Venn-Diagramm

Ein Venn-Diagramm (auch als Logikdiagramm bezeichnet ) ist ein Diagramm , das alle möglichen logischen Beziehungen in einer endlichen Sammlung verschiedener Mengen zeigt . Venn-Diagramme wurden um 1880 von John Venn entworfen . Sie werden verwendet, um elementare Mengenlehre zu lehren und einfache Zusammenhänge in Wahrscheinlichkeit , Logik ,  Statistik , Linguistik und Informatik zu veranschaulichen .

Beispiel

Dieses Beispiel besteht aus zwei Sätzen A und B, die hier als farbige Kreise dargestellt sind. Der orangefarbene Kreis, Satz A, repräsentiert alle lebenden Zweibeiner. Der blaue Kreis, Satz B, repräsentiert Lebewesen, die fliegen können. Jeder einzelne Kreaturentyp kann als Punkt in diesem Diagramm vorgestellt werden. Lebewesen, die zweibeinig sind und fliegen können - zum Beispiel Papageien - sind dann in beiden Sets enthalten und entsprechen somit den Punkten in der Region, an denen sich die blauen und orangefarbenen Kreise überlappen.

Menschen und Pinguine sind zweibeinig, befinden sich also im orangefarbenen Kreis. Da sie jedoch nicht fliegen können, erscheinen sie auf der linken Seite des orangefarbenen Kreises, wo er sich nicht mit dem blauen Kreis überlappt. Mücken haben sechs Beine und fliegen, sodass der Punkt, der den Mücken entspricht, in dem Teil des blauen Kreises platziert wird, der sich nicht mit der Orange überlappt. Kreaturen, die nicht zweibeinig sind und nicht fliegen können (z. B. Wale und Spinnen), werden alle durch Punkte außerhalb der beiden Kreise dargestellt.

Die kombinierte Region der Mengen A und B wird als Vereinigung von A und B bezeichnet und mit A ∪ B bezeichnet. Die Vereinigung enthält in diesem Fall alle Lebewesen, die entweder zweibeinig oder fliegend oder beides sind.

Der Bereich A und B, in dem sich die beiden Mengen überlappen, wird als Schnittpunkt von A und B bezeichnet und als A ∩ B bezeichnet. Beispielsweise ist der Schnittpunkt der beiden Sätze nicht leer, da es Punkte gibt, die Kreaturen darstellen, die beide sind im orangefarbenen Kreis und im blauen Kreis.

Geschichte

Venn-Diagramme wurden 1880 von John Venn in einem Artikel mit dem Titel Über die schematische und mechanische Darstellung von Sätzen und Argumenten im Philosophical Magazine und im Journal of Science über die verschiedenen Arten der Darstellung von Sätzen durch Diagramme vorgestellt. Die Verwendung dieser Diagrammtypen in der formalen Logik ist nach F. Ruskey und M. Weston "keine leicht zu verfolgende Geschichte, aber es ist sicher, dass die Diagramme, die üblicherweise mit Venn assoziiert werden, tatsächlich häufig vorkommen vorhin. Sie sind zu Recht mit Venn verbunden ist , weil er untersucht und formalisierte ihre Verwendung, und war der erste , sie“verallgemeinern .

Venn selbst verwendete den Begriff "Venn-Diagramm" nicht, sondern nannte sie "Eulersche Kreise". Zum Beispiel schreibt Venn im Eröffnungssatz seines Artikels von 1880: "Diagramme der schematischen Darstellung sind seit etwa einem Jahrhundert so weit in logische Abhandlungen eingeführt worden, dass davon ausgegangen werden kann, dass viele Leser, auch diejenigen, die noch keine fortgeschrittenen Studien durchgeführt haben Logik, kennen die allgemeine Natur und den Zweck solcher Zeichnungen. Von diesen Mustern wurde nur eines, allgemein als "Eulersche Kreise" bezeichnet, allgemein akzeptiert . Der erste, der den Begriff „Venn-Diagramm“ verwendete, war Clarence Irving Lewis im Jahr 1918 in seinem Buch „  A Survey of Symbolic Logic  “.

