Hydrostatisches Gleichgewicht

In der Physik nennen wir das hydrostatische Gleichgewicht den Ruhezustand, den ein System erreicht, wenn die von diesem System ausgeübte Anziehungskraft durch die Wirkung der Druckkräfte eines Fluids ( Flüssigkeit oder Gas ) kompensiert wird .

Zum Beispiel verhindern Druckkräfte , dass die Schwerkraft die Erdatmosphäre zu einer dichten Hülle komprimiert . Umgekehrt verhindert die Schwerkraft, dass Druck die Atmosphäre in den Weltraum diffundiert.

Das hydrostatische Gleichgewicht wird in verschiedenen Bereichen wie der Fluidstatik , der Meteorologie , der Ozeanographie oder sogar der Astrophysik eingesetzt .

Ausdruck des hydrostatischen Gleichgewichts

Wir betrachten jede Flüssigkeit ( Flüssigkeit oder Gas ). Ein hydrostatisches Gleichgewicht wird hergestellt, wenn die Druckänderung in der Flüssigkeit mit der Höhe proportional zur Erdbeschleunigung und zur Dichte des Systems im Gleichgewicht ist.

Das hydrostatische Gleichgewicht wird ausgedrückt durch:

dpdz=±ρG{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} z}} = \ pm \ rho \, g} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} z}} = \ pm \ rho \, g}$ oder :

$p$ ist der Druck;
$z$ ist die Höhe (oder Tiefe);
$ρ$ ist die Dichte des Systems;
$g$ ist die Erdbeschleunigung .

Hinweis: Das Vorzeichen auf der rechten Seite wird durch die Richtung der vertikalen Achse bestimmt. Wenn es aufsteigend ist, wählen wir den Ausdruck mit dem Zeichen (-) . Wenn die Achse absteigend ist, wählen wir den Ausdruck mit dem Vorzeichen (+) .

Demonstration

Man stellt sich in einen Referenzrahmen der Studie, der galiläisch und in kartesischen Koordinaten sein soll, so dass die aufsteigende vertikale Achse vom Einheitsvektor getragen und ausgerichtet wird . ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}$

Betrachten Sie ein unendlich kleines System (das einem geraden Block gleichgesetzt werden kann ) mit dem Elementarvolumen $d V = d x d y d z$ . Die Masse dieses Systems ist dann:

d m = ρ d V = ρ d x d y d z

Die Kräfte , die auf das System einwirken , sind Gewicht und Druckkräfte . Durch die Symmetrie kompensieren sich die seitlichen Druckkräfte. Die einzigen verbleibenden Kräfte sind daher:

das Gewicht :; ${\ textstyle {\ vec {P}} = \ mathrm {d} m \, {\ vec {g}} = - \ mathrm {d} m \, g \; {\ vec {e}} _ {z} = - \ rho \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \, g \; {\ vec {e}} _ {z}}$
die von der Flüssigkeit auf die Oberseite des Systems ausgeübte Druckkraft :; ${\ textstyle {\ vec {F}} _ {\ rm {top}} = - p _ {\ rm {top}} \, \ mathrm {d} S \; {\ vec {e}} _ {z} = -p _ {\ rm {top}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \; {\ vec {e}} _ {z}}$
die Druckkraft, die von der Flüssigkeit auf die Unterseite des Systems ausgeübt wird . ${\ textstyle {\ vec {F}} _ {\ rm {bottom}} = p _ {\ rm {bottom}} \, \ mathrm {d} S \; {\ vec {e}} _ {z} = p_ {\ rm {bottom}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \; {\ vec {e}} _ {z}}$

Durch Projizieren der Kräfte auf die vertikale Achse erhalten wir:

{\ displaystyle {\ begin {case} P = - \ rho \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \, g \\ F _ {\ rm {top }} = - p _ {\ rm {top}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \\ F_ {bottom} = p _ {\ rm {bottom}} \, \ mathrm { d} x \, \ mathrm {d} y \ end {Fälle}}}

wobei

p hoch

und

p niedrig

jeweils die Werte des Drucks über und unter dem System sind.

Die Gleichgewichtsbedingung des Systems wird nach dem Grundprinzip der Statik geschrieben :

{\ displaystyle P + F _ {\ rm {top}} + F _ {\ rm {bottom}} = 0}

Indem wir die Kräfte durch ihren Ausdruck ersetzen, haben wir:

{\ displaystyle - \ rho \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \, g-p _ {\ rm {top}} \, \ mathrm {d} x \ , \ mathrm {d} y + p _ {\ rm {bottom}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad \ rho \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \, g + p _ {\ rm {top}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} yp _ {\ rm {bottom}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = 0}

Durch Teilen auf beiden Seiten der Gleichheit durch $d V = d x d y d z$ :

{\ displaystyle \ rho \, g + {\ frac {p _ {\ rm {top}}} {\ mathrm {d} z}} - {\ frac {p _ {\ rm {bottom}}} {\ mathrm {d} z}} = 0}

Wer kann sich umschreiben:

{\ displaystyle {\ frac {p _ {\ rm {top}} - p _ {\ rm {bottom}}} {\ mathrm {d} z}} = - \ rho \, g \ qquad \ Longrightarrow \ qquad { \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} z}} = - \ rho \, g}

Hinweis: Diese Beziehung ist nicht mehr gültig im Fall von schnellen Bewegungen von Flüssigkeit Konvektion , wie zum Beispiel in Gewittern , ist aber recht gut in langsamen Bewegungen und in großem Maßstab überprüft: die synoptische Skala .

