Theorema egregium
In der Mathematik und genauer in der Geometrie ist das Theorema egregium ("bemerkenswerter Satz" in lateinischer Sprache) ein wichtiger Satz , der von Carl Friedrich Gauss angegeben wurde und sich auf die Krümmung von Oberflächen bezieht . Er gibt an, dass dies vollständig aus der lokalen Metrik der Oberfläche bestimmt werden kann, das heißt, es hängt nicht davon ab, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingetaucht werden kann.
Zustände
Betrachten Sie eine Oberfläche des euklidischen Raums ℝ 3 . Der intrinsische Abstand zwischen zwei Punkten ist definiert als das Infimum der Länge der Kurven, die auf der Oberfläche gezeichnet sind und diese beiden Punkte verbinden (zum Beispiel ist der intrinsische Abstand zweier gegenüberliegender Punkte der Einheitskugel , während ihr euklidischer Abstand ist ). Eine Kurve, die die Länge zwischen zwei Punkten minimiert, wird als geodätisch bezeichnet .
Zwei Oberflächen sind isometrisch, wenn zwischen den beiden Oberflächen eine Bijektion besteht, die den Abstand beibehält. Sie sind lokal isometrisch, wenn sich in der Nähe jedes Punktes eine solche definierte Bijektion befindet.
Die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche wird auf verschiedene Arten erhalten:
- als Produkt des Maximums und Minimums der Krümmung einer Geodät, die durch diesen Punkt verläuft, oder, was dasselbe ist, der Krümmung an diesem Punkt der Schnittpunkte der Oberfläche mit zwei Ebenen senkrecht zueinander, die durch den Punkt verlaufen normal;
- als das Verhältnis zwischen der Fläche einer infinitesimalen Nachbarschaft des Punktes und der Fläche seines Bildes auf der Kugel durch die normale Karte .
In diesen beiden Definitionen sehen wir, dass die Gaußsche Krümmung a priori von der Art und Weise abhängt, in der die Oberfläche in den Raum eingetaucht ist: Wir können lokal isometrische Oberflächen durch unterschiedliche Einbettungen der Oberfläche in den Raum erhalten. Das einfachste Beispiel ist das Beispiel der Ebene und der Oberfläche eines Zylinders: Wenn man ein flaches Blatt Papier auf einem Zylinder "aufrollen" kann, erhält man eine lokale Isometrie der Ebene auf dem Zylinder; In der Tat ändert die Verformung (ohne Faltenbildung) eines Blattes Papier nicht den Abstand zwischen zwei engen Punkten.
In der modernen Sprache kann der Satz wie folgt ausgedrückt werden:
Theorema egregium - Die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche ist durchlokale Isometrie unveränderlich.
Dieser Satz ist bemerkenswert, weil die Definition der Gaußschen Krümmung direkt die Einbettung der Oberfläche in den Raum verwendet. Es ist daher ziemlich erstaunlich, dass das Endergebnis nicht von der Einbettung abhängt.
Die Demonstration ist subtil und nicht immer transparent: Wenn wir die Oberfläche durch eine Gleichung oder besser durch eine parametrische Darstellung darstellen, verbirgt sich dahinter eine Kommutierung von Ordnungsableitungen .
Einfache Anwendungen
Es ist unmöglich, ein Blatt Papier zu einer Kugel zu falten: Formal sind die Ebene und die 2-Kugel nicht lokal isometrisch. Dies liegt an der Tatsache, dass die Ebene eine konstante Gaußsche Krümmung von 0 aufweist, während kein Punkt der Kugel eine Krümmung von Null aufweist (wir können diese Tatsache jedoch direkter demonstrieren).
Entsprechende Punkte auf einem Catenoid und einem Helicoid (zwei Oberflächen mit sehr unterschiedlichem Aspekt) haben dieselbe Gaußsche Krümmung (diese beiden Oberflächen sind lokal isometrisch).
Interne Links
Siehe auch
- Michèle Audin , Geometry , EDV Sciences , 2006 ( ISBN 978-2-86883883-4 ) , p. 338
- (en) Marcel Berger , Ein Panoramablick auf die Riemannsche Geometrie ,2003[ Detail der Ausgabe ]
- Ein Satz und ein Stück Pizza (Nicolas Rocher)
Anmerkungen und Referenzen
- Mit anderen Worten, durch Messen von Winkeln und Abständen um jeden Punkt.
- Lernvideo zu Falten. Amandine Aftalion Audimath