Lorentz-Transformationen

Dieser Artikel stellt die Lorentz-Transformationen unter einem technischen Aspekt vor. Der Leser, der allgemeinere physikalische Informationen zu diesem Thema erhalten möchte, kann auf den Artikel Spezielle Relativitätstheorie verweisen .

Die Lorentz-Transformationen sind lineare Transformationen der Koordinaten eines Punktes in der Raum-Zeit-Minkowski -Vierdimension. In der speziellen Relativitätstheorie entsprechen sie den Gesetzen der Änderung des galiläischen Bezugsrahmens, für die die Gleichungen der Physik erhalten bleiben und für die die Lichtgeschwindigkeit in allen galiläischen Bezugsrahmen identisch bleibt. Sie werden manchmal als relativistisches Äquivalent zu Galileo-Transformationen der klassischen Mechanik angesehen .

Die häufigste Form ist:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = \ gamma \ links (x-vt \ rechts) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {ausgerichtet}} \ rechts.}

Wobei $( t , x , y , z )$ und $( t ', x ', y ', z ')$ die Koordinaten eines Ereignisses in zwei Trägheitsreferenzrahmen darstellen, deren relative Geschwindigkeit parallel zur Achse von ist , ist die Geschwindigkeit von Licht , und der Lorentz-Faktor ist . $v$ $x$ $vs.$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

Der Begriff "Lorentz-Transformationen" kann sich auf die oben dargestellten Koordinatenänderungen beziehen, die manchmal als spezielle Lorentz-Transformationen oder Lorentz- Boost bezeichnet werden , oder auf eine größere Menge, die als Lorentz-Gruppe bezeichnet wird . Diese Gruppe besteht aus der Menge linearer Transformationen, die mit den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie kompatibel sind , dh solchen, die die Pseudonorm des Minkowski-Raums unveränderlich lassen . Die Lorentz-Gruppe umfasst nicht nur die Lorentz- Boosts für eine beliebige Raumrichtung, sondern auch die Rotationen des Raumrahmens, die als statische Rotationen des Raums bezeichnet werden. Im Rahmen relativistischer Quantentheorien und der Beschreibung von Elementarteilchen werden auch Transformationen zugelassen, die das Zeitgefühl und die Ausrichtung des Raumrahmens umkehren , obwohl sie in der speziellen Relativitätstheorie bedeutungslos erscheinen mögen. Die Lorentz-Gruppe ist selbst eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, die die vorherige Definition auf affine Transformationen erweitert , ohne auf lineare Transformationen beschränkt zu sein. Die Poincaré-Gruppe ermöglicht es somit, alle Änderungen des Referenzrahmens darzustellen, die in einer speziellen Relativitätstheorie genehmigt wurden, einschließlich solcher, die eine Verschiebung des Ursprungs des Raum-Zeit-Referenzrahmens beinhalten.

In der Einleitung zur Veröffentlichung „Deux Mémoires de Henri Poincaré über mathematische Physik“, Acta Matematica , vol. 38, p. 293-308 , 1921, legt Hendrik Lorentz fest, dass Henri Poincaré dieses Gesetz mathematisch einführte, indem er es mit dem Namen Lorentz taufte, um sicherzustellen, dass Maxwells Gleichungen in jedem galiläischen Bezugsrahmen identisch geschrieben sind . Letzterer hatte eine Version davon gegeben, die er später für unvollkommen hielt.

Häufigste Präsentationen

Wir betrachten zwei galiläische Bezugsrahmen und in gleichmäßiger geradliniger Translation in Bezug auf den anderen, so dass sie sich mit Geschwindigkeit in Bezug auf die Richtung der Achse von bewegen . Wir bezeichnen jeweils und die drei Raumkoordinaten und die Zeit , die es ermöglicht , dasselbe zu lokalisieren Ereignis von jedem dieser Bezugsrahmen beobachtet. ${\ mathcal R}$ ${\ mathcal R} '$ ${\ mathcal R} '$ $v$ ${\ mathcal R}$ $x$ $\ (t, x, y, z)$ $\ (t ', x', y ', z')$

Die Lorentz-Transformationen zwischen diesen beiden Referenzrahmen sind dann:

Lorentz-Transformation ( Richtung ) $x$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = \ gamma \ links (x-vt \ rechts) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {ausgerichtet}} \ rechts.}$

mit und . ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~}$ ${\ displaystyle ~ \ beta = v / c}$

Der Parameter ist für eine bestimmte Transformation konstant. Es ist eine algebraische Größe, positiv oder negativ, deren absoluter Wert nicht gleich oder größer sein kann als : (eine Verschiebung in der positiven Richtung der des-Achse wird positiv gezählt). Somit sind nur subluminische Geschwindigkeiten zulässig, und die möglichen Werte für und sind daher: und . $v$ $vs.$ ${\ displaystyle -c <v <c ~}$ $x$ $\Beta$ $\Gamma$ ${\ displaystyle ~ -1 <\ beta <1 ~}$ ${\ displaystyle ~ 1 \ leq \ gamma <+ \ infty}$

Transformationen sind undefiniert, wenn sie außerhalb dieser Grenzen liegen. Nimmt in der Tat einen unendlichen Wert für und wird eine komplexe Zahl für . Da die Koordinaten von Zeit und Raum messbare Größen sind, wird ihr Wert notwendigerweise durch eine reelle Zahl beschrieben . $v$ $\Gamma$ $v = c$ $v> c$

Darüber hinaus ist aufgrund des Relativitätsprinzips kein galiläischer Bezugsrahmen gegenüber einem anderen privilegiert. Daher gehen die Transformationen von zu müssen , wie sie von der gleichen Form sein , um von zu . Die einzige Asymmetrie liegt in der Tatsache, dass sie sich relativ zu relativ schnell bewegt . Die inversen Transformationen werden wie folgt geschrieben: ${\ mathcal R}$ ${\ mathcal R} '$ ${\ mathcal R} '$ ${\ mathcal R}$ ${\ mathcal R}$ ${\ displaystyle -v}$ ${\ mathcal R} '$

Inverse Lorentz-Transformation ( Richtung ) $x$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t & = \ gamma \ left (t '+ {\ frac {vx'} {c ^ {2}}} \ right) \\ x & = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right) \\ y & = y '\\ z & = z' \ end {align}} \ right.}$

Lorentz-Transformationen wurden hier als passive Transformationen (in) von Koordinaten dargestellt. Mit anderen Worten, wir haben die Art und Weise verglichen, in der dasselbe Ereignis aus zwei verschiedenen Referenzrahmen beobachtet wurde. Ein anderer Gesichtspunkt besteht darin, sie als aktive Transformationen zu betrachten , die nicht den Bezugsrahmen, sondern das physikalische System selbst beeinflussen. Die neuen Koordinaten beschreiben dann das Phänomen, wie es beobachtet werden würde, wenn das gesamte System in einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung mit der Geschwindigkeit entlang der Achse in demselben Bezugsrahmen eingeschaltet würde. $\ (t ', x', y ', z')$ ${\ displaystyle -v}$ $x$

