Gauß-Bonnet-Formel

In der Differentialgeometrie ist die Gauß-Bonnet-Formel eine Eigenschaft, die die Geometrie (im Sinne der Gaußschen Krümmung ) und die Topologie (im Sinne der Euler-Charakteristik ) von Oberflächen verbindet . Es ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauss benannt , der eine Version des Theorems kannte, diese aber nie veröffentlichte, und Pierre Ossian Bonnet , der 1848 einen bestimmten Fall veröffentlichte .

Zustände

Gauß-Bonnet-Formel - Sei M eine kompakte zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (randlos); dann wird das Integral der Gaußschen Krümmung K auf der Oberfläche durch die Formel mit der Euler-Charakteristik der Oberfläche in Beziehung gesetzt :

\ int _ {M} K \; dA = 2 \ pi \ chi (M)

Für eine kompakte Sorte an Bord wird die Formel

\ int _ {M} K \; dA + \ int _ {{\ partielles M}} k_ {g} \; ds = 2 \ pi \ chi (M)

Beachten Sie die geodätische Krümmung an den Randpunkten . $kg}$ $\ partielle M.$

Wenn die Kante nur stückweise regelmäßig ist , bleibt die Formel wahr, wobei anstelle des Integrals die Summe der entsprechenden Integrale auf den regulären Abschnitten der Kante plus die Summe der an den Winkelpunkten gebildeten Winkel verwendet wird . $\ partielle M.$ $\ int _ {{\ partielles M}} k_ {g} \; ds$

Interpretation und Bedeutung

Nach dem Theorem entspricht die gesamte Gaußsche Krümmung einer geschlossenen Oberfläche dem 2π-fachen der Euler-Charakteristik der Oberfläche. Beachten Sie, dass für eine kompakte orientierbare Oberfläche ohne Kante die Euler-Charakteristik gleich ist , wobei es sich um die Gattung der Oberfläche handelt: Eine kompakte orientierbare Oberfläche ohne Kante entspricht topologisch einer Kugel mit angebrachten Griffen und zählt die Anzahl der Griffe. $2-2g$ $G$ $G$

Wenn wir die Oberfläche verformen , ändert sich ihre Eulerkennlinie, die eine topologische Invariante ist, nicht, während sich die Krümmung an bestimmten Punkten ändert. Der Satz stellt ein etwas überraschendes Ergebnis fest, dass sich das Integral aller Krümmungen unabhängig von der Verformung nicht ändert. Wenn wir zum Beispiel eine Kugel mit einer „Erhebung“ haben, beträgt ihre Gesamtkrümmung 4π (die Euler-Charakteristik einer Kugel ist 2), unabhängig davon, ob wir die Erhebung erhöhen oder verringern. $M.$

Die Kompaktheit der Oberfläche ist wesentlich. Wenn wir zum Beispiel die offene Einheitsscheibe betrachten, eine nicht kompakte und randlose Riemann-Oberfläche, ist die Krümmung gleich 0 und die Euler-Charakteristik 1: Die Gauß-Bonnet-Formel funktioniert nicht. Dies gilt jedoch für die geschlossene und kompakte Einheitsscheibe, deren Eulerkennlinie gleich 1 ist, aufgrund des Integrals an der Grenze, das 2π wert ist.

Bei einer anderen Anwendung hat der Torus eine Eulerkennlinie von 0, sodass seine Gesamtkrümmung Null sein muss. Wenn der Torus mit der gewöhnlichen Riemannschen Metrik ausgestattet ist, die durch seine Einbettung in ℝ 3 induziert wird , hat das Innere eine negative Gaußsche Krümmung, das Äußere eine positive Gaußsche Krümmung und die Gesamtkrümmung ist tatsächlich gleich 0. Es ist möglich zu konstruieren ein Torus durch Identifizieren der gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats; In diesem Fall ist die Riemannsche Metrik des Torus flach und weist eine konstante Krümmung von Null auf, was zu einer Gesamtkrümmung von Null führt. Es ist nicht möglich, eine Riemannsche Metrik auf dem Torus mit einer Gaußschen Krümmung an einem positiven oder negativen Punkt zu definieren.

Der Satz hat interessante Konsequenzen für Dreiecke. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 2 (nicht unbedingt kompakt) und sei M ein Dreieck, das von drei Geodäten gebildet wird . Dann können wir den Gauß-Bonnet-Satz auf die Oberfläche T anwenden, die durch das Innere dieses Dreiecks und den Rand dieses Dreiecks gebildet wird. Die geodätische Krümmung der Geodäten ist Null, und die Eulerkennlinie von T ist 1. Der Satz besagt, dass die Summe der Außenwinkel des geodätischen Dreiecks gleich 2π minus der Gesamtkrümmung innerhalb des Dreiecks ist. Da der Außenwinkel an einem Scheitelpunkt gleich π minus dem Innenwinkel ist, können wir das Ergebnis wie folgt umformulieren:

Die Summe der Innenwinkel eines geodätischen Dreiecks ist gleich π plus der Gesamtkrümmung innerhalb des Dreiecks.

Im Fall der Ebene (deren Gaußsche Krümmung 0 ist und deren Geodäten gerade Linien sind) finden wir die bekannte Formel für die Summe der Winkel eines gewöhnlichen Dreiecks. Auf der Standardkugel, deren Krümmung überall 1 ist, erhalten wir, dass die Summe der Winkel eines geodätischen Dreiecks gleich π ist, vergrößert um die Fläche des geodätischen Dreiecks.

Externer Link

(de) Eric W. Weisstein , „ Gauß-Bonnet-Formel “ , auf MathWorld

Verweise

Henri Cartan , Kurs in Differentialrechnung , Hermann , 1967, Nachdruck. 1977, p. 347 .

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel mit dem Titel „ Gauss-Bonnet-Theorem “ ( siehe Autorenliste ) .