Dreieckszahl

In der Arithmetik ist eine Dreieckszahl ein Sonderfall einer polygonalen Zahl . Es entspricht einer natürlichen Zahl ungleich Null, die der Anzahl der Pellets in einem Dreieck entspricht, das wie die beiden Figuren rechts aufgebaut ist. Die zweite zeigt , dass die siebte Dreieckszahl - derjenige , dessen Seite hat 7 Pads - ist 28. Eine formale Definition dieser Reihe von ganzen Zahlen ist , erhalten durch Induktion : die erste Dreieckszahl gleich 1 ist , und die n -te ist die Summe aus n und der vorherige. Die ersten zehn Dreieckszahlen sind: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 (Fortsetzung A000217 des OEIS ). Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die n- te Dreieckszahl zu berechnen . Eine davon ist grafisch und wird durch Argumentation in geometrischer Arithmetik erhalten . Wir finden, wenn t n die n-te Dreieckszahl bezeichnet:

\ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad t_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} 2}.

Diese Formel ist sehr alt - es ist die Schule des Pythagoras - und wahrscheinlich seit Anfang des bekannten V th Jahrhundert vor Christus. J.-C.

Definition und Berechnungen

Definitionen

Formal wird eine dreieckige Zahl als eine in diesem Artikel angegebene Sequenz ( t n ) definiert , wobei n ein Index ist, der sich über streng positive ganze Zahlen erstreckt:

Definition - Für jede streng positive ganze Zahl n ist die n- te Dreieckszahl die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis n .

Eine andere Möglichkeit, diese Sequenz zu definieren, ist eine Wiederholung. Die beiden Formulierungen sind äquivalent:

Definition - Die Folge von Dreieckszahlen wird definiert durch:

t_ {1} = 1 \ quad {\ text {et}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad t_ {n} = 1 + 2 + \ cdots + (n-1) + n = t _ {{n-1}} + n.

Unter den Pythagoräern wird die vierte Dreieckszahl, d. H. 10, Tetraktys genannt. Es hat eine symbolische Dimension.

Hinweis: Die Entscheidung, die Dreieckszahl nicht mit dem Index 0 zu definieren, ist historisch gerechtfertigt, da es bei den alten Griechen keine Null gab . Diese Konvention wird für bestimmte didaktische Präsentationen gewählt. Es wird auch historisch in der Enzyklopädie von Diderot und D'Alembert für alle gezeigten Zahlen ausgewählt. Aber es wird nicht immer gefolgt. Wenn wir 0 als Dreieckszahl zulassen, ist jede positive ganze Zahl die Summe von drei Dreieckszahlen. Dieser Grund zwingt Fermat und Gauss , 0 als Dreieckszahl zu akzeptieren.

Berechnungsmethoden

Eine alte Berechnungsmethode stammt aus der pythagoreischen Schule . Die damaligen Griechen verwendeten Geometrie , um Fragen dieser Art zu lösen. Dieser Ansatz wird als geometrische Arithmetik bezeichnet . Die rechte Abbildung hilft erklären , wie sie die berechneten 8 th Dreieckszahl. Der rote Bereich der Figur entspricht dieser Zahl, dh der Summe 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Zu diesem roten Bereich fügen wir den blauen Bereich der Figur hinzu , enthält genau die gleiche Anzahl von Pellets wie das rote. Der blaue und roter Bereich enthält eine Anzahl von Pellets zur doppelten gleich 8 th Dreieckszahl. Jedoch ist dieser Bereich ein basisches Rechteck 9 und 8. Die Höhe der doppelten 8 th Dreieck Anzahl gleich 8 × 9 = 72 , so daß 8 E - Nummer 36 gleich Wir zu die Formel in der Einleitung angekündigt:

t_ {n} = 1 + 2 + \ cdots + (n-1) + n = {\ frac {n (n + 1)} 2}.

