Affine Verbindung

In der Mathematik , genauer gesagt in der Differentialgeometrie , ist eine affine Verbindung ein geometrisches Objekt, das auf einem Differentialverteiler definiert ist, der die tangentialen Nachbarn der Räume verbindet und somit die Ableitung von Bereichen von Tangentenvektoren ermöglicht, als wären sie Funktionen, die auf dem Verteiler definiert sind und deren nehmen Werte in einem einzelnen Vektorraum. Der Begriff der affinen Verbindung wird in der Geometrie des verwurzelt XIX ten Jahrhundert und die Tensorrechnung , sondern wurde in den frühen 1920er Jahren von voll entwickelten Elie Cartan (als Spezialfall von seinen Verbindungen (in) ) und Hermann Weyl (die verwendeten teilweise, um seine Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie zu begründen ). Die Terminologie stammt von Cartan und hat ihren Ursprung in der Identifizierung von Tangentenräumen im euklidischen Raum R n durch Übersetzungen: Die Idee ist, dass eine Wahl der affinen Verbindung eine Mannigfaltigkeit (lokal) einem euklidischen Raum ähnelt, nicht nur in einem differenzierbaren Weg an einem Punkt, aber als affiner Raum .

Auf jeder Mannigfaltigkeit können wir eine Unendlichkeit affiner Verbindungen definieren. Wenn die Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik hat , gibt es eine natürliche Wahl der affinen Verbindung, die als Levi-Civita-Verbindung bezeichnet wird . Die Wahl einer affinen Verbindung entspricht der Definition eines Weges zur Ableitung der Vektorfelder, der mehrere vernünftige Eigenschaften erfüllt ( Linearität sowie Leibniz-Regel ). Dies ermöglicht es, eine affine Verbindung als kovariante Ableitung oder sogar als (lineare) Verbindung auf dem Tangentenbündel zu definieren . Eine Wahl der affinen Verbindung entspricht auch einem Begriff des parallelen Transports , dh einem Mittel zum Transportieren der Vektoren entlang der Kurven des Verteilers.

Die Hauptinvarianten einer affinen Verbindung sind ihre Krümmung und Torsion . Die Torsion misst den Fehler, der gemacht wird, indem in der Lie-Klammer von zwei Vektorfeldern die Lie-Ableitung durch die affine Verbindung ersetzt wird. Affine Verbindungen können auch verwendet werden, um Geodäten (affine) auf einer Mannigfaltigkeit zu definieren , wobei gerade Linien im euklidischen Raum verallgemeinert werden, obwohl ihre Geometrie aufgrund der Krümmung der Verbindung stark von der üblichen Geometrie abweichen kann.

Motivationen und Geschichte

Ein Klassenverteiler C ∞ (manchmal als "glatter" Verteiler bezeichnet) ist ein mathematisches Objekt, das lokal einer glatten Verformung des euklidischen Raums R n ähnelt ; Beispielsweise ähnelt eine Kurve oder eine glatte Oberfläche lokal einer Linie oder Ebene (gekrümmt). Wie im euklidischen Raum können wir auf Mannigfaltigkeiten die Regelmäßigkeitsklasse von Funktionen und Vektorfeldern definieren und die Skalarfunktionen auf natürliche Weise ableiten .

Wenn andererseits die Differenzierung von Vektorfeldern in einem euklidischen Raum auf natürliche Weise definiert ist, liegt dies daran, dass die Menge der Vektoren an einem Punkt p (der Tangentenraum an p ) auf natürliche Weise (durch Translation) mit dem Tangentenraum an a identifiziert werden kann Nachbarpunkt q . Die Operation der Differenzierung der Vektorfelder hat für eine allgemeine Sorte keine unmittelbare Bedeutung, da sie keine solche Identifikation zwischen engen Tangentenräumen aufweist und in der Lage ist, Tangentenvektoren an verschiedenen Punkten (sogar nahe) auf einzigartige Weise zu vergleichen . Der Begriff der affinen Verbindung wurde eingeführt, um dieses Problem zu lösen, indem eine bestimmte Art der Verbindung benachbarter Tangentenräume bevorzugt wurde . Diese Idee stammt aus zwei Hauptquellen: Oberflächentheorie und Tensorrechnung .

Motivationen aus der Theorie der Oberflächen

Für eine regelmäßige Oberfläche S des dreidimensionalen euklidischen Raums gibt es eine natürliche Möglichkeit, die Tangentenvektoren an benachbarten Punkten zu verbinden. In der Nähe jedes Punktes kann S an diesem Punkt, der ein affiner Unterraum des euklidischen Raums ist, durch seine Tangentialebene angefahren werden . Im XIX - ten Jahrhundert, Vermesser wurden in dem Konzept der interessierte Entwicklung (in) , die die Bewegung einer Rollfläche zum anderen , ohne Schwenk- oder Schiebe zu sagen ist. Insbesondere kann die Tangentialebene an einem Punkt S über S rollen . Während dieser Bewegung bewegt sich der Kontaktpunkt einer Kurve S . Umgekehrt können wir bei einer Kurve von S die Tangentialebene entlang dieser Kurve rollen. Dies ermöglicht es, Tangentialebenen an verschiedenen Punkten der Oberfläche zu identifizieren. Insbesondere wird ein Vektor, der die Oberfläche tangiert und daher an einem bestimmten Punkt der Kurve zur Tangentialebene gehört, mit einem einzelnen Tangentenvektor an einem anderen Punkt der Kurve identifiziert. Diese Identifikationen definieren immer eine affine Transformation von einer Tangentialebene zur anderen.

Dieser Begriff des parallelen Transports von Tangentenvektoren entlang einer Kurve durch affine Transformationen hat einen charakteristischen Aspekt: Der Berührungspunkt der Tangentialebene mit der Oberfläche bewegt sich in der Ebene , wenn sie der Kurve folgt, durch parallelen Transport in der Ebene ; Diese generische Bedingung kennzeichnet Verbindungen Cartan (in) . In einem moderneren Ansatz wird der Kontaktpunkt als Ursprung der Tangentialebene genommen (die dann mit einem Vektorraum identifiziert wird), mit anderen Worten, die Bewegung dieses Punktes wird durch eine Translation korrigiert, die den parallelen Transport linear macht eher das verfeinert.

Aus der Sicht der Cartansche Verbindungen, andererseits die affinen Unterräume des euklidischen Raum sind Modelloberflächen : sie sind die einfachsten Oberflächen des euklidischen Raum (in 3 Dimensionen), homogen unter der Wirkung der affine Gruppe der Ebene ;; Jede glatte Oberfläche hat an jedem Punkt eine einzigartige Tangentenmodelloberfläche. Diese Modelloberflächen sind Klein- Geometrien im Sinne des Erlangen-Programms . Allgemeiner ist ein affiner Raum der Dimension n eine Klein-Geometrie für die affine Gruppe Aff ( n ), wobei der Stabilisator eines Punktes die lineare Gruppe GL ( n ) ist. Eine affine Mannigfaltigkeit der Dimension n ist daher eine Mannigfaltigkeit, die unter unendlicher Vergrößerung einem affinen Raum der Dimension n ähnelt .

