Die Maxwell-Gleichungen , auch Maxwell-Lorentz-Gleichungen genannt, sind grundlegende Gesetze der Physik . Sie bilden die Basis - Postulate von Elektromagnetismus , mit dem Ausdruck der elektromagnetischen Kraft von Lorentz .
Diese Gleichungen übersetzen in lokaler Form verschiedene Theoreme ( Gauss , Ampère , Faraday ), die den Elektromagnetismus beherrschten, bevor Maxwell sie in Form von Integralgleichungen vereinte . Damit geben sie dem grundlegenden Konzept des Feldes, das in den 1830er Jahren von Faraday in die Physik eingeführt wurde , einen präzisen mathematischen Rahmen .
Diese Gleichungen zeigen insbesondere, dass im stationären Zustand die elektrischen und magnetischen Felder unabhängig voneinander sind, während sie sich nicht in einem variablen Regime befinden. Im allgemeinsten Fall müssen wir daher vom elektromagnetischen Feld sprechen, wobei die elektrisch-magnetische Dichotomie eine Ansicht des Geistes ist. Dieser Aspekt findet seine endgültige Formulierung in dem im zweiten Teil dieses Artikels vorgestellten kovarianten Formalismus : Das elektromagnetische Feld wird dort durch ein einziges mathematisches Objekt repräsentiert, den elektromagnetischen Tensor , von dem einige Komponenten mit denen des elektrischen Felds und andere identifiziert werden . denen des Magnetfeldes .
Die Maxwell-Gleichungen sind ein Satz von vier gekoppelten partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:
Diese Maxwell-"Korrektur" des Ampèreschen Theorems ist besonders wichtig: Sie bedeutet, dass die Variation eines magnetischen Feldes ein elektrisches Feld erzeugt und dass die Variation eines elektrischen Feldes ein magnetisches Feld erzeugt. Daher erlauben diese Gleichungen die Zirkulation von sich selbst erhaltenden elektromagnetischen Wellen oder „ elektromagnetischen Strahlungen “.
Die berechnete Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen, die durch Experimente zu Ladungen und Strömen vorhergesagt werden konnte, entspricht genau der Lichtgeschwindigkeit . Dies liegt daran, dass Licht eine Form elektromagnetischer Strahlung ist (genau wie Röntgenstrahlen , Radiowellen usw.). Maxwell verstand 1864 die Beziehung zwischen elektromagnetischer Strahlung und Licht und vereinte zwei bisher unzusammenhängende Felder: das des Elektromagnetismus und das der Optik .
Um 1865 schuf Maxwell eine harmonische Synthese der verschiedenen experimentellen Gesetze, die von seinen Vorgängern entdeckt wurden (Gesetze der Elektrostatik , Magnetismus , Induktion usw.). Aber diese Synthese war nur möglich, weil Maxwell über die Arbeit seiner Vorgänger hinausgehen konnte, indem er in eine Gleichung ein "fehlendes Glied", den sogenannten Verschiebungsstrom , einführte , dessen Anwesenheit die Kohärenz des einheitlichen Gebäudes gewährleistet.
Maxwell veröffentlichte seine Theorie erstmals 1865 in Form von zwanzig Gleichungen mit zwanzig Unbekannten, geschrieben mit Quaternionen . Bereits 1873 hatte Maxwell in dem zweibändigen Werk A Treatise on Electricity and Magnetism seine Theorie in Form von acht Gleichungen umgeschrieben. Erst später, im Jahr 1884, schrieb Oliver Heaviside diese Gleichungen in Form von vier Vektorgleichungen mit heute bekannten partiellen Ableitungen um.
Heute reduzieren sich die vier (Vektor-)Gleichungen von Maxwell auf nur zwei Tensorgleichungen oder sogar eine einzige Multivektorgleichung in der geometrischen Algebra .
Maxwells Synthese ermöglichte später die beiden größten Fortschritte in der modernen Physik:
Im Folgenden stellen wir die grundlegende mikroskopische Theorie vor, die die Maxwell-Lorentz-Gleichungen im Vakuum in Gegenwart von Quellen liefert , die Punktladungen und / oder die zugehörigen mikroskopischen elektrischen Ströme sein können, wenn diese Ladungen im Referenzsystem in Bewegung sind.
