Asymptote

Der Begriff Asymptote ( Aussprache: / a . S ɛ̃ p . T ɔ t / ) wird in der Mathematik verwendet , um mögliche Eigenschaften eines unendlichen Zweigs einer zunehmenden Kurve zu spezifizieren , die zum infinitesimalen tendiert . Es ist zuallererst ein Adjektiv der griechischen Etymologie, das eine Gerade, einen Kreis, einen Punkt… qualifizieren kann, dem sich eine komplexere Kurve nähern kann. Es ist auch ein weiblicher Name geworden, der gleichbedeutend mit gerader Asymptote ist .

Eine zu einer Kurve asymptotische Linie ist eine Linie, bei der, wenn die Abszisse oder die Ordinate gegen Unendlich strebt, der Abstand von der Kurve zur Linie gegen 0 tendiert.

Das Studium des asymptotischen Verhaltens wird besonders in den Funktionsstudien entwickelt und bietet Vorteile, die von vielen Mathematikern anerkannt werden. Im wissenschaftlichen Bereich werden häufig zeitabhängige Funktionen untersucht ( Populationsentwicklung , chemische oder nukleare Reaktion , Temperaturkurve , Schwingung eines Dämpfers ). Ein Ziel des Forschers ist es dann, den Zustand am Ende des Experiments zu kennen , also wenn ein großes Zeitintervall verstrichen ist. Ziel ist es nicht , dann die Zwischen Variationen zu wissen , sondern das , um zu bestimmen stabile Verhalten , bis ins Unendliche des gemessenen Phänomens.

Da das Projekt einer einheitlichen Definition nicht sinnvoll ist, werden in diesem Artikel mehrere Situationen beschrieben.

Asymptote und Begegnung

Die griechische Etymologie des Wortes „Asymptote“, das mit dem privaten Präfix „a“ und „symptôsis“ (Begegnung) konstruiert wurde, legt nahe, dass sich zwei asymptotische Kurven nicht treffen. Dieser Eindruck wird durch bestimmte literarische Verwendungen des Begriffs verstärkt: „Wissenschaft ist die Asymptote der Wahrheit. Es nähert sich ohne Unterlass und berührt nie “ - (Victor Hugo. William Shakespeare - Kunst und Wissenschaft). Eine der ersten Begegnungen asymptotischer Linien mit dem Studium der Hyperbel scheint diesen Sachverhalt zu bestätigen. Diese Bedingung, sich nie zu treffen, ist sogar in den alten Definitionen der Asymptote vorhanden. Die gegenwärtige mathematische Definition des Begriffs (Kurven, die sich auf unbestimmte Zeit annähern) erlaubt jedoch das einmalige oder sogar unendliche Zusammentreffen der Kurven und schließt nicht aus, dass die Kurven verwechselt werden.

Kurve der Gleichung $y = 1 + 4 ( x 2 - 1) / x 4$ und ihre asymptotische Linie $( d )$ : $y = 1$ . Kurve und Gerade treffen sich für $x = 1$ .
Gleichungskurve $y = 1 + sin (5 x ) / (2 x )$ und ihre Asymptotenlinie $( d )$ : $y = 1$ . Kurve und Gerade treffen sich unendlich oft.
Kurve der Gleichung $y = 1 + E (6/ x )/3$ (wobei $E$ die ganzzahlige Funktion bezeichnet ) und ihre Asymptotenlinie $( d )$ : $y = 1$ . Kurve und Gerade werden verwechselt.
Parametric Gleichung Kurve $x = t + cos (14 t ) / t ; y = t + sin (14 t ) / t$ und seine asymptotische Linie ( d ): $y = x$ . Kurve und Gerade treffen sich unendlich oft.

Gleichungskurve $y = f ( x )$

Asymptoten liegen vor, wenn $x$ oder $f ( x )$ gegen unendlich geht.

Gerade Asymptote

Im Folgenden verwenden wir die Notationen $a$ und $b$ , um reelle Zahlen zu bezeichnen, also endlich.

"Vertikale" Asymptote

Die Gleichungslinie $x = a$ ist eine vertikale Asymptote zu der Kurve, die für die Funktion $f$ (in $a$ ) repräsentativ ist, wenn sich der Wert von $x$ dem endlichen Wert $a$ $beliebig$ nähert , während er kleiner oder größer als $a$ bleibt , aber niemals gleich $a$ , desto mehr nähert sich der Wert von $f ( x ) der$ Unendlichkeit:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = \ pm \ infty.}

Vertikale Asymptoten findet man insbesondere dann, wenn die Funktion $f$ in Form eines Quotienten dargestellt wird, dessen Nenner bei $a$ verschwindet , aber nicht der Zähler.

