine Konstante der gleichen Dimension wie $x$ ), weil die beiden Operationen formal das gleiche Ergebnis . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partielle} {\ partielle x}} (\ ln x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} \ left (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {d} \ left (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {x_ {0}} {x}} \ mathrm {d} \ left ({\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$
„ Beginning offenbar mit Maxwell, Masse, Länge und Zeit begann mit einer privilegierten wesentlichen Aspekte und alle anderen Mengen als Derivat interpretiert werden, nicht nur in Bezug auf die Messung, aber hinsichtlich ihrer physischen Zustand als auch “ .
Solche Überlegungen, die darauf abzielen, diese Einheiten so zu definieren, dass bestimmte fundamentale Konstanten eine Einheit wert sind, bilden in der Tat die Grundlage der Systeme natürlicher Einheiten . Eine Reduzierung der Basiseinheiten ist jedoch in der Praxis nicht wünschenswert, auch wenn dies theoretisch möglich ist. Fortsetzung in dieser Logik, können wir wählen , dass die Lichtgeschwindigkeit ist gleich, ferner die Länge zu einer abgeleiteten Einheit zu reduzieren, und dann ... Aber wenn alle der physikalischen Größen kommen schließlich in die Dimension einer Zeit nach unten, nicht der Dimensionsanalyse liefert länger keine Informationen und hat keinen Zweck mehr. ${\ displaystyle \ scriptstyle c = 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle T = L = M = Q}$

Verweise

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Siehe auch

Literaturverzeichnis

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Zum Thema passende Artikel

Externe Links

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