Einfaches Modul
Ein Modul M a Ring A wird als einfach oder nicht reduzierbar bezeichnet, wenn M nicht Null des Moduls ist und es keine Untermodule M außerhalb von {0} und M gibt .
Beispiele
Struktur einfacher Module
Sei A ein einheitlicher Ring und M ein einfaches A- Modul.
- Dann ist M ein A - zyklisches Modul, das von einem beliebigen Element x von M ungleich Null erzeugt wird . Tatsächlich Ax ist ein Submodul Nicht - Null - M , so ist es M . Die Umkehrung ist falsch, zum Beispiel ist der ℤ-Modul ℤ monogen (erzeugt durch 1), aber nicht einfach.
- Lassen x eine von Null verschiedene Element M . Dann ist die Menge der Elemente a von A, so dass ax = 0 ein maximales linkes Ideal I von A ist , und die Abbildung a↦ax von A nach M ist A- linear und definiert durch Übergabe an den Quotienten einen Isomorphismus von A - Module von A / I auf M .
- Umgekehrt wird für jeden linken ideal J von A , so dass die A -Modul A / J ist einfach, ist es notwendig und ausreichend , daß J ein maximales Element aller linken Ideale ist A verschieden von A .
Eigenschaften
- Einzelne Module sind Module der Länge 1.
- Ein einfaches Modul ist unzerlegbar (in) , das heißt, es ist nicht isomorph zu einem ist direkte Summe von zwei Nicht - Null - Module. Das Gegenteil ist falsch: Zum Beispiel sind die nicht zusammensetzbaren ℤ-Module vom endlichen Typ cycl und die cyclischen Gruppen der Ordnung p n mit p prime und n > 0 .
- Im Gegensatz zu Vektorräumen hat ein Modul ungleich Null möglicherweise kein einfaches Submodul. Zum Beispiel sind alle Nicht-Null-Submodule von ℤ isomorph zu ℤ, daher nicht einfach.
Let A ein Ring ist, M und N von A -Module und f eine Anwendung A -linear von M in N . Wenn M einfach ist, ist f entweder Null oder injektiv (tatsächlich ist der Kern von f ein Submodul von M , also {0} oder M ). Wenn N einfach ist, ist f entweder surjektiv oder null (tatsächlich ist das Bild von f ein Submodul von N , daher {0} oder N ).
Wenn ein A- Modul einfach ist, ist der Ring seiner Endomorphismen daher ein Feld , aber das Gegenteil ist falsch: Der ℤ-Modul ℚ ist nicht einfach, und dennoch ist jeder Endomorphismus ungleich Null der abelschen Gruppe ℚ invertierbar.
Sei K ein algebraisch geschlossenes Feld , A eine K- Algebra mit endlicher Dimension ungleich Null und M ein einfaches A- Modul. Dann wird der Ring von Endomorphismen von A -Modul M ist kanonisch isomorph K .
Siehe auch