Gruppendarstellung

In der Mathematik , eine Gruppe Darstellung beschreibt eine Gruppe , indem sie wirken auf einem Vektorraum in einer linearen Art und Weise . Mit anderen Worten, wir versuchen, die Gruppe als eine Gruppe von Matrizen zu sehen , daher der Begriff Repräsentation . Wir können also aus den relativ bekannten Eigenschaften der Gruppe von Automorphismen des Vektorraums einige Eigenschaften der Gruppe ableiten.

Dies ist eines der wichtigsten Konzepte der Darstellungstheorie .

Definitionen

Oder G - Gruppe, K ein kommutativer Körper und V ein Vektorraum über K . Wir nennen die Darstellung der Gruppe G eine lineare Wirkung von G auf V , mit anderen Worten einen Morphismus von Gruppen von G in der linearen Gruppe GL ( V ) . Genauer gesagt handelt es sich um eine Anwendung

ρ :: G→GL.((V.)sowieρ((G1)∘ρ((G2)=ρ((G1G2).{\ displaystyle \ rho ~: ~ G \ to \ mathrm {GL} (V) \ quad {\ text {so dass}} \ quad \ rho (g_ {1}) \ circ \ rho (g_ {2}) = \ rho (g_ {1} g_ {2}).}

Damit eine Abbildung ρ von G im Raum der Endomorphismen von V, die ρ ( g 1 ) ∘ρ ( g 2 ) = ρ ( g 1 g 2 ) erfüllt, tatsächlich Werte in GL ( V ) aufweist, reicht dies aus eines von ρ ( g ) ist ein Automorphismus.

Um die Wirkung eines Elements g der Gruppe auf ein Element v des Vektorraums durch die Darstellung ρ zu schreiben , bezeichnen wir manchmal ρ ( g ) ( v ), ρ ( g ). v oder sogar gv, wenn keine Mehrdeutigkeit vorliegt. Wir bezeichnen manchmal eine Darstellung ( V , ρ). Manchmal wird auch (und zu Unrecht) gesagt, dass V eine Darstellung von G ist .

Ein Morphismus von Darstellungen von G oder "Interleaving-Operator" von einer Darstellung ( V , ρ) zu einer Darstellung ( W , σ) ist eine K- lineare Abbildung φ von V nach W, so dass für jedes g, das zu G gehört, wir haben

φ∘ρ((G)=σ((G)∘φ.{\ displaystyle \ varphi \ circ \ rho (g) = \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

Φ wird auch gesagt, dass dann ein Morphismus G- Äquivariante von V in W ist .

Ein wichtiger Fall ist, dass wenn φ ein Isomorphismus ist  : Die Darstellungen ( V , ρ) und ( W , σ) werden als isomorph oder äquivalent bezeichnet, wenn ein Isomorphismus φ von V nach W existiert, der G- äquivariant ist, dh - dh was für jedes zu G gehörende g erfüllt  :

ρ((G)=φ- -1∘σ((G)∘φ.{\ displaystyle \ rho (g) = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

V und W haben dann die gleiche Abmessung .

Beispiele

• Die Darstellungseinheit von G auf dem rechten Vektor K ist eine, bei der jedes Element von G die Identität von K assoziiert .
• Wenn G eine Untergruppe von GL n ( K ) ist, wirkt G natürlich auf K n . Die zugehörige Darstellung wird als Standarddarstellung bezeichnet.
• Wenn G die ist cyclische Gruppe fertigt z / n z, die Daten einer Darstellung von G auf V entsprechen Auswahl eines Elements f GL ( V ) derart , dass f n = id V .
• Aus einer Aktion von G auf einer Menge X können wir eine Darstellung von G auf dem Raum K X der Karten von X in K definieren , indem wir Folgendes darstellen:((ρ((G)((f))((x)=f((G- -1.x){\ displaystyle \ left (\ rho (g) (f) \ right) (x) = f (g ^ {- 1} .x)}und beschränken Sie es auf verschiedene stabile Unterräume , wie zum Beispiel:
  • der Unterraum K ( X ) von endlichen Unterstützungsabbildungen, dessen kanonische Basis (δ x ) x ∈ X (wobei δ das Kronecker-Symbol bezeichnet  : δ x ( y ) ist gleich 1 für y = x und gleich 0 für andere y ∈ X ) wird von jedem Element der Gruppe permutiert: ρ ( g ) (δ x ) = δ gx . Für die linke Wirkung von G auf sich selbst wird die entsprechende Darstellung von G auf K ( G ) die linke reguläre Darstellung von G genannt  ;
  • der Teilraum der stetigen Funktionen auf X , wenn G eine topologische Gruppe und X ein topologischer Raum und wenn die Aktion kontinuierlich oder auch wenn wir nur haben, für alle g ∈ G , Kontinuität der Karte X → X , x ↦ gx .

