In der Geometrie kann der allgemeine Begriff des Winkels in mehrere Konzepte unterteilt werden.
In seinem alten Sinne ist der Winkel eine ebene Figur, ein Teil der Ebene , die von zwei abgegrenzten Halbzeilen . So sprechen wir von den Winkeln eines Polygons . Es ist jedoch heutzutage üblich, für eine solche Figur den Begriff "Winkelsektor" zu verwenden. Der Winkel kann auch einen Teil des Raums bezeichnen, der durch zwei Ebenen begrenzt ist ( Diederwinkel ). Die Messung solcher Winkel wird üblicherweise aber auch zu Unrecht als Winkel bezeichnet.
In einem abstrakteren Sinne ist der Winkel eine Äquivalenzklasse , dh eine Menge, die erhalten wird, indem alle durch Isometrie identifizierbaren Winkelfiguren untereinander aufgenommen werden . Jede der identifizierten Figuren wird dann als Winkelrepräsentant bezeichnet. Wenn alle diese Vertreter das gleiche Maß haben, können wir von einem Maß des abstrakten Winkels sprechen.
Es ist möglich, einen Begriff des orientierten Winkels in der euklidischen Geometrie der Ebene zu definieren und den Begriff des Winkels auf das Gerüst von prehilbertschen Vektorräumen oder Riemannschen Mannigfaltigkeiten auszudehnen .
Es gibt verschiedene Arten von Winkeln: rechter Winkel , akuter Winkel und stumpfer Winkel
Der Wortwinkel leitet sich vom lateinischen Angulus ab , einem Wort, das "die Ecke" bedeutet. Nach dem Mathematiker Carpos von Antiochia ist der Winkel eine Größe und das Intervall der Linien oder Flächen, die ihn enthalten; Diese Lücke ist nur auf eine Weise dimensioniert, und dennoch ist der Winkel keine Linie dafür.
In der Ebene begrenzen zwei Halblinien desselben Ursprungs zwei Bereiche, die als Winkelsektoren bezeichnet werden .
Wir sagen, dass zwei Winkelsektoren denselben Winkel definieren, wenn sie überlagert werden können (formeller: Der Winkel eines Winkelsektors ist seine Kongruenzklasse ). Wir sprechen traditionell von geometrischem Winkel für diesen Begriff des Winkels, aber dieser Begriff kann in der modernen Terminologie auch einen ähnlichen, weniger feinen Begriff bezeichnen ( siehe unten ).
Ein Winkel wird als hervorstechend bezeichnet, wenn die ihn darstellenden Winkelsektoren konvex sind , und wenn nicht, wieder eintreten.
Ein Paar von Halblinien desselben Ursprungs definiert daher im Allgemeinen zwei Winkel: einen vorspringenden und einen wiedereintretenden (der Ausnahmefall ist der des flachen Winkels ).
In der Ebene kann man vom Winkel zweier sich schneidender Linien sprechen. Zwei Sekantenlinien schneiden die Ebene in vier hervorstechende Winkelsektoren, die zwei Winkelpaaren entsprechen, denen der Scheitelpunkt gegenüberliegt. Gegenüberliegende Winkel sind gleich und benachbarte Winkel sind zusätzlich . Für diese Winkel gibt es im Allgemeinen zwei mögliche Werte. Wir bevorzugen manchmal den kleinsten Winkel, dh den spitzen oder rechten Winkel.
Das Maß für den Winkel eines Winkelsektors ist die positive reelle Zahl, die den Anteil der Ebene misst, die der Winkelsektor einnimmt. Die Einheiten, die zur Quantifizierung verwendet werden, sind das Bogenmaß , der Quadrant und seine Unterteilungen, der Grad , seine Untereinheiten und der Grad . Winkel werden häufig durch einen griechischen Kleinbuchstaben gekennzeichnet, z. B. α, β, θ, ρ ... Wenn sich der Winkel am oberen Rand eines Polygons befindet und keine Mehrdeutigkeit vorliegt, wird der Name des oberen Bereichs verwendet, der von einem Hut überragt wird, z Beispiel  .