Alternative Formen

Durch die Verwendung erhalten wir ein symmetrischeres Schreiben der Transformationen: $\ beta = v / c$

{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {align} ct '& = \ gamma \ left (ct- \ beta .x \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x ~ - \ beta .ct \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {align}} \ right. \,}

Für ein Dublett von Ereignissen. Ein Formular mit dem Umgang Unterschieden in Koordinaten erscheint interessanter sein, denn es ist in der Tat Längen und Zeitintervalle , die experimentell gemessen werden oder die auf der physischen Ebene von Interesse sind. Durch die Feststellung und die Unterschiede in den Koordinaten zwischen zwei Ereignissen, die von jedem Referenzrahmen aus beobachtet wurden, führt die Linearität der Lorentz-Transformationen zu: $\ \ Delta x, \ Delta y, ...$ $\ \ Delta x ', \ Delta y', ...$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} \ Delta t '& = \ gamma \ left (\ Delta t - {\ frac {v \ Delta x} {c ^ {2}}} \ right) \\ \ Delta x '& = \ gamma \ left (\ Delta xv \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ Delta y \\\ Delta z '& = \ Delta z \ end {align}} \ right .}

In der relativistischen Quantentheorie werden auch die zeitliche Inversion T und die räumliche Inversion P zugelassen. Die Lorentz-Transformationen, die die Gleichungen der Physik unveränderlich lassen (ohne elektrische Ladung ), sind dann:

{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {align} c \ Delta t '& = \ epsilon _ {1} \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x '& = \ epsilon _ {2} \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ epsilon _ {2} \ Delta y \\\ Delta z '& = \ epsilon _ {2} \ Delta z \ end {align}} \ right. \ ,,}

wobei die anzeigen, ob sich die zeitliche und / oder räumliche Ausrichtung ändert.

{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}

Anmerkung: Allgemeiner jede Transformation in der Quantenphysik verwendete , ist von der Form , mit einer Umwandlung von der Lorentz - Gruppe von spezieller Relativität (orthochronen und richtigen) und . Da die Gruppe der Eigen- und Orthochronentransformationen verbunden ist , zeigt diese Zerlegung, dass die Lorentz-Gruppe aus vier verbundenen Komponenten besteht.

{\ displaystyle S \ cdot \ Lambda}

\ Lambda

{\ displaystyle S \ in \ {Id; T; P; TP \}}

Matrixpräsentation

In Matrixform werden die Lorentz-Transformationen geschrieben:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

wobei die angegebene Matrix die folgenden erwarteten Eigenschaften erfüllt: $\ Lambda$

${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = + 1}$ Dies bedeutet, dass die Transformation die Ausrichtung des Raums beibehält .
${\ displaystyle \ Lambda ^ {T} ~ \ eta ~ \ Lambda = \ eta ~}$ , wo ist die Minkowski-Metrik , was bedeutet, dass die Matrix pseudoorthogonal ist und die Pseudonorm des Minkowski-Raums beibehält . $\ eta$ ${\ displaystyle ~ \ eta = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}$

Die inverse Transformation ist gegeben durch: ${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t '\\ x' \\ y ' \ z '\ end {bmatrix}}}

Diese Schrift in Form einer 4 × 4 - Matrix entspricht die Standard - Darstellung der Lorentz - Gruppe festgestellt (½, ½). Die Objekte, die unter dieser Darstellung transformiert werden, sind Quadrivektoren (hier der Zeitpositions-Quadrivektor). Andere Matrixdarstellungen sind jedoch möglich und ermöglichen es, die Lorentz-Transformationen auf Objekte anderer Art anzuwenden (z. B. elektromagnetisches Feld , Dirac-Bispinere ...).

Darstellung als hyperbolische Rotation

Definitionen und es folgt . Die Analogie mit der hyperbolischen Trigonometrie- Beziehung ermöglicht es, die Schnelligkeit durch Posen zu definieren : ${\ displaystyle ~ \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle ~ \ beta = v / c ~,}$ ${\ displaystyle \ \ gamma ^ {2} - (\ gamma \ beta) ^ {2} = 1}$
${\ displaystyle ~ \ cosh ^ {2} \ phi - \ sinh ^ {2} \ phi = 1 ~}$ $\ phi$

{\ displaystyle ~ \ cosh (\ phi) = \ gamma \ geq 1 ~}

und mit .

{\ displaystyle ~ \ sinh (\ phi) = \ gamma \ beta \ in \ mathbb {R} \ ,,}

{\ displaystyle \ phi = \ operatorname {argth} {\ left (v / c \ right)} \ in \ mathbb {R}}

Jede spezielle Lorentz-Transformation kann somit geschrieben werden:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & - \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

Und die umgekehrte Form:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \ \\ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct '\ x' \ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \.}

Die Ähnlichkeit mit einer Rotationsmatrix in gewöhnlichem Raum führt zu sehen , jede spezielle Lorentz - Transformation als ein Winkel hyperbolischen Rotations in Minkowski Raum-Zeit (wo die Geschwindigkeit). Diese "Rotation" hat jedoch die Besonderheit, auch die zeitliche Koordinate zu beeinflussen. Der pseudoorthogonale Charakter der Rotationsmatrizen zeigt, dass diese Transformationen tatsächlich Isometrien des Minkowski-Raums sind. $\ phi$ $\ phi$

Darstellung in diagonaler Form

Mit den Definitionen und Eigenschaften der Funktionen der hyperbolischen Trigonometrie erhalten wir eine etwas andere Darstellung der Lorentz-Transformationen:

{\ displaystyle {\ begin {case} ct'-x '= e ^ {\ phi} (ct-x) \\ ct' + x '= e ^ {- \ phi} (ct + x) \\ y' = y \\ z '= z. \ end {Fälle}}}

Entweder in Matrixform:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct'-x '\\ ct' + x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ phi} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & e ^ {- \ phi} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } ct-x \\ ct + x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}$

Was ist eine diagonalisierte Form mit einer Auswahl von Markierungen, von denen zwei Achsen den Schnittpunkt des Lichtkegels mit der Ebene (Oxt) oder (Ox't ') für die andere Referenz bilden und die in der' physischen 'nicht zu materialisieren sind Raum in drei Dimensionen.

