Krümmung

Intuitiv wird Kurve mit gegenüberliegenden rechts : die Krümmung eines geometrischen Objekts ist ein quantitatives Maß für den „mehr oder weniger gekrümmt“ Charakter dieses Objekts. Beispielsweise :

in der euklidischen Ebene ist eine Gerade ein Objekt mit einer Krümmungsdimension von Null und ein Kreis ein Objekt mit positiver konstanter Krümmung, gleich 1 / R (Kehrwert des Radius);
im üblichen dreidimensionalen euklidischen Raum ist eine Ebene ein zweidimensionales Objekt mit einer Krümmung von Null und eine Kugel ist ein zweidimensionales Objekt mit konstanter positiver Krümmung. Im Gegenteil, ein „ Pferdesattel “ hat einen Punkt negativer Krümmung.

Dieser intuitive Krümmungsbegriff wird präziser und erlaubt eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger Dimension im Rahmen der Riemannschen Geometrie .

Wie Gauß für den Fall von Flächen gezeigt hat ( theorema egregium ), ist es sehr bemerkenswert, dass die Krümmung eines geometrischen Objekts intrinsisch beschrieben werden kann , das heißt ohne Bezug auf einen "Einbettungsraum", in den die betrachteten Objekt liegen würde. Zum Beispiel ist die Tatsache, dass eine gewöhnliche Kugel eine Fläche mit konstanter positiver Krümmung ist, völlig unabhängig davon, dass wir diese Kugel normalerweise als in unseren dreidimensionalen euklidischen Raum eingetaucht sehen. Die Krümmung dieser Kugel könnte sehr gut von zweidimensionalen intelligenten Wesen, die auf der Kugel leben (Arten von "zweidimensionalen Ameisen"), aus Längen- und Winkelmessungen auf der Kugel gemessen werden. Der Legende nach stellte sich Gauß diese Fragen, als er mit den Schwierigkeiten bei der Kartierung der Erde konfrontiert wurde.

Krümmung eines Bogens

Krümmung eines ebenen Bogens an einem Punkt

Wir können die Krümmung eines Bogens der euklidischen Ebene auf verschiedene äquivalente Arten definieren. Es werden jedoch zwei Konventionen verwendet, eine macht die Krümmung zu einer notwendigerweise positiven Größe, die andere gibt eine algebraische Version der Krümmung an. Sie wird an jedem Punkt der Kurve berechnet, vorbehaltlich bestimmter Annahmen über die Ableitungen der zu ihrer Definition verwendeten Funktionen.

Die positive Größe Krümmung kann als Norm des Beschleunigungsvektors für einen sich bewegenden Körper angesehen werden, der die Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit gleich 1 durchquert. Sie ist auch der Kehrwert des Radius des Schmiegkreises , ein Kreis, der der Kurve so nahe kommt möglichst in der Nähe des Studienortes. Aus diesem Grund ist die Umkehrung der Krümmung heißt Radius Krümmung. In diesem Sinne bezeichnet die Krümmung die Neigung der Kurve, sich wie ein Kreis mit größerem oder kleinerem Radius zu verhalten, also eine weniger oder engere Kurve zu bilden.

Um algebraisierte Versionen der Krümmung einzuführen, ist es notwendig, der Ebene und der Kurve eine Orientierung zu geben und eine der Bewegung angepasste bewegliche Referenz (in) einzuführen : die Frenet-Referenz . Das Vorzeichen der Krümmung wird dann als Hinweis auf die Richtung interpretiert, in die die Konkavität der Kurve gedreht wird . Die Krümmung bezeichnet auch die Geschwindigkeit (pro Einheit der krummlinigen Abszisse), mit der sich die Vektoren des Frenet-Referenzrahmens in Bezug auf eine feste Richtung drehen. An Wendepunkten ändert die Krümmung das Vorzeichen.

Krümmung eines linken Bogens

Die Krümmung kann dann auf Linkskurven (im dreidimensionalen Raum gezeichnete Kurven) verallgemeinert werden. Es gibt wieder einen Schmiegkreis, der eine sehr gute lokale Annäherung an die Kurve darstellt. Dieser Kreis liegt in der Schmiegebene und hat als Radius den Kehrwert der Krümmung. Aber die gleichen Gründe, die eine kompatible Ausrichtung aller Raumebenen verhindern, verhindern die Definition einer algebraischen Krümmung; sie ist daher konventionsgemäß immer positiv. Die Krümmung wird von einer weiteren Invariante begleitet, der Torsion, die die Neigung des Bogens anzeigt, sich von der Schmiegfläche wegzubewegen.