Um diesen Winkel, diesen "Oberflächenanteil", zu bewerten, nehmen wir eine am Schnittpunkt zentrierte Scheibe und berechnen das Verhältnis zwischen der Fläche des vom Winkelsektor abgefangenen Teils der Scheibe und der Gesamtfläche der Scheibe . Wir können zeigen, dass dies auch darauf hinausläuft, die Beziehung zwischen der Länge des unterbrochenen Bogens und dem Umfang des Kreises herzustellen; Dieser Wert kleiner als 1 wird als Anzahl der Windungen bezeichnet . Der Wert 1/4 (Vierteldrehung) entspricht dem Quadranten .
Eine häufig verwendete Einheit ist der Grad , der sich aus der Aufteilung des Quadranten in 90 gleiche Teile ergibt. Die volle Drehung entspricht daher 360 Grad. Die Bogenminute ist ein Sub-Vielfaches eines Grades, das 1/60 Grad entspricht. Ebenso entspricht die Bogensekunde 1/60 der Bogenminute oder 1/3600 Grad. Die Note wird seltener verwendet , was einer zentesimalen Unterteilung des Quadranten entspricht.
Die internationale Maßeinheit für Winkel ist jedoch das Bogenmaß , definiert als das Verhältnis zwischen der Länge des unterbrochenen Bogens und dem Radius des Kreises. Die volle Umdrehung entspricht daher dem Bogenmaß.
Winkel können aus den Seitenlängen von Polygonen , insbesondere Dreiecken , unter Verwendung der Trigonometrie berechnet werden .
Die Maßeinheit für Winkel, die hauptsächlich vom Militär verwendet werden, ist die Tausendstel . Es ist der Winkel, in dem wir 1 Meter bis 1 Kilometer sehen. 6283 Tausendstel entsprechen 2π Radiant oder 360 Grad oder 360 ° / Arctan (1 m / 1000 m ). Mit anderen Worten, Tausendstel = mrad (Milliradian).
"Im Feld" -Winkel können mit einem Gerät gemessen werden, das als Goniometer bezeichnet wird . Es besteht im Allgemeinen aus einem in Grad abgestuften gekrümmten Lineal, das als Winkelmesser bezeichnet wird .
In der Informatik kann der 1/16 Grad oder 5760 für 360 ° verwendet werden.
Winkel, die einer ganzzahligen Anzahl von Quadranten entsprechen, haben einen speziellen Namen. Die folgende Tabelle zeigt die Werte der einzelnen Winkel in den verschiedenen Einheiten.
Winkel | Darstellung | Anzahl der Züge | Anzahl der Quadranten | Bogenmaß | Grad | Klasse |
---|---|---|---|---|---|---|
Vollwinkel | 1 Drehung | 4 Quadranten | 2π rad | 360 ° | 400 gr | |
Flacher Winkel | 1/2 Umdrehung | 2 Quadranten | π rad | 180 ° | 200 gr | |
Rechter Winkel | 1/4 Umdrehung | 1 Quadrant | π / 2 rad | 90 ° | 100 gr | |
Nullwinkel | 0 Runde | 0 Quadrant | 0 rad | 0 ° | 0 gr |
Der rechte Winkel wird erhalten, indem zwei Linien betrachtet werden, die die Ebene in vier gleiche Sektoren unterteilen. Solche Linien sollen orthogonal oder senkrecht sein.
Der Winkel wird häufig mit seinem Maß verwechselt. So wird beispielsweise fälschlicherweise gesagt, dass ein flacher Winkel gleich 180 ° ist. Dieser Missbrauch wird im Rest dieses Artikels häufig praktiziert.