Präsentation für jede Richtung

Lorentz-Transformationen können auf jede Richtung im Raum verallgemeinert werden. Für zwei galiläische Referenzrahmen in gleichmäßiger geradliniger Translation zueinander, so dass die Relativbewegung von in Bezug auf durch einen Geschwindigkeitsvektor beschrieben wird und die Ursprünge der beiden Referenzrahmen mit diesen übereinstimmen , werden die Transformationen in Vektorform geschrieben :: ${\ mathcal R} '$ ${\ mathcal R}$ ${\ mathbf v}$ ${\ displaystyle t = t '= 0}$

Lorentz-Transformation ( beliebige Richtung $v$ ) ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r}} {c ^ {2}}} \ rechts) \\\ mathbf {r '} & = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ {2} }} \ right) \ mathbf {v} - \ gamma t \ mathbf {v} \ end {align}} \ right.}$

wo und wo und bezeichnen die räumlichen Koordinaten, die von jedem Referenzrahmen aus beobachtet werden. Diese Formeln müssen natürlich in allen Trägheitsreferenzrahmen gültig bleiben. Die Relativbewegung von in Bezug auf die Beschreibung durch den Vektor , die inverse Transformation, wird daher geschrieben: ${\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '} = (x', y ', z')}$ ${\ mathcal R}$ ${\ mathcal R} '$ ${\ displaystyle - \ mathbf {vb}}$

Inverse Lorentz-Transformation ( Richtung $-$ nicht spezifiziert $v$ ) ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t & = \ gamma \ left (t '+ {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r'}} {c ^ {2}}} \ right) \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r '} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r'} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ { 2}}} \ right) \ mathbf {v} + \ gamma t '\ mathbf {v} \ end {align}} \ right.}$

Beim Schreiben von Matrix erhalten wir:

{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

mit:

{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - \ gamma v_ {z} / c \\ - \ gamma v_ {x} / c & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {y} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {x}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} ^ {2 }} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {z} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {x}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {y}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X '= { \ begin {bmatrix} c \, t '\ \ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \ quad {\ textrm {et}} \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ ,.}

Präsentation für andere Größen

Quadrivektoren

Obwohl Lorentz-Transformationen anfänglich als Änderungen der Koordinaten von Zeit und Raum dargestellt werden, gelten sie allgemeiner für jede physikalische Größe, die durch einen Quadrivektor beschrieben werden kann (ein Quadrivektor ist per Definition ein vierdimensionaler Vektor, dessen Komponenten auf die gleiche Weise wie transformiert werden die Koordinaten von Zeit und Raum). Beim Ändern von Koordinaten wird daher ein Quadrivektor durch die lineare Matrixbeziehung transformiert: $X.$ $X '$

{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

Dabei handelt es sich um eine Lorentz-Transformation, die in Standarddarstellung durch eine 4 × 4-Matrix ausgedrückt wird. Darüber hinaus ist durch Setzen von mit die Pseudonorm eines Quadrivektors gegeben durch und erfüllt eine Beziehung der Form: $\ Lambda$ ${\ displaystyle X = (A, \ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {x}, Z_ {y}, Z_ {z})}$ ${\ displaystyle ~ X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X ~}$

{\ displaystyle X \ cdot X = X '\ cdot X' \ quad \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ quad A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2 } - \ mathbf {Z} '\ cdot \ mathbf {Z}'}

Dies zeigt an, dass die Norm des Quadrivektors eine relativistische Invariante ist .

Quadrivector	$BEIM$	$Z.$	$X.$
Quadrivektorposition	Zeit	Positionsvektor	${\ displaystyle \ left (ct; \ mathbf {r} \ right)}$
Quadrivektor-Impuls	Energie	Impulsvektor	${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {E} {c}}; \ mathbf {p} \ right)}$
Quadrivector Geschwindigkeit	Lichtgeschwindigkeit	Geschwindigkeitsvektor	${\ displaystyle \ gamma _ {u} \ left (c; \ mathbf {u} \ right)}$
Quadrivektorkraft	Mechanische Kraft	Kraftvektor	${\ displaystyle \ gamma _ {u} \ left ({\ tfrac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}; \ mathbf {F} \ right)}$
Möglicher Quadrivektor	Elektrisches Potenzial	Magnetisches Vektorpotential	${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ Phi} {c}}; \ mathbf {A} \ right)}$
Quadrivektor-Stromdichte	Dichte der elektrischen Ladungen	Stromdichtevektor	${\ displaystyle \ left (\ rho c; \ mathbf {J} \ right)}$
Quadrivektorwelle	Pulsieren	Wellenvektor	${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ omega} {c}}; \ mathbf {k} \ right)}$
Quadrivector Spin	- -	Rotieren	${\ displaystyle \ left (s_ {t}; \ mathbf {S} \ right)}$

Es gibt jedoch Größen, die nicht in Form eines Quadrivektors geschrieben werden können. Dies gilt beispielsweise für den Drehimpuls sowie für das elektrische Feld und das Magnetfeld . Drehimpuls ist per Definition und wird nach einem Boost . In Bezug auf die Felder und bilden sie zwei komplementäre Aspekte des elektromagnetischen Feldes und können daher nicht separat transformiert werden. Indem die Lorentz-Kraft als Definition dieser Felder verwendet wird, impliziert die Anwendung des Kovarianzprinzips auf die Gesetze des Elektromagnetismus , dass der Ausdruck nach einer Änderung des Trägheitsreferenzrahmens eine identische Form behalten muss . ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} '= \ mathbf {r}' \ times \ mathbf {p} '}$ ${\ mathbf E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} '= q (\ mathbf {E}' + \ mathbf {v} '\ times \ mathbf {B}')}$

Elektromagnetisches Feld

Die Formeln der Feld Transformation und legen nahe , dass diese beiden Größen in einem mathematischen Objekt mit 6 Komponenten gekoppelt sind: ein Tensor mit Rang 2 Skew , die eine sagen ist Bivektors . Der elektromagnetische Tensor ist in Matrixform geschrieben: ${\ mathbf E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}} \ quad}

( Unterschriftenvereinbarung (+ - - -))

Die nach der Lorentz-Transformation erhaltenen Felder sind in Matrixform gegeben durch: $F '$ $\ Lambda$

{\ displaystyle F '= \ Lambda F \ Lambda ^ {T}}

oder in tensorieller Schrift :

{\ displaystyle F '^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ sigma} F ^ {\ rho \ sigma}}

Für einen einfachen Schub entlang der Achse erhalten wir: $x$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} E '_ {x} & = E_ {x} {\ frac {} {}} \\ E' _ {y} & = \ gamma (E_ {y} - \ beta cB_ {z}) {\ frac {} {}} \\ E '_ {z} & = \ gamma (E_ {z} + \ beta cB_ {y}) {\ frac {} {}} \ \ B '_ {x} & = B_ {x} \\ B' _ {y} & = \ gamma (B_ {y} + {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {z}) \\ B. '_ {z} & = \ gamma (B_ {z} - {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {y}) \ end {align}} \ right.}

Andere Mengen

Für ein allgemeines Objekt mit Komponenten werden die Lorentz-Transformationen geschrieben: $nicht$

{\ displaystyle {X '} = {\ Pi (\ Lambda)} ~ X}

mit der Darstellung, die einer Transformation eine Matrix zuordnet . Die verschiedenen Darstellungen der Lorentz-Gruppe (in) werden aus der Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe, Matrixexponentiation, konstruiert . $\ Pi$ $\ Lambda$ $n \ mal n$

Physikalische Implikationen

Lorentz-Transformationen können mit den galiläischen Transformationen der klassischen Mechanik parallelisiert werden :

Galileos Verwandlung

${\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {align} t '& = t \\ x' & = x-vt \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {align}} \ Recht.}$

