Der Auftrieb ist die Kraft, die insbesondere von einem Körper realisiert wird, der ganz oder teilweise in einer Flüssigkeit ( Flüssigkeit oder Gas ) liegt und einem Schwerkraftfeld ausgesetzt ist . Diese Kraft kommt von der Zunahme des Flüssigkeitsdrucks mit der Tiefe oder Höhe (Einfluss der Schwerkraft auf die Flüssigkeit, siehe den hydrostatischen Artikel ): Der Druck ist auf dem unteren Teil eines untergetauchten Objekts größer als auf seinem oberen Teil, das Ergebnis ist ein allgemein vertikaler Aufwärtsschub. Aus diesem Schub definieren wir den Auftrieb eines Körpers. Dieser Schub wurde zuerst von Archimedes untersucht .
„Jeder Körper, der im Ruhezustand in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, von dieser vollständig benetzt ist oder seine freie Oberfläche durchquert, erfährt eine vertikale Kraft, die von unten nach oben gerichtet ist und dem Gewicht des verdrängten Flüssigkeitsvolumens entspricht (und entgegensetzt) . Diese Kraft wird Archimedes' Schub genannt . Sie gilt für den Massenschwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit, den sogenannten Schubzentrum . "
Damit das Theorem gilt, müssen die eingetauchte Flüssigkeit und der eingetauchte Körper ruhen. Es muss auch möglich sein, den Tauchkörper durch Tauchflüssigkeit zu ersetzen, ohne das Gleichgewicht zu brechen, das Gegenbeispiel ist der Stopfen einer mit Wasser gefüllten Badewanne: Wird dieser durch Wasser ersetzt, ist klar, dass sich die Wanne entleert und die Flüssigkeit ruht dann nicht mehr. Der Satz gilt nicht, da wir uns in einem Fall befinden, in dem der Stopfen nicht vollständig von der Flüssigkeit benetzt wird und seine freie Oberfläche nicht durchdringt.
Sobald die vorherigen Bedingungen eingehalten werden, wird in einem gleichmäßigen Schwerefeld der archimedische Schub durch die Formel angegeben:
P→BEIM=-ichfG→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} oder :Für den speziellen Fall, dass auch die Dichte ρ des Fluids gleichförmig ist, gilt:
P→BEIM=-ρVG→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} oder :Betrachten wir die Intensitäten ( Normen ) der Kräfte, dann erhalten wir durch Notieren von P A und g die Normen der zugehörigen Vektoren:
Die Intensität P A des archimedischen Schubs wird in N ausgedrückt , die Dichte ρ in kg m −3 , das Volumen der verdrängten Flüssigkeit V in m 3 und die Erdbeschleunigung g in m s −2 .
Betrachten Sie eine Flüssigkeit in Ruhe. Wir begrenzen durch Gedanken ein bestimmtes Volumen beliebiger Form innerhalb dieser Flüssigkeit. Auch dieses Volumen ruht: Trotz seines Gewichts fällt dieses Volumen nicht. Das heißt, sein Gewicht wird konsequent durch eine Gegenkraft kompensiert, die ihn an Ort und Stelle hält und die von der äußeren Flüssigkeit kommt. Wir ersetzen nun, immer durch Gedanken, dieses Volumen durch irgendeinen Körper. Da die Kraft, die die Flüssigkeit im Gleichgewicht hält, eine Druckkraft ist, die auf die Oberfläche des Volumens wirkt, kann man annehmen, dass dieselbe Kraft noch immer auf den eingetauchten Körper wirkt: sie ist immer dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entgegengesetzt. Es ist der Anstoß von Archimedes. Die Tatsache, dass die Kraftfelder für das homogene ruhende Fluid und für den in das ruhende Fluid eingetauchten Körper identisch sind, wird als "Erstarrungssatz" bezeichnet.
Angenommen, ein Würfel der Kante a ist vollständig in eine Flüssigkeit eingetaucht, seine Oberseite ist horizontal und befindet sich in einer Tiefe z 1 > 0 (die positive Richtung ist nach unten). Wir bezeichnen den Einheitsvektor, der entlang der zunehmenden z-Achse gerichtet (also nach unten gerichtet) ist.
Im Fall einer inkompressiblen ruhenden Flüssigkeit, die einem gleichmäßigen Schwerefeld ausgesetzt ist, beträgt der absolute Druck p in einer Tiefe z :
oder :Wir betrachten eine Flüssigkeitssäule, ähnlich einer rechten Fahrbahn mit variabler Höhe z und deren Grundfläche konstant und gleich A ist. In einer Tiefe z entspricht der hydrostatische Druck der Norm P des Gewichts dividiert durch die Grundfläche A von die Flüssigkeitssäule: p ( z ) = P / A .