Die folgenden Qualifikationsmerkmale werden für Winkel verwendet, die Zwischenwerte zwischen diesen bemerkenswerten Werten annehmen:
Um die relativen Werte von zwei Winkeln zu qualifizieren, verwenden wir die folgenden Ausdrücke:
Wir verwenden noch andere Ausdrücke, um die Position der Winkel auf einer Figur zu qualifizieren, dh genauer die relative Position von Winkelsektoren:
Es ist zu beachten, dass zwei komplementäre oder zusätzliche Winkel nicht notwendigerweise benachbart sind: Beispielsweise sind in einem rechtwinkligen Dreieck ABE bei B die Winkel  und complement komplementär.
Durch Erweiterung definieren wir auch die Winkel zwischen Halblinien, Liniensegmenten und Vektoren , indem wir die Linien, die diese Objekte tragen, bis zu ihrem Schnittpunkt erweitern. Die Definition durch Halblinien oder Vektoren ermöglicht es, die Unbestimmtheit zwischen den zusätzlichen Winkeln zu beseitigen, dh ohne Mehrdeutigkeit zu definieren, welcher Winkelsektor zum Definieren der Neigung der Richtungen verwendet werden soll.
Ein geometrischer Winkel ist in der gegenwärtigen Terminologie die Äquivalenzklasse eines Paares von Halblinien desselben Ursprungs, wobei zwei solche Paare als äquivalent angesehen werden, wenn sie überlagert werden können .
Wenn man den geometrischen Winkel notiert, der dem Paar der halben Linien zugeordnet ist , hat man (durch Symmetrie im Vergleich zur Winkelhalbierenden ) : das heißt, dieser Winkel hängt nur vom Paar ab .
Der ausgeprägte Winkel und der Wiedereintrittswinkel, die einem solchen Paar zugeordnet sind ( siehe oben ), entsprechen daher mit dieser neuen Terminologie demselben "geometrischen Winkel", dessen bevorzugter Vertreter der ausgeprägte Winkel ist (gemessen zwischen 0 und 180 °) ).
Es kann auf verschiedene Arten interpretiert werden: Divergenz zwischen zwei Richtungen, Richtungen der Flächen eines Objekts (Ecke), Richtung in Bezug auf Norden (Winkel, der durch einen Kompass gegeben ist) ... Der Winkel kann auch als Öffnung des interpretiert werden Winkelsektor. Es ist das Maß für die Neigung einer halben Linie zur anderen.
Wenn sich eine Übersetzung in und in transformiert , ändert sich der geometrische Winkel nicht : . Wir können daher den geometrischen Winkel von zwei Vektoren ungleich Null und als den Winkel zwischen zwei von diesen beiden Vektoren gerichteten Halblinien mit willkürlichem gemeinsamen Ursprung definieren. Oder noch einmal: Zwei Paare und Vektoren ungleich Null sind äquivalent (repräsentieren den gleichen geometrischen Winkel), wenn es eine Vektorisometrie gibt, die die Einheitsvektoren in und in und transformiert . (Wir definieren daher eine Äquivalenzbeziehung zwischen Paaren, da die Vektorisometrien eine Gruppe bilden .)
Die Darstellung orientierter Winkel in einer Ebene kann intuitiv oder formalistischer erfolgen.
Der erste Ansatz besteht darin, den Winkel als Spur einer Drehung zu sehen: Die Drehung, die die Halblinie (Ox) auf der Halblinie (Oy) sendet, unterscheidet sich im Allgemeinen von derjenigen, die (Oy) auf (Ox) sendet. Die Winkel (Ox, Oy) und (Oy, Ox) werden dann als unterschiedlich betrachtet, was anzeigt, dass sie das gleiche Maß, aber unterschiedliche Fahrtrichtungen haben.
