Minkowski Raum

In Geometrie und spezieller Relativitätstheorie , der Minkowski - Raum , benannt nach seinem Erfinder Hermann Minkowski , die auch als Minkowski Raum-Zeit oder manchmal Poincaré-Minkowski Raum-Zeit , ist ein mathematischer Raum, genauer gesagt ein vier- dimensionaler pseudo-euklidische affiner Raum , Modellierung die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie: Die geometrischen Eigenschaften dieses Raumes entsprechen den in dieser Theorie vorhandenen physikalischen Eigenschaften.

Die klassische Physik ist ebenfalls geometrisiert, und dies seit Isaac Newton , sogar vorher; Das Interesse dieser Geometrisierung der speziellen Relativitätstheorie liegt in der Tatsache, dass die Zeit selbst dort als untrennbar mit dem materiellen Raum verbunden dargestellt wird , dass die abstrakten Eigenschaften der speziellen Relativitätstheorie dort eine Darstellung nahe der euklidischen Geometrie finden und dass sie bei der Formulierung des Allgemeinen hilft Relativitätstheorie .

Historisch

Dieser Raum wurde von Henri Poincaré in einem langen Artikel vorgestellt, der als Mémoire de Palermo bekannt ist und am eingereicht wurde23. Juli 1905bei der Rendiconti del Circolo matematico di Palermo und veröffentlicht inFebruar 1906, zwei Jahre vor Hermann Minkowskis Veröffentlichungen zu diesem Thema. Die erste Entdeckung ist Gegenstand von Debatten , aber nach Ansicht einiger Wissenschaftshistoriker scheint die moderne Interpretation dieses Raums als physikalische Raumzeit und nicht als rechnerische Konvention eine Idee von Minkowski zu sein, der den elektromagnetischen Äther aufgegeben hat nach Einstein , während Poincaré es nie wirklich aufgab, wenn man bedenkt, dass in jedem Referenzrahmen die gemessenen Größen immer "offensichtlich" sind, während die "realen" Größen im Referenzrahmen gemessen werden.

Poincaré hätte diesen Raum als eine mögliche algebraische und geometrische Darstellung vorgeschlagen, die aus rechnerischer Sicht praktisch, aber axiomatisch, dh konventionell , der mathematischen Eigenschaften ist, die mit dem Relativitätsprinzip und der Invarianz der Maxwell-Gleichungen verbunden sind durch Änderung des Trägheitsreferenzrahmens , durch konventionelle Bevorzugung des Referenzrahmens des Äthers als real , dh eines realen Raums, der klassisch wäre. Nur Hermann Minkowski hätte bereits 1907 gesehen, dass dieser Raum ein experimentierfähiges (und nicht nur konventionelles ) Modell einer Raumzeit ist, in der Raum und Zeit in den Gesetzen der Mechanik miteinander verbunden sind und dort unter anderem die Bedingungen von Kausalität und Gleichzeitigkeit gemäß dem Bezugsrahmen des Beobachters. Poincaré wird sich diesem Standpunkt 1912 in seiner letzten Konferenz mit dem Titel Raum und Zeit in London nähern , in der er zum Ausdruck bringen wird, dass man eine Raumzeit aus der Symmetriegruppe der Gesetze der Physik definieren kann, diesmal durch Aufstellen der Relativitätsprinzip als Konvention .

Algebraische Struktur

Minkowskis Raumzeit kann als das Vierfache definiert werden, wobei: ((E.,G,ich+,ϵ){\ displaystyle ({\ mathcal {E}}, g, {\ mathcal {I}} ^ {+}, \ epsilon)}

• E.{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}, Raum-Zeit bezeichnend, ist ein vierdimensionaler affiner Raum auf einem zugeordneten isomorphen Vektorraum ,R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}E.{\ displaystyle E}
• G{\ displaystyle g}unter Berücksichtigung des metrischen Tensors ist eine bilineare Form auf , symmetrisch , nicht entartet und von Signatur (-, +, +, +),E.{\ displaystyle E}
• ich+{\ displaystyle {\ mathcal {I}} ^ {+}}, der den zukünftigen Grundwasserleiter bezeichnet, ist einer der beiden Grundwasserleiter des isotropen Kegels von ,G{\ displaystyle g}
• ϵ{\ displaystyle \ epsilon}Unter Hinweis auf den Levi-Civita-Tensor , der mit assoziiert ist , handelt es sich um eine quatrilineare Form , die antisymmetrisch ist und bei Anwendung auf eine orthonormale Basis von .G{\ displaystyle g}E.{\ displaystyle E}±1{\ displaystyle \ pm 1}G{\ displaystyle g}

Minkowskis Raumzeit ist ein realer affiner Raum der Dimension vier. Sie entspricht den Daten eines Punktes O (dem Ursprung des Referenzrahmens) und eines Vektorraums (als assoziiert bezeichnet ) der Dimension vier (ein ). E.{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Diese Struktur wird durch die Daten auf dem zugeordneten Vektorraum, eine vervollständigten bilineare Form , festgestellt , das ist symmetrisch und nicht entartet . Auch bemerkt oder , was kein Punktprodukt ist, weil es nicht positiv definitiv (noch negativ definitiv ) ist: Wir nehmen an, dass es eine Vektorbasis gibt, so dass , wo . G{\ displaystyle g}((u→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}})}u→.v→{\ displaystyle {\ vec {u}}. {\ vec {v}}}((e→0;;e→1;;e→2;;e→3){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {0}; {\ vec {e}} _ {1}; {\ vec {e}} _ {2}; {\ vec {e}} _ {3 })}((u→|v→)=u0.v0- -u1.v1- -u2.v2- -u3.v3{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) \, = \, u ^ {0} .v ^ {0} -u ^ {1} .v ^ {1} -u ^ {2} .v ^ {2} -u ^ {3} .v ^ {3}}u→=u0.e→0+u1.e→1+u2.e→2+u3.e→3{\ displaystyle {\ vec {u}} = u ^ {0}. {\ vec {e}} _ {0} + u ^ {1}. {\ vec {e}} _ {1} + u ^ { 2}. {\ Vec {e}} _ {2} + u ^ {3}. {\ Vec {e}} _ {3}}

Wie bei jeder bilinearen Form entspricht sie einer quadratischen Form (die das Quadrat der Pseudonorm ist ):((u→|u→)=((u0)2- -((u1)2- -((u2)2- -((u3)2{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {u}}) \, = \, (u ^ {0}) ^ {2} - (u ^ {1}) ^ {2} - ( u ^ {2}) ^ {2} - (u ^ {3}) ^ {2}}

Die Matrix mit dieser bilinearen Form verbunden ist , in der Basis oben betrachten, ist daher , die in einer Matrix Schreiben.G=((10000- -10000- -10000- -1){\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}((u→|v→)=tu→.G.v→{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) \, = \, ^ {t} {\ vec {u}}. g. {\ vec {v}}} Tensorielles Schreiben ermöglicht die Einführung von Einsteins Summationskonvention  : Durch Definieren der „kontravarianten Koordinaten“ und der „kovarianten Koordinaten“ schreiben wir dann =((v0;;v1;;v2;;v3){\ displaystyle \ = (v ^ {0}; v ^ {1}; v ^ {2}; v ^ {3})}=((v0;;v1;;v2;;v3)=G.v→=((v0;;- -v1;;- -v2;;- -v3) {\ displaystyle = (v_ {0}; v_ {1}; v_ {2}; v_ {3}) \; = g. {\ vec {v}} = (v ^ {0}; - v ^ {1 }; - v ^ {2}; - v ^ {3}) \; ~}u→.v→=uich.vich=uich.vich{\ displaystyle \; {\ vec {u}}. {\ vec {v}} \; = \; u_ {i} .v ^ {i} \; = \; u ^ {i} .v_ {i} }}