Motivationen aus der Tensorrechnung

Die andere Motivation für affine Verbindungen ergibt sich aus der Vorstellung einer kovarianten Ableitung von Vektorfeldern. Vor dem Erscheinen von Berechnungsmethoden, die keine Koordinaten verwendeten, war es zur Manipulation von Vektorfeldern erforderlich, ihre Komponenten in lokalen Karten zu verwenden . Diese Komponenten können abgeleitet werden, aber die Transformation dieser Ableitungen in eine Koordinatenänderung wird nicht einfach ausgedrückt. Korrekturbegriffe wurden von Elwin Bruno Christoffel (basierend auf Ideen von Bernhard Riemann ) in den 1870er Jahren eingeführt, so dass sich die (korrigierte) Ableitung eines Vektorfeldes entlang eines anderen von der Kovarianz durch Koordinatenänderung ändert - diese Korrekturbegriffe würden später Christoffel genannt Symbole . Die Idee war, die Theorie der führen absoluten Differentialrechnung (jetzt Tensorrechnung ) , entwickelt von Gregorio Ricci-Curbastro und seinem Schüler Tullio Levi-Civita zwischen 1880 und dem Beginn des XX - ten Jahrhundert.

Die Tensorrechnung sollte jedoch erst mit der Entwicklung seiner allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein im Jahr 1915 beginnen. Einige Jahre später formalisierte Levi-Civita die einzigartige Verbindung, die mit einer Riemannschen Metrik verbunden ist, die heute als Levi-Civita-Login bekannt ist Name . Allgemeinere affine Verbindungen wurden um 1919 von Hermann Weyl , der die detaillierten mathematischen Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie entwickelte, und von Élie Cartan , der die Verbindung mit geometrischen Ideen aus der Oberflächentheorie herstellte, untersucht.

Ansätze

Diese komplexe Geschichte hat zur Entwicklung äußerst unterschiedlicher Ansätze für das Konzept der affinen Verbindung und seine Verallgemeinerungen geführt.

Am beliebtesten ist wohl die Definition, die durch kovariate Derivate motiviert ist. Einerseits wurden die Ideen von Weyl von Physikern in Form von Eichentheorien und kovarianten Derivaten Gauge (in) entwickelt . Andererseits gab Jean-Louis Koszul dem Begriff der kovarianten Ableitung einen abstrakten Rahmen, indem er Verbindungen (linear oder Koszul) auf Vektorbündeln definierte . In dieser Sprache ist eine affine Verbindung einfach eine kovariante Ableitung oder eine (lineare) Verbindung auf dem Tangentenbündel .

Dieser Ansatz erklärt jedoch weder den geometrischen Aspekt affiner Verbindungen noch deren Namen. Letzteres hat für den realen Ursprung die Identifizierung durch Translation von Tangentenräumen im üblichen euklidischen Raum: Diese Eigenschaft bedeutet, dass der euklidische Raum mit n Dimensionen ein affiner Raum ist (wir können den euklidischen Raum auch als einen homogenen Hauptraum (in) unter sehen die Aktion der Übersetzungsgruppe, die eine Untergruppe der affinen Gruppe ist). Wie wir in der Einleitung gesagt haben, gibt es mehrere Möglichkeiten, dies genau zu machen: Wir gehen von der Tatsache aus, dass eine affine Verbindung einen Begriff des parallelen Transports von Vektorfeldern entlang einer Kurve definiert. Dies definiert auch einen parallelen Transport auf dem Koordinatensystem . Der infinitesimale parallele Transport im Markierungsbündel gibt eine andere Beschreibung der affinen Verbindung, entweder als Cartan-Verbindung für die affine Gruppe Aff ( n ) oder als GL ( n ) -Hauptverbindung auf dem Markierungsbündel.

Strenge Definition als Differentialoperator

Sei M ein Differentialverteiler und C ∞ ( M , TM ) der Raum der Vektorfelder über M , dh der Raum der glatten Abschnitte des Tangentenbündels TM . Eine affine Verbindung auf M ist eine bilineare Karte ∇ :

{\ begin {matrix} C ^ {\ infty} (M, TM) \ mal C ^ {\ infty} (M, TM) & \ rightarrow & C ^ {\ infty} (M, TM) \\ (X, Y) & \ mapsto & \ nabla _ {X} Y, \ end {matrix}}

so dass für alle "glatten" Funktionen (unendlich differenzierbar) f ∈ C ∞ ( M , R ) und alle Vektorfelder X , Y auf M gilt:

$\ nabla _ {{fX}} Y = f \ nabla _ {X} Y.$ das heißt, ∇ ist C ∞ ( M , R ) - linear in der ersten Variablen;
$\ nabla _ {X} (fY) = {\ mathrm d} f (X) Y + f \ nabla _ {X} Y.$ erfüllt die Leibniz-Regel für die zweite Variable.

Elementare Eigenschaften

Aus der obigen Eigenschaft (1) folgt, dass der Wert von ∇ X Y an einem Punkt x ∈ M nur vom Wert von X bei x und nicht von den Werten von X über M - { x } abhängt . Aus Eigenschaft (2) folgt auch, dass der Wert von ∇ X Y bei x ∈ M nur von den Werten von Y in einer Nachbarschaft von x abhängt .
Wenn ∇ 1 und ∇ 2 affine Verbindungen sind, wird der Wert in x von ∇ 1 X Y - ∇ 2 X Y geschrieben werden kann Γ x ( X x , Y x ), wobei

Γ x : T x M × T x M → T x M. ist bilinear und hängt auf glatte Weise von x ab (dh definiert einen Morphismus von Bündeln (in) differenzierbar). Wenn umgekehrt ∇ eine affine Verbindung und Γ ein bilinear differenzierbarer Fasermorphismus ist (wir sagen, dass es sich um eine Verbindungsform auf M handelt ), dann ist ∇ + Γ eine affine Verbindung.

Wenn M eine offene Menge von R n ist , ist das Tangentenbündel von M das triviale Bündel M × R n . In diesem Fall besteht eine kanonische affine Verbindung d auf M : Jedes Vektorfeld Y ist durch eine Abbildung V von M nach R n gegeben , und d X Y ist das Vektorfeld, das der Funktion d V ( X ) = ∂ X entspricht Y von M nach R n . Jede andere affine Verbindung ∇ auf M kann daher geschrieben werden ∇ = d + Γ , wobei Γ eine Form der Verbindung auf M ist .
Allgemeiner ist eine lokale Trivialisierung des Tangentenbündels ein Isomorphismus von Bündeln (en) zwischen der Beschränkung von T M auf ein offenes U von M und U × R n . Die Einschränkung der affinen Verbindung ∇ zu U kann in der Form + Γ geschrieben werden , wobei Γ ein Anmeldeformular für U ist .

Paralleltransport für affine Verbindungen

Definition

Der Vergleich von Tangentenvektoren an verschiedenen Punkten einer Mannigfaltigkeit ist im Allgemeinen nicht gut definiert. Eine affine Verbindung bietet ein Mittel, um dies zu beheben, indem der Begriff des parallelen Transports verwendet wird, und umgekehrt. Ein solcher Begriff ermöglicht es, eine Verbindung zu definieren.