Ein anderer Ansatz besteht darin, den Ausrichtungswinkel und sein Maß zu verwechseln. Dieser Ansatz erfordert die Definition einer vorherigen Ausrichtung des Plans, um die sogenannte positive Bedeutung definieren zu können . Diese Art von Ansatz finden wir, wenn wir das Maß für den Orientierungswinkel eines Paares von Einheitsvektoren anhand der Länge des orientierten Kreisbogens definieren, den es auf einem Einheitskreis bestimmt.
Der letzte, formalere Ansatz besteht darin, einen orientierten Winkel als eine Äquivalenzklasse von Paaren von Vektorhalblinien zu sehen, die modulo die ebenen Rotationen modulieren, oder was dasselbe ist, als Umlaufbahnen von Paaren von Vektorhalblinien durch die Gruppenaktion von positiven Isometrien.
Anschließend werden die Ansätze nach Länge der Kreisbögen und als Äquivalenzklassen vorgestellt. Unter Verwendung der gleichen Techniken wie oben ist es dasselbe, wenn man über Winkel spricht, zwei Halblinien desselben Ursprungs, zwei Vektoren ungleich Null oder zwei Einheitsvektoren zu betrachten. Wir beschränken die Diskussion daher auf den letzteren Fall.
In einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius 1 definieren wir eine sogenannte positive Fahrtrichtung , im Allgemeinen die Richtung gegen den Uhrzeigersinn, die trigonometrische Richtung. Wenn A und B zwei Punkte des Kreises sind, nennen wir die Länge des orientierten Bogens AB die Länge einer beliebigen Route auf dem Kreis, die von A bis B reicht. Es gibt mehrere mögliche Routen, die aus dem Hinzufügen vollständiger Windungen des zurückgelegten Kreises bestehen in positiver oder in negativer Richtung. Da eine Länge a bekannt ist, haben die anderen Längen des orientierten Bogens daher alle die Form a + 2 k π, wobei k eine beliebige relative ganze Zahl ist. Die Länge, die dem kürzesten Weg von A nach B entspricht, wird als Hauptmessung des Bogens AB bezeichnet (wenn es zwei mögliche Wege gibt, wird der der positiven Messung gewählt). Das Hauptmaß ist daher eine Zahl, die zum Intervall] -π, π] gehört.
Sei und seien zwei Einheitsvektoren und A und B die Punkte, so dass und wir das Maß des orientierten Winkels eine beliebige Länge des orientierten Bogens AB nennen. Das Hauptmaß des Winkels hat daher als absolutes Wert das Maß des geometrischen Winkels . Das Vorzeichen dieser Hauptmessung ist positiv, wenn der kürzeste Weg von A nach B in direkter Richtung verläuft, andernfalls ist er negativ. Zwei Vektorpaare mit demselben Maß definieren denselben Orientierungswinkel.
Bei diesem Ansatz ist es notwendig, dass die „Wicklung“ der realen Linie auf dem Kreis als natürlich wahrgenommen wird, eine Wicklung, die noch formalisiert werden müsste.
Die Ebene weist im Vergleich zu den höheren Dimensionen die folgende Besonderheit auf : Man kann die für den geometrischen Winkel definierte Kongruenzrelation so verfeinern, dass die Paare und im Allgemeinen nicht mehr den gleichen Winkel darstellen. Dazu wird ein vermeidet die Einbeziehung Reflexionen eine neue Beziehung zwischen den Paaren unter den isometries autorisiert zu definieren, das heißt, dass man Grenzen der mich Untergruppe der Drehungen der die Vektorebene (in der Dimension 3 würde beispielsweise diese Einschränkung nicht weil die beiden Paare nicht nur durch Reflexion in Bezug auf die Halbierendebene, sondern auch durch eine Drehung um eine halbe Umdrehung voneinander transformiert werden). Dies führt zu folgender Definition:
Ein orientierter Vektorwinkel ist eine Äquivalenzklasse(Wir verzichten jetzt auf die traditionellen Pfeile auf Vektoren.)