Im affinen Raum werden die Koordinaten eines Punktes M notiert . Es ist mit einem dotierten bestimmten Abstand oft als pseudo-Metrik , in der Referenz definiert par . Dies wird einfacher bemerkt, wenn keine Verwechslungsgefahr zwischen dieser bilinearen Form und dem euklidischen Skalarprodukt besteht. In dieser Schrift ist das Quadrat konventionell, weil die quadratische Form auch Ergebnisse mit negativem Vorzeichen zulässt und nur dann gut definiert ist, wenn . Diese „Distanz“ macht den Minkowski- Raum zu einem pseudo-euklidischen Raum .  M.((x0;;x1;;x2;;x3){\ displaystyle \ M (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})}Δs((;;){\ displaystyle \ Delta s _ {(\ ;; \;)}}((Ö;;e→0;;e→1;;e→2;;e→3){\ displaystyle (O; {\ vec {e}} _ {0}; {\ vec {e}} _ {1}; {\ vec {e}} _ {2}; {\ vec {e}} _ {3})}((Δs((BEIM;;B.))2=((BEIMB.→|BEIMB.→)=BEIMB.→.BEIMB.→{\ displaystyle \ left (\ Delta s _ {(A; B)} \ right) ^ {2} = \ left ({\ overrightarrow {AB}} | {\ overrightarrow {AB}} \ right) = {\ overrightarrow {AB}}. {\ Overrightarrow {AB}}}BEIMB.2=BEIMB.→.BEIMB.→,{\ displaystyle AB ^ {2} = {\ overrightarrow {AB}}. {\ overrightarrow {AB}} \ ;,} Δs((BEIM;;B.){\ displaystyle \ \ Delta s _ {(A; B)}}((BEIMB.→|BEIMB.→)≥0{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}} | {\ overrightarrow {AB}}) \, \ geq 0}

Die Menge der affinen Transformationen des Minkowski-Raums, die die pseudometrische Invariante verlassen, bildet eine Gruppe namens Poincaré-Gruppe, deren Untergruppe die Lorentz-Transformationen bilden.

Geometrie

Die Geometrie im Minkowski-Raum unterscheidet sich in einigen Punkten von der Geometrie im euklidischen Raum. Es hat auch spezifische physikalische Bedeutungen.

Orthogonalität

Ein Minkowski-Raum hat einen Begriff der Orthogonalität , der durch die bilineare Form definiert wird . Zwei Vektoren werden im Minkowski-Raum genau dann als orthogonal bezeichnet, wenn der Begriff der Orthogonalität ein allgemeiner Begriff ist, der mit einem Raum assoziiert ist, der mit einem Skalarprodukt (z. B. Hilbert-Raum) versehen ist. Zwei Vektoren können in einem Minkowski-Raum orthogonal sein, selbst wenn ihre räumliche Komponenten bilden im üblichen euklidischen Raum keine orthogonale Basis. ((u→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}})}((u→|v→)=0.{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) = 0.}

In der Darstellung, die ein Minkowski-Diagramm ist , hat die Minkowsksche Orthogonalität eine Eigenschaft, die die euklidische Orthogonalität nicht hat: Der Winkel zwischen einem Vektor und seiner Orthogonalität variiert entsprechend der Neigung des Vektors (in der euklidischen Geometrie ist der Winkel fest und gleich bis 90 °). Wenn der Vektor vom "Lichttyp" ist, ist dieser Vektor seine eigene orthogonale: Die Universumslinie ist in der Gleichzeitigkeitsebene enthalten. Für ein Photon vergeht die Zeit nicht, während es auf seiner Universumslinie fortschreitet.

Mathematische Details

In dem Bezugsrahmen, der die Universumslinie des sich bewegenden Mobiles (seinen eigenen Bezugsrahmen) tangiert, sind die Koordinaten des Positionsquadrivektors (und nicht der "Geschwindigkeit") des sich bewegenden Körpers . Es ist der richtige Zeitquadrivektor oder sogar der tangentiale Quadrivektor zur Universumslinie, da er keine räumliche Trennung mit dem Bezugsrahmen anzeigt und gleichzeitig eine zeitliche Entwicklung widerspiegelt, weil (durch Hypothese).  T.=((vs.τ;;0;;0;;0){\ displaystyle \ \ mathrm {T} = (c \ tau; 0; 0; 0)} τ≠0{\ displaystyle \ \ tau \ neq 0}

Wenn ein Quadrivektor senkrecht zu ist , haben wir:  U.=((vs.t;;x;;y;;z){\ displaystyle \ U = (ct; x; y; z)} T.{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}

 0=T..U.=((T.|U.)=vs.2τ.t- -0.x- -0.y- -0.z=vs.2τ.t{\ displaystyle \ 0 = \ mathrm {T} .U = \ left (\ mathrm {T} | U \ right) = c ^ {2} \ tau .t-0.x-0.y-0.z = c ^ {2} \ tau .t}oder (seit ). Ein Punkt, der durch einen zur Universallinie orthogonalen Quadrivektor mit dem Ursprung dieses Referenzrahmens verbunden ist , stellt also ein Ereignis dar, das gleichzeitig mit dem Ursprung des Referenzrahmens erfolgt (die Zeitverschiebung ist ).  t=0{\ displaystyle \ t = 0} τ≠0{\ displaystyle \ \ tau \ neq 0} U.{\ displaystyle \ U} t=0{\ displaystyle \ t = 0}

Da die bilineare Form durch Änderung des Referenzrahmens unveränderlich ist, wird die Orthogonalität unabhängig vom Referenzrahmen, aus dem die Quadrivektoren betrachtet werden, und somit in Minkowski-Diagrammen sichergestellt, wenn der Winkel zwischen dem gewählten Referenzrahmen gezogen wird und von diesem abhängt. ihre Minkowsksche Orthogonalität bleibt erhalten.  U.{\ displaystyle \ U} T.{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}

Berechnungen der Quadrate der Pseudonormen von und unter Verwendung der Koordinaten im tangentialen galiläischen Bezugsrahmen ergeben: und . Ist also im Lichtkegel und ist draußen. Darüber hinaus wissen wir, dass das Quadrat der Pseudonorm durch Änderung des Referenzrahmens erhalten bleibt, weshalb diese Eigenschaften für jeden Referenzrahmen gelten und auch in Minkowski-Diagrammen enthalten sind.  U.{\ displaystyle \ U} T.{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}‖T.‖2=|vs.τ|2>0{\ displaystyle \ | \ mathrm {T} \ | ^ {2} = | c \ tau | ^ {2}> 0}‖U.‖2=- -((x2+y2+z2)<0{\ displaystyle \ | U \ | ^ {2} = - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) <0} T.{\ displaystyle \ \ mathrm {T}} U.{\ displaystyle \ U}

Dreieckige Ungleichung

In einer euklidischen Ebene ist die dreieckige Ungleichung die Beziehung, nach der unabhängig von einem Dreieck ABC die Längen AB , BC und AC die Ungleichung erfüllen: Die Gleichheit findet statt, wenn der Punkt B zum Segment [AC] gehört. Diese Ungleichung bedeutet, dass im euklidischen Raum der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten eine gerade Linie ist. BEIMVS⩽BEIMB.+B.VS{\ displaystyle \ scriptstyle AC \ leqslant AB + BC}

Im Minkowskschen Raum gibt es ein Äquivalent der dreieckigen Ungleichung, wodurch die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten eines Dreiecks hergestellt werden. Jedoch ist diese kohärent nur dann , wenn das Dreieck in einem vollständig enthalten ist , Lichtkegel , (dh , wenn das heißt Quadrat ihrer pseudo-Norm ist streng positiv) , und wenn , und sind in der Zukunft orientiert ist . BEIMB.→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}B.VS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BC}}}BEIMVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}

Für ein Dreieck ABC , das diese Bedingungen erfüllt, haben wir dann die Ungleichung im Minkowskschen Raum:

BEIMVS⩾BEIMB.+B.VS{\ displaystyle AC \ geqslant AB + BC}.