Der Ausdruck für das Gewicht der Flüssigkeitssäule lautet jedoch:
oder :Wir erhalten daher mit der Formel p ( z ) = P / A:
.Der Absolutdruck ist also
.Durch Symmetrie heben sich die auf die vier Seitenflächen des Würfels ausgeübten Druckkräfte zu zweit auf.
Die von der Flüssigkeit auf die Oberseite (der Fläche A = a 2 ) des Würfels ausgeübte Kraft ist von oben nach unten gerichtet und beträgt:
.Die von unten nach oben gerichtete Kraft , die die Flüssigkeit auf die untere Fläche (der Fläche A = a 2 ) des Würfels ausübt, der sich in der Tiefe z 2 = z 1 + a befindet , beträgt:
.Die Resultierende der Druckkräfte ist daher wert:
oder :Die resultierende Kraft ist daher genau das Gegenteil des Gewichts des verdrängten Flüssigkeitsvolumens. Da diese Kraft negativ ist, ist sie gut vertikal von unten nach oben ausgerichtet.
Es ist möglich, die vorherige Demonstration auf ein Volumen beliebiger Form zu verallgemeinern. Es genügt, die an das Volumen grenzende Fläche in unendlich kleine Elemente d S zu zerlegen, die als Ebenen angenommen werden, und dann mit Hilfe einer Integralrechnung alle auf jedes Flächenelement ausgeübten infinitesimalen Kräfte zu addieren .
Man kann den Satz von Archimedes aus dem des Gradienten ableiten : Nehmen wir ein unbestimmtes Volumen V an , das von einer geschlossenen Fläche S begrenzt wird und vollständig in eine Flüssigkeit der Dichte ρ eingetaucht ist , die einem nicht unbedingt gleichförmigen Gravitationsfeld ausgesetzt ist .
Nach Definition des Drucks p ist die Resultierende der auf das Volumen ausgeübten Druckkräfte:
oder :Nach dem Gradientensatz dann dem Grundgesetz der Hydrostatik wird dieser Ausdruck zu:
was das Gegenteil des Gewichts des verdrängten Flüssigkeitsvolumens ist.
Tauchen wir einen Festkörper des Volumens V , der Masse m und der Dichte ρ vollständig in eine Flüssigkeit gleichförmiger Dichte ρ f ein und befreien ihn dann aus der Ruhe. Am Anfang wirken bei einer Geschwindigkeit von Null nur zwei Kräfte auf den Festkörper: sein Gewicht F p (nach unten) und die archimedische Schubkraft F a (nach oben).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fIn diesem Fall entspricht das Dichteverhältnis dem der Dichten :
In den beiden Fällen, in denen der Festkörper nicht im Gleichgewicht ist, wird seine nachfolgende Bewegung von drei Kräften bestimmt: seinem Gewicht, der archimedischen Schubkraft (entgegengesetzt der Masse) und einer viskosen Reibungskraft F f (entgegengesetzt der Geschwindigkeit).
Nach dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz gilt dann:
F p - F a ± F f = m a (die positive Richtung ist nach unten)wobei a die Beschleunigung des Festkörpers ist.
Da die viskose Reibungskraft nicht konstant ist, sondern mit der Geschwindigkeit zunimmt, nimmt die Beschleunigung allmählich ab, so dass der Feststoff mehr oder weniger schnell eine Grenzgeschwindigkeit erreicht, wenn die Resultierende der Kräfte Null ist.
Betrachten Sie ein festes Volumen V und Dichte ρ S, das auf der Oberfläche einer Flüssigkeit schwimmt, Dichte ρ L . Wenn der Festkörper schwimmt, liegt das daran, dass sein Gewicht durch den Schub von Archimedes ausgeglichen wird:
F a = F p .Der Archimedes gleicher Schub ist (im Absolutwert) zu dem Gewicht des Volumens der Flüssigkeit verdrängt (gleich das Volumen V i unter Wasser), können wir schreiben:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).Das eingetauchte Volumen ist daher wert:
V i = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Da V > V i , folgt ρ S < ρ L .
Anwendung auf den Fall eines EisbergsBetrachten Sie ein Stück reines Eis bei 0 ° C, das im Meerwasser schwimmt . Seien ρ S = 0,917 g / cm 3 und ρ L = 1,025 g / cm 3 ( für reines Wasser bei 3,98 ° C hätten wir ρ L = 1,000 g / cm 3 ). Der Berichtρ Sρ L(das heißt die relative Dichte ) ist gleich 0,895, so dass das eingetauchte Volumen V i fast 90% des Gesamtvolumens V des Eisbergs ausmacht.
