Bivector

In der Algebra bezeichnet der Begriff Bivektor einen antisymmetrischen Tensor der Ordnung 2, d. H. Eine Größe X, die geschrieben werden kann

{\ displaystyle {\ mathbf {X}} = X_ {ab} {\ mathbf {\ omega}} ^ {a} \ wedge {\ mathbf {\ omega}} ^ {b}}

wobei die Mengen & ohgr; a sind lineare Formen und das Zeichen bezeichnet das äußere Produkt . $\ Keil$

Ein Bivektor kann als lineare Anwendung angesehen werden, die auf Vektoren einwirkt und diese in lineare Formen umwandelt. Die X ab -Koeffizienten können als eine antisymmetrische Matrix bildend angesehen werden .

Bivektoren werden häufig in der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet , wo mehrere Tensoren mit Bivektoren verknüpft werden können. Insbesondere ist der elektromagnetische Tensor ein Bivektor, und der Weyl-Tensor kann als eine Anwendung angesehen werden, die auf die Bivektoren einwirkt. Diese Tatsache ist auch der Grund für eine Klassifizierung der verschiedenen Räume nach den Merkmalen, die ihr Weyl-Tensor in diesem Zusammenhang aufweist: Es geht um die Klassifizierung von Petrov .

Verschiedene Definitionen

Einzelbivektor

Ein Bivektor X wird als einfach bezeichnet, wenn er in Form des äußeren Produkts zweier linearer Formen u und v ausgedrückt werden kann , d. H. Wenn wir haben

{\ displaystyle {\ mathbf {X}} = {\ mathbf {u}} \ wedge {\ mathbf {v}}}

oder in Bezug auf Komponenten,

{\ displaystyle X_ {ab} = {\ frac {1} {2}} \ left (u_ {a} v_ {b} -v_ {a} u_ {b} \ right).}

Im Fall einer einfachen Form wird die Größe entsprechend ihrem Wert als Zeittyp, Raumtyp oder Lichttyp bezeichnet (jeweils positiv, negativ und Null, wenn die Vorzeichenkonvention der Metrik (- +) ist + +) bzw. negativ, positiv und null im Fall der inversen Konvention (+ ---)). ${\ displaystyle X_ {ab} X ^ {ab}}$

Doppelbivektor

In einem vierdimensionalen Raum, in dem eine Riemannsche Metrik definiert ist , können wir den Levi-Civita-Tensor verwenden, um einen Bivektor mit seinem gemäß der Formel angegebenen Doppelbivektor zu verknüpfen ${{\ mathbf {X}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}}}$

{\ displaystyle {\ tilde {X}} _ {ab} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {abcd} X ^ {cd}}

Das Dual eines Dual-Bivektors entspricht dem Vorzeichen, das dem ursprünglichen Vektor am nächsten liegt:

{\ displaystyle \ left ({\ tilde {X}} _ {ab} \ right) {} {\ tilde {}} = - X_ {ab}}

Zwei Bivektoren X und Y erfüllen mit Hilfe ihrer Doppelbivektoren einige Eigenschaften wie

{\ displaystyle X_ {ab} {\ tilde {Y}} ^ {ab} = {\ tilde {X}} _ {ab} Y ^ {ab}}

{\ displaystyle X_ {ac} Y_ {b} {} ^ {c} - {\ tilde {X}} _ {bc} {\ tilde {Y}} _ {a} ^ {c} = {\ frac {1 } {2}} g_ {ab} X_ {cd} Y ^ {cd}}

Autodual Bivector

Ein komplexer Bivektor wird als automatisch bezeichnet, wenn er zufriedenstellend ist

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} = - i {\ mathbf {X}}}

Jeder X- Bivektor kann einem automatischen X * -Bivektor zugeordnet werden, indem er gemäß der Formel mit seinem Dual kombiniert wird

{\ displaystyle {\ mathbf {X}} ^ {*} = {\ mathbf {X}} + i {\ tilde {\ mathbf {X}}}}

Komplexer dreidimensionaler Vektor, der einem Bivektor zugeordnet ist

Die physikalische Bedeutung eines autodualen Bivektors zeigt sich darin, dass die sechs unabhängigen Komponenten eines realen Bivektors in einen komplexen dreidimensionalen Vektor umgewandelt werden können. Dazu genügt es, einen Vektor der Art Zeit u zu wählen und die Größe X a durch zu definieren

{\ displaystyle X_ {a} = X_ {ab} ^ {*} u ^ {b}}

Eine einfache Berechnung ermöglicht es sofort, den ursprünglichen Bivektor durch wiederherzustellen

{\ displaystyle X_ {ab} ^ {*} = 2u _ {[a} X_ {b]} + i \ epsilon _ {abcd} u ^ {c} X ^ {d} = 2 \ left (u _ {[ a} X_ {b]} \ right) ^ {*}}

Ein Beispiel: der elektromagnetische Tensor

Der elektromagnetische Tensor ist ein antisymmetrischer Tensor der Ordnung 2. Er ist daher ein Bivektor. Der nach dem obigen Verfahren berechnete Vektor X ergibt

{\ displaystyle X ^ {j} = E ^ {j} -icB ^ {j}}

Referenz

(en) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum und E. Herlt , Exakte Lösungen von Einsteins Feldgleichungen , Cambridge, Cambridge University Press ,1980428 p. ( ISBN 0521230411 ), Seiten 47 bis 49.

Hinweis

In vielen Referenzen wird das Dual im Sinne von Hodge mit einem Sternchen und nicht mit einem "~" gekennzeichnet. Bei Bivektoren ist das Sternchen jedoch für den automatischen Bivektor reserviert. Somit entspricht die im Artikel elektromagnetischer Tensor angegebene Menge F * der Menge . ${\ displaystyle {\ tilde {F}}}$