Die makroskopische Theorie, die die Einführung der D- und H- Felder (und der zugehörigen Maxwell-Gleichungen) erfordert, wird ausführlich in Elektrodynamik kontinuierlicher Medien diskutiert .
Wir bemerken :
In dieser Gleichung verwenden wir den Operator nabla , notiert :, dessen Ausdruck wir in kartesischen Koordinaten schreiben können mit
∇→=∂∂xe→x+∂∂jae→ja+∂∂ze→z.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ partiell} {\ partielle x}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ frac {\ partielle} {\ partielle y}} {\ vec {e}} _ {y} + {\ frac {\ partiell} {\ partielle z}} {\ vec {e}} _ {z}.} Diese lokale Gleichung gibt die Divergenz des elektrischen Feldes als Funktion der Dichte der elektrischen Ladung an: ∇→⋅E→=ρε0beimdusosoichnichtÖte´edivE→=ρε0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ mathrm {auch \; nicht {\ akute { e}} e} \ quad \ Operatorname {div} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.} Diese Gleichung entspricht einem "Quellterm": Die elektrische Ladungsdichte ist eine Quelle des elektrischen Feldes. Zum Beispiel für eine im Ursprung fixierte Punktladung , das Coulomb-Gesetz , das das elektrostatische Feld an einem Punkt im Raum angibt, Punkt, der durch den Positionsvektor identifiziert wird, wo der radiale Einheitsvektor ist und der geschrieben wird: E→(M)=q4πε0r2du→r.{\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ vec {u}} _ {r}.} Dieses elektrostatische Feld verifiziert die Maxwell-Gauss-Gleichung für die statische Quelle, d.h. ρ(x→,t)=qδ3(x→),{\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t) = q \ delta ^ {3} ({\ vec {x}}),} wo ist die Dirac-Verteilung im dreidimensionalen Raum. Satz von GaußsDer Satz von Gauß ist die Integralform der Maxwell-Gauss-Gleichung. Er behauptet, dass der Fluss des permanenten elektrischen Feldes durch eine geschlossene Gaußsche Fläche , orientiert nach der ausgehenden Normalen, gleich dem Verhältnis der in dem von der Fläche begrenzten Volumen enthaltenen Ladung und der Permittivität des Vakuums ist:
∮ΣE→⋅dS→=1ε0∫Vρdτ=Qichnichttε0.{\ displaystyle \ oint _ {\ Sigma} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V}\rho\mathrm{d}\tau = {\frac{Q_{\mathrm{int}}} {\varepsilon_{0}}}.} Beachten Sie, dass die Maxwell-Gauss-Gleichung leicht gefunden werden kann, indem man den Satz von Ostrogradski auf den Satz von Gauß anwendet und ein infinitesimales Volumen nimmt.Diese Gleichung wird auch Maxwell-Fluss-Gleichung genannt ; es drückt aus, dass der Fluss des Magnetfeldes durch eine
geschlossene Fläche immer Null ist: ∮ΣB→⋅dS→=0.{\ displaystyle \ anint _ {\ Sigma} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = 0.} Diese Gleichung ist die Integralform der lokalen Maxwell-Gleichung, und wir gehen von einer zur anderen über, indem wir den Satz von Ostrogradski anwenden . Lokale Maxwell-GleichungDiese lokale Gleichung ist für das magnetische Feld das, was die Maxwell-Gauss-Gleichung für das elektrische Feld ist, nämlich eine Gleichung mit "Quellterm", hier identisch Null:
∇→⋅B→=0beimdusosoichnichtÖte´edivB→=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0 \ quad \ mathrm {auch \; nicht {\ akute {e}} e} \ quad \ Operatorname {div} {\ vec {B}} = 0.} Es spiegelt die folgende experimentelle Tatsache wider: Es gibt keinen magnetischen Monopol. Ein magnetischer Monopol wäre eine punktförmige Quelle eines Magnetfelds, analog zur punktförmigen elektrischen Ladung für das elektrische Feld. Die grundlegende Objektquelle eines Magnetfelds ist jedoch der Magnet , der sich wie ein magnetischer Dipol verhält : Ein Magnet hat tatsächlich einen Nordpol und einen Südpol. Das grundlegende Experiment, einen Magneten zu halbieren, führt zu zwei Magneten, nicht einem Nordpol und einem Südpol getrennt. Einführung des VektorpotentialsDie Vektoranalyse zeigt , dass die Divergenz einer Rotation für jedes unspezifizierte Feld immer gleich Null ist , dh . Umgekehrt kann jedes Vektorfeld, dessen Divergenz identisch Null ist, lokal als Rotation ausgedrückt werden. Die lokale magnetische Flusserhaltungsgleichung ermöglicht es daher, zumindest lokal einen Potentialvektor zu definieren wie:
B→=∇→×BEIM→.{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ mal {\ vec {A}}.} Das wichtige Problem der Eindeutigkeit des Vektorpotentials wird im Artikel Eichinvarianz der Theorie diskutiert .Diese lokale Gleichung spiegelt das von
Faraday entdeckte fundamentale Phänomen der elektromagnetischen Induktion wider . Die lokale GleichungSie gibt die Drehung des elektrischen Feldes als Funktion der zeitlichen Ableitung des magnetischen Feldes an:
∇→∧E→=-∂B→∂tbeimdusosoichnichtÖte´erÖt→E→=-∂B→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ Keil {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partielle {\ vec {B}}} {\ partielle t}} \ quad \ mathrm {auch \; nicht {\ akute {e}} e} \ quad \ Operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partiell {\ vec {B}}} {\ partielle t}} .} Diese Gleichung zeigt an, dass die Variation des Magnetfelds ein elektrisches Feld erzeugt. Integralform: Faradaysches GesetzDie Integralform der lokalen Gleichung ist nach dem Satz von
Stokes gegeben durch: ∮VSE→⋅dl→=-ddt(∫SB→⋅dS→).{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left (\ int _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} \ right).} Dies ist das Faradaysche Gesetz , das auch geschrieben steht: e=-dΦdt{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}}} oder:Die Vektoranalyse zeigt, dass die Krümmung eines Gradienten immer gleich Null ist. Für jedes Skalarfeld :
∇→×(∇→F)=0→.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ mal ({\ vec {\ nabla}} F) = {\ vec {0}}.} Die Maxwell-Faraday-Gleichung in Verbindung mit der lokalen Existenz eines Potentialvektors ermöglicht es (zumindest lokal) das elektrische Potential (Skalar) zu definieren wie: E→=-∇→V-∂BEIM→∂t.{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V - {\ frac {\ partielle {\ vec {A}}} {\ partielle t}}.} Das wichtige Problem der Eindeutigkeit des elektrischen Potentials wird in der Gauge Invariance Theory diskutiert .Diese Gleichung wird vom Satz von
Ampère geerbt . In lokaler Form wird es in Bezug auf den aktuellen Dichtevektor geschrieben : ∇→×B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂tbeimdusosoichnichtÖte´erÖt→B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ mal {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partiell {\ vec {E}}} {\ partiell t}} \ quad \ mathrm {auch \; nicht {\ akute {e}} e} \ quad \ Operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partielle {\ vec {E}}} {\ partielle t }}} Einführung von VerschiebungsstromDie vorherige Gleichung kann umgeschrieben werden
∇→×B→=μ0(ȷ→+ȷ→D),{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ mal {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ jmath}} + {\ vec {\ jmath}} _ {D } \ Recht),} durch Einführung des Maxwell- Verschiebungsstroms ȷ→D=ε0∂E→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {D} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partielle {\ vec {E}}} {\ partielle t}}.} Die integrale Form verknüpft die Zirkulation des magnetischen Feldes auf einer geschlossenen Kontur und die Ströme, die durch eine auf dieser Kontur aufliegende Fläche fließen. Dies ist eine direkte Konsequenz aus dem Satz von Green : ∮VSB→⋅dl→=μ0∫Sȷ→⋅dS→+ε0μ0∫S∂E→∂t⋅dS→.{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ overrightarrow {B}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}} = \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ vec { \ jmath}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ frac {\ partiell {\ vec {E }}} {\ partielle t}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}}.}Betrachten Sie die Divergenz der Maxwell-Ampere-Gleichung:
∇→⋅∇→×B→=0=μ0∇→⋅ȷ→+ε0μ0∇→⋅(∂E→∂t).{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ mal {\ vec {B}} = 0 = \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot { \ vec {\ jmath}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partielle {\ vec {E}}} {\ partielle t}} \ richtig).} Da die räumlichen und zeitlichen Ableitungen unabhängig sind, stellt der Satz von Schwarz sicher, dass man den Operator nabla und die zeitliche partielle Ableitung permutieren kann. Mit der Maxwell-Gauss-Gleichung kommt dann: ∇→⋅(∂E→∂t)=∂ ∂t(∇→⋅E→)=1ε0∂ρ∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partielle {\ vec {E}}} {\ partielle t}} \ right) = {\ frac {\ partielle ~} {\ partielles t}} \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} \ right) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ partielle \ rho} {\ partielles t}}.} Wir erhalten schließlich die lokale Erhaltungsgleichung der elektrischen Ladung: ∇→⋅j→+∂ρ∂t=0beimdusosoichnichtÖte´edivj→+∂ρ∂t=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} + {\ frac {\ partielle \ rho} {\ partielle t}}} = 0 \ quad \ mathrm {auch \; nicht {\ akute {e}} e} \ quad \ Operatorname {div} {\ vec {j}} + {\ frac {\ partiell \ rho} {\ partiell t}} = 0.} Das Vorhandensein des Verschiebungsstromterms , eingeführt von Maxwell, ist wesentlich, um diese Gleichung zu erhalten.Betrachten Sie die Rotation der Maxwell-Faraday-Gleichung, gegeben Maxwell-Gauss und Maxwell-Ampere:
,
entweder durch die Tatsache, dass die räumlichen und zeitlichen Ableitungen unabhängig sind
,
oder durch Reorganisation:
.
Dies zeigt, dass das elektrische Feld der Wellengleichung folgt .
Unter Berücksichtigung der Rotation der Maxwell-Ampere-Gleichung unter Berücksichtigung von Maxwell-Thomson und Maxwell-Faraday erhalten wir das äquivalente Ergebnis:
.
Dies zeigt, dass auch das Magnetfeld der Wellengleichung folgt.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ist gegeben durch:
.
Die Vektoranalyse zeigt, dass die Divergenz einer Locke immer gleich Null ist:
.Die lokale magnetische Flusserhaltungsgleichung ermöglicht es daher, zumindest lokal einen Potentialvektor zu definieren wie:
. |
Das sagt uns auch die Vektoranalyse
.Dann ist der Potentialvektor seit der folgenden Transformation nicht eindeutig definiert, mit jeder Funktion
ändert den Wert des Felds nicht . Dies ist ein Beispiel für eine Eichtransformation . Es ist daher notwendig, zusätzliche Bedingungen zu stellen, um eindeutig zu definieren . Dies wird als Eichzustand bezeichnet, zum Beispiel als Coulomb-Eichzustand oder allgemeiner als Lorenz-Eichzustand (siehe unten).
Wir können feststellen, dass der Potentialvektor in der klassischen Physik nur ein bequemes mathematisches Werkzeug zu sein scheint, um die Lösungen der Maxwell-Gleichungen zu analysieren, aber keine direkt messbare physikalische Größe zu sein . 1959 zeigten Aharonov und Bohm im Rahmen der Quantenphysik , dass das Vektorpotential einen beobachtbaren Effekt in der Quantenmechanik hat : es ist der Aharonov-Bohm-Effekt .
Die Maxwell-Faraday-Gleichung in Verbindung mit der lokalen Existenz eines Potentialvektors ermöglicht es (zumindest lokal) das elektrische Potential (Skalar) zu definieren wie:
. |
Das Potenzial selbst ist ebenfalls nicht eindeutig definiert, aber die Transformation von Eichmaß, die mit der von von verbunden und verbunden ist, ist wie folgt (wir erinnern uns der Klarheit halber an die von) und wir haben
.Diese beiden Gleichungen geben die volle Eichinvarianz der Maxwell-Gleichungen.
Wir setzen die Lorenz-Eichbedingung (die die beiden Potentiale koppelt):
.Nehmen wir die Maxwell-Ampere-Gleichung unter Berücksichtigung der Lorenz-Eichbedingung und des Ausdrucks von als Funktion der Potentiale und :
,.
Wir erhalten die Ausbreitungsgleichung des Vektorpotentials:
verwenden . Dito für das Skalarpotential:
,ist
Wir bemerken, dass die Lorenz-Eichung es ermöglicht, die Ausbreitungsgleichungen der Felder und zu entkoppeln : sie hängen jeweils nur von den Quellen und ab . Aus diesem Grund wird die Lorenz-Eichung häufig zur Untersuchung von Wellenphänomenen verwendet.