Glossar der Darstellungen

• Wie bei jeder Gruppe Aktion wird die Darstellung gesagt sein treu  (in) , wenn der morphism ρ ist injektiv . Dieser Begriff ist verschieden von dem des getreuen Modulus  : Der K- Vektorraum der Darstellung ein Modul auf der Algebra wobei K [ G ] die Gruppe G ( vgl infra ), wenn diese Modul treu ist dann die Darstellung von G ist treu , aber das Gegenteil ist falsch.
• Die Darstellung wird als Matrix bezeichnet, wenn der Raum V für eine bestimmte natürliche Zahl n die Form K n hat. In diesem Fall wird die Gruppe (GL ( V ), ∘) kanonisch mit der Gruppe GL n ( K ) des Quadrats identifiziert Matrizen d 'Ordnung n mit invertierbaren Koeffizienten in K (mit anderen Worten: von einer Determinante ungleich Null), die mit dem Matrixprodukt versehen sind . Über diese Identifizierung, zwei Matrixdarstellungen R und S sind äquivalent , wenn und nur wenn es eine invertierbare Matrix besteht P derart , daß für jedes Element g von G , R g = P -1 S g P .
• Die Dimension von V wird als Grad der Darstellung bezeichnet. Wenn V ist endlicher Dimension n (die immer implizit in der angenommen wird theoretisch von Darstellungen einer endlichen Gruppe ), ist die Darstellung in eine Matrixdarstellung äquivalent über die willkürliche Auswahl eines Isomorphismus φ von K n in V .

Einzelheiten

Sei (e i ) i = 1, ..., n das Bild von φ der kanonischen Basis von K n . Die Daten dieser Basis von V ermöglichen es, jedem Endomorphismus a von V eine quadratische Matrix der Ordnung n zuzuordnen , deren Koeffizienten a ij die Elemente von K sind, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind:

∀j∈[[1;;nicht]]]]beim((ej)=∑ich=1nichtbeimich,j⋅eich{\ displaystyle \ forall j \ in [\! [1; n] \!] \ quad a (e_ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} \ cdot e_ {ich}}

Die Anwendung , die zu einer endomorphism ein Mitarbeiter der Matrix zuvor ein definierte Isomorphismus der Ringe , des Ring L ( V ) der Endomorphismen von V in dem, M n ( K ), die quadratischen Matrizen der Ordnung n mit Koeffizienten in K . Dieser Morphismus induziert einen Gruppenisomorphismus zwischen den Gruppen der Invertierbaren dieser beiden Ringe: den Gruppen GL ( V ) und GL n ( K ). Durch die Zusammensetzung mit diesem Gruppenisomorphismus entspricht jede Darstellung von G auf V einer Matrixdarstellung mit φ für den Interlacing-Isomorphismus.

• Eine Unterrepräsentation von ( V , ρ ) ist die Repräsentation ( W , σ), die durch Beschränkung auf einen Unterraum W erhalten wird, der unter der Wirkung von G stabil ist .

Einzelheiten

Wir nehmen an, daß für jedes Element g von G , W ist stabil durch ρ ( g ). Man kann dann jeden Endomorphismus σ ( g ) von W als die Beschränkung ρ ( g ) auf W definieren . Die σ ​​( g ) -Verifizierung von σ ( g 1 ) ∘σ ( g 2 ) = σ ( g 1 g 2 ) und das Bild des neutralen Elements von G durch σ ist die Beschränkung der Identität von V auf W , daher ist es die Identität von W , die ein Automorphismus von W ist . Die ausreichenden Bedingungen sind erfüllt, so dass σ eine Darstellung von G auf W ist .