Ein Eiswürfel, der in einem Glas schmilztEs ist leicht zu überprüfen, dass das Schmelzen eines auf reinem Wasser schwimmenden Stücks reines Eis ohne Änderung des Wasserspiegels erfolgt. Das Volumen des eingetauchten Eises entspricht in der Tat dem Volumen an flüssigem Wasser, das notwendig ist, um das Gewicht des Eiswürfels auszugleichen ( Gl. 1). Durch das Schmelzen produziert der Eiswürfel (unter Erhaltung der Masse) genau dieses Wasservolumen, das "das Loch verstopft, das das Verschwinden des festen Eises hinterlassen hat". Der Wasserstand bleibt gleich. In der nebenstehenden Abbildung ist das gestrichelt begrenzte Volumen im linken Glas das Volumen des eingetauchten Eises und im rechten Glas das Volumen des flüssigen Wassers, das durch das Schmelzen des Eiswürfels entsteht.
Wir können auch folgende Rechnung machen: Betrachten wir zum Beispiel einen Eiswürfel von 1 cm 3 und einer Dichte von 0,917 g cm −3 (der also 0,917 g Wasser enthält), beträgt das eingetauchte Volumen 0,917 cm 3 ( Gl. 2 ) (wie ein Eisberg ist das meiste davon unter Wasser). Wenn der Eiswürfel geschmolzen ist, nehmen diese 0,917 g Wasser, die jetzt eine Dichte von 1 g · cm −3 haben, genau das Volumen ein, das der eingetauchte Teil des Eiswürfels einnimmt.
Alles geschieht so, als ob der Schub von Archimedes auf das Zentrum des Rumpfes , dh auf den Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens, ausgeübt würde.
Diese Eigenschaft ist wichtig für die Berechnung der Stabilität eines U-Bootes unter Wasser oder eines Aerostaten : Wenn diese Maschinen nicht umkippen, ist es notwendig, dass sich ihr Rumpfmittelpunkt über ihrem Schwerpunkt befindet.
Bei einem Schiff hingegen liegt die Rumpfmitte oft unter dem Schwerpunkt, um zu hohe Aufrichtmomente zu vermeiden. Wenn sich jedoch die Neigung des Schiffes ändert ( Rollen ), bewegt sich die Mitte des Rumpfes seitlich mehr als der Schwerpunkt, was ein Drehmoment erzeugt, das dazu neigt, das Schiff in seine ursprüngliche Neigung zurückzubringen. Die Stabilität wird dann durch die Position des Metazentrums gewährleistet, das der Angriffspunkt der Schubvariationen ist. Dieses Metazentrum muss über dem Schwerpunkt liegen.
Anekdotisch können wir feststellen, dass U-Boot-Konstrukteure gleichzeitig zwei Arten des Gleichgewichts für ihre Maschinen sicherstellen müssen: das Gleichgewicht beim Tauchen und das Gleichgewicht an der Oberfläche.
Die Abhandlung über schwimmende Körper , in der Archimedes die Gesetze der Statik von Flüssigkeiten - und die Gleichgewichtsbedingungen fester Körper, die in eine Flüssigkeit eingetaucht oder auf ihr schwimmt - darlegt, ist wahrscheinlich das bekannteste Werk von Archimedes, denn jeder hält in man beachte die Anekdote von Vitruv, nach der Archimedes beim Baden die Intuition des Grundprinzips der Hydrostatik hatte:
Archimedes, griechischer Gelehrter, der ab 287 v. Chr. in Syrakus , Sizilien lebte . n . Chr. bis 212 v. AD , ist bekannt für seine vielen wissenschaftlichen, theoretischen oder praktischen Arbeiten, sei es in Mathematik oder Physik . Die Abhandlung über schwimmende Körper, die das Eintauchen eines Körpers, fest oder flüssig, in eine Flüssigkeit geringerer, gleicher oder größerer Dichte rigoros untersucht , legt den Grundstein für den Zweig der Strömungsmechanik , der später als " hydrostatisch " bezeichnet wird. Dieses Buch ist das Theorem, das den Namen des Wissenschaftlers trägt, der vollständig bewiesen hat, dass das 16. Jahrhundert.
Die Abhandlung über schwimmende Körper enthält weitere Vorschläge, die sich auf Archimedes' Stoßrichtung beziehen:
Vitruv berichtet, dass König Hieron II. von Syrakus (306-214) seinen jungen Freund und wissenschaftlichen Berater Archimedes (damals 22 Jahre alt) gebeten hätte, zu überprüfen, ob eine goldene Krone , die er Zeus geopfert hatte, vollständig in Gold war oder wenn der Handwerker Silber hineingelegt hätte . Die Kontrolle war natürlich, die Krone nicht zu beschädigen. Auch die Form dieser war zu komplex, um das Volumen des Ornaments berechnen zu können. Archimedes fand angeblich einen Weg, um zu überprüfen, ob die Krone wirklich aus Gold war, während er im öffentlichen Bad war und beobachtete, wie Gegenstände darin schwammen. Dann wäre er völlig nackt auf die Straße gegangen und hätte " Heureka " gerufen. » (Ich habe es gefunden!), Eine Formel, die inzwischen berühmt geworden ist.