Diese Ungleichung ist die Umkehrung der des euklidischen Raums. Im Minkowskschen Raum ist ein Weg, der einen Umweg (in Raum-Zeit) macht, immer „kürzer“ (in Bezug auf das Raum-Zeit-Intervall) als die „gerade Linie“. Eine "gerade Linie" im Minkowskschen Raum ist die Universumslinie eines Teilchens, das keiner Kraft ausgesetzt ist, also mit konstanter oder stationärer Geschwindigkeit.

Diese Eigenschaft ermöglicht es, das Paradoxon von Zwillingen in der speziellen Relativitätstheorie zu veranschaulichen und zu erklären . Der auf der Erde verbleibende "Zwilling" bewegt sich in der Wechselstrom- Raumzeit auf einer "geraden Linie" . Der reisende Zwilling durchquert zwei gerade Liniensegmente AB und BC (er dreht sich in B um, um sich seinem Zwilling in C anzuschließen). Die Universumslinien der beiden Zwillinge bilden ein ABC- Dreieck , dessen Seiten zeitlich (die Geschwindigkeit der Zwillinge niedriger als die des Lichts) und auf die Zukunft ausgerichtet sind.

Das Raum-Zeit-Intervall des reisenden Zwillings ist daher nach der Minkowskschen Dreiecksungleichung geringer als das des stationären Zwillings. Die Zeit des reisenden Zwillings ist daher kürzer und er ist daher am Ende seiner Reise jünger als sein Zwilling, der auf der Erde geblieben ist.

Entwurf einer Begründung für dreieckige Ungleichung

Lassen Sie uns in eine physikalisch realistische Situation geraten: Wenn ein Beobachter durch eine Trägheitsbewegung von Ereignis A zu Ereignis C wechselt, bewegt er sich in einer geraden Linie, während ein zweiter Beobachter in einer geraden Linie von A nach B und dann von B nach C geht. In einem Trägheitsreferenzrahmen (der Einfachheit halber zweidimensional) des ersten Beobachters sind die Koordinaten der Ereignisse: A (0,0), C (ct, 0) und B (ct ', x). Damit der zweite Beobachter von B nach C gehen kann, ist es notwendig, dass t> t 'und andere kleine Vorsichtsmaßnahmen, auf denen es nicht sinnvoll ist, darauf zu bestehen.

Berechnung von Pseudoentfernungen: und mit dem Auto
 BEIMVS=vs.t,{\ displaystyle \ AC = ct \ ;,}  BEIMB.=((vs.t')2- -x2<vs.t',{\ displaystyle \ AB = {\ sqrt {(ct ') ^ {2} -x ^ {2}}} <ct' \ ;,} B.VS=((vs.((t- -t'))2- -x2<vs.((t- -t'),{\ displaystyle \ BC = {\ sqrt {(c (t-t ')) ^ {2} -x ^ {2}}} <c (t-t') \ ;,}|t- -t'|=t- -t'{\ displaystyle | t-t '| = t-t' \;} t>t'.{\ displaystyle \ t> t '\ ;.}

Wir bemerken, dass dann was die dreieckige (strenge) Ungleichung gesucht wird. Die Gleichheit findet statt , dh in dem Fall, in dem die drei Punkte ausgerichtet sind.  BEIMB.+B.VS<BEIMVS,{\ displaystyle \ AB + BC <AC \ ;,} x=0{\ displaystyle \ x = 0}

Beachten Sie, dass diese Rechtfertigung in einer bestimmten Situation es ermöglicht, den allgemeinen Fall zu rechtfertigen: Letzterer kann immer durch eine Änderung des Bezugsrahmens (Poincaré-Transformation) auf den vorherigen reduziert werden, wodurch die durch das Quadrat erhaltenen Werte nicht geändert werden bilden.

Beweis der dreieckigen Ungleichung

Wir erinnern uns daran, wenn und dann .  0<beim{\ displaystyle \ 0 <a} 0<b{\ displaystyle \ 0 <b}0<beim<b⟺0<beim2<b2{\ displaystyle 0 <a <b \ iff 0 <a ^ {2} <b ^ {2}}

Wir bezeichnen, wann ein Vektor von ist . u=‖u→‖{\ displaystyle u = \ | {\ vec {u}} \ |}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Wir nehmen an, dass und deshalb haben wir ,, und ,, aus der dreieckigen Ungleichung der klassischen euklidischen Norm erhalten .  t>u{\ displaystyle \ t> u} τ>v{\ displaystyle \ \ tau> v} t2- -u2>0{\ displaystyle \ t ^ {2} -u ^ {2}> 0} τ2- -v2>0{\ displaystyle \ \ tau ^ {2} -v ^ {2}> 0} ((t+τ)2- -((u→+v→)2>0{\ displaystyle \ (t + \ tau) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}> 0} t+τ>‖u→+v→‖{\ displaystyle \ t + \ tau> \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ |} ‖.‖{\ displaystyle \ \ |. \ |}

Lassen Sie uns durch eine Folge von Äquivalenzen zeigen, dass t2- -u2+τ2- -v2≤((t+τ)2- -((u→+v→)2{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq {\ sqrt {(t + \ tau ) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}}}}

t2- -u2+τ2- -v2≤((t+τ)2- -((u→+v→)2{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq {\ sqrt {(t + \ tau ) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}}}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

durch Quadrieren.

t2- -u2+τ2- -v2+2t2- -u2.τ2- -v2≤((t+τ)2- -((u→+v→)2{\ displaystyle t ^ {2} -u ^ {2} + \ tau ^ {2} -v ^ {2} +2 {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}. {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq (t + \ tau) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

Durch Entwicklung und Vereinfachung.

t2- -u2.τ2- -v2≤t.τ- -u→.v→{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}}. {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq t. \ tau - {\ vec { u}}. {\ vec {v}}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

durch Quadrieren.

((t2- -u2).((τ2- -v2)≤((t.τ- -u→.v→)2{\ displaystyle (t ^ {2} -u ^ {2}). (\ tau ^ {2} -v ^ {2}) \ leq (t. \ tau - {\ vec {u}}. {\ vec {v}}) ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

durch Entwicklung.