Sei M eine Mannigfaltigkeit, die mit einer affinen Verbindung ausgestattet ist ∇. Ein Feld von Vektoren X wird als parallel bezeichnet, wenn ∇ X = 0 in dem Sinne ist, dass für jedes Feld von Vektoren Y ∇ Y X = 0 ist. Intuitiv ist ein Feld von Vektoren daher parallel, wenn alle seine Ableitungen Null sind, d. H. wenn es in gewissem Sinne "konstant" ist. Die Auswertung eines parallelen Vektorfeldes an zwei Punkten x und y ermöglicht es, eine Vektortangente an x mit einer anderen an y zu identifizieren ; solche Vektoren sollen voneinander transportiert werden .

Leider existieren parallele Felder von Nicht-Null-Vektoren im Allgemeinen auch lokal nicht, da die Gleichung ∇ X = 0 eine partielle Differentialgleichung ist, die überbestimmt ist: Die Integrierbarkeitsbedingung (in) für diese Gleichung ist die Aufhebung der Krümmung von ∇ (siehe unten). Wenn wir diese Gleichung jedoch auf eine Kurve von x nach y beschränken , wird sie zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , die für jeden Anfangswert von X bei x eine eindeutige Lösung bietet .

Genauer gesagt, wenn γ : I → M ein (differenzierbarer) Pfad ist, der durch ein Intervall I = [ a , b ] und ξ ξ T x M parametrisiert ist , wobei x = γ ( a ), ein Feld von Vektoren X entlang γ (und Insbesondere wird der Wert dieses Feldes bei y = γ ( b )) als paralleler Transport von ξ entlang γ bezeichnet, wenn:

$\ nabla _ {{{\ dot \ gamma} (t)}} X = 0$ für alle t ∈ [ a , b ];
${\ displaystyle X _ {\ gamma (a)} = \ xi}$ .

Formal bedeutet die erste Bedingung, dass X parallel zu der an der Faser zurückgezogenen Verbindung ist und γ * T M induziert . In einer lokalen Trivialisierung ist diese Bedingung jedoch ein System linearer Differentialgleichungen , das eine eindeutige Lösung für jeden Satz von Anfangsbedingungen bietet, die durch die zweite Bedingung gegeben sind (gemäß dem Cauchy-Lipschitz-Theorem ). induziertes Bündel

Somit bietet der parallele Transport eine Möglichkeit, Vektoren, die tangential zum Verteiler entlang einer Kurve verlaufen, zu verwenden, indem die affine Verbindung verwendet wird, um ihre Richtung in einem intuitiven Sinne zu "behalten", der einen (linearen) Isomorphismus zwischen Räumen definiert. Tangenten an beiden Enden der Kurve . Der so erhaltene Isomorphismus hängt im Allgemeinen von der Wahl der Kurve ab (weitere Einzelheiten finden Sie im Artikel Holonomie ); Ist dies nicht der Fall, können durch den parallelen Transport entlang einer beliebigen Kurve parallele Vektorfelder auf M definiert werden . Dies kann nur passieren, wenn die Krümmung von ∇ Null ist.

Ein linearer Isomorphismus wird durch seine Wirkung auf einer Basis bestimmt . Paralleltransport kann auch als Mittel zum Transport der Elemente des Koordinatensystems (Tangente) GL ( M ) entlang einer Kurve angesehen werden. Mit anderen Worten liefert die affine Verbindung einen Auftrieb von einer beliebigen Kurve γ von M zu einer Kurve von GL ( M ). ${\ tilde \ gamma}$

Beispiel

Betrachten Sie eine sphärische Parametrisierung der Einheitskugel . Die Ableitung entspricht dem Vektor, der einheitlich ist, und die Ableitung entspricht dem Vektor, der nicht einheitlich ist. Stellen wir den kollinearen Einheitsvektor auf und ein , so dass dies eine orthonormale Basis der Ebene darstellt, die an dem betrachteten Punkt die Kugel tangiert. Wir können das zeigen: ${\ displaystyle (\ theta, \ phi) \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ sin (\ theta) \ cos (\ phi) \\\ sin (\ theta) \ sin (\ phi) \\\ cos (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ teilweise} {\ teilweise \ theta}}}$ ${\ displaystyle e _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \\\ cos (\ theta) \ sin (\ phi) \\ - \ sin (\ theta) ) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ teilweise} {\ teilweise \ phi}}}$ ${\ displaystyle e _ {\ phi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ theta) \ sin (\ phi) \\\ sin (\ theta) \ cos (\ phi) \\ 0 \ end {pmatrix }}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ phi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ phi) \\\ cos (\ phi) \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ $e_ \ phi$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ theta} = e _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {\ theta}, \ varepsilon _ {\ phi})}$

{\ displaystyle \ nabla _ {e _ {\ phi}} \ varepsilon _ {\ theta} = \ cos (\ theta) \ varepsilon _ {\ phi}}

und

{\ displaystyle \ nabla _ {e _ {\ phi}} \ varepsilon _ {\ phi} = - \ cos (\ theta) \ varepsilon _ {\ theta}}

Dies bedeutet, dass, wenn man sich entlang der Parallele der Kugel bewegt , wobei die Länge variabel ist, sich die orthonormale Basis mit Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf eine Basis dreht , die parallel entlang der Parallele transportiert werden würde. Umgekehrt wird ein Y-Feld parallel entlang der Parallele transportiert, wenn es sich mit Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf die orthonormale Basis dreht . Am Äquator ist die Drehung Null. An den Polen ist es maximal. Es ist dieses Phänomen, das im Experiment des Foucault-Pendels beobachtet wird , dessen Schwingungsebene parallel entlang der Parallele transportiert wird, wo es sich mit der Erdrotation befindet. $\ Theta$ $\ phi$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {\ theta}, \ varepsilon _ {\ phi})}$ $\ cos (\ theta)$ ${\ displaystyle - \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {\ theta}, \ varepsilon _ {\ phi})}$

Strenge Definition des Referenzpunktbündels

Eine affine Verbindung kann auch als GL ( n ) Primärverbindung (en) ω auf dem Rahmenbündel F M (auch als GL ( M ) bezeichnet) einer Sorte M definiert werden . Genauer gesagt ist ω eine differenzierbare Abbildung, die vom Tangentenbündel T (F M ) des Referenzbündels zum Raum von n × n Matrizen (der Lie-Algebra gl ( n ) der Lie-Gruppe GL ( n ) n × - geht n invertierbare Matrizen ), die die folgenden zwei Eigenschaften erfüllen:

für alle g bis GL (gehören , n ) und alle x bis T (F gehören , M ), ω (g (x)) = g (ω (x)) , ist , dass das heißt ω ist äquivariante (in) für die Wirkung von GL ( n ) auf T (F M ) und auf gl ( n );
ω ( X ξ ) = ξ für alle ξ von gl ( n ), wobei X ξ das Vektorfeld auf F M ist , das ξ entspricht .