{\ displaystyle ~~~~~~~~}

Lorentz-Transformation

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t-vx / c ^ {2} \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right) ) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {align}} \ right.}$

Wir stellen fest, dass im Gegensatz zum klassischen Fall die zeitliche Koordinate jetzt durch die Änderung des Bezugsrahmens beeinflusst wird und die Zeit in der Relativitätstheorie nicht mehr als absolut angesehen werden kann. Der Begriff der Gleichzeitigkeit zwischen zwei Ereignissen wird relativ, was bedeutet, dass zwei gleichzeitige Ereignisse in einem Bezugsrahmen in einem anderen nicht unbedingt so sind. Der vor den Klammern stehende Faktor verursacht das Auftreten von Phänomenen wie der Kontraktion der Längen und der Ausdehnung der Dauer . Der Verzicht auf die Vorstellung von einem absoluten Raum und einer absoluten Zeit ermöglicht es, die Invarianz von c in allen galiläischen Bezugssystemen zu garantieren , im Gegensatz zu der klassischen Ansicht, die die Existenz eines Äthers postulierte, der als mechanische Unterstützung für die Ausbreitung von dient Lichtwellen. $\Gamma$

Nicht relativistische Grenzen

Galileo Group

Die Formeln der Lorentz-Gruppe können in dem Fall angenähert werden, in dem die Geschwindigkeit des Körpers im Vergleich zu der des Lichts gering ist, oder, was dasselbe ist, indem die Lichtgeschwindigkeit gegen unendlich tendiert . Wenn wir den Begriff in den Formeln vernachlässigen , finden wir die Galileo-Gruppe, die die Gruppe von Transformationen ist, die Änderungen des Bezugsrahmens in der klassischen Physik entsprechen . $\ v$ $\ vs.$ $\ v / c$

Carrolls Gruppe

Die Carroll-Gruppe ist eine weitere nicht-relativistische Annäherung an die Elemente der Lorentz-Gruppe, wenn wir an großen raumartigen Intervallen interessiert sind . Diese Annäherung, die 1965 von Jean-Marc Lévy-Leblond entdeckt wurde, ist laut ihrem Entdecker nur von pädagogischem Interesse.

Verschiedene Methoden, um Transformationen zu finden

Für die spezielle Relativitätstheorie initiierte Einstein eine Methode:

Aus dem Prinzip der Relativität und der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit durch eine Änderung des Bezugsrahmens, der angenommene Homogenität und Isotropie des Raumes, und unter Verwendung einer geometrischen Darstellung einer idealen Situation , in der zwei Inertialsystemen machen es möglich zu sehen, messen Die Länge und Zeit der Zeit von einem Bezugssystem zu einem anderen, die verschiedenen Formeln werden durch ein System linearer Gleichungen demonstriert, für die die Koeffizienten gefunden werden müssen. Nicht-physikalische Transformationen werden manchmal ohne Detail durch die Wahl der positiven Lösung in einer quadratischen Gleichung verworfen, eine Wahl aufgrund der physikalischen Annahme der Ausrichtung der Referenzmarken durch eine Regel wie die der rechten Hand , die durch die Geometrie veranschaulicht wird Darstellung der Begründung.

In der quantenrelativistischen Physik wie der Quantenfeldtheorie werden verwendete Transformationen als Symmetrien des Minkowski-Raums definiert, die die Gleichungen unverändert lassen (ohne elektrische Ladung ). Dies läuft darauf hinaus, die linearen Transformationen zu bestimmen, wobei das Raum-Zeit-Intervall unverändert bleibt: Es handelt sich um eine mathematische Definition, bei der die Änderungen des Referenzrahmens für Beobachter nur einige dieser Transformationen sind und die es ermöglicht, sie alle zu finden.
Diese Methode wird auch in bestimmten Lehrbüchern der speziellen Relativitätstheorie verwendet, nachdem gezeigt wurde, dass die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls durch Änderung des Bezugsrahmens direkt aus den beiden Axiomen der speziellen Relativitätstheorie folgt und die Transformationen eliminiert werden, die dies nicht berücksichtigen die Orientierungskonvention für dreidimensionale Kennungsmarken ( rechte Hand - Regel in der Regel) und die Ausrichtung der Zeitachse in Richtung der Zukunft ; Beseitigung auf verschiedene Weise, manchmal mit dem Siegel des Offensichtlichen gekennzeichnet und manchmal mehr gerechtfertigt.

Wir können diese Transformationen auch finden, indem wir nach linearen Anwendungen der Raumzeit auf vier Dimensionen suchen, aber a priori ohne Metrik, wobei die Form der Maxwellschen Gleichungen beibehalten wird .

Die geometrische Methode

Es wird angenommen, dass die physikalische Raumzeit ein affiner Raum ist, in dem die Referenzrahmen, von denen nur diejenigen berücksichtigt werden , die träge sind , mit den affinen Rahmen dieses affinen Raums identifiziert werden. Darüber hinaus vernachlässigt man die konstanten Übersetzungen zwischen den Referenzmarken, die sich nur durch Hinzufügen konstanter Zahlen zu den Koordinaten manifestieren. Daher erfolgt die Transformation der Koordinaten mittels einer linearen Karte , die durch eine Matrix dargestellt werden kann :

Demonstration

Sei zwei Bezugsrahmen und in geradliniger Translation zueinander auf parallelen Achsen mit einer Relativgeschwindigkeit v entlang der Ox-Achse. Sei die räumlich-zeitliche Koordinate eines Ereignisses im Referenzrahmen und seine Koordinaten im Referenzrahmen . (Um die Notationen zu vereinfachen, werden in diesem Absatz die beiden anderen räumlichen Komponenten y und z nicht berücksichtigt .) ${\ mathcal R}$ ${\ mathcal R} '$ $(x, t) \ quad$ ${\ mathcal R}$ $(x ', t') \ quad$ ${\ mathcal R} '\ quad$

Anwendung des Relativitätsprinzips :

Nach dem Relativitätsprinzip hängen die Koeffizienten der linearen Transformation nur von der relativen Geschwindigkeit zwischen den Referenzrahmen und von keiner Berücksichtigung außerhalb dieser beiden Referenzrahmen ab. Für mehr Präzision sollte man sagen, relative Geschwindigkeiten der Referenzrahmen, das Thema wird etwas weiter angefahren.

Erster Einsatz der Lichtgeschwindigkeit :

Wenn wir im Bezugsrahmen die Verschiebung eines Lichtsignals in Richtung positiver xs betrachten, also mit Lichtgeschwindigkeit, dann . Da diese Geschwindigkeit jedoch im Referenzrahmen gleich ist , wird unter Berücksichtigung der Verschiebung desselben Signals, das von diesem Referenzrahmen aus gesehen wird, die Achse des x 'dieselbe Ausrichtung wie die des x und auf dieselbe Weise für die zeitlichen Achsen muss man haben . Ebenso beginnend mit der Betrachtung des Signals von .