0≤((u→.v→)2- -2tτ.u→.v→+t2.v2+τ2.u2- -u2.v2{\ displaystyle 0 \ leq ({\ vec {u}}. {\ vec {v}}) ^ {2} -2t \ tau. {\ vec {u}}. {\ vec {v}} + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

mit .  u→.v→=u.v.vs.Ösθ{\ displaystyle \ {\ vec {u}}. {\ vec {v}} = uvcos \ theta}

0≤((u.v)2.vs.Ös2θ- -2tτ.u.v.vs.Ösθ+t2.v2+τ2.u2- -u2.v2{\ displaystyle 0 \ leq (uv) ^ {2} .cos ^ {2} \ theta -2t \ tau .uvcos \ theta + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

durch einige algebraische Berechnungen (Faktorisierungen)

0≤((u.v)2.((vs.Ösθ- -1)2+2u.v.((u.v- -tτ)vs.Ösθ+t2.v2+τ2.u2- -2u2.v2{\ displaystyle 0 \ leq (uv) ^ {2}. (cos \ theta -1) ^ {2} + 2u.v. (uv-t \ tau) cos \ theta + t ^ {2} .v ^ { 2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ {2}}

Wie und haben wir  - -1≤vs.Ösθ≤1{\ displaystyle \ -1 \ leq cos \ theta \ leq 1} u.v- -tτ≤0{\ displaystyle \ uv-t \ tau \ leq 0}

((u.v)2.((vs.Ösθ- -1)2+2u.v.((u.v- -tτ)vs.Ösθ+t2.v2+τ2.u2- -2u2.v2≥{\ displaystyle (uv) ^ {2}. (cos \ theta -1) ^ {2} + 2u.v. (uv-t \ tau) cos \ theta + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ {2} \ geq}  2u.v.((u.v- -tτ)+t2.v2+τ2.u2- -2u2.v2{\ displaystyle \ 2u.v. (uv-t \ tau) + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ { 2}}

mit Gleichheit für  vs.Ösθ=1{\ displaystyle \ cos \ theta = 1}

Hinweis  : Wir können auch die Variationen über das Intervall [-1; 1] und zeigen, dass sein Minimum in 1 erreicht ist.  f((X.)=((u.v)2.X.2- -2tτ.u.v.X.+t2.v2+τ2.u2- -u2.v2{\ displaystyle \ f (X) = (uv) ^ {2} .X ^ {2} -2t \ tau .uvX + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}}

jedoch durch Entwicklung dann Faktorisierung

 2u.v.((u.v- -tτ)+t2.v2+τ2.u2- -2u2.v2=((t.v- -τ.u)2≥0{\ displaystyle \ 2u.v. (uv-t \ tau) + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ { 2} = (tv- \ tau .u) ^ {2} \ geq 0}

Mit Gleichheit für entweder t.v=τu{\ displaystyle \ tv = \ tau u}vτ=ut{\ displaystyle {\ frac {v} {\ tau}} = {\ frac {u} {t}}}

Die anfängliche dreieckige Ungleichung ist daher wahr.

Es gibt Gleichheit nur für und , dh in dem Fall, in dem die Quadrivektoren und proportional sind (kollinear).  vs.Ösθ=1{\ displaystyle \ cos \ theta = 1} t.v=τu{\ displaystyle \ tv = \ tau u}vτ=ut{\ displaystyle {\ frac {v} {\ tau}} = {\ frac {u} {t}}} ((t,u→){\ displaystyle (t, {\ vec {u}})}((τ,v→){\ displaystyle (\ tau, {\ vec {v}})}

Algebraischer Beweis der dreieckigen Ungleichung

Betrachten Sie drei chronologische Ereignisse im Lichtkegel.

Nehmen wir an, ohne die Allgemeinheit einzuschränken .  vs.=1{\ displaystyle \ c = 1}

Man beachte den quadrivector der Differenz zwischen den Ereignissen 2 und 1, die von der Differenz zwischen dem 3 rd und dem 2 nd , und deshalb , daß der Unterschiedes zwischen dem 3 rd und dem 1 st . Durch Hypothese und , was durch die dreieckige Ungleichung der klassischen euklidischen Norm impliziert wird .  ((t,u→){\ displaystyle \ (t, {\ vec {u}})} ((τ,v→){\ displaystyle \ (\ tau, {\ vec {v}})} ((t+τ,u→+v→){\ displaystyle \ (t + \ tau, {\ vec {u}} + {\ vec {v}})} t⩾‖u→‖{\ displaystyle \ t \ geqslant \ | {\ vec {u}} \ |} τ⩾||v→||{\ displaystyle \ \ tau \ geqslant || {\ vec {v}} ||} t+τ⩾‖u→+v→‖{\ displaystyle \ t + \ tau \ geqslant \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ |} ‖.‖{\ displaystyle \ \ |. \ |}

Es geht darum zu zeigen

 t2- -‖u→‖2+τ2- -‖v→‖2⩽((t+τ)2- -‖u→+v→‖2{\ displaystyle \ {\ sqrt {t ^ {2} - \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} - \ | {\ vec {v }} \ | ^ {2}}} \ leqslant {\ sqrt {(t + \ tau) ^ {2} - \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2} }}}

oder

 BEIM⩽B.{\ displaystyle \ A \ leqslant B} wann  BEIM=t1- -‖u→‖2t2+τ1- -‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ A = t {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} {t ^ {2}}}} + \ tau {\ sqrt { 1 - {\ frac {\ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}} und  B.=((t+τ)1- -‖u→+v→‖2((t+τ)2{\ displaystyle \ B = (t + \ tau) {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {(t + \ tau) ^ {2}}}}}}.

Die Ungleichung von Jensen gilt für die Funktion, die konkav oder konkav ist  f((x)=x{\ displaystyle \ f (x) = {\ sqrt {x}}}

 λf((x)+μf((y)⩽f((λx+μy){\ displaystyle \ \ lambda f (x) + \ mu f (y) \ leqslant f (\ lambda x + \ mu y)}für alles und zufriedenstellend . λ{\ displaystyle \ \ lambda} μ⩾0{\ displaystyle \ \ mu \ geqslant 0} λ+μ=1{\ displaystyle \ \ lambda + \ mu = 1}

Mit und kommt er  λ=tt+τ{\ displaystyle \ \ lambda = {\ frac {t} {t + \ tau}}} μ=τt+τ{\ displaystyle \ \ mu = {\ frac {\ tau} {t + \ tau}}}

 tx+τy⩽((t+τ)tx+τy{\ displaystyle \ t {\ sqrt {x}} + \ tau {\ sqrt {y}} \ leqslant {\ sqrt {(t + \ tau)}} {\ sqrt {tx + \ tau y}}}für alles und . x{\ displaystyle \ x} y⩾0{\ displaystyle \ y \ geqslant 0}

Durch die Wahl von und kommt er  x=1- -‖u→‖2t2{\ displaystyle \ x = 1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} {t ^ {2}}}} y=1- -‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ y = 1 - {\ frac {\ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}

 BEIM⩽t+τ((t+τ)- -t‖u→‖2t2- -τ‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ A \ leqslant {\ sqrt {t + \ tau}} {\ sqrt {(t + \ tau) -t {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} { t ^ {2}}} - \ tau {\ frac {\ | {\ vec {vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}}

Die klassische dreieckige Ungleichung, dann die Konvexität der Funktion (wieder Jensens Ungleichung) implizieren  x2{\ displaystyle \ x ^ {2}}