Ein solche Verbindung ω definiert sofort eine kovariante Ableitung , nicht nur auf der Tangentialbündel, aber auf dem Vektorbündel assoziiert mit jeder Gruppe Darstellung von GL ( n ), wie das Bündel von Tensoren und Tensor Dichten (en) . Umgekehrt bestimmt eine affine Verbindung auf dem Tangentenbündel eine affine Verbindung auf dem Koordinatensystem, indem beispielsweise gefragt wird, ob ω auf den Vektoren verschwindet, die tangential zu den durch den parallelen Transport definierten Aufzügen der Kurven im Rahmenbündel sind.

Das Referenzbündel ist auch mit einer Schweißnahtform (in) θ : T (F M ) → R n versehen, die horizontal ist , in dem Sinne, dass sie auf den vertikalen Vektoren (in) wie den Punktwerten der Felder verschwindet von Vektoren X ξ : θ wird in der Tat definiert, indem zuerst ein Tangentenvektor (bei F M , an einem Punkt, der mit einer Referenz f versehen ist ) auf M projiziert wird , und dann die Komponenten dieses Tangentenvektors auf M in der Referenz f genommen werden . Es ist zu beachten, dass θ auch GL ( n ) -äquivariante ist (GL ( n ), die durch Multiplizieren der Matrizen auf R n einwirkt ).

Das Paar ( θ , ω ) definiert einen Isomorphismus von Bündeln (en) zwischen T (F M ) und dem trivialen Bündel F M × aff ( n ), wobei aff ( n ) das kartesische Produkt von R n und gl ( n ) ist. (gesehen als die Lie-Gruppenalgebra der affinen Gruppe, die tatsächlich ein semi-direktes Produkt ist - siehe unten).

Affine Verbindungen werden als Cartan-Verbindungen angesehen

Affine Verbindungen können innerhalb des von Cartan vorgeschlagenen allgemeinen Rahmens definiert werden. Aus heutiger Sicht ist dies eng mit der Definition affiner Verbindungen auf dem Bündel von Referenzpunkten verbunden. Tatsächlich ist in einer der möglichen Formulierungen eine Cartan-Verbindung eine absolute Parallelität eines Hauptbündels, das geeignete Eigenschaften erfüllt. Unter diesem Gesichtspunkt ist die 1-Form mit Werten in aff ( n ) ( θ , ω ): T (F M ) → aff ( n ) auf dem Bündel von Referenzrahmen (einer affinen Mannigfaltigkeit) ein Cartan Verbindung. Cartans Ansatz selbst hatte jedoch eine Reihe von Unterschieden zu dieser Ansicht:

das Konzept des Referenzbündels oder Hauptbündels existierte nicht;
Verbindungen wurden im Hinblick auf den parallelen Transport zwischen unendlich engen Punkten gesehen;
dieser parallele Transport war affin und nicht linear;
Die transportierten Objekte waren keine Tangentenvektoren im modernen Sinne, sondern Elemente eines affinen Raums mit Ursprung, einem Raum, den Cartans Verbindung letztendlich mit dem Tangentenraum identifiziert.

Historische Erklärungen und Intuitionen

Die gerade angesprochenen Punkte können ausgehend von den Motivationen der Oberflächentheorie leichter in umgekehrter Reihenfolge erklärt werden. Obwohl die auf der Oberfläche rollenden Ebenen im naiven Sinne Tangentialebenen sind, ist in dieser Theorie der Begriff des Tangentenraums ein infinitesimaler Begriff , während sich die Ebenen als affine Teilräume von R 3 bis ins Unendliche erstrecken. Diese affinen Ebenen haben jedoch alle einen natürlichen Ursprung, ihren Kontaktpunkt mit der Oberfläche. Die Verwirrung tritt daher natürlich auf, da ein affiner Raum, der mit einem Ursprungspunkt versehen ist, mit dem Vektorraum seiner Vektoren und daher mit dem Tangentenraum an diesem Punkt identifiziert wird. Der durch das Lager definierte Paralleltransport behält diesen Ursprung jedoch nicht bei; es ist eine affine und nichtlineare Transformation (aber linearer paralleler Transport wird durch Komponieren mit einer Translation erhalten).

Abstrakter sollte eine affine Mannigfaltigkeit daher als eine Mannigfaltigkeit M der Dimension n definiert werden , die an jedem Punkt x mit einem affinen Raum A x (auch der Dimension n ) versehen ist, der durch einen Punkt a x ∈ a x an dieses x "gebunden" ist wobei die affine Sorte auch ein paralleler Transport bereitgestellt wird, dh ein Verfahren zum Transportieren der Elemente dieser Räume, die entlang einer Kurve (glatt) eines beliebigen C von M affin sind . Diese Methode muss mehrere Eigenschaften erfüllen:

für zwei beliebige Punkte x und y von C ist der parallele Transport eine affine Transformation von A x nach A y ;
Der parallele Transport muss an jedem Punkt x von C differenzierbar sein und seine Ableitung darf an diesem Punkt nur vom Tangentenvektor zu C abhängen .
Diese Ableitung muss einen (linearen) Isomorphismus zwischen T x M und bestimmen $T _ {{a_ {x}}} A_ {x}.$

Es ist ziemlich schwierig, diese beiden letzten Bedingungen rigoros auszudrücken, weshalb affine Verbindungen meistens infinitesimal definiert werden. Für diesen Ansatz genügt es zu sehen, wie sich die affinen Koordinatensysteme in einen infinitesimalen parallelen Transport umwandeln (dies ist der Ursprung der Methode zum Verschieben von Frames (en) von Cartan). Ein affines Koordinatensystem an einem Punkt ist eine Liste ( p , e 1 , ..., e n ), wobei p ∈ A x und e i eine Basis von T p ( A x ) bilden. Die affine Verbindung wird dann symbolisch durch ein Differentialsystem erster Ordnung gegeben

{\ displaystyle (*) \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {d} {p} & = \ theta ^ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + \ cdots + \ theta ^ {n} {\ mathbf {e}} _ {n} & \\\ mathrm {d} {\ mathbf {e}} _ {i} & = \ omega _ {i} ^ {1} {\ mathbf {e }} _ {1} + \ cdots + \ omega _ {i} ^ {n} {\ mathbf {e}} _ {n}, & \ quad i = 1,2, \ ldots, n \ end {matrix} } \ Recht.}

definiert durch eine Menge von 1-Formen ( θ j , ω i j ). Geometrisch wird ein affines Koordinatensystem, das sich entlang einer Kurve γ bewegt , die von γ ( t ) nach γ ( t + δt ) verläuft, ungefähr (oder infinitesimal) um transformiert

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} p (\ gamma (t + \ delta t)) - p (\ gamma (t)) & = {\ bigl (} \ theta ^ {1} (\ gamma ') (t)) {\ mathbf {e}} _ {1} + \ cdots + \ theta ^ {n} (\ gamma '(t)) {\ mathbf {e}} _ {n} {\ bigr)} \ mathrm {\ delta} t & \\ {\ mathbf {e}} _ {i} (\ gamma (t + \ delta t)) - {\ mathbf {e}} _ {i} (\ gamma (t)) & = {\ bigl (} \ omega _ {i} ^ {1} (\ gamma '(t)) {\ mathbf {e}} _ {1} + \ cdots + \ omega _ {i} ^ {n} (\ gamma '(t)) {\ mathbf {e}} _ {n} {\ bigr)} \ delta t. \ end {matrix}} \ right.}

Darüber hinaus ist die affinen Räume A x muss Tangente zu M in dem (informell) Sinne , dass die Verschiebung eines x entlang γ kann (an der Grenze) identifiziert werden , mit der Tangentenvektor γ ' ( t ) bis & gamma; bei x = γ ( t ) (d. h. mit der infinitesimalen Verschiebung von x ). Wie

a x ( γ ( t + δt )) - a x ( γ ( t )) = θ ( γ ' ( t )) δt ,

wobei & thgr ; definiert ist durch & thgr; ( X ) = & thgr; 1 ( X ) e 1 + ... + & thgr; n ( X ) e n , ist diese Identifikation durch & thgr ; gegeben ; Diese Bedingung läuft daher darauf hinaus, zu verlangen, dass θ an jedem Punkt ein linearer Isomorphismus ist.