Beispiele: homographische Funktion , natürlicher Logarithmus , Tangensfunktion

"Horizontale Asymptote

Die Linie der Gleichung $y = b$ ist horizontal asymptotisch zur Kurve der Gleichung $y = f ( x )$ , wenn, wenn $x$ beliebig gegen Unendlich ansteigt (aber ohne jemals Unendlich zu erreichen), sich $f ( x )$ einem endlichen Wert nähert $b$ :

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = b.}

Beispiele: Homographische Funktion , Exponentialfunktion , Hyperbolischer Tangens

Asymptote "affin"

Die Gleichungslinie $y = ax + b$ ( $a$ ist hier verschieden von 0) ist asymptotisch schräg zur Kurve, die für die Funktion $f$ repräsentativ ist, wenn ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} \ left (f (x) -ax-b \ right) = 0.}$

Die Werte von $a$ und $b$ werden mit den folgenden Formeln berechnet:

a = \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} {f (x) \ über x}

b = \ lim_ {x \ bis \ pm \ infty} {f (x) -ax}

Ist gleich dem reellen $a,$ während $f$ $($ $x$ $)$ $-ax$ keinen reellen Grenzwert in $\pm$ zulässt, sagen wir, dass die Kurve als asymptotische Richtung die Gerade der Gleichung $y = ax$ zulässt . $\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} {f (x) \ über x}$

Wenn gleich dem reellen $a$ und wenn , dann spricht man von einem parabelförmigen Richtungszweig $y = ax$ . $\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} {f (x) \ über x}$ $\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) -ax = \ pm \ infty$

Der projektive Standpunkt

Die drei vorhergehenden Situationen bilden in der projektiven Geometrie nur eine , wobei eine Asymptote eine Tangente an die Unendlichkeit ist.

Asymptote Kurve

Die Kurve der Gleichung $y = g ( x )$ ist asymptotisch zur Kurve der Gleichung $y = f ( x )$ in $\pm \infty$ si . Die „horizontalen“ oder „schrägen“ Asymptoten sind dann Sonderfälle derartiger asymptotischer Kurven. $\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) - g (x) = 0$

Parametrierte Kurve

Gerade Asymptote

Gesucht werden asymptotische Geraden mit unendlichen Ästen der Kurve der Gleichung $( x = x ( t ); y = y ( t ) )$ , also bei $t 0$ (reell oder unendlich) mit $M$ $($ $t$ $)$ ist) der Punkt mit Koordinaten $($ $x$ $($ $t$ $);$ $y$ $($ $t$ $))$ . $\ lim_ {t \ to t_0} OM (t) = + \ infty$

Die Gleichungslinie $ax + by + c = 0$ ist asymptotisch zur Kurve bei $t 0,$ wenn

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to t_ {0}} OM (t) = + \ infty \ \ mathrm {et} \ \ lim _ {t \ to t_ {0}} ax (t) + by (t ) + c = 0}

Um eine zur Kurve asymptotische Linie zu finden, beobachten wir, ob die eine oder andere der Koordinaten gegen Unendlich geht, wenn $t$ gegen $t 0$ strebt . Wenn keine der Koordinaten gegen Unendlich strebt, suchen wir nicht nach einer asymptotischen Linie.

Wenn eine der Koordinaten gegen Unendlich strebt, während die andere gegen eine reelle Zahl strebt, können wir auf die Existenz einer Asymptote schließen:

die Kurve lässt die Gerade $D : y = y 0$ für Asymptote in $t 0 zu,$ wenn: ${\ displaystyle \ lim _ {t \ bis t_ {0}} x (t) = + \ infty \ \ mathrm {et} \ \ lim _ {t \ bis t_ {0}} y (t) = y_ {0 }}$ ;
die Kurve lässt die Gerade $D : x = x 0$ für Asymptote in $t 0 zu,$ wenn: ${\ displaystyle \ lim _ {t \ bis t_ {0}} x (t) = x_ {0} \ \ mathrm {et} \ \ lim _ {t \ bis t_ {0}} y (t) = + \ infty}$ .