Die Ausdrücke der elektrischen und magnetischen Felder erhält man durch Integration der Liénard-Wichert-Gleichungen oder der Heaviside-Feynman -Gleichungen über den gesamten Raum .
Lassen Sie uns die Maxwell-Gleichungen im Raum lösen, möglicherweise begrenzt durch Bedingungen, die die Linearität beibehalten .
Lassen Sie uns Lösungen durch Buchstaben darstellen (Sätze von 6-Vektoren, die aus den sechs Komponenten des Feldes an einem beliebigen Koordinatenpunkt gebildet werden ). Wie im Vakuum sind die Gleichungen linear, wobei reelle Konstanten auch eine Lösung sind. Folglich ist die Menge der Lösungen der Maxwell-Gleichungen ein reeller Vektorraum.
Nach der in der Akustik eingeführten Definition ist eine Mode eine Richtung dieses Raumes. Ein vollständiges Lösungssystem bildet die Grundlage in diesem Raum, der manchmal Lösungsraum, manchmal Modusraum genannt wird. Eine besondere Lösung in einem Modus wird durch Multiplizieren eines Halbbildes dieses Modus, das als ein Halbbild der Amplitude Eins dargestellt ist, mit einer reellen Konstanten, der Amplitude, erhalten.
Mit einem geeigneten System von Einheiten, die Energie (zu einem bestimmten Zeitpunkt) eine Lösung , die ein integraler Bestandteil alle Raum erweitert, das Quadrat der Norm des Vektors in Bezug auf das übliche Punktprodukt. Es ist darauf zu achten, dass die Energie nicht linear von abhängt . Die Energie der Summe mehrerer Lösungen ist daher nicht a priori die Summe der Energien der verschiedenen Lösungen, die einzeln genommen werden. Dennoch ermöglicht es das Gram-Schmidt-Verfahren , aus einem vollständigen Lösungssystem ein vollständiges System orthogonaler Lösungen oder sogar ein vollständiges System orthogonaler Moden zu erhalten. In solchen Systemen sind die Energien unabhängig, dh die Energie einer Lösung ist gleich der Summe der Energien ihrer verschiedenen Komponenten im System.
Planck postulierte, dass Energie in einem monochromatischen Frequenzmodus, der sich in einem schwarzen Körper bei Temperatur ausbreitet, beträgt . Der fehlerhafte Datenwert von Planck wurde 1916 von Nernst korrigiert; der Wert ist leicht , weil Thermodynamik Diktat gefunden, die in Richtung neigt , wenn gegen unendlich tendiert. Diese Formel definiert die Temperatur eines Modus. Die Interpretation dieser Formel ist jedoch physikalisch heikel, da die Definition einer reinen Frequenz eine Erfahrung von unendlicher Dauer voraussetzt.
Wir wissen, wie man die von Ladungen emittierten Felder berechnet, zum Beispiel das Feld, das von einem oszillierenden elektrostatischen Dipol emittiert wird . Um auf das vorherige Problem zurückzukommen, verwenden wir den „Schwarzschild- und Fokker-Trick“. Das von einer Quelle emittierte Feld wird als „verzögertes Feld“ bezeichnet . Ohne die Quelle ist dieses Feld keine Lösung der Maxwell-Gleichungen. Um in Zukunft eine identische Lösung zu erhalten, ist es notwendig, ein "erweitertes Feld" hinzuzufügen . Nach dieser Definition ist die Lösung der Maxwell-Gleichungen. Indem wir die Quelle durch das fortgeschrittene Feld ersetzen, kommen wir zurück zum linearen Problem eines Feldes im Vakuum und können Moden definieren.
Die allgemeinen und kausalen Lösungen der Maxwell-Gleichungen sind durch die Jefimenko-Gleichungen gegeben .
Die Gleichungen von Jefimenko geben das elektrische Feld und das magnetische Feld aufgrund einer Verteilung der elektrischen Ladungen und des elektrischen Stroms im Raum an. Sie berücksichtigen die Verzögerung durch die Ausbreitung (verzögerte Zeit) der Felder aufgrund der endlichen Grenze der Lichtgeschwindigkeit und die relativistischen Effekte. Sie können daher zum Bewegen von Lasten und Strömen verwendet werden. Sie sind die allgemeinen Lösungen der Maxwell-Gleichungen für jede beliebige Verteilung von Ladungen und Strömen.
