In der Mathematik ist ein Endomorphismus ein Morphismus (oder Homomorphismus) eines mathematischen Objekts in sich. So ist beispielsweise ein Endomorphismus des Vektorraums E eine lineare Abbildung f : E → E , und ein Endomorphismus der Gruppe G ist ein Morphismus der Gruppen f : G → G usw. Im Allgemeinen können wir von Endomorphismus jeder Kategorie sprechen .
Bei einem Objekt X der Kategorie C und zwei Endomorphismen f und g von X (daher vom Typ X → X ) ist die mit f ∘ g bezeichnete Verbindung von g durch f auch ein Endomorphismus von X (sie hat auch den Typ X. → X ). Da die Identitätskarte von X auch ein Endomorphismus von X ist , sehen wir, dass die Menge aller Endomorphismen von X ein Monoid bildet , das als Ende bezeichnet wirdC ( X ) oder einfach Ende ( X ), wenn die Kategorie bekannt ist.
In vielen Situationen ist es möglich, Endomorphismen hinzuzufügen, und mit der Zusammensetzung der Anwendungen bilden die Endomorphismen eines gegebenen Objekts einen Ring , der als Ring der Endomorphismen (en) des Objekts bezeichnet wird. Dies ist beispielsweise in den Kategorien abelscher Gruppen , den Modulen , den Vektorräumen und allgemeiner in allen voradditiven Kategorien (in) möglich .
Ein Isomorphismus ist ein Morphismus, der einen wechselseitigen Morphismus aufweist.
Ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus ist, wird Automorphismus genannt .
Wir haben daher folgende Implikationen:
| Automorphismus | ⇒ | Isomorphismus |
| ⇓ | ⇓ | |
| Endomorphismus | ⇒ | (Homo-) Morphismus |