Auf einem Feld K ist ein Vektorraum E wird gesagt, dass die endlichen Dimension , wenn es eine gibt endliche Basis . Es genügt dafür, dass es eine endliche generative Familie zulässt .
Endlich dimensionale Räume haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Doppelbasen sind Beispiele.
Jeder Vektorraum E lässt eine Basis zu, dh eine freie Familie und einen Generator, und zwei beliebige Basen von E, sogar die Kardinalität , die als Dimension von E bezeichnet wird . Die Artikel „ Unvollständiger Basissatz “ und „ Dimensionssatz für Vektorräume “ enthalten für jedes dieser beiden Ergebnisse einen allgemeinen Beweis und einen spezifischen Beweis für den Fall, dass E durch eine endliche Anzahl n von Vektoren erzeugt wird: Wir können dann bilden eine Basis von E, indem einige dieser n Vektoren und Steinitz 'Lemma genommen werden garantiert, dass die Anzahl der Vektoren einer freien Familie um die einer generierenden Familie erhöht wird.