In der speziellen Relativitätstheorie ist das Quadri-Moment (oder Quadrivektor-Impuls oder Quadri-Impuls oder Quadrivektor-Impulsenergie oder Quadrivektor-Energie-Impuls ) eine Verallgemeinerung des dreidimensionalen linearen Moments der klassischen Physik in Form eines Quadrivektors des Raums von Minkowski , 4-dimensionale Raumzeit spezieller Relativitätstheorie.
Das Quadri-Moment eines Teilchens kombiniert das dreidimensionale Moment und die Energie :
Wie jeder Quadrivektor ist er kovariant, dh die Änderungen seiner Koordinaten während einer Änderung des Trägheitsreferenzrahmens werden unter Verwendung von Lorentz-Transformationen berechnet .
In einer gegebenen Basis der Minkowski-Raumzeit werden ihre Koordinaten notiert , in der zugehörigen kovarianten Basis werden ihre Koordinaten notiert und sind gleich
Wir wussten, dass in der klassischen Mechanik die Beziehung zwischen dem Impuls und der Geschwindigkeit des nicht relativistischen Teilchens wie folgt ist:
Wo ist die Masse in Ruhe?
Wir können dieses Konzept auf vier Dimensionen verallgemeinern, indem wir die Vierfachgeschwindigkeit einführen. Für ein Teilchen mit dotierten Nicht-Null - Masse , sondern mit Null elektrischer Ladung, der Vier-Moment ist durch das Produkt der gegebene Masse in Ruhe und die Vier- Geschwindigkeit .
In kontravarianten Koordinaten haben wir , wo ist der Lorentz-Faktor und c ist die Lichtgeschwindigkeit :
oderDurch Berechnung der Minkowski-Norm eines Quadri-Moments erhalten wir eine Lorentz-Invariante , die dem Quadrat der ruhenden Masse des Teilchens entspricht (einem Faktor, der der Lichtgeschwindigkeit c nahe entspricht) :
Da es sich um eine Lorentz-Invariante handelt, bleibt ihr Wert durch Lorentz-Transformationen, dh durch Änderung des Trägheitsreferenzrahmens, unverändert . Verwenden der Minkowski-Metrik :
Der metrische Tensor ist tatsächlich bis zu einem Vorzeichen definiert. Die Konvention anstelle der in diesem Artikel angenommenen Konvention findet sich in einigen Werken . Die physikalischen Ergebnisse sind offensichtlich unabhängig von der gewählten Konvention gleich, es muss jedoch darauf geachtet werden, dass sie nicht verwechselt werden.
Die Erhaltung des Quadri-Moments in einem gegebenen Bezugsrahmen impliziert zwei Erhaltungsgesetze für sogenannte klassische Größen :
Nebenbei sei angemerkt, dass die Masse eines Partikelsystems aufgrund der kinetischen Energie größer sein kann als die Summe der Massen der ruhenden Partikel . Nehmen wir zum Beispiel 2 Teilchen mit Quadri-Moment {5 Gev, 4 Gev / c , 0, 0} und {5 Gev, -4 Gev / c , 0, 0}: Sie haben jeweils eine Masse von 3 Gev / c 2, aber ihre Gesamtmasse (d. H. Wieder die Masse des Systems) beträgt 10 Gev / c 2 . Wenn diese 2 Teilchen kollidieren und verschmelzen, beträgt die Masse des so gebildeten Objekts 10 Gev / c 2 .
Eine praktische Anwendung in der Teilchenphysik der Erhaltung der Masse in Ruhe ermöglicht es, aus den Quadri-Momenten p A und p B von 2 Teilchen, die durch den Zerfall eines größeren Teilchens mit einem Quadri-Moment q erzeugt werden, die Masse zu finden des Ausgangsteilchens. Die Erhaltung des Quadrimoments ergibt q μ = p A μ + p B μ , und die Masse M des Ausgangsteilchens ist gegeben durch | q | 2 = M 2 c 2 . Durch Messung der Energie und der 3-Momente der resultierenden Teilchen können wir die Ruhemasse des 2-Teilchen-Systems berechnen, die gleich M ist. Diese Technik wird insbesondere in experimentellen Untersuchungen zum Z-Boson in Teilchenbeschleunigern verwendet .
Wenn sich die Masse eines Objekts nicht ändert, ist das Minkowski-Punktprodukt seines Quadri-Moments und der entsprechenden Quadri-Beschleunigung A μ Null. Die Beschleunigung ist proportional zur zeitlichen Ableitung des Moments geteilt durch die Masse des Teilchens:
Es ist auch nützlich, ein "kanonisches" Moment (in 4 Dimensionen) für Anwendungen in der relativistischen Quantenmechanik zu definieren: Dies ist die Summe des Quadri-Moments und des Produkts der elektrischen Ladung mit dem Potential (das ein Vektor ist) bei 4 Dimensionen):
wobei das 4-Vektor-Potential eine Kombination zwischen dem Skalarpotential und dem Vektorpotential des Magnetfelds ist :