Johnson solide

In der Geometrie ist ein Johnson-Festkörper ein streng konvexes Polyeder , dessen jede Fläche ein regelmäßiges Polygon ist und das nicht isogonal ist (was daher weder ein platonischer Festkörper noch ein archimedischer Festkörper , weder ein Prisma noch ein Antiprisma ist ). Es ist nicht erforderlich, dass jede Fläche ein identisches Polygon ist oder dass sich um jeden Scheitelpunkt dieselben Polygone treffen. Ein Beispiel eines Johnson-Körper ist die Quadrat- basierte Pyramide mit gleichseitigen Dreiecksseite ( J 1 ); es hat eine quadratische Fläche und vier dreieckige Flächen.

Da sich in einem streng konvexen Körper mindestens drei Flächen an jedem Scheitelpunkt treffen, beträgt die Summe ihrer Winkel weniger als 360 Grad. Da ein reguläres Polygon Winkel von mehr als 60 Grad aufweist, schließen wir, dass sich höchstens fünf Flächen an einem beliebigen Scheitelpunkt treffen. Die fünfeckige Pyramide ( J 2 ) ist ein Beispiel mit einem Scheitelpunkt vom Grad 5.

Obwohl es keine offensichtliche Einschränkung gibt, dass ein bestimmtes reguläres Polygon ein Johnson-Volumenkörper sein kann, stellt sich heraus, dass die Flächen von Johnson-Volumenkörpern immer 3, 4, 5, 6, 8 oder 10 Seiten haben.

In 1966 , Norman Johnson veröffentlichte eine Liste, die die 92 Feststoffe enthalten, und gab ihnen ihre Namen und Nummern. Er bewies nicht, dass es nur 92 waren, aber er vermutete, dass es keine anderen gab. Victor Zalgaller  (in) demonstrierte 1969, dass Johnsons Liste vollständig war. Wir verwenden die Namen und die Reihenfolge von Johnson und schreiben sie J xx .

Von den Johnson-Festkörpern ist die längliche achteckige Gyrobicupola ( J 37 ) die einzige, die einen einheitlichen Scheitelpunkt aufweist: An jedem Scheitelpunkt befinden sich vier Flächen, und ihre Anordnung ist immer dieselbe: drei Quadrate und ein Dreieck.

Namen

Die Namen sind unten aufgeführt und beschreibender als man hört. Viele dieser Feststoffe können durch Hinzufügen von Pyramiden , Kuppeln und Rotunden zu Flächen aus platonischen Festkörpern, archimedischen Festkörpern , Prismen oder Antiprismen aufgebaut werden .

• Das Präfix Bi bedeutet, dass zwei Kopien des betreffenden Volumenkörpers Basis für Basis verbunden werden. Für Kuppeln und Rotunden können sie so verbunden werden, dass sich die Flächen treffen ( ortho- ) oder nicht ( Kreisel- ). In dieser Nomenklatur würde ein Oktaeder als quadratische Bipyramide , ein Kuboktaeder als hexagonale Gyrobicupola und ein Ikosidodekaeder als dekagonale Gyrobirotonde bezeichnet .

• Länglich bedeutet, dass ein Prisma an der Basis des betreffenden Festkörpers oder zwischen den Basen der betreffenden Feststoffe verbunden wurde. Ein Rhombikuboktaeder würde als längliche achteckige Orthobicupola bezeichnet .
• Gyro-länglich bedeutet, dass ein Antiprisma an der Basis des betreffenden Feststoffs oder zwischen den Basen der betreffenden Feststoffe verbunden wurde. Ein Ikosaeder würde als gyro-längliche fünfeckige Bipyramide bezeichnet .

• Augmented bedeutet, dass eine Pyramide oder Kuppel mit einem Gesicht des betreffenden Festkörpers verbunden wurde.
• Verringert bedeutet, dass eine Pyramide oder Kuppel aus dem betreffenden Feststoff entfernt wurde.

• Gyration bedeutet, dass eine Kuppel auf dem betreffenden Feststoff eine Drehung erfahren hat, so dass die verschiedenen Kanten zusammenfallen, was den Unterschied zwischen Ortho- und Gyro-Bicupola betrifft.

Die letzten drei Operationen - Erhöhen, Verringern und Drehen - können mehrmals an einem ausreichend großen Feststoff durchgeführt werden. Wir fügen bi- auf den Namen des Betriebs , um anzuzeigen , dass es zweimal durchgeführt wurde. (Ein fester Bigyr hat zwei seiner Kuppeln, die einer Rotation unterzogen wurden). Wir fügen Tri- , um anzuzeigen , dass dies wurde dreimal durchgeführt. (Bei einem festen Tridimininin werden drei seiner Pyramiden oder Kuppeln entfernt).