Diese Gleichungen sind die zeitabhängige ( elektrodynamische ) Verallgemeinerung des Coulomb-Gesetzes und des Biot-Savart-Gesetzes, die ursprünglich nur für elektrostatische und magnetostatische Felder sowie für Gleichstrom galten.
Eines der wesentlichen Merkmale der Gleichungen von Jefimenko ist im rechten Teil zu sehen, wo die verzögerte Zeit erscheint, die die Kausalität dieser Gleichungen widerspiegelt. Mit anderen Worten, die linke Seite der Gleichungen wird tatsächlich von der rechten Seite verursacht, im Gegensatz zu Maxwells Differentialgleichungen, bei denen beide Seiten gleichzeitig auftreten.
Ein physikalisches System hat im Allgemeinen relative Energieminimum. Im sich nicht entwickelnden (stationären) Regime bleibt das System, angeregt durch ein elektromagnetisches Feld in der Größenordnung von in jeder Mode, die es emittieren (und daher absorbieren) kann, in der Nähe eines Energieminimums; für jede monochromatische Mode bewirkt ihre Anregung, dass sie ein Feld in Quadratur mit dem einfallenden Feld abstrahlt, das keinen permanenten Energieaustausch erzeugt, sondern eine Verzögerung, Brechung, einführt. Bei einem stärkeren Feld, insbesondere aufgrund einer günstigen Feldschwankung, kann das System einen Hals seines Energiediagramms überschreiten und eine Energie absorbieren, diese Absorption kann zu einem instabilen Niveau führen, von dem das System schnell in andere Niveaus übergehen kann. in einer mehr oder weniger strahlenden Kaskade, die es in einen stationären, stabilen Zustand bringt.
In einer klassischen Theorie kann kein Paradoxon zugelassen werden, insbesondere existiert das Paradoxon von Einstein, Podolsky und Rosen nicht: Angenommen, ein Atom verliert eine Resonanzenergie , zum Beispiel durch die Strahlung eines Dipols. Der Emissionsmodus dieses Dipols ist nicht orthogonal zu den Emissionsmodi (daher Absorption) anderer Atome, deren Amplitude erhöht werden kann; 0, 1, 2,… Atome können dann absorbieren , auch wenn im Mittel nur ein Atom angeregt wird; die Restfelder spielen die Rolle eines thermodynamischen Bades.
Es wurde geschrieben, dass das Elektron eines Wasserstoffatoms, das einer Bohrschen Bahn folgt, ein Feld aussendet, daher Energie abstrahlt und auf den Kern fallen sollte. Das Elektron emittiert zwar ein Feld, jedoch von sehr geringer Energie aufgrund der Interferenz des emittierten Feldes mit dem Restfeld; diese Energie sinkt auf null, wenn die Bahn leicht korrigiert wird, so dass die Energie des stationären Zustands die Lamb-Verschiebung erfährt .
Die Untersuchung der Zündung eines Lasers scheint darauf hinzudeuten, dass das Feld des Nullpunkts eine doppelt so starke Emission induziert wie ein Feld höherer Intensität. Um diesem Ergebnis Rechnung zu tragen, kann eine ad hoc „Reaktionsstrahlung“ eingeführt werden . Die wirkliche Erklärung ist sehr einfach: Ein Atom wird durch ein Feld in der Form angeregt, die es emittieren kann, genannt kugelförmig; beim Starten des Lasers gibt es in diesem Modus eine Amplitude entsprechend ; Der Laser arbeitet mit einem ebenen Wellenmodus, dessen sphärische Komponente zur Anregung des Atoms verwendet werden muss, wodurch die Energie durch zwei geteilt wird.
Es gibt kein isoliertes elektromagnetisches System; zu vergessen, dass das minimale Feld das Nullpunktfeld ist, führt zu Fehlern bei der Erkennung schwacher Felder.
Hinweis: Dieser Teil folgt den klassischen MTW-Zeichenkonventionen
Dieser Teil übernimmt auch Einsteins Vorladungskonvention .
Minkowskis Raumzeit (1908) ist eine flache Differentialmannigfaltigkeit M mit einer Lorentzschen Metrik.