 ‖tx→+τy→‖2⩽((t‖x→‖+τ‖y→‖)2⩽((t+τ)((t‖x→‖2+τ‖y→‖2){\ displaystyle \ \ | t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} \ | ^ {2} \ leqslant (t \ | {\ vec {x}} \ | + \ tau \ | {\ vec {y}} \ |) ^ {2} \ leqslant (t + \ tau) (t \ | {\ vec {x}} \ | ^ {2} + \ tau \ | {\ vec {y} } \ | ^ {2})}ist  t‖x→‖2+τ‖y→‖2⩾‖tx→+τy→‖2t+τ{\ displaystyle \ t \ | {\ vec {x}} \ | ^ {2} + \ tau \ | {\ vec {y}} \ | ^ {2} \ geqslant {\ frac {\ | t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} \ | ^ {2}} {t + \ tau}}}für alle Vektoren und . x→{\ displaystyle \ {\ vec {x}}} y→{\ displaystyle \ {\ vec {y}}}

Durch die Wahl von und haben wir und so  x→=u→t{\ displaystyle \ {\ vec {x}} = {\ frac {\ vec {u}} {t}}} y→=v→τ{\ displaystyle \ {\ vec {y}} = {\ frac {\ vec {v}} {\ tau}}} tx→+τy→=u→+v→{\ displaystyle \ t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} = {\ vec {u}} + {\ vec {v}}}

 BEIM⩽t+τ((t+τ)- -‖u→+v→‖2t+τ=B.{\ displaystyle \ A \ leqslant {\ sqrt {t + \ tau}} {\ sqrt {(t + \ tau) - {\ frac {\ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {t + \ tau}}}} = B}.

Gleiche Bedingungen:

Durch "strenge" Konkavität und Konvexität von impliziert Gleichheit parallel zu (und in die gleiche Richtung). dann sei es so . Wenn die dreieckige Ungleichung eine Gleichheit ist, werden die Quadrivektoren der 3 Ereignisse ausgerichtet. Das Gegenteil ist leicht zu überprüfen.  x{\ displaystyle \ {\ sqrt {x}}} x2{\ displaystyle \ x ^ {2}} BEIM=B.{\ displaystyle \ A = B} x=y,tx→{\ displaystyle \ x = y, t {\ vec {x}}} τy→{\ displaystyle \ \ tau {\ vec {y}}} t‖x→‖=τ‖y→‖{\ displaystyle \ t \ | {\ vec {x}} \ | = \ tau \ | {\ vec {y}} \ |} u→/.t=v→/.τ{\ displaystyle \ {\ vec {u}} / t = {\ vec {v}} / \ tau}

Hyperbolische Geometrie

Physik machen

Geometrisierung der relativistischen Physik

Die geometrischen Punkte repräsentieren Ereignisse physikalischen und werden von vier identifizierten Koordinaten (ct, x, y, z) Koordinate der Zeit und die drei Koordinaten des Raumes . Die mathematischen Referenzen dort stellen die galiläischen Referenzrahmen dar , und die Verpflichtung in der Mathematik, einen Referenzrahmen zu wählen, die Punkte durch Koordinaten zu bezeichnen, entspricht der in der Physik, einen Referenzrahmen für den Beobachter zu wählen, einschließlich für die Wahl des Zeitmaß.

Unter dem Gesichtspunkt des intuitiven Realismus liegt die mathematische Besonderheit dieses affinen Raums in seiner Entfernung zwischen zwei Punkten, die Pseudometrik genannt wird und von Hermann Minkowski so konstruiert wurde, dass sie durch die Referenzänderungen, die die Lorentz-Transformationen darstellen , unveränderlich ist . Die Pseudo-Metrik wird auch als Pseudo-Norm bezeichnet, wenn wir nur den Vektorraum verwenden, der dem affinen Raum zugrunde liegt. Diese Pseudo-Metrik entspricht der richtigen Zeit zwischen zwei Ereignissen, die kausal verbunden werden können, oder der richtigen Entfernung zwischen ihnen, wenn sie nicht können.

Die pseudo-Metrik , angemerkt , ist definiert durch oder nach der Vorzeichenkonvention oder ausgewählt. Diese Definition macht die Pseudo-Metrik identisch mit dem Raum-Zeit-Intervall, das die relativistische Invariante durch Änderung des galiläischen Referenzrahmens ist .  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=- -vs.2((Δt)2+((Δx)2+((Δy)2+((Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs.2((Δt)2- -((Δx)2- -((Δy)2- -((Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}((- -;;+;;+;;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} ((+;;- -;;- -;;- -){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Ein gegebenes Ereignis, die Menge von physisch erreichbaren Ereignissen in der Zukunft und jenen der Vergangenheit, aus denen wir uns dem gegebenen Ereignis anschließen könnten, bildet einen Kegel im Minkowski-Raum, der als Lichtkegel bezeichnet wird , und ermöglicht eine rein geometrische Argumentation durch Entwürfe, die als Minkowski-Diagramme bezeichnet werden .

Dieser Raum ist pseudo-euklidisch  : Obwohl die Metrik nur eine Pseudo-Metrik ist , sind die Geodäten die geraden Linien, was bedeutet, dass dieser Raum flach ist wie in einem euklidischen Raum. Die dort gültigen dreieckigen Ungleichungen zeigen, dass ein Segment der längste Weg zwischen zwei Punkten ist, was einen deutlichen Unterschied zur euklidischen Geometrie darstellt.

In diesem Raum kann die Dimension relativ zur Zeit als imaginäre Zahl betrachtet werden , während die anderen drei Koordinaten (räumlich) immer reelle Zahlen sind  : Diese Wahl verändert das Schreiben der Pseudonorm und die Darstellung der Berechnungen, ohne mehr zu bringen Einfachheit.

Ein (affiner) Minkowski-Raumbezugsrahmen ist ein galiläischer Bezugsrahmen für einen Beobachter: Wahl eines Ortes und eines Bezugsmoments, Wahl dreidimensionaler Achsen und einer Zeit. Ein Beobachter und sein Bezugsrahmen, die in diesen Raum eingetaucht sind, lokalisieren ein Ereignis (Punkt in Raum-Zeit) anhand seiner zeitlichen (t) und räumlichen (x; y; z) Koordinaten: Ein Punkt M wird notiert oder durch posieren .  M.((vs.t;;x;;y;;z){\ displaystyle \ M (ct; x; y; z)} M.((x0;;x1;;x2;;x3){\ displaystyle \ M (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})} x0=vs.t ;; x1=x ;; x2=y ;; x3=z{\ displaystyle \ x ^ {0} = ct ~; ~ x ^ {1} = x ~; ~ x ^ {2} = y ~; ~ x ^ {3} = z}

Raum und Zeit orientieren

Die algebraische Struktur allein macht es nicht möglich, Physik zu betreiben, zumindest dafür: das Prinzip der Kausalität einzuführen, das vorschreibt, dass man den Lauf der Zeit nicht physikalisch zurückdrehen kann; postulieren, dass eine physikalische Änderung des galiläischen Bezugsrahmens die Ausrichtung des dreidimensionalen Raums nicht ändern kann .