Der tangentiale affine Raum A x wird somit mit einer infinitesimalen affinen Nachbarschaft von x identifiziert .

Die moderne Sichtweise spezifiziert all diese Intuitionen unter Verwendung von Hauptbündeln (die wesentliche Idee besteht darin, eine Referenzmarke, "fest" oder "mobil", durch den Raum aller Referenzmarken und durch auf diesem Raum definierte Funktionen zu ersetzen). Es ist auch inspiriert von Erlangens Programm , in dem eine „Geometrie“ als homogener Raum definiert wird . Ein affiner Raum ist unter diesem Gesichtspunkt eine "Geometrie" und mit einer flachen Cartan-Verbindung (ohne Krümmung) versehen. Somit kann eine allgemeine affine Mannigfaltigkeit als eine Verformung angesehen werden, die dieses flache Modell biegt.

Der affine Raum als Modell der Geometrie ohne Krümmung

Definition eines affinen Raumes

Wir können einen affinen Raum als einen Vektorraum betrachten, dessen Ursprung entfernt wurde. Folglich können sich die Punkte im Raum nicht addieren, aber wir können einem Punkt p einen Vektor v hinzufügen , wobei die Operation p → p + v die Translation des Vektors v ist . Streng genommen ist ein affiner Raum der Dimension n eine Menge A n, die mit einer freien transitiven Wirkung der Gruppe von Vektoren R n ausgestattet ist : A n ist somit ein homogener Hauptraum (en) für die Gruppe R n .

Die allgemeine lineare Gruppe GL ( n ) ist die Gruppe von Transformationen von R n, die die lineare Struktur von R n in dem Sinne beibehält, dass T ( av + bw ) = aT ( v ) + bT ( w ). In Analogie wird die affine Gruppe Aff ( n ist) als die Gruppe von Transformationen von definierten A n , die die hält affine Struktur . Somit muss φ ∈ Aff ( n ) die Übersetzungen in dem Sinne behalten, dass

\ phi (p + v) = \ alpha (p) + T (v) \,

für T jede lineare Anwendung. Die Anwendung, die φ ∈ Aff ( n ) an T ∈ GL ( n ) sendet, ist ein Morphismus von Gruppen . Sein Kernel ist die Gruppe von Übersetzungen R n . Der Stabilisator eines Punktes p von A kann somit mit GL ( n ) identifiziert werden : Dies realisiert die affine Gruppe als semi-direktes Produkt von GL ( n ) und von R n und den affinen Raum als homogenen Raum Aff ( n) ) / GL ( n ).

Affine Orientierungspunkte und affine Verbindung ohne Krümmung

Ein affines Koordinatensystem von A besteht aus einem Punkt p ∈ A und einer Basis ( e 1 , ..., e n ) des Vektorraums T p A = R n . Die allgemeine lineare Gruppe GL ( n ) wirkt frei auf die Menge F A von affinen Referenzrahmen, indem sie p fixiert und die Basis ( e 1 , ..., e n ) auf die übliche Weise transformiert und die Karte π eine affine Koordinate sendet System ( p ; e 1 , ..., e n ) auf p ist die Quotientenkarte . Somit F A ist ein GL ( n ) Haupt -bundle oben A . Die Wirkung von GL ( n ) erstreckt sich natürlich auf eine freie transitive Wirkung der affinen Gruppe Aff ( n ) auf F A , und daher ist F A ein Aff ( n ) -Torsor (en) , und die Wahl eines Referenzrahmens identifiziert F A → A mit dem Hauptbündel Aff ( n ) → Aff ( n ) / GL ( n ).

Wir können auf F A eine Menge von n + 1 Funktionen durch definieren

\ pi (p; {\ mathbf {e}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {e}} _ {n}) = p

(wie früher)

\ epsilon _ {i} (p; {\ mathbf {e}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {e}} _ {n}) = {\ mathbf {e}} _ {i}.

Diese Funktionen legen einen Ursprung für A fest und haben Werte in R n ; Es ist daher möglich, ihre externen Ableitungen zu nehmen und differentielle 1-Formen mit Werten in R n zu erhalten . Da die Funktionen ε i an jedem Punkt von F A eine Basis von R n liefern , müssen diese 1-Formen als Summen der Form ausgedrückt werden können

{\ begin {matrix} {\ mathrm d} \ pi & = \ theta ^ {1} \ varepsilon _ {1} + \ cdots + \ theta ^ {n} \ varepsilon _ {n} \\ {\ mathrm d} \ varepsilon _ {i} & = \ omega _ {i} ^ {1} \ varepsilon _ {1} + \ cdots + \ omega _ {i} ^ {n} \ varepsilon _ {n} \ end {matrix}}

für eine bestimmte Menge ( θ i , ω j k ) 1 ≤ i , j , k ≤ n von 1-Formen mit reellen Werten für Aff ( n ). Dieses System von 1-Formen auf dem Hauptbündel F A → A definiert die affine Verbindung auf A .

Wenn wir die externe Ableitung ein zweites Mal nehmen und die Tatsache, dass d 2 = 0 ist, sowie die lineare Unabhängigkeit von ε i verwenden , erhalten wir die folgenden Beziehungen:

{\ begin {matrix} {\ mathrm d} \ theta ^ {j} - \ sum _ {i} \ omega _ {i} ^ {j} \ wedge \ theta ^ {i} & = 0 \\ {\ mathrm d} \ omega _ {i} ^ {j} - \ sum _ {k} \ omega _ {k} ^ {j} \ wedge \ omega _ {i} ^ {k} & = 0. \ end {matrix} }}

Dies sind die Maurer-Cartan-Gleichungen für die Lie-Gruppe Aff ( n ) (identifiziert mit F A durch Auswahl eines Referenzrahmens). Außerdem :

das Pfaffsche System (in) θ j = 0 (für alle j ) ist integrierbare (in) , und seine integralen Verteiler sind die Fasern des Hauptfaserbündel Aff ( n ) → A .
das System Pfaffsche ω i j = 0 (für alle i , j ) ist ebenfalls integrierbar und seine integrale Verteilern parallel in Transport F definieren A .

Somit werden die Formen ( ω i j ) definieren einen Primäranschluss (IN) F A → A .