Manchmal ist Bi- All allein nicht präzise genug. Wir müssen zwischen einem Volumenkörper mit zwei veränderten parallelen Flächen und einem Körper mit zwei schräg veränderten Flächen unterscheiden. Wenn zwei geänderte Flächen parallel sind, fügen wir dem Namen der Operation Para- hinzu . (Ein parabienverstärkter Körper hat zwei parallele vergrößerte Flächen). Wenn dies nicht der Fall ist, fügen wir dem Namen der Operation Meta hinzu . (Ein metabiaugmentierter Feststoff hat zwei schräge vergrößerte Flächen).

Johnsons Liste und Namen

S: Anzahl der Eckpunkte,
A: Anzahl der Kanten,
F: Gesamtzahl der Flächen, einschließlich:
F 3 Dreiecke ,
F 4 Quadrate ,
F 5 Fünfecke ,
F 6 Sechsecke ,
F 8 Achtecke ,
F 10 Zehnecke .

Prismatoiden und Rotunden

• Pyramiden
• Kuppeln
• Rotunden

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
1	quadratische Pyramide		Pyramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C 4v
2	fünfeckige Pyramide		Pyramide	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C 5v
3	sechseckige Kuppel		Kuppel	9	fünfzehn	8	4	3	0	1	0	0	C 3v
4	achteckige Kuppel		Kuppel	12	20	10	4	5	0	0	1	0	C 4v
5	dekagonale Kuppel		Kuppel	fünfzehn	25	12	5	5	1	0	0	1	C 5v
6	dekagonale Rotunde		Rotunde	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C 5v

Modifizierte Pyramiden und Dipyramiden

• längliche Pyramide  (in)
• Gyroallongée-Pyramide  (en)
• Bipyramide
• längliche Dipyramide
• Kreisel-verlängerte Dipyramide

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
7	längliche dreieckige Pyramide		längliche Pyramide  (in)	7	12	7	4	3	0	0	0	0	C 3v
8	längliche quadratische Pyramide		längliche Pyramide	9	16	9	4	5	0	0	0	0	C 4v
9	längliche fünfeckige Pyramide		längliche Pyramide	11	20	11	5	5	1	0	0	0	C 5v
10	Kreisel-längliche quadratische Pyramide		Gyroallongée-Pyramide  (en)	9	20	13	12	1	0	0	0	0	C 4v
11	Kreisel-längliche fünfeckige Pyramide		längliche Kreiselpyramide	11	25	16	fünfzehn	0	1	0	0	0	C 5v
12	dreieckiger Diamant		Bipyramide (oder Diamant)	5	9	6	6	0	0	0	0	0	D 3h
13	fünfeckiger Diamant		Bipyramide (oder Diamant)	7	fünfzehn	10	10	0	0	0	0	0	D 5h
14	länglicher dreieckiger Diamant		Längliche Bipyramide (oder länglicher Diamant)	8	fünfzehn	9	6	3	0	0	0	0	D 3h
fünfzehn	länglicher quadratischer Diamant		Längliche Bipyramide (oder länglicher Diamant)	10	20	12	8	4	0	0	0	0	D 4h
16	länglicher fünfeckiger Diamant		Längliche Bipyramide (oder länglicher Diamant)	12	25	fünfzehn	10	5	0	0	0	0	D 5h
17	Kreisel-verlängerter quadratischer Diamant		Längliche Bipyramide (oder länglicher Diamant)	10	24	16	16	0	0	0	0	0	D 4d

Modifizierte Kuppeln und Rotunden

• längliche Kuppel
• längliche Rotunde
• längliche Birotunda
• längliche Kuppelrotunde
• länglicher Bicupol
• längliche Kreiselkuppel
• Kreisel-verlängerte Rotunde
• Bicupol
• Birotonde
• Kuppelrotunde
• längliche Kreiselkuppel
• gyroelongated Birotunda
• Kreisel-verlängerte Kuppel-Rotunde