Diese Formel kann als Ausdruck der n- ten Dreieckszahl in Form eines Binomialkoeffizienten neu interpretiert werden :

t_ {n} = {n + 1 \ wähle 2}.

Es gibt einen direkten Nachweis ohne Worte , durch Bijektion zwischen den Punkten des Dreiecks und die Paare in einem Satz enthalten ist, mit n + 1 Elemente.

Weitere rein algebraische Beweise finden Sie im Artikel Summe (Arithmetik) , § „Summe der Primzahlen“ .

Geometrische Ergebnisse

Die Griechen der pythagoreischen Schule hatten keine Kenntnis von den Grundsätzen der Elementararithmetik wie Euklids Lemma , dem Bachet-Bézout- Satz oder dem Grundsatz der Arithmetik . Sie entwickelten eine andere Arithmetik und die hier vorgestellten Ergebnisse ähneln ein wenig ihrer Vorstellung von Arithmetik. Da es jedoch keinen Text gibt, der von Mitgliedern dieser Schule direkt zu dieser Frage geschrieben wurde, ist es schwierig, bestimmte Ergebnisse mit Daten oder Namen von Mitgliedern der Schule in Beziehung zu setzen und die Tatsache, dass ein Ergebnis bekannt war, kategorisch zu beurteilen zu ihnen.

Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen

Die Abbildung rechts zeigt, dass die Summe der vierten und der fünften Dreieckszahl das perfekte fünfte Quadrat bildet , d. H. 25. Dieses Ergebnis gilt nicht nur für den Wert fünf:

Satz - Für jede ganze Zahl n > 1 ist die Summe der beiden Dreieckszahlen mit den Indizes n und n - 1 gleich n 2 .

Die vorstehende Formel ermöglicht es, dieses Ergebnis zu ermitteln:

t_ {n} + t _ {{n-1}} = 2t _ {{n-1}} + n = n (n-1) + n = n ^ {2}.

Eine Dreieckszahl ist die Summe von vier Dreieckszahlen

Die beiden nebenstehenden Diagramme zeigen an, dass die n- te Dreieckszahl die Summe von vier Dreieckszahlen ist. Dies gilt unabhängig von der Parität des Index n . In der Tat ist t 14 die Summe von dreimal t 7 und von t 6 und t 15 ist die Summe von dreimal t 7 und von t 8 . Dieser Satz wird wie folgt ausgedrückt:

Satz - Ab Index 3 ist jede Dreieckszahl die Summe von vier Dreieckszahlen. Genauer gesagt: für jede ganze Zahl n ≥ 2,

t _ {{2n-1}} = 3t _ {{n-1}} + t_ {n} \ quad {\ text {und}} \ quad t _ {{2n}} = 3t_ {n} + t _ {{n-1}}.

Tatsächlich :

(3t_ {n} + t _ {{n-1}}) + (3t _ {{n-1}} + t_ {n}) = 4 (t_ {n} + t _ {{n-1}} ) = 4n ^ {2} = (2n) ^ {2} = t _ {{2n}} + t _ {{2n-1}},

(3t_ {n} + t _ {{n-1}}) - (3t _ {{n-1}} + t_ {n}) = 2 (t_ {n} -t _ {{n-1}} ) = 2n = t _ {{2n}} - t _ {{2n-1}}.

Ein perfektes Quadrat mit einer eindeutigen Dreieckszahl

Die Abbildung rechts zeigt, dass es möglich ist, acht dreieckige Zahlen des Index 7 zu verschachteln, um ein Quadrat mit der Seite 15, der das zentrale Pellet fehlt, in der Abbildung grau zu bilden. Ergebnis, das auf alle Quadrate ungerader Zahlen verallgemeinert:

Satz - Für jede ganze Zahl n > 0 ist das perfekte Quadrat (2 n + 1) 2 die Summe von 8 mal t n und von 1:

8t_ {n} + 1 = (2n + 1) ^ {2}.