• Eine Darstellung von einem Grad ungleich Null wird als irreduzibel bezeichnet, wenn sie keine andere Unterrepräsentation als sich selbst und die Darstellung eines Grades von Null zulässt, mit anderen Worten, wenn V durch die Wirkung von G keinen stabilen richtigen Unterraum hat . In matrischer Hinsicht bedeutet dies, dass man keine Basis finden kann, auf der die Darstellung von G durch Matrizen gegeben ist, die alle dieselbe obere dreieckige Blockstruktur haben (mit mindestens zwei diagonalen Blöcken).
• Die direkte Summe einer Familie von Darstellungen ( V i , ρ i ) von G ist die Darstellung ρ auf dem Vektorraum direkte Summe von V i definiert durch: ρ ( g ) = ⊕ i ρ i ( g ). In Matrixbegriffen bedeutet dies, dass durch Nebeneinanderstellen von Basen des V i , um eine Basis ihrer direkten Summe zu bilden, die Darstellung ρ durch diagonale Matrizen durch Blöcke gemacht wird, wobei jeder Block einer der Darstellungen ρ i entspricht .
• Eine Darstellung gilt als vollständig reduzierbar, wenn es sich um eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen handelt.
• Zwei Darstellungen gelten als disjunkt, wenn sie keine gemeinsame irreduzible Komponente haben oder wenn zwischen ihnen kein Morphismus ungleich Null besteht.
• Wenn V ein Hilbert-Raum ist, dessen Skalarprodukt unter der Wirkung von G invariant ist , sagen wir, dass die Darstellung einheitlich  (in) ist .
• Wenn G a topologische Gruppe und V ist ein topologische Vektorraum , ρ ist eine kontinuierliche lineare Darstellung von G , wenn die Karte G × V → V , ( g , v ) ↦ gv ist kontinuierliche .

Verknüpfung mit den K [ G ] -Modulen

Der K -Algebra von G , bezeichnet mit K [ G ] und besteht aus endlichen Linearkombinationen formal von Elementen G mit Koeffizienten in K ist ein K assoziative Algebra deren Multiplikation natürlich erweitert das Recht der Gruppe G .

Wir können dann auf einzigartige Weise die Darstellung ρ in einem Morphismus von K- Algebren von K [ G ] bis End ( V ) durch Setzen erweitern

ρ((∑G∈GbeimGG)=∑G∈GbeimGρ((G).{\ displaystyle \ rho \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g).}

Dies macht V a K [ G ] - Modul . Es wird auch gesagt, dass V ein G- Modul  (en) ist .

Umgekehrt gegeben, ein K [ G ] -Modul bietet eine Darstellung von G .

Über dieses "Wörterbuch":

• ein Morphismus von Darstellungen entspricht einem Morphismus von K [ G ] -Modulen;
• Die reguläre Darstellung (siehe Abschnitt „Beispiele“ oben) entspricht der natürlichen Struktur von K [ G ], die als Modul links auf sich selbst gesehen wird.
• eine Darstellung ( V , ρ) ist genau dann nicht reduzierbar, wenn V als K [ G ] -Modul einfach ist ;
• es ist völlig reduzierbar , wenn und nur wenn V ist halb einfach .

Irreduzibilität

Die Tatsache, irreduzible Darstellungen zu berücksichtigen, ermöglicht es, bestimmte Überlegungen stark zu vereinfachen: Beispielsweise ist nach Schurs Lemma ein Morphismus zwischen zwei einfachen Modulen entweder Null oder invertierbar.

Kann oft das Studium der Repräsentationen von G zum Studium seiner irreduziblen Repräsentationen bringen: Wenn V nicht irreduzibel ist, können wir immer einen Unterraum von V betrachten , der in G stabil ist . Wenn V eine endliche Dimension hat, können wir am Ende ein einfaches Submodul finden.

Maschkes Theorem  -  Wenn G eine endliche Gruppe ist, deren Ordnung nicht durch die Charakteristik von K teilbar ist, dann ist jedes K [ G ] -Modul halb einfach (oder äquivalent: jede Darstellung von G auf einem K- Vektorraum ist vollständig reduzierbar). .

Dieser Satz wird teilweise auf kontinuierliche Darstellungen kompakter Gruppen verallgemeinert .

Wenn G eine endliche Gruppe ist, entspricht jede komplexe irreduzible Darstellung (endlichen Grades) von G einer Unterrepräsentation der regulären Darstellung.

Siehe auch

• Projektive Darstellung
• Affine Repräsentation  (in)

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