Um die anfänglichen Motivationen zu vervollständigen, müssen wir auch den parallelen Transport im Aff ( n ) -Hauptbündel über A definieren . Dies kann erreicht werden, indemInduzierte Faser F A durch die durch die Übersetzungen definierte Abbildung φ nach hinten gezogen wird: R n × A → A. Dann ist die Verbindung φ * F A → F A → A eine Haupt- Aff ( n ) -Faser über A , und die Formen ( θ i , ω j k ) induzieren (in) eine Haupt- Aff ( n ) -Verbindung flach auf dieser bündeln.

Allgemeine affine Geometrien: strenge Definitionen

Ein affiner Raum ist eine Sorte mit einer flachen Cartan-Verbindung . Allgemeinere affine Mannigfaltigkeiten (oder Geometrien) werden erhalten, indem die durch die Maurer-Cartan-Gleichungen ausgedrückte Ebenheitsbedingung entfernt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich der Definition zu nähern. wir werden zwei geben. Wir werden sie leichter verstehen, wenn wir feststellen, dass die 1-Formen ( θ i , ω j k ) des flachen Modells zusammen eine 1-Form mit Werten in der Lie-Algebra aff ( n ) der affinen Gruppe Aff (ergeben) ergeben. n ).

In diesen Definitionen ist M eine Differentialverteiler der Dimension n und A = Aff ( n ) / GL ( n ) ist ein affiner Raum derselben Dimension.

Definition mit absoluter Parallelität

Oder M eine Sorte, und P ein GL ( n ) Haupt -bundle oben M . Eine affine Verbindung ist eine 1-Form η auf P mit Werten in aff ( n ), die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

η ist äquivariante (en) für die Wirkung von GL ( n ) auf P und auf aff ( n );
η ( X ξ ) = ξ für alle ξ der Lie-Algebra gl ( n ) von n × n Matrizen ;
η ist ein (linearer) Isomorphismus jedes Tangentenraums von P mit aff ( n ).

Diese letzte Bedingung bedeutet, dass η eine absolute Parallelität auf P ist , d. H. Sie identifiziert das Tangentenbündel von P mit einem trivialen Bündel (in diesem Fall mit P × aff ( n )). Das Paar ( P , η ) definiert eine Struktur affiner Geometrie auf M , was es zu einer affinen Mannigfaltigkeit macht .

Die affine Lie-Algebra aff ( n ) faktorisiert in ein semi-direktes Produkt von R n und gl ( n ), und η kann daher als Paar ( θ , ω ) geschrieben werden, wobei θ seine Werte in R n und nimmt ω nimmt sie in gl ( n ). Bedingungen (1) und (2) sind äquivalent zu & ohgr; a Haupt GL (wobei n ) -Verbindung und & theta; eine äquivariante horizontal 1-Form, die einen Konstrukt Homomorphismus von Bündeln (in) von T M an den zugehörigen Bündel P × GL ( n ) R n . Bedingung (3) ist äquivalent zu diesem Homomorphismus, der ein Isomorphismus ist (das Vorhandensein dieser Zersetzung ist jedoch eine Folge der besonderen Struktur der affinen Gruppe). Da P das Bündel von Referenzrahmen von P × GL ( n ) R n ist , folgt, dass θ einen Isomorphismus von Bündeln zwischen P und F M , dem Bündel von Rahmen von M , konstruiert ; So finden wir die Definition einer affinen Verbindung als GL ( n ) -Verbindung Haupt F M .

Die 1-Formen, die im flachen Modell erscheinen, sind einfach die Komponenten von θ und ω .

Definition als primäre affine Verbindung

Eine affine Verbindung auf M ist ein Haupt- Aff ( n ) -Bibble Q über M , auf dem ein GL ( n ) -Komponenten-Prinzip P von Q und ein Aff ( n ) -Verbindungsprinzip α (c 'gegeben sind, heißt a 1-Form auf Q mit Werten in aff ( n )), die die folgende Cartan-Bedingung (generisch) erfüllt : Die Komponente in R n der Beschränkung von α auf P ist eine äquivariante horizontale 1-Form und definiert daher einen Homomorphismus von Bündeln von T M nach P × GL ( n ) R n : Cartans Zustand möchte, dass es sich um einen Isomorphismus handelt.

Beziehung zu Motivationen

Da Aff ( n ) auf A wirkt , gibt es zusammen mit dem Hauptbündel Q ein Bündel A = Q × Aff ( n ) A , das ein Bündel über M ist, dessen Faser bei x (von M ) ein affiner Raum A ist x . Ein Abschnitt a von A (die einen Punkt markiert eine x von A x für jedes x ∈ M ) bestimmt , einen Haupt GL ( n ) -sub Bündel P von Q (als ein Bündel von Stabilisatoren dieser markierten Punkte), und vice versa . Die Hauptverbindung α definiert eine Ehresmann-Verbindung auf diesem Bündel und damit einen Begriff des parallelen Transports. Cartans Zustand garantiert bei diesem parallelen Transport die Verschiebung des so unterschiedenen Abschnitts a .

Andere Eigenschaften

Krümmung und Torsion

Krümmung und Torsion sind die Hauptinvarianten affiner Verbindungen. Da affine Verbindungen auf viele äquivalente Arten definiert werden können, gibt es auch mehrere Definitionen dieser Invarianten.

Aus der Perspektive der Cartan-Verbindungen misst die Krümmung, wie gut die Verbindung η die Maurer-Cartan-Gleichung nicht erfüllt

{\ mathrm d} \ eta + {\ tfrac 12} [\ eta \ wedge \ eta] = 0,

wobei der zweite Term von links das äußere Produkt ist , wobei die Lie-Klammer (en) in aff ( n ) verwendet wird, um die Werte zu kontrahieren. Indem wir η als Paar ( θ , ω ) schreiben und die Struktur der Lie-Algebra aff ( n ) verwenden, können wir die linke Seite neu schreiben

{\ mathrm d} \ theta + \ omega \ wedge \ theta

{\ mathrm d} \ omega + \ omega \ wedge \ omega,

wobei die äußeren Produkte unter Verwendung der Multiplikation der Matrizen berechnet werden. Der erste Ausdruck wird als Verdrehung der Verbindung und der zweite als Krümmung bezeichnet .

Diese Ausdrücke sind differentielle 2-Formen auf dem gesamten Raum eines Bündels von Referenzrahmen, aber sie sind horizontal und äquivariant und definieren daher Tensorobjekte. Diese können wie folgt direkt aus ∇ , der kovarianten Ableitung von T M , definiert werden:

Die Torsion ist durch die Formel gegeben

T ^ {\ nabla} (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y].

Wenn die Torsion Null ist, wird die Verbindung als torsionsfrei oder symmetrisch bezeichnet .

Die Krümmung ergibt sich aus der Formel

R _ {{X, Y}} ^ {\ nabla} Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {{[ X, Y]}} Z.

Wenn die Krümmung und die Torsion Null sind, definiert die Verbindung eine Pre-Lie-Algebra- Struktur (en) im Raum der globalen Abschnitte des Tangentenbündels.

Die Levi-Civita-Verbindung

Wenn ( M , g ) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist , existiert eine eindeutige affine Verbindung ∇ auf M, so dass:

die Verbindung ist torsionsfrei, dh T ∇ ist Null;
Der parallele Transport ist eine Isometrie, d. h. die Punktprodukte zwischen Tangentenvektoren (definiert unter Verwendung von g ) werden beibehalten.