In der Tat ist dieses Ergebnis direkt die Anwendung einer bemerkenswerten Identität :

(2n + 1) ^ {2} -1 = (2n + 1-1) (2n + 1 + 1) = 4n (n + 1) = 8t_ {n}.

Würfel und Dreieckszahl

Ein weiteres Ergebnis befasst sich mit Würfeln. Es lautet wie folgt:

Satz - Wenn n eine ganze Zahl größer als 2 ist, ist die Differenz zwischen den Quadraten der Dreieckszahlen der Indizes n und n - 1 gleich dem Würfel von n .

Es wird vom persischen Mathematiker Al-Karaji wiederentdeckt , der es am Beispiel n = 10 unter Berücksichtigung von Gnomonen demonstriert und es auf äquivalente Weise ausdrückt:

Satz - Wenn n eine streng positive ganze Zahl ist, ist die Summe der ersten n kubischen Zahlen das Quadrat der n- ten Dreieckszahl.

Andere Eigenschaften

Verallgemeinerungen

Wenn wir anstelle der Berechnung der Summe der ersten n streng positiven ganzen Zahlen die ersten n streng positiven Quadrate berechnen, die wir c n nennen , erhalten wir:

c_ {n} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} 6}.

Die Intuition der Richtigkeit dieser Formel wird durch den folgenden wortlosen Beweis gegeben :

Dieses Ergebnis verallgemeinert für die Summe der ersten n streng positiven Potenzen. Diese Summe trägt den Namen der Faulhaber-Formel . Es ist auch möglich, die Anzahl der Punkte s n, d, die in einem Simplex enthalten sind, dessen Seiten die Länge n haben , in einem Raum der Dimension d zu verallgemeinern . Wir erhalten :

s _ {{n, d}} = {\ frac {n (n + 1) \ cdots (n + (d-1))} {d!}}.

Ganzzahlige Summe von drei Dreieckszahlen

Im Jahr 1638 behauptete Fermat, Beweise dafür zu haben, dass jede ganze Zahl die Summe von drei Dreieckszahlen (vorausgesetzt, Null wird als Dreieckszahl betrachtet) und sogar einer Verallgemeinerung ( Fermats Satz über polygonale Zahlen , der schließlich 1813 von Cauchy demonstriert wurde ) und proklamierte seine Absicht, ein Buch zu schreiben, das diesen Teil der Arithmetik revolutionieren würde, aber kein Buch erschien. 1796 entdeckte Gauß die folgenden Beweise.

Die Demonstration hier ist nicht geometrisch. Die Arithmetik, wie sie zu Pythagoras 'Zeiten gedacht wurde, ist nicht in der Lage, Ergebnisse dieser Art zu beweisen. Der schwierige Teil des Beweises ist der Satz von drei Quadraten von Legendre , was bedeutet, dass jede positive ganze Zahl, die zu 3 Modulo 8 kongruent ist, die Summe von drei perfekten Quadraten ist. Sei M eine positive ganze Zahl, 8 M + 3 ist die Summe von drei Quadraten. Außerdem ist jedes Quadrat der Summe ungerade, sonst wäre ihre Summe nicht kongruent zu 3 Modulo 4. Wir leiten die Existenz von drei ganzen Zahlen x , y und z so ab, dass:

8M + 3 = (2x + 1) ^ {2} + (2y + 1) ^ {2} + (2z + 1) ^ {2} = 8 \ left ({\ frac {x (x + 1)} 2 } + {\ frac {y (y + 1)} 2} + {\ frac {z (z + 1)} 2} \ right) +3.

Diese letzte Gleichheit impliziert das gewünschte Ergebnis: M ist die Summe der drei dreieckigen Zahlen der Indizes x , y und z .