Repository ändern

Um den physikalischen Bezugsrahmen unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie zu ändern, muss eine Änderung des mathematischen Bezugsrahmens verwendet werden, bei der die Pseudonorm unveränderlich bleibt, dh das Quadrat des Raum-Zeit-Intervalls  : Wir müssen uns daher auf Elemente von beschränken die Poincaré-Gruppe. Die physischen Einschränkungen der Ausrichtung von Raum und Zeit verpflichten sich jedoch, 75% der Elemente der Gruppe von Poincaré zu entfernen, um nur diejenigen beizubehalten, die eine Änderung des realistischen Bezugsrahmens darstellen  : die Übersetzungen , die Rotationen des physischen Raums in drei Dimensionen und richtige und orthochrone Lorentz- Transformationen.

Universumslinie

Die Raum - Zeit - Trajektorie eines massiven Punkt Körper , genannt seine Universum Linie , eine Kurve in Minkowski - Raum; aber nicht jede Kurve kann behaupten, eine realistische Flugbahn (Linie des Universums) zu sein: Dazu muss sie immer in die zunehmende Richtung der Zeit gehen und vollständig in jedem der Lichtkegel enthalten sein, die an jedem ihrer aufeinanderfolgenden Punkte zentriert sind (wir sagen) dann, dass es vom "Zeittyp" ist); Andernfalls bedeutet dies, dass die Lichtgeschwindigkeit bis zu dem Punkt erreicht oder überschritten wird, an dem diese Bedingung nicht erfüllt ist. Die Trajektorie eines Punktkörpers mit einer Masse von Null ( zum Beispiel eines Photons ) ist eine Linie des Universums, die am Rand des Lichtkegels enthalten ist, wobei diese Trajektorie im Allgemeinen geradlinig ist.

Wie jede Kurve kann eine Universumslinie parametrisiert werden, wobei der Parameter nicht unbedingt eine physikalische Bedeutung hat, aber jeder Beobachter, der in diese Raumzeit eingetaucht ist, muss Zugriff darauf haben: Vergessen wir nicht, dass der Raum von Minkowski unseren Raum darstellt, in dem der Physiker befindet sich. Die Koordinaten des Körpers M werden dann geschrieben , wobei der Parameter ist.  M.((vs.t((λ);;x((λ);;y((λ);;z((λ)){\ displaystyle \ M (ct (\ lambda); x (\ lambda); y (\ lambda); z (\ lambda))}λ∈R.{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}

Für den Betrachter ist die Wahl des Zeitpunkts seines Bezugsrahmens als Parameter am natürlichsten: Die Koordinaten des Körpers M werden dann geschrieben . Mit dieser Wahl, die für den Betrachter am zugänglichsten ist und in der klassischen Physik verwendet wird , wird die Geschwindigkeit ausgedrückt und ist kein Quadrivektor: Ihre Pseudonorm ist durch Änderung des Bezugsrahmens variabel (es sei denn, was nicht möglich ist, ist nur dann möglich, wenn Die Masse ist Null.) Die überprüften Eigenschaften sind möglicherweise in anderen Repositorys nicht gültig. Durch diese Wahl eines Parameters, der für seinen Bezugsrahmen spezifisch ist, hat der Beobachter Schwierigkeiten, auf allgemeine Eigenschaften bezüglich des sich bewegenden Körpers zuzugreifen.  M.((vs.t;;x((t);;y((t);;z((t)){\ displaystyle \ M (ct; x (t); y (t); z (t))} V.((vs.;;x˙;;y˙;;z˙){\ displaystyle \ V (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1- -v2vs.2{\ displaystyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}

Gleichzeitigkeit

Der Begriff der Orthogonalität ist wichtig in Minkowski - Raum, weil das orthogonale Komplement der Richtung (Tangens) eine Universums Linie an einem Punkt p eine dreidimensionale „Ebene“ ist enthalten , um all Ereignisse simultan auf das Ereignis. P .

In der Tat ist per Definition der Orthogonalität das „orthogonale Komplement der richtigen Zeit dieser Universumslinie“ am Punkt p die Menge von Ereignissen, die im galiläischen Bezugsrahmen, der die Universumslinie tangiert, keine Zeitkomponente haben ( ) . Diese Ereignisse finden daher "zum gleichen Zeitpunkt" statt wie das Ereignis p auf dieser Universumslinie. Dieser dreidimensionale Raum wird als Gleichzeitigkeitsebene für dieses Ereignis auf dieser Universumslinie bezeichnet. Δτ=0{\ displaystyle \ Delta \ tau = 0}

Es ist nicht möglich, das orthogonale Komplement eines einfachen Punktes (Ereignisses) p zu nehmen, ohne seine Universumslinie und damit seine Geschwindigkeit zuzuordnen. Dies zeigt deutlich, dass - in der speziellen Relativitätstheorie - der Begriff der Gleichzeitigkeit von der Geschwindigkeit abhängt.

Quadrivektoren

Ein Quadrivektor ist ein Vektor mit vier Koordinaten, die mit dem gewählten Referenzrahmen verknüpft sind, dessen Pseudonorm jedoch unabhängig vom Referenzrahmen ist. Wir sagen, dass die Pseudonorm eines Quadrivektors eine relativistische Invariante ist .  beim{\ displaystyle \ a} ((beim0;;beim1;;beim2;;beim3){\ displaystyle \ (a ^ {0}; a ^ {1}; a ^ {2}; a ^ {3})} ((beim0)2- -((beim1)2- -((beim2)2- -((beim3)2{\ displaystyle \ \ left (a ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (a ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (a ^ {2} \ right) ^ {2 } - \ left (a ^ {3} \ right) ^ {2}}

Quad-Geschwindigkeit

Die Vierfachgeschwindigkeit ist ein Quadrivektor, der den Begriff des Geschwindigkeitsvektors im Minkowski-Raum erweitert. Dieser Vektor tangiert die Linie des Universums am Punkt der betrachteten Raumzeit und ist auf die Zukunft gerichtet. Seine Pseudonorm hängt nicht von dem Referenzrahmen ab, der zum Ausdrücken seiner Koordinaten gewählt wurde.

Fall eines massiven Körpers

Um die Eigenschaften der Bewegung des massiven Körpers zu bestimmen, die in anderen als seinen eigenen Referenzrahmen gültig bleiben, muss der Beobachter einen Parameter wählen, der von einem Referenzrahmen zum anderen unverändert bleibt: die richtige Zeit des sich bewegenden Körpers. Es ist für den Betrachter nicht leicht zugänglich, aber seine Definition ermöglicht es zu schreiben, wo die Raumgeschwindigkeit auf klassische Weise berechnet wird. Was zeigt also, dass die richtige Zeit in jedem Bezugsrahmen durch klassische Messungen und einige Berechnungen erhalten werden kann .  τ{\ displaystyle \ \ tau}dτ=dt.1- -v2vs.2{\ displaystyle d \ tau = dt. {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v{\ displaystyle \ v}Δτ=∫t1t21- -v2((t)vs.2dt.{\ displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}} }}} dt \ ;.}

Durch Parametrieren durch haben wir und . Wir stellen fest, dass so definierte die Dimension einer Geschwindigkeit haben.  τ{\ displaystyle \ \ tau} M.((x0((τ);;x1((τ);;x2((τ);;x3((τ)){\ displaystyle \ M (x ^ {0} (\ tau); x ^ {1} (\ tau); x ^ {2} (\ tau); x ^ {3} (\ tau))} V.((dx0dτ;;dx1dτ;;dx2dτ;;dx3dτ)=V.((V.0;;V.1;;V.2;;V.3){\ displaystyle \ V \ left ({\ frac {dx ^ {0}} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {1}} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {2 }} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {3}} {d \ tau}} \ right) = V \ left (V ^ {0}; V ^ {1}; V ^ {2} ; V ^ {3} \ right)} V.ich{\ displaystyle \ V ^ {i}}