Für den Fall, dass die beiden Koordinaten gegen Unendlich tendieren, sucht man eine schräge Asymptote. Wir suchen den Grenzwert von $y ( t ) / x ( t )$ da $t$ gegen $t 0$ strebt . Wenn dieser Grenzwert gleich einem von Null verschiedenen Realen $a ist$ , dann suchen wir den Grenzwert von $y ( t ) - ax ( t ),$ da $t$ gegen $t 0$ strebt . Wenn dieser Grenzwert gleich einer reellen Zahl $b ist$ , dann ist die Gleichungslinie $y = ax + b$ asymptotisch zur Kurve. In allen anderen Fällen liegt keine schräge Asymptote vor.

Beispiel: Betrachten Sie die parametrische Gleichungskurve

\ begin {Fälle} x (t) = 1 / (1-t ^ 2) \\ y (t) = t ^ 3 / (1-t ^ 2) \ end {Fälle}

Wenn sich $t$ –1 nähert, tendieren Abszisse und Ordinate gegen unendlich, das Verhältnis $y ( t ) / x ( t ) geht$ gegen -1 und die Summe $x ( t ) + x ( t )$ tendiert gegen 3/2, daher die Kurve hat eine asymptotische Gerade der Gleichung $x + y = 3/2$ . Die Kurve hat auch eine Asymptote (entsprechend dem Fall, in dem $t$ gegen 1 strebt) mit Gleichung $y = x - 3/2$ sowie eine letzte (Fall, wo $t$ gegen Unendlich strebt) mit Gleichung $x = 0$ .

Andere Asymptoten

Polargleichungskurve

Wir suchen die Asymptoten der Kurve der Gleichung $r = ρ ( θ ),$ wenn $r$ oder $θ$ gegen Unendlich oder gegen einen bestimmten Wert strebt.

Gerade Asymptote

Eine polare Gleichungskurve lässt eine asymptotische Richtung zu, wenn für $θ 0$ gegeben gilt

\ lim _ {\ theta \ zu \ theta_0} \ rho (\ theta) = \ infty

Die Kurve lässt dann eine asymptotische Gerade zu, wenn es ein reelles $λ gibt,$ so dass

\ lim _ {\ theta \ zu \ theta_0} \ rho (\ theta) \ sin (\ theta- \ theta_0) = \ lambda

Die Kurve nähert sich der Gleichungslinie

\ rho (\ theta) = \ frac {\ lambda} {\ sin (\ theta-\ theta_0)}

Asymptotischer Kreis

Eine polare Gleichungskurve lässt einen asymptotischen Kreis zu, wenn $ρ 0$ gegeben ist, so dass

\ lim _ {\ theta \ zu \ infty} \ rho (\ theta) = \ rho_0

Die Kurve "rollt" dann auf dem Kreis der Gleichung $ρ = ρ 0 auf$ .

Wenn in der Nähe von $R 0$ , $ρ ( θ ) < ρ 0$ , die Kurve Winde innerhalb des asymptotisch Kreises, wenn, im Gegenteil, in der Nähe von $R 0$ , $ρ ( θ )> ρ 0$ , dann ist es s ‚Rollen auf der Außenseite.

Asymptotenpunkt

Es kann vorkommen, dass sich ein unendlicher Kurvenzweig um einen Punkt schlingt und sich ihm unendlich nähert. Dieser Punkt wird dann Asymptotenpunkt auf der Kurve genannt. Wir finden diese Situation im Zentrum einer logarithmischen Spirale . In der Polargleichung ist der Ursprung ein asymptotischer Punkt si . $\ lim _ {\ theta \ to \ infty} \ rho (\ theta) = 0$

Bewertung und Referenz

Aussprache auf Französisch aus Frankreich transkribiert nach API-Standard .
Gemäß der Definition von " Asymptote " im Wiktionary .
Le Petit Robert, Wörterbuch der französischen Sprache , 1986.
Siehe den asymptotischen Artikel der Enzyklopädie von Diderot und d'Alembert Online lesen .
Lionel Porcheron, Das MPSI-Formular, MP , Dunod, 2008, p. 63 .

Asymptote

Asymptote und Begegnung

Gleichungskurve y = f ( x )

Gerade Asymptote

Asymptote Kurve

Parametrierte Kurve

Gerade Asymptote

Andere Asymptoten

Polargleichungskurve

Gerade Asymptote

Asymptotischer Kreis

Asymptotenpunkt

Bewertung und Referenz

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