Globale Maßnahmen

Die Krümmung wird an jedem Punkt gemessen. Die Sinuosität eines Bogens hingegen beschreibt die allgemeine Faltung des Bogens: Sie ist das Verhältnis zwischen der Länge des Bogens und dem Abstand zwischen seinen Enden. Es vergleicht bildlich die Länge der Flugbahn, die man durch das Folgen des Bogens erhält, mit der Luftlinie. Zum Beispiel ist es möglich, die Sinuosität einer Figur zu messen, die aus mehreren Kreisbögen gebildet wird, die mit Wendepunkten verbunden sind , was einem Wechsel von negativen und positiven Krümmungen entspricht.

Krümmung einer Oberfläche von R 3

Um algebraisierte Versionen aller Krümmungskonzepte einzuführen, empfiehlt es sich, eine orientierte Fläche zu betrachten. An jedem Punkt der Oberfläche sind die Hauptkrümmungen und Hauptrichtungen definiert, intuitive geometrische Vorstellungen, die aus den auf der Oberfläche gezeichneten Kurven gewonnen werden. Tiefergehend können diese Objekte jedoch als Eigenwerte und Eigenvektoren eines Endomorphismus der Tangentialebene, des Endomorphismus von Weingarten , erhalten werden, der es ermöglicht, andere Krümmungsbegriffe zu definieren: mittlere Krümmung und Gaußsche Krümmung.

Hauptkrümmungen an einem Punkt

An einem Punkt M der Fläche betrachten wir eine rotierende Ebene, die in M senkrecht zur Tangente an die Fläche steht. Lokal schneidet diese Ebene die betrachtete Fläche in einer Kurve. Bei jeder gut gebauten Kurve ist die Krümmung in M zugeordnet .

Die minimalen und maximalen Werte der Krümmung werden als Hauptkrümmungen bezeichnet . Im Allgemeinen sind sie unterschiedlich, und in diesem Fall stehen die den beiden Hauptkrümmungen entsprechenden Ebenen senkrecht aufeinander. Ihr Schnittpunkt mit der Tangentialebene definiert die Hauptrichtungen . In der nebenstehenden Abbildung haben die Hauptkrümmungen entgegengesetztes Vorzeichen, da eine der Krümmungen ihre Konkavität in Richtung des Normalenvektors dreht und die andere in die entgegengesetzte Richtung.

Einführung von Krümmungen an einem Punkt aus dem Weingartener Endomorphismus

Die Gaußsche Karte ordnet jedem Punkt der Oberfläche den orientierten Normalenvektor zu. An einem Punkt M der Oberfläche können wir das Differential dieser Abbildung betrachten, das einen Endomorphismus der Tangentialebene namens Weingarten-Endomorphismus darstellt . Intuitiv zeigt dieser Endomorphismus kleine Fluktuationen des Normalenvektors nahe dem Punkt M .

Es handelt sich um einen symmetrischen Endomorphismus , dessen Hauptkrümmungen und Hauptrichtungen die Eigenwerte und Eigenvektoren sind. Die Hauptrichtungen sind daher recht orthogonal.

Die durchschnittliche Krümmung der Hauptkrümmungen wird mittlere Krümmung genannt, dh . $\gamma\,$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ gamma _ {max} + \ gamma _ {min}} {2}}}$

Dies ist die halbe Spur von Weingartens Endomorphismus .

Gaußsche Krümmung nennt man das Produkt der Hauptkrümmungen, also . $\gamma\,$ ${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {max}. \ gamma _ {min}}$

Dies ist die Determinante des Weingartener Endomorphismus. Das Theorema egregium von Gauß zeigt jedoch einen Unterschied in der Natur zwischen den Hauptkrümmungen und der mittleren Krümmung einerseits, die von der Art und Weise abhängen, in der die Oberfläche in den Umgebungsraum R 3 eintaucht, und andererseits von der bleibenden Gaußschen Krümmung invariant durch jede lokale Isometrie (Verformung bezüglich der Längen). Die Gaußsche Krümmung hat daher einen "intrinsischen" Aspekt und es ist dieses Konzept, das auf höhere Dimensionen verallgemeinert, um den Begriff der Krümmung einer Mannigfaltigkeit zu erzeugen . Deshalb wird sie manchmal auch einfach Krümmung genannt .

Darüber hinaus bezeichnen einige Autoren die Krümmung von Gauss durch die Gesamtkrümmung , eine Bezeichnung, die der folgenden Bezeichnung widerspricht.

Gesamtflächenkrümmung

Die Gesamtkrümmung einer orientierten Raumfläche S ist das Integral der Gaußschen Krümmung auf der Fläche. Es kann auch als (algebraischen) Bereich durch den gefegt interpretiert wird Einheit Normalvektor auf der Einheitskugel. Sein Wert wird durch die Gauß-Bonnet-Formel angegeben : Er hängt nur von der Topologie der Oberfläche ab.