{\ mathcal R}

\ x = ct

{\ mathcal R} '

\ x '= ct'

{\ mathcal R} '

Deshalb :

x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0

Und da x, t, x ', t' durch lineare Beziehungen mit konstanten Koeffizienten verbunden sind, müssen wir und ( mit konstanten Koeffizienten a, b, a 'und b') haben, woraus oder wie wir ableiten , also für eine bestimmte Konstante.

\ x '= a.x + b.ct

\ ct '= a'.x + b'.ct

\ x'-ct '= \ lambda _ {1} .x- \ lambda _ {2} .ct

x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0 \

\ \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}

\ x'-ct '= \ lambda. (x-ct)

\ lambda

Zweite Verwendung der Lichtgeschwindigkeit :

Indem wir die Verschiebung eines Lichtsignals in Richtung negativer xs betrachten und die gleichen Überlegungen anstellen, erhalten wir: für eine bestimmte Konstante.

\ x '+ ct' = \ mu. (x + ct)

\ mu

Fazit zur Lichtgeschwindigkeit :

Durch Addieren und Subtrahieren der beiden vorherigen Gleichungen erhalten wir:

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= ax-b.ct \\ ct' = a.ct-bx \ end {matrix}} \ right. \ quad (2)

mit: und .

a = (\ lambda + \ mu) / 2 \ quad

\ b = (\ lambda - \ mu) / 2

Erste Verwendung der relativen Geschwindigkeit der Repositorys:

Für den Ursprung des Bezugsrahmens haben wir und daher haben wir gemäß der ersten Gleichung des Systems (2):

{\ mathcal R} '

x '= 0

x = {\ frac {b} {a}}. ct

Indem wir durch die Geschwindigkeit des Referenzrahmens in Bezug auf den Referenzrahmen bezeichnen , können wir daher schreiben

\ v

{\ mathcal R} '

{\ mathcal R}

v = {\ frac {x} {t}} = {\ frac {b} {a}}. c

oder mit

\ v = \ beta .c

\ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ frac {b} {a}}

Wir können also schreiben:

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= a. (x- \ beta .ct) \\ ct' = a. (ct- \ beta .x) \ end {matrix}} \ right. \ quad ( 3)

Zweite Verwendung der relativen Geschwindigkeit der Benchmarks:

Für den Ursprung des Bezugsrahmens haben wir und daher haben wir gemäß den Gleichungen von System (2):

{\ mathcal R}

x = 0

x '= - {\ frac {b} {a}}. ct'

Indem wir durch die Geschwindigkeit des Referenzrahmens in Bezug auf den Referenzrahmen bezeichnen , können wir daher schreiben

\ v '

{\ mathcal R}

{\ mathcal R} '

v '= {\ frac {x'} {t '}} = - {\ frac {b} {a}}. c = -v

Verwendung von Raumannahmen :

Wann haben wir . Der Koeffizient macht es daher möglich , die Messung mit einer Länge in dem Bezugssystem zu konvertieren hergestellt , in die in durchgeführten Messung . Dieser Koeffizient kann von der Relativgeschwindigkeit zwischen den Referenzrahmen abhängen , jedoch nicht von seiner Richtung oder seiner Richtung durch die Annahme der Raumisotropie . Darüber hinaus ist, wie am Anfang des Absatzes erläutert, unabhängig von den Koordinaten x, t, x ', t'.

t = 0

\ x '= ax

beim

{\ mathcal R}

{\ mathcal R} '

\ v

beim

So richtet sich nach dem Standard der Geschwindigkeit , dh der ist .

beim

\ v

\ v ^ {2}

Anwendung des Relativitätsprinzips :

Durch Umkehrung der Rollen des Referenzrahmen und , und habe begründet , dass , und das hängt nicht von der Richtung oder der Bedeutung von daher , und wir können schreiben:

{\ mathcal R}

{\ mathcal R} '

v '= - v

\ beim

\ v

\ a (v ^ {2}) = a ((- v) ^ {2})

\ left \ {{\ begin {matrix} x = a. (x '+ \ beta .ct') \\ ct = a. (ct '+ \ beta .x') \ end {matrix}} \ right. \ Quad (4)

Unter Verwendung der beiden Gleichungen von System (3) in der ersten Gleichung von System (4) erhalten wir entweder:

x = a ^ {2}. \ left (1- \ beta ^ {2} \ right) x \ ,,

a = {\ frac {\ pm 1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}

Das + -Zeichen wird gewählt, andernfalls ändert sich die Ausrichtung zwischen der x-Achse und der x'-Achse, was unter der Annahme nicht der Fall ist.

Fazit :

Lorentz-Transformationen werden geschrieben:

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (x- \ beta .ct) \\ ct' = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (ct- \ beta .x) \ end {matrix}} \ right.

Was wir oft schreiben:

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= \ gamma. (x- \ beta .ct) \\ ct' = \ gamma. (ct- \ beta .x) \ end {matrix}} \ right.

Mit und .

\ beta = \ frac {v} {c}

\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}

Die Methode ausgehend von der Invarianz der Pseudonorm

Demonstration

In diesem Absatz sind die Koordinaten diejenigen des Trägheitsreferenzrahmens und diejenigen des Trägheitsreferenzrahmens , wobei diese beiden Referenzrahmen den gleichen räumlichen und zeitlichen Ursprung haben. $\ (ct, x, y, z) = (ct, {\ vec r})$ ${\ mathcal {R}}$ $\ (ct ', x', y ', z') = (ct ', {\ vec r} ~')$ $\ mathcal {R '}$

In der Raumzeit von Minkowski wird der Pseudostandard durch das Quadrat des Intervalls der Raumzeit definiert : $\ ds ^ {2} = \ eta _ {{\ alpha \ beta}} dx ^ {{\ alpha}} dx ^ {{\ beta}} = dx _ {{\ alpha}} dx ^ {{\ alpha} } = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}$

Lorentz- Transformationen sind lineare Karten auf den Quadri-Koordinaten, die die Pseudonorm unveränderlich lassen: $\ (ct, x, y, z) \ longmapsto (ct ', x', y ', z')$ $\ (c.dt) ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = (c.dt ') ^ {2} -dx' ^ {2} -dy '^ {2} -dz '^ {2}$

Fall, in dem die Transformation nur die Raumkoordinaten betrifft

In diesem Fall impliziert die Invarianz der Pseudonorm , dass die Transformation die räumliche Norm beibehält: Die zugehörige 3x3-Matrix ist eine orthogonale Matrix . $\ dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2}$

Wenn seine Determinante positiv ist, handelt es sich um eine Rotation im Raum, und daher bleibt die Ausrichtung des Raums erhalten . Die Transformation der Raumzeit lässt die Zeit unverändert und wirkt als Rotation eines konstanten Winkels auf den Vektoren des Raums. Sie wird als physikalisch realistisch angesehen.
Wenn seine Determinante negativ ist, gibt es auch eine planare Symmetrie , die die Ausrichtung des Raums umkehrt. Die Transformation, bei der die Zeit unverändert bleibt, aber die räumliche Ausrichtung umgekehrt wird, wird nicht als physikalisch realistisch angesehen, sondern kann zur Untersuchung der mathematischen Eigenschaften von Gleichungen verwendet werden.