Anmerkungen und Referenzen

Der Begriff Index ist oft , dass für folgende Zwecke verwendet: Axel Delmotte, William Seck und Hubert Silly Réussir les testet Eintrag des 3 rd Zyklen et écoles de gestion , Jeunes Editions, 2005 ( ISBN 978-2844725769 ) , p. 67 . Andere Autoren Sprechen dennoch vom Rang und nicht vom Index.
Gérard Villemin Dreieckszahlen Zahlen - Kuriositäten, Theorie und Verwendung (2007)
Es ist daher der Prototyp der Summe der Terme einer arithmetischen Folge .
Gérard Villemin Dreieckszahlen Zahlen - Kuriositäten, Theorie und Verwendung (2007)
(in) Walter Burkert , Überlieferung und Wissenschaft im antiken Pythagoräismus , HUP ,1972( ISBN 978-0674539181 , online lesen ) , p. 463 Fragwürdige .
Denis Diderot Jean-le-Rond-D'Alembert- Enzyklopädie oder begründetes Wörterbuch der Kunst- und Handwerkswissenschaften (1781)
C. F. Gauss, Arithmetische Forschung , p. 353 der Übersetzung von 1807 .
(in) Thomas Little Heath , Eine Geschichte der griechischen Mathematik , Vol. 1: Von Thales nach Euklid , CUP ,2013( 1 st ed. 1921) ( ISBN 978-1-108-06306-7 , online lesen ) , p. 76-77.
Dieser Beweis von (in) Loren C. Larson , " Ein Blick auf diskrete 1 + 2 + ⋯ + n " , College Mathematics Journal (in) , vol. 16, n o 5,1985, p. 369-382( Pp . 375 , Abbildung 7) wiedergegeben wird durch (in) Claudi Alsina und Roger B. Nelsen , Charming Proofs: A Journey Into elegante Mathematik , MAA ,2010( online lesen ) , p. 6und (in) Roger B. Nelsen , "Visual Gems of Number Theory" in Arthur T. Benjamin und Ezra Brown, Cookies of Number Theory , MAA2009( online lesen ) , p. 53.
Burkert 1972 , p. 427-446.
In Burkert 1972 , p. 439 finden wir: „ Die einzige Gewissheit über die Entdeckung der Irrationalität ist, dass Theodorus von Cyrene bewiesen hat, dass √n (für n = 3, ... 17 und kein perfektes Quadrat) irrational ist. ""
A. Dahan-Dalmedico und J. Peiffer , Eine Geschichte der Mathematik: Straßen und Labyrinthe ,1986[ Detail der Ausgaben ], p. 90 .
Es kommt von (in) Roger B. Nelsen , Beweise ohne Worte: Übungen zum visuellen Denken , MAA1997152 p. ( ISBN 978-0-88385-700-7 , online lesen ).
Paul Tannery und Charles Henry , Werke von Fermat , t. 3, 1896, p. 252: Kommentar von Bachet zu IV, 31 .
Joseph Louis Lagrange , „Demonstration eines Satzes der Arithmetik“, Neue Memoiren der Königlichen Akademie der Wissenschaften und Belles-Lettres von Berlin , 1770, p. 123-133 - Sämtliche Werke , Band 3, S. 189-201 .
" ΕΥΡΗΚΑ . num. = Δ + Δ + Δ ” , Journal de Gauss , 10. Juli 1796 [ vo ] , [ vf ] .

Siehe auch

Ramanujan-Nagell-Gleichung
Dreieckiges Set
Enneagonale Zahl zentriert ( Teilsequenz der dreieckigen Zahlen von Indizes, die zu 1 Modulo 3 kongruent sind, d. H. Die dreieckigen Zahlen, die zu 1 Modulo 9 kongruent sind - die anderen sind durch 3 teilbar)
Sechseckige Zahl (Teilfolge dreieckiger Zahlen mit ungeraden Indizes)
Quadratische dreieckige Zahl
Dreieckszahl zentriert
Tetraedrische Zahl