Zwei Paare (u, v) und (u ', v') von Einheitsvektoren der Ebene repräsentieren den gleichen Ausrichtungswinkel, wenn es eine Drehung g gibt, so dass u '= g (u) und v' = g (v).
Wenn wir ein Paar und den Orientierungswinkel, den es darstellt, falsch verwechseln, haben wir zum Beispiel: (–u, –v) = (u, v) durch die halbe Umdrehung g = - Id .
Diese neue Äquivalenzbeziehung ist feiner als die , die die geometrischen Winkel definiert. Genauer gesagt ist der geometrische Winkel als Äquivalenzklasse die Vereinigung der beiden orientierten Winkel und .
Jeder Ausrichtungswinkel entspricht einer DrehungBei zwei Einheitsvektoren gibt es eine einzige Drehung der Ebene, die die erste zur zweiten sendet.
Diese Eindeutigkeit ermöglicht es, eine Anwendung zu definieren, die dem Paar (u, v) von Einheitsvektoren die Drehung f so zuordnet, dass f (u) = v.
Diese Abbildung T: (u, v) ↦ f von den Vektorpaaren zu den Rotationen " geht zum Quotienten über " und definiert somit eine Bijektion S aus den auf die Rotationen gerichteten Winkeln. Tatsächlich :
Satz - (u, v) und (u ', v') stellen genau dann den gleichen Ausrichtungswinkel dar, wenn die Drehung, die u auf v sendet, dieselbe ist wie die, die u 'auf v' sendet.
Dies liegt an der Tatsache, dass die Rotationsgruppe der Vektorebene abelsch ist .
DemonstrationPer Definition stellen (u, v) und (u ', v') genau dann den gleichen Ausrichtungswinkel dar, wenn die Drehung, die u auf u 'sendet, dieselbe ist wie die, die v auf v' sendet, mit anderen Worten: T. (u, u ') = T (v, v'). Durch die Kommutativität der Rotationsgruppe ist dies äquivalent zu T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v), d.h. T (u, v) = T (u ', v').
Die orientierten Winkel von Vektoren bilden eine GruppeMit dieser Bijektion S können wir dann die abelsche Gruppenstruktur (en) der Rotationsgruppe auf den Satz von Winkeln "abbilden" , dh die Addition der Winkel aus der Zusammensetzung der Rotationen definieren, indem wir Folgendes einstellen:
.Wir werden auf den orientierten Winkeln ein Maß so definieren, dass das Maß der Summe gleich der Summe der Maße ist (für geometrische Winkel könnten wir teilweise eine Addition der Winkel und der entsprechenden Maße definieren: nur für "nicht zu große" Winkel).
Die Wahl einer der beiden möglichen Orientierungen der Ebene bestimmt einen der beiden Isomorphismen der Rotationsgruppe mit der Gruppe SO (2) der Matrizen der Ebenenrotationen oder mit der Gruppe U der komplexen Modulzahlen 1 . Das komplexe Exponential ermöglicht es dann, das Maß für den Drehwinkel innerhalb von 2π oder "modulo 2π" (im Bogenmaß) zu definieren. Wenn θ ein Maß für den Drehwinkel f = T (u, v) ist, werden wir sagen, dass θ auch ein Maß für den orientierten Winkel der Vektoren (u, v) ist.
Zum Beispiel wird das Maß des rechten Winkels der direkten Richtung notiert:
oder
.Zusammenfassend wird eine Orientierung der gewählten Ebene, das Maß eines orientierten Vektorwinkels, definiert durch:
,wobei die Matrix die von T (u, v) in irgendeiner direkten orthonormalen Basis ist .
Es ist ein Isomorphismus der Gruppe der orientierten Winkel in der additiven Gruppe von "real modulo 2π" . Somit ist die Messung von Winkeln schließlich additiv.