Fall, in dem die Transformation auch die zeitliche Koordinate betrifft

Für mehr Leichtigkeit in den Notationen ersetzen wir durch , durch usw. $\ dt$ $\ t$ $\ dx$ $\ x$

Die Linearität einer solchen Transformation ermöglicht es zu schreiben:

\ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + {} ^ {T} \! {\ vec v}. {\ vec r} \\ {\ vec r} ~' = {\ vec w } .ct + A. {\ vec r} \ end {matrix}} \ right.

Dabei handelt es sich um eine konstante reelle Matrix , eine 3x3-Matrix mit konstanten Koeffizienten und zwei konstante Raumvektoren mit der Transponierten und dem Punktprodukt der Vektoren und .

\ beim

\ BEIM

{\ vec v}

{\ vec w}

{} ^ {T} \! {\ Vec v} =

{\ vec v}

{} ^ {T} \! {\ Vec v}. {\ Vec r} =

{\ vec v}

\ vec r

Durch eine Lorentz- Transformation, die nur die Raumkoordinaten beeinflusst, können wir die Vektoren und kollinear machen: Wir haben also und wo ist ein Einheitsvektor ( ), der ebenfalls konstant ist, und zwei konstante Realzahlen (möglicherweise Null).

{\ vec v}

{\ vec w}

{\ vec v} = b. {\ vec u}

{\ vec w} = d. {\ vec u}

{\ vec {u}}

\ | {\ vec u} \ | = 1

\ b

\ d

Wir können also schreiben

\ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + b. {} ^ {T} \! {\ vec u}. {\ vec r} \\ {\ vec r} ~' = d. {\ vec u} .ct + A. {\ vec r} \ end {matrix}} \ right.

Die Pseudonorm ist eine quadratische Form , ihre Invarianz durch eine Transformation entspricht der Invarianz der zugehörigen bilinearen Form : $\ B.$ $B \ left ((\ tau _ {1}, {\ vec r} _ {1}), (\ tau _ {2}, {\ vec r} _ {2}) \ right) = \ tau _ {1 }. \ tau _ {2} - {} ^ {T} \! {\ vec r} _ {1}. {\ vec r} _ {2}$

Jetzt haben wir also auch

B \ left ((ct, {\ vec 0}), (0, {\ vec r}) \ right) = 0

B \ left ((ct ', \ left ({\ vec 0} \ right)'), ((0) ', {\ vec r} ~') \ right) = 0

B \ left ((a.ct, d.ct. {\ Vec u}), (b. {} ^ {T} \! {\ Vec u}. {\ Vec r}, A {\ vec r}) \ right) = ... = ct. \ left (ab. {} ^ {T} \! {\ vec u} -d. {} ^ {T} \! {\ vec u} .A \ right). {\ vec r} = 0

Diese Gleichheit gilt für alles und jeden Raumvektor , den wir haben . Wenn , dann ist die Matrix nicht invertierbar (weil 0 als Eigenwert zugelassen wird, weil ) und die zugehörige Lorentz-Transformation ist keine Basisänderung des vierdimensionalen Raums: die nicht den Hypothesen entspricht. Wenn , dann oder und eine kurze Arbeit zeigt, dass wir dann auf den Fall zurückgreifen, in dem die Transformation nur die Vektoren des Raums betrifft.

\ t \ in \ mathbb {R}

\ vec r

ab. {} ^ {T} \! {\ vec u} = d. {} ^ {T} \! {\ vec u} .A

{} ^ {T} \! {\ Vec u} .A = {} ^ {T} \! {\ Vec 0}

\ BEIM

\ {} ^ {T} \! A.

{\ vec u} \ neq {\ vec 0}

\ d = 0

\ a = 0

\ b = 0

Also , , und , mit .

\ a \ neq 0

\ b \ neq 0

\ d \ neq 0

{} ^ {T} \! {\ Vec u} .A = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ Vec u}

\ alpha = {{ab} \ over d}

Wir posieren und haben mit und . $\ r _ {{||}} = {} ^ {T} \! {\ vec u}. {\ vec r}$ ${\ vec r} ~ _ {{||}} = r _ {{||}}. {\ vec u}$ ${\ vec r} = {\ vec r} ~ _ {{||}} + {\ vec r} _ {{\ perp}}$ ${\ vec r} _ {{\ perp}} \ perp {\ vec u}$ $r ^ {2} = \ left (r ~ _ {{||}} \ right) ^ {2} + \ left (r _ {{\ perp}} \ right) ^ {2}$

Die Invarianz durch die Lorentz-Transformation bedeutet das . Durch die Entwicklung und Verwendung von , mit , bekommen wir . $\ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (ct ') ^ {2} - (r') ^ {2}$ ${} ^ {T} \! {\ Vec u} .A = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ Vec u}$ $\ alpha = {{ab} \ over d}$ $\ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (a ^ {2} -d ^ {2}). (ct) ^ {2} + b ^ {2}. \ left (r _ {{ | |}} \ right) ^ {2} - \ left (A. {\ vec r} \ right) ^ {2}$

Da diese Gleichheit für alle und jeden Raumvektor gilt , haben wir:

\ t \ in \ mathbb {R}

\ vec r

{\ begin {case} a ^ {2} -d ^ {2} = 1 \\ r ^ {2} = \ left (A. {\ vec r} \ right) ^ {2} -b ^ {2} . \ left (r _ {{||}} \ right) ^ {2} \ end {case}}

Durch Ausnutzung des Einzelfalls erhalten wir .

{\ vec r} = {\ vec u}

\ b = \ pm d

Durch den Sonderfall auszunutzen (dh ), so erhalten wir , und die Matrix endomorphism ist eine Isometrie des 2-dimensionalen Raum von Vektoren senkrecht zu in sich.

{\ vec r} \ perp {\ vec u}

\ r _ {{||}} = 0

\ left (A. {\ vec r} _ {{\ perp}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ vec r} _ {{\ perp}} \ right) ^ {2}

\ BEIM

{\ vec {u}}

Wenn wir also = Beschränkung auf die Ebene der Vektoren senkrecht zu und setzen , haben wir:

{\ tilde A}

\ BEIM

{\ vec {u}}

\ epsilon = \ pm 1

{\ begin {case} ct '= a.ct + b.r _ {{||}} \\ {\ vec r} ~' = \ epsilon .b. {\ vec u} .ct + \ epsilon .a.r_ {{||}}. {\ vec u} + {\ tilde A}. {\ vec r} _ {{\ perp}} = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .ar _ {{| |}} \ right). {\ vec u} + {\ tilde A}. {\ vec r} _ {{\ perp}} \ end {case}}

Mit

\ a ^ {2} -b ^ {2} = 1

Wenn wir erneut eine Lorentz-Transformation verwenden, die nur die Raumkoordinaten und noch genauer den Unterraum der Vektoren senkrecht zu betrifft , können wir auf den Fall zurückkommen und haben dann:

{\ vec {u}}

{\ tilde A} = Id _ {{2 \ times 2}}

{\ begin {case} ct '= a.ct + b.r _ {{||}} \\ {\ vec r} ~' = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r _ {{| | }} \ right). {\ vec u} + {\ vec r} _ {{\ perp}} \ end {Fälle}} \ Rightarrow {\ begin {Fälle} ct '= a.ct + b.r_ {{ ||}} \\ r '_ {{||}} = \ epsilon .b.ct + \ epsilon .ar _ {{||}} \\ {\ vec r} ~' _ {{\ perp}} = {\ vec r} _ {{\ perp}} \ end {Fällen}}

Mit

\ a ^ {2} -b ^ {2} = 1

Indem wir die Richtung des Vektors als Achse von wählen , die hyperbolischen Funktionen verwenden und die Erhaltung der Orientierungen von Zeit und Raum diskutieren oder nicht, erhalten wir: ${\ vec {u}}$ $\ x$ $\ epsilon _ {i} = \ pm 1$

{\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ epsilon _ {1} \ cosh (\ phi) & - \ epsilon _ {1} \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ epsilon _ {2} \ sinh (\ phi) & \ epsilon _ {2} \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.

Geschichte und Entstehung der Lorentz-Transformationen

Woldemar Voigt veröffentlichte 1887 einen Artikel über den Doppler-Effekt, in dem er die Invarianz bestimmter Differentialgleichungen unter den Änderungen von Variablen bemerkte (in moderner Notation zur Erleichterung des Lesens):

x ^ {\ prime} = x-vt, \ quad y ^ {\ prime} = {\ frac y \ gamma}, \ quad z ^ {\ prime} = {\ frac z \ gamma}, \ quad t ^ { \ prime} = t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}}, \ quad \ gamma = {\ frac 1 {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

1889 veröffentlichte George Francis FitzGerald in der Zeitschrift Science den Artikel Ether and the Earth's Atmosphere , in dem er die Hypothese der Längenkontraktion formulierte, eine Hypothese, die Hendrik Lorentz unabhängig von FitzGerald auch in einem Artikel von 1892 formulieren würde .

In seiner Arbeit Die elektromagnetische Theorie von Maxwell und ihre Anwendung auf sich bewegende Körper von 1892 wird Lorentz ganz andere Transformationen verwenden als Voigt:

x ^ {\ prime} = {\ dfrac c {{\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {\ epsilon} {c}} x ^ {\ prime} \ quad {\ text {with}} \ epsilon = {\ dfrac v { {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}

Sowohl für Voigt als auch für Lorentz sind diese Transformationen immer noch nur mathematische Werkzeuge ohne besondere Bedeutung.Lorentz führt das Konzept der Ortszeit ein, das dem Bild der Zeitkoordinate durch diese Transformationen entspricht. Diese Ortszeit hat für ihn jedoch keine andere Bedeutung als die mathematische:

„ Es ist wichtig zu verstehen, dass für Lorentz die transformierten Koordinaten und Felder mathematische Hilfsmittel ohne direkte physikalische Bedeutung waren. ""

- Olivier Darrigol, Die Entstehung der Relativitätstheorie , Poincaré-Seminar, 2005.

In einem Artikel aus dem Jahr 1899 stellte Lorentz fest, dass die Kontraktionshypothese natürlich aus den von ihm neu formulierten Transformationen resultierte:

x ^ {\ prime} = {\ dfrac c {{\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {v} {c ^ {2} -v ^ {2}}} x

In einem Artikel aus dem Jahr 1904 gab Lorentz sogar verschiedene Transformationen:

x ^ {\ prime} = klx, \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = {\ frac lk} t-kl {\ frac w {c ^ {2}}} x \ quad {\ text {with}} k ^ {2} = {\ dfrac {c ^ {2}} {c ^ {2} -w ^ {2}}}

Wir können daher sehen, dass 1904 die Form dieser Transformationen noch nicht perfekt bestimmt war, sie erschien durch Versuch und Irrtum, durch Versuch und Irrtum.

Im folgenden Jahr, 1905, legt Henri Poincaré der Akademie der Wissenschaften die Notiz über die Dynamik des Elektrons vor, in der er seinen Artikel zusammenfasst, den er in Palermo präsentieren will und in dem er Lorentz 'Ergebnisse von 1904 bestätigt und korrigiert die Lorentz-Transformationen (korrigiert)

{\ displaystyle x ^ {\ prime} = kl (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = kl (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}

und beachten Sie, dass sie eine Gruppe bilden müssen.Er gibt ihnen somit ihre endgültige Form (mit Ausnahme des Zeichens, das nur die inversen Transformationen berücksichtigt):

x ^ {\ prime} = k (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = k (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac 1 {{\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}

Im selben Jahr veröffentlichte Einstein seinen Artikel über die Elektrodynamik bewegter Körper, in dem er dieselben Transformationen rekonstruierte und ihnen alle ihre Bedeutung gab.