Lassen Sie uns ein beliebiges Koordinatensystem um ein Ereignis (Punkt) der Raumzeit, und sei eine lokale Basis , Raum Tangente an dem Punkt , an dem Verteiler . Ein Tangentenvektor wird dann wie die Linearkombination geschrieben:
. |
Sie werden als kontravariante Komponenten des Vektors bezeichnet . Der metrische Tensor ist die symmetrische Bilinearform:
In einer Orthonormalbasis eines Inertialsystems sind seine kovarianten Komponenten :
Seine kontravarianten Komponenten bestätigen:
. |
Wir erhalten explizit:
. |
Im Folgenden werden die folgenden üblichen Konventionen verwendet:
Zum Beispiel werden die kontravarianten Komponenten des 4-Positionen-Vektors in ein orthonormales Koordinatensystem geschrieben:
. |
Der metrische Tensor definiert für jeden Punkt der Raumzeit ein pseudoskalares Produkt ( pseudo in dem Sinne, dass die Positivitätshypothese entfernt wird) im euklidischen Raum tangential zu M an dem Punkt . Wenn und zwei Vektoren von sind , wird ihr Skalarprodukt geschrieben:
. |
Insbesondere durch die Verwendung von zwei Grundvektoren erhalten wir die Komponenten:
. |
indem wir die kontravarianten Komponenten des Vektors w bezeichnen , können wir auf die gleiche Weise seine kovarianten Komponenten definieren durch:
. |
Zum Beispiel werden die kovarianten Komponenten des 4-Positionen-Vektors in ein orthonormales Koordinatensystem geschrieben:
. |
Wir führen den Quadrigradienten- Differentialoperator ein, um den Nabla- Operator zu verallgemeinern .
Seine kovarianten Komponenten werden geschrieben:
. |
Seine kontravarianten Komponenten werden geschrieben:
. |
Der d'Alembertsche Invariante Operator wird zum Beispiel geschrieben:
. |
Wir führen den elektromagnetischen Potentialquadrivektor durch seine kontravarianten Komponenten ein:
wo ist das skalare elektrische Potential und der magnetische Potentialvektor. Seine kovarianten Komponenten werden geschrieben:
. |
Die zuvor geschriebenen Eichtransformationsgesetze werden daher in dieser Notation in der Form
.Die Lorenz-Eichbedingung wird beispielsweise kovariant geschrieben:
. |
Wir führen den elektromagnetischen Vierstrom durch seine kontravarianten Komponenten ein:
wo ist der Skalar der elektrischen Ladungsdichte und der Stromdichtevektor. Seine kovarianten Komponenten werden geschrieben:
. |
Der elektromagnetische Tensor ist der antisymmetrische Tensor zweiten Ranges, der aus dem Quadripotential definiert wird durch:
. |
Seine kovarianten Komponenten werden explizit geschrieben:
. |
Wir erhalten seine kontravarianten Komponenten, indem wir schreiben:
. |
Da die Metrik in einem Inertialsystem diagonal ist, erhalten wir dann die folgenden Formeln ohne Summation über die wiederholten Indizes :
entweder explizit:
. |
Die Maxwell-Gleichungen nehmen die relativistische kovariante Form an.
. |
. |
Da der Maxwell-Tensor antisymmetrisch ist, impliziert diese letzte Beziehung insbesondere, dass der Vierstrom erhalten bleibt :
. |
Indem wir den Maxwell-Tensor explizit in Bezug auf das Quad-Potential in die kovariante Gleichung mit Quellterm schreiben, erhalten wir für die linke Seite:
. |
Im Lorenz-Eich verschwindet der zweite Term und die Maxwell-Gleichung mit Quellterm wird auf eine Ausbreitungsgleichung für das Viererpotential reduziert:
. |
Die Lösung dieser Gleichung ist einfach geschrieben, wenn wir eine Green-Funktion der Ausbreitungsgleichung kennen, also eine Funktion G (x) Lösung der partiellen Differentialgleichung:
wo ist die Dirac- Verteilung . Wir erhalten dann das Quadripotential in Form eines Faltungsprodukts :
. |
In der klassischen Elektrodynamik verwenden wir am häufigsten die verzögerte Green-Funktion, die die Kausalitätshypothese erfüllt :
. |
Zugänglich auf Bachelor-Niveau.