Gleichheit führt zu , das heißt . Die so betrachtete Geschwindigkeit ist durch Änderung des Bezugsrahmens von invarianter Pseudonorm: Es ist ein Quadrivektor.  vs.2dτ2=vs.2dt2- -dx2- -dy2- -dz2{\ displaystyle \ c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}((V.0)2- -((V.1)2- -((V.2)2- -((V.3)2=vs.2{\ displaystyle \ left (V ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {2} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {3} \ right) ^ {2} = c ^ {2}} V.2=V.ich.V.ich=vs.2{\ displaystyle \ V ^ {2} = V ^ {i} .V_ {i} = c ^ {2}}

Durch die Beziehung zwischen und zeigen wir, dass in dem Wissen, dass ein freier Körper in einem trägen Bezugssystem mit einer (klassischen :) konstanten Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit t ausgestattet ist, dies für seine vier Geschwindigkeiten relativ zum gleich ist saubere Zeit .  dt{\ displaystyle \ dt} dτ{\ displaystyle \ d \ tau} V.((V.0;;V.1;;V.2;;V.3)=11- -v2vs.2((vs.;;x˙;;y˙;;z˙)=γ.((vs.;;v→){\ displaystyle \ V \ left (V ^ {0}; V ^ {1}; V ^ {2}; V ^ {3} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}}) = \ gamma. ( c; {\ vec {v}}) \;}v→((x˙;;y˙;;z˙){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})} V.{\ displaystyle \ V}τ{\ displaystyle \ tau}

Fall eines Körpers ohne Masse

Ein Teilchen mit einer Masse von Null hat eine Geschwindigkeit (klassisch), die der Lichtgeschwindigkeit entspricht: In diesem Fall ist die Pseudonorm von gleich , es ist daher ein Quadri-Vektor: Die für einen massiven Körper festgelegten Gleichheiten müssen nicht sein es für einen Körper ohne Masse und kann es auch nicht, da die richtige Zeit für diesen Körper Null ist ( ).  v=vs..{\ displaystyle \ v = c \ ;.}((vs.;;x˙;;y˙;;z˙){\ displaystyle (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1- -v2vs.2=0{\ displaystyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} = 0 \;} dτ=1- -v2vs.2.dt=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ d \ tau = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}. dt = 0 \;}

Im allgemeinen Gleichheit zeigt , dass jeder Parameter der körpereigenen Bahnkurve gewählt werden kann , um festgelegt , da die „  Geschwindigkeit  “ , damit ein konstanten pseudo-Standard (Null) erhalten werden , und daher ist ein Vier-Vektor: .  vs.2dt2- -dx2- -dy2- -dz2=0{\ displaystyle \ c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = 0} λ{\ displaystyle \ \ lambda}V.=dM.dλ{\ displaystyle \ scriptstyle V = {\ frac {dM} {d \ lambda}}}V.ich.V.ich=((vs.dtdλ)2- -((dxdλ)2- -((dydλ)2- -((dzdλ)2=0{\ displaystyle \ scriptstyle V ^ {i} .V_ {i} = \ left ({\ frac {cdt} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} = 0}

Quad-Impuls Fall eines massiven Körpers

Wie der klassische Impuls oder Impuls definieren wir den Quadri-Impuls , der ein Quadrivektor ist, weil er durch einen Koeffizienten, der durch Änderung des Bezugsrahmens ( m , die Masse ) invariant ist, proportional zur Viergeschwindigkeit ist . Wenn der Körper frei ist, ist sein Vierimpuls konstant, ebenso wie sein Viergang.  P.=m.V.{\ displaystyle \ P = mV}

Wir stellen fest, welche die Dimension einer Energie hat , und . Wir haben , woraus wir ableiten , was wir schreiben können . Diese Gleichheit zeigt , dass hat kein Maximum, hat aber als Minimum , Energie in Ruhe oder Energie der Masse . Darüber hinaus ist die Annäherung bei niedrigeren Geschwindigkeiten vor c gibt die zeigen , dass die Rolle der Gesamtenergie des Körpers in der speziellen Relativitätstheorie (Energie in Ruhe + kinetische Energie ) spielt , relativ zu dem Rahmen des Beobachters des Hinweises, wie durch Anwesenheit angegebene der klassischen Geschwindigkeit in der Gleichheit von .  E.=vs..P.0{\ displaystyle \ E = cP ^ {0}}p→=((P.1;;P.2;;P.3){\ displaystyle {\ vec {p}} = \ left (P ^ {1}; P ^ {2}; P ^ {3} \ right)} P.2=P.ich.P.ich=m2.vs.2{\ displaystyle \ P ^ {2} = P ^ {i} .P_ {i} = m ^ {2} .c ^ {2}} m2.vs.4=E.2- -p2.vs.2{\ displaystyle \ m ^ {2} .c ^ {4} = E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2}} E.2=p2.vs.2+m2.vs.4{\ displaystyle \ E ^ {2} = p ^ {2} .c ^ {2} + m ^ {2} .c ^ {4}} E.{\ displaystyle \ E} E.0=mvs.2{\ displaystyle \ E_ {0} = mc ^ {2}} E.=mvs.21- -v2vs.2≈mvs.2+12mv2,{\ displaystyle \ E = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ ca. mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ ;,} E.{\ displaystyle \ E} v{\ displaystyle \ v} E.{\ displaystyle \ E}

Anhand der aufgedeckten Definitionen und Gleichheiten können wir dies zeigen . Diese von der Masse unabhängige Gleichheit (obwohl bisher angenommen wurde, dass sie nicht Null ist) zeigt, dass wenn dann , was sicherstellt, dass die Masse des Körpers Null ist: Ein Körper mit der Lichtgeschwindigkeit muss notwendigerweise eine Masse von Null haben.  E..v→=p→.vs.2{\ displaystyle \ E. {\ vec {v}} = {\ vec {p}}. c ^ {2}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}E.2- -p2.vs.2=0{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2} = 0}

Fall eines Körpers ohne Masse

Wenn wir die Viergeschwindigkeit eines Körpers mit einer Masse von Null mit seiner Masse (Null) multiplizieren, erhält man einen Vierimpuls von Null: Die Energie eines solchen Körpers wäre ebenso wie sein Impuls Null. Das einfachste Experiment (in der Sonne erhitzt) zeigt jedoch, dass Licht Energie trägt: Ein Quadri-Impuls ungleich Null muss definierbar sein. Angenommen, dieser bekannte Vierimpuls : . Für diesen quadrivector mit dem Rest der Theorie in Einklang zu sein, muss seine pseudo-Norm Gleichheit geben , deshalb , die Gleichheit ist für . Ein Körper mit einer Masse von Null muss daher notwendigerweise mit Lichtgeschwindigkeit ausgestattet sein. Was das Licht betrifft, so erfordert sein Wissen eingehendere Arbeiten in Bezug auf es, als elektromagnetische Welle in der relativistischen Physik oder als Photon in der Quantenphysik . Die anderen Teilchen mit der Masse Null fallen unter die letztere Theorie. ((E.vs.;;p→){\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}}; {\ vec {p}} \ right)}E.2- -p2.vs.2=m2vs.4=0{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} = 0} E.=p.vs.{\ displaystyle \ E = pc} E..v=p.vs.2{\ displaystyle \ Ev = pc ^ {2}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}