Venn - Diagramme sind sehr ähnlich wie Euler - Diagramme , die durch erfunden wurde Leonhard Euler im XVIII - ten  Jahrhundert. Herr E. Baron stellte fest , dass Leibniz (1646-1716) im XVII th  Jahrhundert ähnliche Muster vor Euler, aber die meisten von ihnen werden nicht veröffentlicht. Sie beobachtet auch, bevor Euler - Diagramme Raymond Lull  in XIII - ten  Jahrhundert.

Im XX - ten  Jahrhunderts wurden Venn - Diagramme entwickelt. DW Henderson zeigte 1963, dass die Existenz eines n- Venn- Diagramms mit n- facher Rotationssymmetrie impliziert, dass n eine Primzahl ist . Er zeigte auch, dass symmetrische Venn-Diagramme existieren, wenn n = 5 oder 7. Im Jahr 2002 fand Peter Hamburger symmetrische Venn-Diagramme für n = 11 und 2003 zeigten Griggs, Killian und Savage, dass Venn-Diagramme für alle anderen Primzahlen symmetrisch sind. Symmetrische Venn-Diagramme existieren also genau dann, wenn n eine Primzahl ist.

Venn- und Euler-Diagramme wurden in den 1960er Jahren in den Unterricht der Mengenlehre in der modernen Mathematik aufgenommen. Seitdem wurden sie auch in anderen Bereichen wie dem Lesen übernommen.

Überblick

Ein Venn-Diagramm besteht aus einer Reihe einfacher geschlossener Kurven, die in einer Ebene gezeichnet sind. Laut Lewis besteht das Prinzip dieser Diagramme darin, dass Klassen (oder Mengen ) durch Regionen mit logischen Beziehungen dargestellt werden können, die miteinander aufrechterhalten werden. Mit anderen Worten, das Diagramm lässt zunächst Raum für eine mögliche Beziehung von Klassen, und die gegebene Beziehung kann dann spezifiziert werden, indem angegeben wird, dass bestimmte bestimmte Regionen Null oder Nicht-Null sind. ""

Venn-Diagramme enthalten normalerweise überlappende Kreise . Die Innenseite des Kreises repräsentiert symbolisch die Elemente der Menge , während die Außenseite die Elemente repräsentiert, die nicht in der Menge enthalten sind. In einem Venn-Diagramm mit zwei Sätzen kann beispielsweise ein Kreis die Gruppe aller Holzobjekte darstellen, während ein anderer Kreis die Gruppe aller Tabellen darstellen kann. Der Überlappungsbereich oder Schnittpunkt würde dann die Menge aller Holztabellen darstellen. Andere Formen als Kreise können verwendet werden, wie unten gezeigt. Venn-Diagramme enthalten im Allgemeinen keine Informationen über die relativen oder absoluten Größen ( Kardinalität ) von Mengen.

Venn-Diagramme ähneln Euler-Diagrammen. Ein Venn-Diagramm mit n Sätzen muss jedoch 2 n  mögliche Zonen enthalten , die der Anzahl der Kombinationen von Einschluss oder Ausschluss in jedem der Sätze entsprechen. In Venn-Diagrammen kann ein schattierter Bereich einen leeren Bereich darstellen, während in einem Euler-Diagramm der entsprechende Bereich im Diagramm fehlt.