Denken Sie jedoch daran, dass dies von der Wahl der Ausrichtung des Schusses abhängt : Wenn Sie diese Wahl umkehren, werden alle Maßnahmen in ihre Gegensätze geändert . Wir finden hier die Tatsache, dass ein geometrischer Winkel des Maßes α zwischen 0 und π zwei entgegengesetzt ausgerichteten Winkeln entspricht, wobei die Zuordnung (Modulo 2π) des Maßes α zu einem und daher –α zum anderen eine Funktion der Orientierung ist des Flugzeugs.
Darüber hinaus weisen Daniel Perrin und Jean Dieudonné darauf hin, dass wir nicht streng von Messung sprechen können, da kein Vergleich zwischen zwei Winkelmessungen möglich ist.
In einer Ebene ist der Orientierungswinkel zweier Linien die Modulo-π-Klasse des Orientierungswinkels, der durch ihre Richtungsvektoren gebildet wird. Diese Modulo-π-Arbeit beruht auf der Tatsache, dass wir als Richtungsvektor eine Linie u oder -u nehmen können und dass das Ändern eines Vektors in sein Gegenteil dem Hinzufügen von π zum Maß des entsprechenden Winkels gleichkommt.
Linienorientierte Winkel werden verwendet, um den Winkel einer Drehung zu bestimmen, die aus zwei Reflexionen besteht. Dieser Begriff ist auch für alle Ausrichtungs- und Zyklizitätsprobleme nützlich.
Zwei sich schneidende Linien sind notwendigerweise koplanar, daher wird der Winkel zwischen den Linien in dieser Ebene auf die gleiche Weise wie oben definiert.
Im Raum gibt es keine Vorstellung von einem orientierten Linienwinkel, aber wir können den Winkel von zwei beliebigen Linien im Raum definieren, sekant oder nicht, unter der Bedingung, dass an ihren Richtungsvektoren gearbeitet wird. Der Winkel zweier Linien wird als geometrischer Winkel bezeichnet, der durch ihre Richtungsvektoren gebildet wird. Abhängig von den gewählten Richtungsvektoren gibt es im Allgemeinen zwei mögliche Werte für diesen Winkel. Manchmal wird der kleinste Winkel bevorzugt. Somit ist der Winkel zwischen zwei parallelen Linien Null und der zwischen zwei orthogonalen Linien beträgt 90 ° oder π / 2 rad.
Der Winkel zweier Linien der Richtungsvektoren u und v kann mit dem Skalarprodukt bestimmt werden: Es ist der Winkel, dessen Kosinus ist .
Wir können auch den benachbarten Begriff des Winkels zweier Achsen betrachten, bei dem die Ausrichtung der Achsen dem Winkel, den sie bilden, einen einzelnen Wert auferlegt.
Um den Winkel zwischen zwei Ebenen oder den Diederwinkel zu definieren , betrachten wir den Winkel, den ihre Normalen bilden .
Um den Winkel zwischen einer Ebene und einer Linie zu definieren, betrachten wir den Winkel α zwischen der Linie und ihrer orthogonalen Projektion auf der Ebene oder den komplementären Winkel zwischen der Linie und der Normalen zur Ebene: Wir subtrahieren den Winkel β zwischen der Linie und die Normale zur Ebene des rechten Winkels (α = π / 2 - β im Bogenmaß).
Wir definieren auch die Raumwinkel : Wir nehmen einen Punkt (manchmal als „Beobachtungspunkt“ bezeichnet) und eine Fläche im Raum (die „beobachtete Fläche“). Der Raumwinkel ist der Teil des Raums, der durch den Kegel begrenzt wird, der für den Scheitelpunkt den betrachteten Punkt hat und auf der Kontur der Oberfläche ruhen. Der Raumwinkel wird gemessen, indem die vom Kegel geschnittene Fläche der Kappe auf der Kugel mit dem Radius eins berechnet und die Spitze des Kegels zentriert wird. Die Maßeinheit für den Raumwinkel ist der Steradiant (kurz sr), der volle Raum ist 4π sr.