Quadri-Kraft

Die Quadri-Kraft ist definiert durch . Es ist gleich , wo ist die Quadri-Beschleunigung definiert durch .  F.{\ displaystyle \ F} F.=dP.dτ{\ displaystyle \ F = {\ frac {dP} {d \ tau}}} m.BEIM{\ displaystyle \ mA} BEIM{\ displaystyle \ A} BEIM=dV.dτ{\ displaystyle \ A = {\ frac {dV} {d \ tau}}}

Die Gleichheit führt durch Ableitung durch , dass die beiden Quadrivektoren orthogonal sind. Dies ermöglicht es, nach einigen algebraischen Manipulationen zu schreiben, indem wir die Beziehung zwischen und und die zwischen definieren und verwenden , und wir erhalten die Beziehung, die als relativistischer Ausdruck des kinetischen Energiesatzes interpretiert wird .  P.2=P.ich.P.ich=m2.vs.2{\ displaystyle \ P ^ {2} = P ^ {i} .P_ {i} = m ^ {2} .c ^ {2} \;}τ{\ displaystyle \ tau} P.ich. F.ich=0::{\ displaystyle \ P ^ {i}. \ F_ {i} = 0 \ ;:}
dE.dτ.E.mvs.2=∑k=13F.k.V.k.{\ displaystyle {\ frac {dE} {d \ tau}}. {\ frac {E} {mc ^ {2}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} F ^ {k} .V ^ {k} \ ;.}p→=((P.1;;P.2;;P.3)=mv→1- -v2vs.2,{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ left (P ^ {1}; P ^ {2}; P ^ {3} \ right) = {\ frac {m {\ vec {v}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \;} f→=dp→dt,{\ displaystyle {\ vec {f}} = {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} \ ;,} dt{\ displaystyle \ dt} dτ{\ displaystyle \ d \ tau} E.{\ displaystyle \ E} mvs.2,{\ displaystyle \ mc ^ {2} \ ;,}dE.dt=f→.v→{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = {\ vec {f}}. {\ vec {v}} \;}

Tensoren

Ein Tensor der Ordnung n des Minkowski-Raums ist eine Größe, die durch seine Koordinaten lokalisiert ist und deren Komponenten während einer Änderung des Referenzrahmens linear von den Koordinaten abhängen. Diese lineare Abhängigkeit macht es möglich, dass eine in einem bestimmten Referenzrahmen festgelegte Tensorgleichheit eine echte Gleichheit in jedem Referenzrahmen ist.  ((x0;;x1;;x2;;x3){\ displaystyle \ (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})} 4nicht{\ displaystyle \ 4 ^ {n}}

Die Tensoren der Ordnung 0 sind die Konstanten wie die Masse des Körpers, seine elektrische Ladung , die Lichtgeschwindigkeit, die Pseudonorm eines Quadrivektors. Die Tensoren der Ordnung 1 sind die Quadrivektoren. Tensoren der Ordnung 2 sind beispielsweise der metrische Tensor , der elektromagnetische Tensor .

Die Verwendung des elektromagnetischen Tensors im Minkowski-Raum ist die synthetischste Methode, um die Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes in einer speziellen Relativitätstheorie auszudrücken .

Verallgemeinerung auf jede Dimension

Im Rahmen der Lorentzschen Geometrie definieren wir einen Minkowski-Raum der Dimension n als einen affinen Raum, der mit einer quadratischen Signaturform (+, -, -, ..., -) versehen ist.

Anmerkungen und Referenzen

1. Roger Penrose , Der Weg zur Realität , Vintage Books Edition, 2007. S. 404-412.
2. Aussehen, Bouchet, Brunet et al. 2005 , p.  271, 276 und 278.
3. Choquet-Bruhat 2014 , p.  40.
4. Damour 2007 .
5. Gourgoulhon 2010 , p.  XIX .
6. Bracco und Provost 2009 , §  1 .
7. Gourgoulhon 2013 , p.  26.
8. (fr) Henri Poincaré und konventionelle Raumzeit von Scott A. Walter von der Universität Nantes und dem Centre François Viète (EA 1161).
9. Gourgoulhon 2010 , p.  24.
10. Gourgoulhon 2013 , p.  27.
11. Gourgoulhon 2010 , p.  2.
12. Gourgoulhon 2010 , p.  3.
13. Mit Unterschrift ((+;;- -;;- -;;- -){\ displaystyle (+; -; - ;-)}
14. Es entspricht nicht der mathematischen Definition der Distanz , spielt jedoch eine ähnliche Rolle wie die Distanz im euklidischen affinen Raum.
15. Unter der Pseudo-Metrik, der bilinearen Form und der Pseudo-Norm sind auch die beiden anderen invariant, wenn eine durch eine Raumtransformation invariant bleibt.
16. Die Konvention entspricht der in den angelsächsischen Texten getroffenen Wahl; Die Konvention entspricht beispielsweise der Wahl, die in den berühmten pädagogischen Texten von Lev Landau getroffen wurde. Diese letzte Wahl wird von Roger Penrose als "physikalischer" angesehen, da die Metrik für zeitliche Universumslinien positiv ist , die die einzigen sind, die für massive Teilchen zugelassen sind. ((- -;;+;;+;;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} ((+;;- -;;- -;;- -){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
17. Jean Parizot, Die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie , Ellipse-Ausgaben, 2008, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) . § 2.3.3 Kausalität, Gleichzeitigkeit , Seite 34.
18. Einige Autoren bevorzugen die Parametrierung anstelle von , und die Quad-Geschwindigkeit ist dann dimensionslos. vs..τ{\ displaystyle \ c. \ tau} τ{\ displaystyle \ \ tau}
19. Diese Gleichheit kann als Definition der Viergeschwindigkeit genommen werden: Die Pseudonorm des Seins , die Pseudonorm von ist gleich c , ist also eine vom Bezugsrahmen unabhängige Konstante, wir haben dann einen Quad-Vektor .((vs.;;x˙;;y˙;;z˙){\ displaystyle (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1- -v2vs.2{\ displaystyle \ scriptscriptstyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}11- -v2vs.2((vs.;;x˙;;y˙;;z˙){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} (c; {\ dot {x}}; { \ dot {y}}; {\ dot {z}})}
20. In Abwesenheit eines elektromagnetischen Feldes und elektrischer Ladung im Körper: Andernfalls wird in der Definition von ein Begriff hinzugefügtP.0{\ displaystyle P ^ {0}}

Siehe auch

Literaturverzeichnis

• [Aspect, Bouchet, Brunet et al. 2005] Alain Aspect , François Bouchet , Éric Brunet et al. (Vorwort von Michèle Leduc und Michel Le Bellac), Einstein heute , Les Ulis und Paris, EDV-Wissenschaften und CNRS Éditions , Slg.  "Aktuelles Wissen / Physik",Januar 2005, 1 st  ed. 1 Vol., VIII -417  p. , 15 × 23  cm ( ISBN  2-271-06311-6 , 978-2-271-06311-3 , 2-86883-768-9 und 978-2-86883-768-4 , Hinweis BnF n o  FRBNF39916190 , SUDOC  083929657 , Online-Präsentation , online lesen ).
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• Freizeit
• Minkowski-Diagramm
• Relativität

Externe Links

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