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
18	längliche sechseckige Kuppel		längliche Kuppel	fünfzehn	27	14	4	9	0	1	0	0	C 3v
19	längliche achteckige Kuppel		längliche Kuppel	20	36	18	4	13	0	0	1	0	C 4v
20	längliche dekagonale Kuppel		längliche Kuppel	25	45	22	5	fünfzehn	1	0	0	1	C 5v
21	längliche dekagonale Rotunde		längliche Rotunde	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C 5v
22	längliche sechseckige Kuppel		längliche Kreiselkuppel	fünfzehn	33	20	16	3	0	1	0	0	C 3v
23	Kreisellange achteckige Kuppel		längliche Kreiselkuppel	20	44	26	20	5	0	0	1	0	C 4v
24	gyroelongated dekagonale Kuppel		längliche Kreiselkuppel	25	55	32	25	5	1	0	0	1	C 5v
25	gyroelongated dekagonale Rotunde		Kreisel-verlängerte Rotunde	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C 5v
26	dreieckiger Gyrobiprismus		Bicupol	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D 2d
27	hexagonale Orthobicupola		Bicupol	12	24	14	8	6	0	0	0	0	D 3h
28	achteckige Orthobicupola		Bicupol	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D 4h
29	achteckige Gyrobicupola		Bicupol	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D 4d
30	dekagonale Orthobicupola		Bicupol	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D 5h
31	dekagonale Gyrobicupola		Bicupol	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D 5d
32	dekagonale Orthocupola-Rotunde		Kuppelrotunde	25	50	27	fünfzehn	5	7	0	0	0	C 5v
33	dekagonale Gyrocupola-Rotunde		Kuppelrotunde	25	50	27	fünfzehn	5	7	0	0	0	C 5v
34	dekagonale Orthobirotonde		Birotonde	30	60	32	20	0	12	0	0	0	C 5v
35	längliche hexagonale Orthobicupola		längliche Bicupola	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D 3h
36	längliche hexagonale Gyrobicupola		längliche Bicupola	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D 3d
37	längliche achteckige Gyrobicupola		längliche Bicupola	24	48	26	8	18	0	0	0	0	D 4h
38	längliche dekagonale Orthobicupola		längliche Bicupola	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D 5h
39	längliche dekagonale Gyrobicupola		längliche Bicupola	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D 5v
40	längliche dekagonale Orthocupola-Rotunde		längliche Kuppelrotunde	35	70	37	fünfzehn	fünfzehn	7	0	0	0	C 5v
41	längliche dekagonale Gyrocupola-Rotunde		längliche Kuppelrotunde	35	70	37	fünfzehn	fünfzehn	7	0	0	0	C 5v
42	längliche dekagonale Orthobirotonde		längliche Birotunda	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D 5h
43	längliche dekagonale Gyrobirotonde		längliche Birotunda	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D 5v
44	gyroelongated hexagonal bicupola		längliche Kreiselkuppel	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D 3v
45	gyroelongierter achteckiger Bicupol		längliche Kreiselkuppel	24	56	34	24	10	0	0	0	0	D 4v
46	gyroelongated decagonal bicupola		längliche Kreiselkuppel	30	70	42	30	10	2	0	0	0	D 5v
47	Kreisel-längliche dekagonale Kuppelrotunde		Kreisel-verlängerte Kuppel-Rotunde	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C 5v
48	gyroelongated dekagonale Birotunda		gyroelongated Birotunda	40	90	52	40	0	12	0	0	0	C 5v

Augmentierte Prismen

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
49	dreieckiges Prisma vergrößert		erhöhtes Prisma	7	13	8	6	2	0	0	0	0	C 2v
50	biaugmentiertes dreieckiges Prisma		erhöhtes Prisma	8	17	11	10	1	0	0	0	0	C 2v
51	triaugmentiertes dreieckiges Prisma		erhöhtes Prisma	9	21	14	14	0	0	0	0	0	D 3h
52	fünfeckiges Prisma vergrößert		erhöhtes Prisma	11	19	10	4	4	2	0	0	0	C 2v
53	biaugmentiertes fünfeckiges Prisma		erhöhtes Prisma	12	23	13	8	3	2	0	0	0	C s
54	vergrößertes sechseckiges Prisma		erhöhtes Prisma	13	22	11	4	5	0	2	0	0	C 2h
55	parabiaugmentiertes sechseckiges Prisma		erhöhtes Prisma	14	26	14	8	4	0	2	0	0	D 2h
56	metabiaugmentiertes sechseckiges Prisma		erhöhtes Prisma	14	26	14	8	4	0	2	0	0	C 2v
57	triaugmentiertes sechseckiges Prisma		erhöhtes Prisma	fünfzehn	30	17	12	3	0	2	0	0	D 3h

Modifizierte platonische Feststoffe

• Augmented Dodecahedra
• Verminderte Ikosaeder

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
58	Augmented Dodekaeder		Augmented Dodekaeder	21	35	16	5	0	11	0	0	0	C 5v
59	parabiaugmentiertes Dodekaeder		Augmented Dodekaeder	22	40	20	10	0	10	0	0	0	D 5v
60	metabiaugmentiertes Dodekaeder		Augmented Dodekaeder	22	40	20	10	0	10	0	0	0	C 2v
61	triaugmentiertes Dodekaeder		Augmented Dodekaeder	23	45	24	fünfzehn	0	9	0	0	0	C 3v
62	metabidiminiertes Ikosaeder		vermindertes Ikosaeder	10	20	12	10	0	2	0	0	0	C 2v
63	tridiminate Ikosaeder		vermindertes Ikosaeder	9	fünfzehn	8	5	0	3	0	0	0	C 3v
64	Augmented Tridiminated Ikosaeder		vermindertes Ikosaeder	10	18	10	7	0	3	0	0	0	C 3v