Anmerkungen und Referenzen

Amaury Mouchet, Die elegante Effizienz von Symmetrien , Dunod,2013( online lesen )
Henri Poincaré, Zur Dynamik des Elektrons , Proceedings of the Academy of Sciences, vol. 140, p. 1504-1508, 5. Juni 1905. Handschriftliche Notiz .
Lorentz schreibt: „Es waren diese Überlegungen, die ich 1904 veröffentlichte, die Poincaré veranlassten, seine Memoiren über die Dynamik des Elektrons zu schreiben, in denen er meinen Namen an die Transformation anknüpfte, von der ich gerade gesprochen habe. [...] Ich habe nicht angegeben, welche Transformation am besten geeignet ist. Dies wurde von Poincaré und dann von MM gemacht. Einstein und Minkowski. ""
Henri Poincaré, Über die Dynamik des Elektrons , Rendiconti del Ciorcolo matematico di Palermo , vol. 21, p. 129-176, 1906. Eingereicht am 23. Juli 1905.
Eine noch einfachere Form wird manchmal durch Posieren in Systemen natürlicher Einheiten erhalten . ${\ displaystyle ~ c = 1}$
James H. Smith, Einführung in die Relativitätstheorie , InterEditions (1968). 2 e Ausgabe mit korrigierten Übungen (1979) ( ISBN 978-2-7296-0088-4 ) . Neuveröffentlicht von Masson (Dunod - 3 th Auflage - 1997) ( ISBN 978-2-225-82985-7 )
WH Furry , " Lorentz-Transformation und die Thomas-Präzession ", American Journal of Physics , vol. 23, n o 8,1 st November 1955, p. 517–525 ( ISSN 0002-9505 , DOI 10.1119 / 1.1934085 , Bibcode 1955AmJPh..23..517F , online lesen )
Der Faktor bei der Definition der Vierfachgeschwindigkeit ist bei einer Änderung des Referenzrahmens nicht unveränderlich. ${\ displaystyle \ gamma _ {u}}$
Die zeitliche Koordinate des Spin-Quadrivektors ist im richtigen Bezugsrahmen des Partikels auf 0 festgelegt. Ein sich bewegender Beobachter wird jedoch einen Wert ungleich Null und einen veränderten Spin wahrnehmen . ( Chaichian und Hagedorn, Symmetrie in der Quantenmechanik: Vom Drehimpuls zur Supersymmetrie , IoP, $s_t$ $s_t$ 1997( ISBN 978-0-7503-0408-5 , online lesen ) , p. 239)
Innerhalb desselben galiläischen Bezugsrahmens ist die Zeit jedoch weiterhin eindeutig definiert. Mit anderen Worten, alle stationären Uhren in einem gegebenen Trägheitsreferenzrahmen bleiben über die Zeit synchronisiert, selbst wenn sie räumlich durch große Entfernungen voneinander getrennt sind. Dies ist in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr der Fall, wo der Begriff der Gleichzeitigkeit jede Bedeutung verliert und nur noch lokal definiert werden kann .
Die Carroll Group von JM Levy-Leblond , Annals of the IHP, 1965.
Das findet man in der Relativitätstheorie von Albert Einstein, Gauthier-Villard-Herausgeber, 1921, übersetzt von Mlle J. Rouvrière.
Ein aktuelles Beispiel finden Sie in Kapitel 5 des Buches Einführung in die Relativitätstheorie von James H. Smith (Masson-Herausgeber, übersetzt von Philippe Brenier, vorangestellt von Jean-Marc Levy-Leblond , neu veröffentlicht 1997) ( ISBN 2-225-82985-3) ) ).
Ein Beispiel für eine Wahl, die durch das Offensichtliche gerechtfertigt ist, ist in § 19 des Buches Électromagnétisme et gravitation relativistes von Jean-Claude Boudenot (Herausgeber Ellipsen, 1989, ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ); ein anderer ist in § 4 von Lev Landau und Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 2: Feldtheorie [ Detail der Ausgaben ].
Beispiele für Texte, in denen die Auswahlkriterien ausführlicher erörtert werden, sind (en) Geometrische Physik in der Minkowski-Raumzeit von EG Peter Rowe, Springer-Verlag ( ISBN 1852333669 ) , 2001; (en) Die Geometrie der Minkowski-Raumzeit von Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN 3540978488 ) , 1992, wo in Kapitel 1, §1.3, die Erhaltung räumlicher und zeitlicher Orientierungen als Grund für diese Auswahl angegeben wird; In Philippe Tourrencs Buch Relativity et gravitation (Armand Colin éditeur, ( ISBN 2-200-21209-7 ) ) auf den Seiten 23 bis 25 begründet der Autor unter Verwendung des Korrespondenzprinzips die Wahl von Lorentz-Transformationen für eine spezielle Relativitätstheorie unter alle Transformationen, die aus der Hypothese der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls abgeleitet wurden; Die Frage, ob diese Orientierungen erhalten bleiben oder nicht, wird in Kapitel 1 des Buches La géometry de la relativité specialinte von Jean Parizet, Herausgeber Ellipses, 2008, 172 Seiten, ( ISBN 978-2-7298-3902-4) ausführlich erörtert )
Diese Methode wird in Kapitel 1 des Buches Die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie von Jean Parizet, Herausgeber Ellipsen, 2008, 172 Seiten, ( ISBN 978-2-7298-3902-4 ) unter Verwendung unterschiedlicher Formen und mit typografischen Fehlern vorgestellt. .
Lev Landau und Evgueni Lifchits , Theoretische Physik , t. 2: Feldtheorie [ Detail der Ausgaben ]§1 bis 4.
Diese Gleichheit gilt nur unter der Annahme, dass die Orientierungen von Raum und Zeit durch Änderung des Bezugsrahmens erhalten bleiben. Im Allgemeinen müssen wir daher schreiben , wobei die relative Ausrichtung der Referenzrahmen (O, x, t) und (O, x ', t') angegeben wird und es möglich ist, das Ende des Absatzes mit einer Diskussion anzureichern über die Wahl zwischen den verschiedenen Lorentz-Transformationen, die mit der Mathematik der speziellen Relativitätstheorie vereinbar sind, indem explizit die Hypothese eingeführt wird, dass sich die Ausrichtung der Referenzrahmen nicht ändert. $x '= \ epsilon .ct' \ quad$ $\ epsilon = \ pm 1$
Die Hauptphasen dieser Demonstration befinden sich beispielsweise in Kapitel 1 des Buches Die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie von Jean Parizet, Herausgeber Ellipsen, 2008, 172 Seiten ( ISBN 978-2-7298-3902-4 ) .
Wir haben: ja , dann , dann . Schlussfolgerung: ist in der Tat die Matrix eines Endomorphismus des Raums der Dimension 2 der Vektoren senkrecht zu sich selbst. ${\ vec u} \ perp {\ vec v}$ ${} ^ {T} \! {\ Vec u} .A. {\ Vec v} = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ Vec u}. {\ Vec v} = 0$ ${\ vec u} \ perp A. {\ vec v}$ $\ BEIM$ ${\ vec {u}}$
Woldemar Voigt, Über das Doppler'sche Prinzip , Göttinger Nachrichten, num. 7, S. 41-51, 1887
HALorentz, Die relative Bewegung der Erde und des Äthers , Zittingsverlag Akad. Nass. Amsterdam, vol. 1, S. 74, 1892.
HALorentz, Maxwells elektromagnetische Theorie und ihre Anwendung auf sich bewegende Körper , Niederländisches Archiv für Exakte und Naturwissenschaften, T. XXV, 1892.
HALorentz, Vereinfachte Theorie elektrischer und optischer Phänomene in Bewegungssystemen, Verfahren der Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 1, S. 427-442, 1899.
HALorentz, Elektromagnetische Phänomene in einem System, das sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, die kleiner als die des Lichts ist , Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 6, S. 809, 1904.
André Rougé, Eingeschränkte Relativitätstheorie. Der Beitrag von Henri Poincaré , École polytechnique, 2008.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

[Voigt 1887] (de) Woldemar Voigt , " Über das Doppler'sche Prinzip " , Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , vol. 43 th Jahr, n o 214. März 1887, p. 41-51 ( lesen auf Wikisource , online lesen [PDF] ).
[Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( Präfekt von Thibault Damour ), Eingeschränkte Relativitätstheorie: von Partikeln zur Astrophysik , Les Ulis und Paris, EDV-Wissenschaften und CNRS , Slg. "Aktuelles / physikalisches Wissen",Mai 2010, 1 st ed. 1 vol. , XXVI -776 p. , Abb. , 15,5 × 23 cm ( ISBN 978-2-7598-0067-4 , EAN 9782759800674 , OCLC 690.639.994 , Ankündigung BnF n o FRBNF41411713 , SUDOC 14466514X , Online - Präsentation , online lesen ).

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

(en) Jean-Marc Lévy-Leblond , „ Eine weitere Ableitung der Lorentz-Transformation “ [PDF]
Jean-Marc Lévy-Leblond, " Les relativités " Les Cahiers de Fontenay , n o 8,1977( online lesen [PDF] ).
(en) Victor Yakovenko, „ Ableitung der Lorentz-Transformation “ [PDF] , University of Maryland .