Diese Verbindung wird als Levi-Civita-Verbindung bezeichnet .

Die zweite Bedingung bedeutet, dass diese Verbindung eine metrische Verbindung (fr) ist, dh die Riemannsche Metrik g ist parallel: ∇ g = 0 . In lokalen Koordinaten werden die Komponenten der Verbindungsform als Christoffel-Symbole bezeichnet . Da die Levi-Civita-Verbindung einzigartig ist, können wir diese Komponenten in Form von g formulieren .

Geodäten

Da gerade Linien ein affines geometrisches Konzept sind, erwarten wir, dass affine Verbindungen es uns ermöglichen, auf jeder affinen Mannigfaltigkeit einen verallgemeinerten Begriff von geraden (parametrischen) Linien zu definieren, der als affine Geodäten bezeichnet wird . Aus linearer Sicht ermöglicht eine affine Verbindung auf M die Charakterisierung der Geodäten auf folgende Weise: Eine glatte Kurve γ : I → M ist eine affine Geodäten, wenn sie parallel entlang transportiert wird, dh als ${\ dot \ gamma}$ $\Gamma$

\ tau _ {t} ^ {s} {\ dot \ gamma} (s) = {\ dot \ gamma} (t)

wobei τ t s : T γ s M → T γ t M die parallele Transportkarte ist, die die Verbindung definiert.

Mit der infinitesimalen Verbindung ∇ ausgedrückt, impliziert die Ableitung dieser Gleichung

\ nabla _ {{{\ dot \ gamma} (t)}} {\ dot \ gamma} (t) = 0

für alle t ∈ I .

Umgekehrt ist jede Lösung dieser Differentialgleichung eine Kurve, deren Tangentenvektor entlang der Kurve parallel zu sich selbst bleibt. Für alle x ∈ M und alle X ∈ T x M existiert eine eindeutige affine geodätische γ : I → M, so dass γ (0) = x und

{\ dot \ gamma} (0) = X.

Dabei ist I das maximale offene Intervall von R mit 0, über das die Geodät definiert wird. Dies ergibt sich aus dem Cauchy-Lipschitz-Theorem und ermöglicht die Definition einer Exponentialkarte, die der affinen Verbindung zugeordnet ist.

Insbesondere wenn M eine Riemannsche ( Pseudo -) Mannigfaltigkeit ist und ∇ die Levi-Civita-Verbindung ist , sind die affinen Geodäten die üblichen Geodäten der Riemannschen Geometrie, dh die Kurven, die den Abstand lokal minimieren.

Es wird manchmal gesagt, dass die hier definierten Geodäten fein parametrisiert sind , da eine gegebene Geodäten von M eine einzelne parametrisierte Kurve γ bis zu einer affinen Änderung des Parameters nahe γ ( t ) → γ ( bei + b ) mit einer Konstante a und b bestimmt . Der Tangentenvektor zu einer affinen Geodät bleibt entlang seiner gesamten Seite äquipollent (und daher parallel) zu sich selbst. Wenn wir nur die Bedingung der Parallelität beibehalten, ohne die Äquipollenz zu erfordern, reicht es aus, dass die Gleichung überprüft wird

\ nabla _ {{{\ dot {\ gamma}}} {\ dot {\ gamma}} = k {\ dot {\ gamma}}

für einige auf γ definierte Funktion k . Solche nicht parametrisierten Geodäten werden häufig unter dem Gesichtspunkt projektiver Verbindungen (in) untersucht .

Entwicklung

Eine affine Verbindung ermöglicht es, einen Begriff der Entwicklung (in) der Kurven zu definieren (nicht zu verwechseln, weder mit der Evolute noch mit der Evolvente ). Intuitiv entspricht die Entwicklung der Sicht der Tangentialebene an einem Punkt x t einer Kurve von M, die auf der Kurve rollt (ohne zu gleiten). Bei dieser Bewegung beschreibt der Anfangskontaktpunkt x 0 eine Kurve C t der Tangentialebene, die Entwicklung von x t .

Um diese Idee zu formalisieren, sei τ t 0 : T x t M → T x 0 M die (lineare) parallele Transportanwendung, die mit der affinen Verbindung verbunden ist. Dann ist die Entwicklung C t die Kurve von T x 0 M des Ursprungs 0 und parallel zur Tangente an die Kurve in x t für alle t :

{\ dot {C}} _ ​​{t} = \ tau _ {t} ^ {0} {\ dot {x}} _ {t}, \ quad C_ {0} = 0.

Insbesondere ist x t genau dann eine Geodät, wenn seine Entwicklung ein Recht (Filtersatz) von T x 0 M ist .

Die Theorie der Oberflächen unter dem Gesichtspunkt affiner Verbindungen

Wenn M eine Oberfläche von R 3 ist , können wir leicht sehen, dass M eine natürliche affine Verbindung hat. Unter dem Gesichtspunkt linearer Verbindungen wird die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes definiert, indem dieses Feld, das als Anwendung von M auf R 3 angesehen wird , differenziert und das Ergebnis (orthogonal) auf die Tangentialebenen auf M projiziert wird . Es ist leicht zu erkennen, dass diese affine Verbindung verdrehungsfrei ist. Darüber hinaus ist es eine metrische Verbindung in Bezug auf die Riemannsche Metrik, die durch das Skalarprodukt von R 3 auf M induziert wird ; Das ist also die Levi-Civita-Verbindung dieser Metrik.

Beispiel: die Einheitskugel des euklidischen Raums

Bezeichnen Sie das übliche Skalarprodukt auf R 3 und die Einheitskugel. Die Ebene, die an einem Punkt x tangiert, wird natürlich mit dem Unterraum von R 3 identifiziert, der durch zu x orthogonale Vektoren gebildet wird . Daraus folgt, dass ein Vektorfeld an als Anwendung angesehen werden kann $\ langle, \ rangle$ $S ^ {2}$ $S ^ {2}$ $Y.$ $S ^ {2}$

Y: S ^ {2} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3},

wer prüft

\ langle Y_ {x}, x \ rangle = 0, \ forall x \ in S ^ {2}.

Bezeichne mit Y das Differential dieser Karte. Wir haben :

Lemma . Die Formel

(\ nabla _ {X} Y) _ {x} = {\ mathrm d} Y_ {x} (X) + \ langle X_ {x}, Y_ {x} \ rangle x \,

definiert eine verdrehungsfreie affine Verbindung auf . $S ^ {2}$

Demonstration . Eine direkte Berechnung zeigt, dass ∇ die Leibniz-Identität erfüllt und in Bezug auf die erste Variable linear ist. Es reicht daher zu zeigen, dass die vorhergehende Anmeldung ein Feld von Tangentenvektoren definiert. Mit anderen Worten, wir müssen das für alle x von zeigen $C ^ {\ infty} (S ^ {2})$ $S ^ {2}$

\ langle (\ nabla _ {X} Y) _ {x}, x \ rangle = 0 \ qquad (1).