Anwendungsbeispiel: Atmosphärendruck

In guter Näherung kann die Erdatmosphäre im hydrostatischen Gleichgewicht über der Erde betrachtet werden. Es ist daher möglich, die vorhergehende Formel zu verwenden, um den Druck an jedem Punkt in der Atmosphäre zu berechnen, der sich in einer Höhe $z befindet$ .

System: "Luftsäule" im Gleichgewicht, Höhe $z$ ;
Hypothesen:
- wir assimilieren Luft zu einem idealen Gas ,
- wir nehmen an, dass die Temperatur der Atmosphäre linear mit der Höhe gemäß der Beziehung $T ( z ) = T 0 - a z$ variiert , wobei $T 0$ die Temperatur an der Erdoberfläche und $a$ ein positiver Koeffizient ist,
- Es wird angenommen, dass die Intensität $g$ des Erdschwerkraftfeldes unabhängig von der Höhe konstant bleibt.

Wir wählen die aufsteigende vertikale Achse. Die hydrostatische Bilanz ergibt sich dann aus : . ${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} p (z)} {\ mathrm {d} z}} = - \ rho (z) \, g}$

Durch Anwendung des idealen Gasgesetzes kommt es:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p (z)} {\ mathrm {d} z}} = - \, {\ frac {p (z) \, M _ {\ rm {air}}} {R \, (T_ {0} -a \, z)}} \; g}

oder :

$M Luft$ ist die Molmasse der Luft;
$R$ ist die ideale Gaskonstante .

Mit der variablen Trennmethode lösen wir die Differentialgleichung :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = - \, {\ frac {M _ {\ rm {air}} \, g} {R}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} z} {T_ {0} -a \, z}}}

Wir integrieren von der Erdoberfläche ( $z = 0$ ) in jede Höhe $z$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = - \, {\ frac {M _ {\ rm {air}} \, g} { R}} \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ mathrm {d} z} {T_ {0} -a \, z}} \ qquad \ Longrightarrow \ qquad \ ln {\ left ({\ frac {p (z)} {p_ {0}}} \ right)} = \, {\ frac {M _ {\ rm {air}} \, g} {R \, a}} \, \ ln { \ left ({\ frac {T_ {0} -a \, z} {T_ {0}}} \ right)}}

.oder :

$p 0$ ist der atmosphärische Druck an der Erdoberfläche (in Höhe $z = 0$ ).

Durch Umschalten auf Exponential erhalten wir den gewünschten Ausdruck:

p((z)=p0((1- -beimT.0z)M.beimichrGR.beim{\ displaystyle p (z) = p_ {0} \, \ left (1 - {\ frac {a} {T_ {0}}} \, z \ right) ^ {\ frac {M _ {\ rm {air }} \, g} {R \, a}}}

{\ displaystyle p (z) = p_ {0} \, \ left (1 - {\ frac {a} {T_ {0}}} \, z \ right) ^ {\ frac {M _ {\ rm {air }} \, g} {R \, a}}}

oder :

$p ( z )$ ist der Druck in der Höhe $z$ (in Pa );
$p 0 = 1,01 \times 10 5$ ist der atmosphärische Druck auf Meereshöhe (in Pa );
$hat$ einen positiven Koeffizienten, der die Temperaturänderung mit der Höhe angibt (in K m −1 ). Es wird allgemein angenommen, dass es 6,5 ° C pro km oder 0,006 5 km m –1 ist ;
$T 0 = 288$ ist die Temperatur an der Erdoberfläche (in K ). Wir nehmen oft (insbesondere in der Luftfahrt) eine Referenztemperatur auf Meereshöhe von 15 ° C oder 288 K ;
$M Luft = 29,0 \times 10 -3$ ist die Molmasse der Luft (in kg mol –1 );
$g = 9,81$ ist die Erdbeschleunigung (in m s −2 );
$R = 8,31$ ist die ideale Gaskonstante (in J mol −1 K −1 ).

Astrophysik

Dieser Begriff ist in der Astrophysik besonders nützlich , um Himmelsobjekte zu klassifizieren . Somit befindet sich der Stern in der Hauptsequenz des Hertzsprung-Russell-Diagramms in einem Zustand des hydrostatischen Gleichgewichts, der in Größe und Temperatur stabil ist. Dies wird durch die Reaktionen der Kernfusion ermöglicht, die im Herzen des Sterns stattfinden und deren Strahlungsdruck in einer Richtung entgegengesetzt zu den Gravitationskräften letztere ausgleicht. Dies ermöglicht eine Sternstruktur , die sich für die Sterne in der Hauptsequenz im Laufe der Zeit nicht ändert .

Das Konzept des hydrostatischen Gleichgewichts ermöglicht es auch zu bestimmen, ob ein Himmelsobjekt ein Planet , ein Zwergplanet oder ein kleiner Körper eines Sternensystems ( Komet , Asteroid usw.) ist. Nach neuen Definitionen, die 2006 von der Internationalen Astronomischen Union für unser Sonnensystem herausgegeben wurden, sind Planeten und Zwergplaneten Objekte mit ausreichender Schwerkraft, um ihre eigene Steifigkeit aufrechtzuerhalten und das hydrostatische Gleichgewicht in einer ungefähr kugelförmigen Form zu tolerieren.

Verweise

Handbuch ICAO Standard Atmosphere (verlängert bis 80 km (262 500 Fuß)) , Doc 7488/3 th Edition 1993
Quelle: (en) iua2006.org - Neue Definitionen der Internationalen Astronomischen Union

Siehe auch

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