Modifizierte archimedische Feststoffe

• Augmentierter Tetraederstumpf
• Augmented trunkiert cube
• Augmentiertes abgeschnittenes Dodekaeder
• Kleines kreisförmiges Rhombicosidodekaeder
• Kleines vermindertes Rhombicosidodekaeder
• Kleine gyrierte verminderte Rhombicosidodekaeder

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
65	vergrößertes Tetraederstumpf		vergrößertes Tetraederstumpf	fünfzehn	27	14	8	3	0	3	0	0	C 3v
66	erhöhter abgeschnittener Würfel		erhöhter abgeschnittener Würfel	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C 4v
67	biaugmentierter abgeschnittener Würfel		erhöhter abgeschnittener Würfel	32	60	30	16	10	0	0	4	0	D 4h
68	vergrößertes abgeschnittenes Dodekaeder		vergrößertes abgeschnittenes Dodekaeder	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C 5v
69	parabiaugmentiertes abgeschnittenes Dodekaeder		vergrößertes abgeschnittenes Dodekaeder	70	120	52	30	10	2	0	0	10	D 5v
70	metabiaugmentiertes abgeschnittenes Dodekaeder		vergrößertes abgeschnittenes Dodekaeder	70	120	52	30	10	2	0	0	10	C 2v
71	triaugmentiertes abgeschnittenes Dodekaeder		vergrößertes abgeschnittenes Dodekaeder	75	135	62	35	fünfzehn	3	0	0	9	C 3v
72	Gyro-Rhombicosidodekaeder		gyriertes Rhombicosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C 5v
73	Parabigyro-Rhombicosidodekaeder		gyriertes Rhombicosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	D 5v
74	Metabigyro-Rhombicosidodekaeder		gyriertes Rhombicosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C 2v
75	Trigyro-Rhombicosidodekaeder		gyriertes Rhombicosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C 3v
76	vermindertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	55	105	52	fünfzehn	25	11	0	0	1	C 5v
77	paragyrodiminiertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	55	105	52	fünfzehn	25	11	0	0	1	C 5v
78	Metagyro-vermindertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	55	105	52	fünfzehn	25	11	0	0	1	C s
79	Bigyrodekaeder Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	55	105	52	fünfzehn	25	11	0	0	1	C s
80	parabidiminiertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D 5v
81	metabidiminiertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C 2v
82	gyrobidiminiertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C s
83	tridiminiertes Rhombicosidodekaeder		vermindertes Rhombicosidodekaeder	45	75	32	5	fünfzehn	9	0	0	3	C 3v

Verschiedene

Jn	Solider Name	Bild	Art	S.	BEIM	F.	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
84	Erweichter Disphenoid		- -	8	18	12	12	0	0	0	0	0	D 2v
85	erweichtes quadratisches Antiprisma		- -	16	40	26	24	2	0	0	0	0	D 4v
86	Sphenokrone		- -	10	22	14	12	2	0	0	0	0	C 2v
87	erhöhtes Sphenokron		- -	11	26	17	16	1	0	0	0	0	C s
88	Sphenomega-Krone		- -	12	28	18	16	2	0	0	0	0	C 2v
89	Hebesphenomega-Krone		- -	14	33	21	18	3	0	0	0	0	C 2v
90	Dispheno-Gürtel		- -	16	38	24	20	4	0	0	0	0	D 2v
91	bilunare Birotunda		- -	14	26	14	8	2	4	0	0	0	D 2h
92	dreieckige Hebespheno-Rotunde		- -	18	36	20	13	3	3	1	0	0	C 3v

Verweise

• (fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel "  Johnson solid  " ( siehe Autorenliste ) .
• (en) Norman W. Johnson, "  Konvexe Feststoffe mit regelmäßigen Gesichtern  " , Kanada. J. Math. , Vol.  18,1966, p.  169–200 ( DOI  10.4153 / CJM-1966-021-8 ) - Enthält die ursprüngliche Aufzählung der 92 Körper und die Vermutung, dass es keine anderen gibt.
• (en) Victor A. Zalgaller, „Konvexe Polyeder mit regelmäßigen Gesichtern“, 1969: erster Beweis dieser Vermutung.
• (en) Eric W. Weisstein , „  Johnson Solid  “ , auf MathWorld

Externe Links

• "  Boss of Johnsons Feststoffe nach ihren Hinweisen  "
• (de) "  Papiermodelle von Polyedern  "  : viele Links
• ( fr ) "  Johnson Solids  " von George W. Hart  ( fr )
• (de) "  Johnson Polyhedra  "  : Bilder der 92 Feststoffe, kategorisiert, auf einer Seite
• Maurice Starck, „  Polyèdres de Johnson  “ , auf Vizerektorat von Neukaledonien