Der Unterschied zwischen Euler- und Venn-Diagrammen ist im folgenden Beispiel zu sehen. Oder drei Sätze:

• BEIM={1,2,5}}{\ displaystyle A = \ {1, \, 2, \, 5 \}}
• B.={1,6}}{\ displaystyle B = \ {1, \, 6 \}}
• VS={4,7}}{\ displaystyle C = \ {4, \, 7 \}}

Die Venn- und Euler-Diagramme dieser Mengen sind:

• Eulerdiagramm

• Venn-Diagramm

Erweiterungen zu einer großen Anzahl von Sets

Venn-Diagramme stellen normalerweise zwei oder drei Sätze dar, es ist jedoch möglich, eine größere Anzahl darzustellen. Unten bilden vier Kugeln das Venn-Diagramm höherer Ordnung, das die Symmetrie eines Simplex aufweist  und visuell dargestellt werden kann. Die 16 Schnittpunkte entsprechen den Eckpunkten eines Tesserakts .

Bei einer größeren Anzahl von Sätzen ist ein gewisser Symmetrieverlust unvermeidlich. Venn war daran interessiert, "symmetrische Figuren ... elegant an sich" zu finden, die eine größere Anzahl von Sätzen repräsentierten. Deshalb entwarf er ein Diagramm, das aus vier Sätzen mit Ellipsen bestand (siehe unten). Er gab auch eine Konstruktion für Venn-Diagramme für eine beliebige Anzahl von Sätzen an, wobei jede aufeinanderfolgende Kurve, die einen Satz begrenzt, mit den vorherigen Kurven verflochten ist, beginnend mit dem Dreikreisdiagramm.

• Venn Konstruktion für 4 Sätze

• Venn Konstruktion für 5 Sätze

• Venn Konstruktion für 6 Sätze

• 4-Satz-Venn-Diagramm mit Ellipsen

• Kein Beispiel: Dieses Euler-Diagramm ist kein Venn-Diagramm für 4 Sätze, da es nur 14 Regionen (einschließlich der Außenseiten) enthält. Es gibt keine Region, in der sich nur die gelben und blauen Scheiben oder die roten und grünen Scheiben treffen.

• 5-Satz-Venn-Diagramm mit kongruenten Ellipsen von Branko Grünbaum. Die Beschriftungen wurden zur besseren Lesbarkeit vereinfacht. Zum Beispiel steht A für A ∩ Bc ∩ Cc ∩ Dc ∩ Ec, während BCE für Ac ∩ B ∩ C ∩ Dc ∩ E steht.

• Sechs-Satz-Venn-Diagramm mit nur Dreiecken (interaktive Version)

Edwards Venn Diagramme

• Drei Sätze

• Vier Sätze

• Fünf Sätze

• Sechs Sätze

AWF Edwards  (en) konstruierte eine Reihe von Venn-Diagrammen für eine größere Anzahl von Mengen, indem er die Oberfläche einer Kugel segmentierte. Zum Beispiel können drei Sätze leicht dargestellt werden, indem drei Halbkugeln einer Kugel im rechten Winkel genommen werden (x = 0, y = 0 und z = 0). Eine vierte Serie kann zur Darstellung hinzugefügt werden, indem eine Kurve ähnlich der Naht eines Tennisballs usw. erstellt wird. Diese Diagramme wurden entworfen, als ein Buntglasfenster in Erinnerung an Venn entworfen wurde.

Andere Diagramme

Edwards 'Venn-Diagramme entsprechen topologisch den von Branko Grünbaum entwickelten Diagrammen . Sie sind auch zweidimensionale Darstellungen des Hyperwürfels.

Henry John Stephen Smith  entwarf ähnliche Diagramme wie

n Sätze unter Verwendung von Sinuskurven mit den Gleichungen: nicht- -1{\ displaystyle n-1} yich=Sünde⁡((2ichx)2ich oder 0≤ich≤nicht- -2 und ich∈NICHT{\ displaystyle y_ {i} = {\ frac {\ sin (2 ^ {i} x)} {2i}} {\ text {where}} 0 \ leq i \ leq n-2 {\ text {and}} i \ in \ mathbb {N}}. [Fragwürdige Informationen]

Charles Lutwidge Dodgson entwarf ein Diagramm mit fünf Sätzen.