Die Beobachtung, die Archimedes im öffentlichen Bad machte, ist, dass die Körper bei gleichem gegebenen Volumen nicht das gleiche Gewicht haben, dh eine unterschiedliche Masse pro Volumeneinheit haben. Heutzutage sprechen wir von Dichte . Silber (Dichte 10.500 kg m -3 ) ist weniger dicht als Gold (Dichte 19.300 kg m -3 ), hat also eine geringere Dichte: Um die gleiche Masse zu erhalten, braucht es mehr Silber als Gold. Wenn der Handwerker Geld in der Königskrone versteckte, schloss Archimedes, dass die Krone größer sein musste, als wenn sie ausschließlich aus Gold bestand. Damit war die Täuschung des Juweliers entlarvt.
Um die Frage von König Hieron zu beantworten, konnte Archimedes daher die von der Krone verdrängte Wassermenge mit einer Goldmenge gleicher Masse vergleichen. Bewegen beide das gleiche Wasservolumen, dann ist ihre Dichte gleich und es kann geschlossen werden, dass beide aus dem gleichen Metall bestehen. Um das Experiment durchzuführen, kann man sich vorstellen, die Goldmasse in einen randvoll gefüllten Behälter (und zur besseren Beobachtung mit einer Tülle versehen) zu tauchen. Dann läuft eine gewisse Wassermenge aus dem Behälter (kann zum Messen aufgefangen werden). Dann entfernen wir das Gold und ersetzen es durch die zu untersuchende Krone. Wenn die Krone ganz aus Gold ist, wird das Wasser nicht überlaufen. Ist dagegen seine Dichte geringer und damit sein Volumen bei gleicher Masse größer, fließt zusätzliches Wasser über.
Die verdrängte Wassermenge hängt vom Silberanteil im Gold ab; Da Gold etwa doppelt so dicht ist wie Silber, führt der Ersatz von 10 Masse-% Gold durch Silber zu einer Volumenzunahme von 10 %. Aufgrund der hohen Dichte von Gold ist sein Volumen jedoch sehr gering: Das Volumen einer Krone von 1 kg Gold beträgt nur etwas mehr als 50 cm 3 und der Ersatz von 10 % Gold durch Silber macht nur einen Unterschied von etwa 4,34 cm 3 (die Wassermenge in einem Teelöffel)
Das so von Vitruv beschriebene Verfahren hat zwei Nachteile. Der erste ist, dass er hier nicht das Prinzip des Archimedes ins Spiel bringt. Das zweite Problem besteht darin, dass unter realistischen Bedingungen aufgrund der Dichte des Goldes und des geringen Volumens der Krone das Volumen des verdrängten Wassers sehr klein ist und seine Messung durch Wasser, das bei den verschiedenen Operationen verloren gehen kann, gestört wird. Es ist daher unwahrscheinlich, dass Archimedes aus einer solchen Erfahrung irgendwelche sinnvollen Schlüsse gezogen haben könnte.
Eine realistischere Methode ist die folgende. Wir balancieren eine Waage mit der Krone auf der einen Seite und reinem Gold auf der anderen, deren Massen gleich sind. Dann werden die gewogenen Gegenstände vollständig eingetaucht (um den Einfluss der Waage der Waage zu überwinden, können wir sicherstellen, dass sie genau identisch sind, oder besser entfernen, indem sie durch einen dünnen Draht mit einer Dichte nahe der von Wasser ersetzt werden) . Wenn die Krone kein reines Gold ist, hat sie ein etwas größeres Volumen, so dass sie eine etwas größere archimedische Kraft nach oben erzeugt als die gleiche Masse reinen Goldes und das anfängliche Gleichgewicht der Unruh ist gebrochen. Auch hier ist der Gewichtsunterschied gering; unter den oben vorgestellten Bedingungen entspricht es dem Gewicht von 5 cm 3 Wasser, also 5 g . Wir brauchen daher eine Waage, die in der Lage ist, eine solche Abweichung zu erkennen, was schwierig, aber nicht unrealistisch ist.
Das Gerät wurde eigentlich unter dem Namen Hydrostatische Waage hergestellt .
Die Anekdote wird durch Titel wie La Baignoire d'Archimède verewigt . A Little Mythology of Science von Sven Ortoli und Nicolas Witkowski (1998) oder The Bath of Archimedes - Poetic Anthology of Obériou von Henri Abril (2012).