Krümmung einer Riemanischen Sorte

In der Riemannschen Geometrie ist die Krümmung ein Tensor , der aus dem Begriff der Verbindung eingeführt wurde . Dieses Objekt erwies sich als das relevanteste, kann jedoch aufgrund des für seine Einführung erforderlichen Formalismus schwer zu fassen sein. Die zunächst einfachere Schnittkrümmung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit vermittelt ebenso viel Information wie der Krümmungstensor und ermöglicht die Verknüpfung mit der Gaußschen Krümmung.

Schnittkrümmung

Wir definieren eine Schnittkrümmung für jede der 2-Ebenen, die in jedem der Tangentialräume einer Riemannschen Mannigfaltigkeit enthalten sind . Wenn P ein solcher Plan an einem Punkt m ist , betrachten wir zunächst die Familie der Geodäten aus m als Vektoren P . Diese Familie stellt eine parametrisierte Fläche dar, die in der Mannigfaltigkeit enthalten ist, Bild der 2-Ebenen durch die exponentielle Abbildung .

Die Schnittkrümmung der 2-Ebene ist dann die Gaußsche Krümmung dieser Fläche. Formal stellt die Sammlung aller Schnittkrümmungen eine Anwendung auf die Grassmannsche 2-Ebenen mit reellen Werten dar.

Definition des Krümmungstensors

Sei eine affine Mannigfaltigkeit M der Dimension , also eine Mannigfaltigkeit, die mit einem affinen Zusammenhang ausgestattet ist . Aus diesem Zusammenhang definieren wir den Krümmungs- Tensor oder Riemann-Tensor . Dieser Tensor ist für X-, Y- und Z- Vektorfelder auf der Mannigfaltigkeit definiert durch: $nicht$ $\ nabla$ ${\ mathematisch {R}}$

{\ mathcal {R}} (X, Y) Z \ = \ \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z \ - \ \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z \ - \ \ nabla _{{[XYZ

wo [X, Y] die Lie - Klammer von X und Y ist ein endomorphism Bereich der Tangentenfaser Raum TM : ein Vektorfeld Z , ordnet es dich um ein neues Vektorfeld bezeichnete R (X, Y) Z . ${\ mathematisches {R}} (X, Y)$

Einführung einer Metrik

Wir statten die affine Mannigfaltigkeit M mit einem metrischen Tensor g aus : ist dann eine Riemannsche Mannigfaltigkeit , und wir können eine Krümmung mit reellen Werten definieren durch: $(M, g)$

{\ mathcal {R}} (X, Y, Z, W) \ = \ g ({\ mathcal {R}} (X, Y) Z, W)

In - Komponenten in einer lokalen Basis , ist der Vektor , der geschrieben wird: ${\vec{e}} _{{\mu}}$ ${\ mathematisch {R}} (X, Y) Z$

{\ mathcal {R}} (X, Y) Z \ = \ R _ {{~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}} \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ { {\rho}}\Z^{{\sigma}}\{\vec{e}} _{{\mu}}

wobei die Komponenten des Krümmungstensors sind. Wir haben dann: $R_{{~~\nu\rho\sigma}} ^{{\mu}}$

g ({\mathcal{R}}(X,Y)Z,W)\=\g_{{\mu\lambda}}\R_{{~~\nu\rho\sigma}}^{{\ mu} } \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ {{\ rho}} \ Z ^ {{\ sigma}} \ W ^ {{\ lambda}} \ = \ W _ {{\ mu}} \ R_ { {~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}} \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ {{\ rho}} \ Z ^ {{\ sigma}}

Indem wir seine Spur (in Bezug auf X und Y) nehmen, erhalten wir den Ricci-Krümmungstensor, und indem wir die Spur davon nehmen, erhalten wir die skalare Krümmung (die eine Funktion von M in ist ). $\ mathbb{R}$

Skalare Krümmung oder Ricci-Krümmung

Beispiele

Für den euklidischen Raum ist die skalare Krümmung null.
Für die Kugel der Dimension des Radius 1 beträgt die skalare Krümmung . $nicht$ $n (n-1)$

Siehe auch

Externe Links

Pierre de la Harpe , „ Gekrümmte Räume “ , auf images.math.cnrs.fr ,2004(Zugriff am 6. September 2018 ) .

Johann Colombano, „ Visualize the Krümmung “ , auf images.math.cnrs.fr ,2017(Zugriff am 6. September 2018 ) .

Literaturverzeichnis

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Historische Aspekte

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Technische Aspekte

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Marcel Berger und Bernard Gostiaux , Differentialgeometrie: Varietäten, Kurven und Flächen [ Editionsdetail ] Buch aus einem Lehramtsstudium in Mathematik.
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(en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin und Jacques Lafontaine, Riemannsche Geometrie [ Detail der Ausgabe ] Es ist zu einer wesentlichen Referenz in der Riemannschen Geometrie geworden.

Theoretische Physik Bücher

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Hinweise und Referenzen

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Mathematikkurs, t. 3, Geometrie und Kinematik, 2. Aufl. , Dunod-Universität,1977, S. 509