Verwandte konzepte

Venn - Diagramme entsprechen den Wahrheitstabellen für Sätze , usw., in dem Sinne , dass jeder Bereich des Venn - Diagramm entspricht eine Zeile der Wahrheitstabelle. x∈BEIM{\ displaystyle x \ in A}x∈B.{\ displaystyle x \ in B}

Anmerkungen und Referenzen

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel "  Venn Diagramm  " ( siehe Autorenliste ) .

1. Siehe:
   • (en) J. Venn, "  Zur schematischen und mechanischen Darstellung von Vorschlägen und Argumenten  " , Philosophical Magazine und Journal of Science , vol.  9, n o  59,Juli 1880, p.  1-18 ( online lesen ) ;;
   • (en) John Venn, „  Zur Verwendung geometrischer Diagramme für die empfindliche Darstellung logischer Sätze  “ , Proc. Cambridge Phil. Soc. , Vol.  4,1880, p.  47-59 ( online lesen ).
2. F. Ruskey und M. Weston, Juni 2005.
3. In Briefen an eine Prinzessin von Deutschland zu verschiedenen Themen der Physik und Philosophie  von Euler [Briefe an eine deutsche Prinzessin zu verschiedenen physikalischen und philosophischen Themen], Kaiserliche Akademie der Wissenschaften von St. Petersburg, 1768, vol. 2, Seiten 95-126. 
4. ME Baron, Mai 1969.
5. DW Henderson, April 1963.
6. Frank Ruskey, Carla D. Savage und Stan Wagon, Dezember 2006.
7. Strategien zum Lesen von Verständnis-Venn-Diagrammen
8. Clarence Irving Lewis, 1918.
9. "Euler Diagrams 2004: Brighton, Großbritannien: 22. bis 23. September" .
10. John Venn, 1881.
11. Edwards, AWF (2004), Zahnräder des Geistes: Die Geschichte der Venn-Diagramme , JHU Press, p. 65 ( ISBN  9780801874345 ) .
12. Ralph P. Grimaldi, 2004.
13. (in) DL Johnson, Elemente der Logik über Zahlen und Mengen ,2001( online lesen ) , Kap.  3.3 ("Gesetze").

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

• Logischer Anschluss
• Oktaeder - Eine stereografische Projektion eines regulären Oktaeders erzeugt ein 3-Satz-Venn-Diagramm.
• Carroll-Diagramm
• Euler-, Venn- und Carroll-Diagramme

Weiterführende Literatur

• Verallgemeinerte Venn-Diagramme 1987 von ES Mahmoodian mit M. Rezaie und F. Vatan.
• Stewart, Ian (2004). "Ch. 4 Zahnräder des Geistes" . Noch eine gute Mathematik, in die du mich hineingezogen hast . Dover-Veröffentlichungen. pp. 51–64. ( ISBN  0-486-43181-9 ) .
• Edwards, AWF (2004). Zahnräder des Geistes: die Geschichte der Venn-Diagramme . JHU Drücken Sie . ( ISBN  978-0-8018-7434-5 ) .
• Glassner, Andrew (2004). "Venn und jetzt". Morphs, Stockenten und Montagen: Computergestützte Imagination . Wellesley, MA: AK Peters. pp. 161–184. ( ISBN  978-1568812311 ) .
• Ruskey, Khalegh; Ruskey, Frank (27. Juli 2012). "Eine neue Rose: Das erste einfache symmetrische 11-Venn-Diagramm" . p. 6452. arXiv : 1207.6452 . Bibcode : 2012arXiv1207.6452M

Externe Links

• (en) "Venn-Diagramm" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , online lesen )
• (en) Eric W. Weisstein , „  Venn-Diagramm  “ , auf MathWorld
• Lewis Carroll Logikspiel - Venn vs. Euler auf  Cut-the-Knot
• Eine Studie über Venn-Diagramme
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