Betrachten Sie die Anwendung

{\ begin {align} f: \ & S ^ {2} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & \ langle Y_ {x}, x \ rangle. \ end {align}}

$f$ ist konstant und daher ist sein Differential identisch Null. Bestimmtes

{\ mathrm d} f_ {x} (X) = \ langle ({\ mathrm d} Y) _ {x} (X), x \ rangle + \ langle Y_ {x}, X_ {x} \ rangle = 0 . \,

Gleichung (1) folgt sofort. $\ Box \,$

Anmerkungen

Weyl .
Cartan 1923 .
Folglich verwenden viele Mathematiker den Ausdruck lineare Verbindung für die Verbindungen des Tangentenbündels, da der parallele Transport linear und nicht affin ist. Die gleiche Eigenschaft gilt jedoch für Verbindungen auf einem Vektorbündel (ob es sich um Koszul oder Ehresmann handelt). Anfänglich ist der Begriff affine Verbindung eine Abkürzung, die Cartan connection (in) verfeinert , was bedeutet, dass die Verbindung auf dem Tangentenbündel und nicht auf einem beliebigen Vektorbündel festgelegt wird. Der Begriff der linearen Cartan-Verbindung macht wenig Sinn, da lineare Darstellungen nicht transitiv sind.
Wenn es existiert, sagen wir, dass der Verteiler parallelisierbar ist .
Cartan 1926 .
Es ist schwierig, genaue Intuitionen Cartan ohne die Verwendung des Infinitesimalkalküls glatt (in) (ein Zweig der Theorie der Topoi ) zu machen, aber ein Ansatz besteht darin, seine Punkte als Variablen zu betrachten , dh beispielsweise Anwendungen eines Parameterraums in der Mannigfaltigkeit, die wir dann unterscheiden können.
Tangentenräume wurden klassisch als infinitesimale Näherungen angesehen, während sie in der modernen Differentialgeometrie häufig als Differentialobjekte wie Ableitungen definiert werden (siehe Kobayashi und Nomizu , Band 1, Abschnitte 1.1–1.2).
Weitere Informationen finden Sie unter Lumiste 2001b . Die folgende Behandlung ist die von Cartan 1923 und Cartan 1926 vorgeschlagene .
Dies kann als ursprüngliche Wahl angesehen werden: Es reicht tatsächlich aus, nur den Fall p = a x zu betrachten ; Cartan implizit mit identifizierten x in M .
Siehe R. Hermann (1983), Anhang 1–3 zu Cartan 1928 sowie Sharpe .
Dieser Entwicklungsansatz stammt von Kobayashi und Nomizu , Band 1, Satz III.3.1; siehe Abschnitt III.3 für eine geometrischere Sichtweise. Siehe auch Sharpe für eine vollständige Diskussion der Entwicklung in anderen Kontexten.

Verweise

(fr) Dieser Artikel ist teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen englischen Titeln „ Affine Verbindung “ ( siehe Liste der Autoren ) .

Primäre historische Quellen

(de) Elwin Bruno Christoffel , „ Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke Zweiten Grades “ , Journal für die reine und angewandte Mathematik , Bd. 70,1869, p. 46-70
(it) Tullio Levi-Civita , „ Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana “ , Rend. Circ. Mast. Palermo , vol. 42,1917, p. 73-205
Élie Cartan , „ Über Sorten mit affiner Verbindung und die Theorie der verallgemeinerten Relativitätstheorie (erster Teil) “, Annales Scientifique de l'École Normale Supérieure , vol. 40,1923, p. 325–412 ( online lesen )
Élie Cartan , „ Über affin verbundene Mannigfaltigkeiten und die Theorie der verallgemeinerten Relativitätstheorie (erster Teil) (Fortsetzung) “, Annales Scientifique de l'École Normale Supérieure , vol. 41,1924, p. 1-25 ( online lesen )Cartans anfänglicher Ansatz, motiviert durch die allgemeine Relativitätstheorie. Enthält eine detaillierte Diskussion der Physik von Repositories und wie die Verbindung den physikalischen Begriff des Transports entlang einer Universumslinie modelliert .
Élie Cartan , " Räume mit affiner, projektiver und konformer Verbindung ", Acta Mathematica , vol. 48,1926, p. 1–42 ( DOI 10.1007 / BF02629755 )Eine mathematisch motivierte Beschreibung.
Élie Cartan , Lektionen zur Geometrie von Riemannschen Räumen , Gauthier-Villars,1928( 2 e ;:. 1946 ed) (en) Übersetzung von James Glazebrook mit Anhängen von Robert HermannDer Standpunkt der Riemannschen Geometrie . In den Anhängen von Robert Hermann werden die Motivationen aus der Oberflächentheorie sowie Verbindungen im modernen Sinne von Koszul erörtert, die grundlegenden Eigenschaften des Differentialoperators ∇ entwickelt und mit "klassischen" Verbindungen im Sinne von Cartan in Beziehung gesetzt.
(de) Hermann Weyl , Raum, Zeit, Materie , Springer, Berlin,1918 (5 Ausgaben bis 1923) Die affine Verbindung erscheint zum ersten Mal in der 3 rd Edition von 1919. übersetzt in Französisch von Temps, Espace, Materie. Lektionen über die Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie , Blanchard, 1922 die 4 th Edition. (Nachdruck: Blanchard, 1979 ( ISBN 978-2-85367033-3 ) .

Sekundärreferenzen

(en) Shoshichi Kobayashi (en) und Katsumi Nomizu, Grundlagen der Differentialgeometrie , vol. 1 & 2, Wiley-Interscience ,1996( ISBN 0-471-15733-3 )Dies ist die Hauptreferenz für die technischen Details dieses Artikels. Kapitel III von Band 1 beschreibt detailliert die affinen Verbindungen aus der Sicht der Hauptbündel auf einem Verteiler, parallelen Transport, Entwicklung, Geodäten und zugehörigen Differentialoperatoren. Kapitel VI von Band 1 behandelt affine Transformationen, Torsion und die allgemeine Theorie der affinen Geodäsie. Band 2 enthält eine Reihe von Anwendungen für Verbindungen zu homogenen Räumen und komplexen Mannigfaltigkeiten sowie zu anderen verwandten Themen.
(in) Ü. Lumiste , " Affine Verbindung " , Encyclopædia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers , 2001a ( online lesen )
(in) Ü. Lumiste , „ Verbindungen auf einer Mannigfaltigkeit “ , Encyclopædia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, 2001b ( online lesen )Zwei Artikel, in denen die Bedingungen für parallele Transportanwendungen festgelegt werden, damit sie affine Verbindungen definieren. Sie befassen sich auch aus klassischer Sicht mit Fragen der Krümmung, Torsion und anderen Standardthemen.
(en) RW Sharpe, Differentialgeometrie: Cartans Verallgemeinerung von Kleins Erlangen-Programm , Springer Verlag ,1997426 p. ( ISBN 978-0-387-94732-7 , online lesen )Einen Überblick über die Geschichte und einen grundlegenden Ansatz für Cartans Verbindungen geben. Anhang A spezifiziert die Beziehungen zwischen dem Standpunkt der absoluten Parallelität und den Hauptverbindungen. Anhang B verbindet das klassische Modell des „rutschfesten Lagers“ und die moderne Sichtweise auf der Grundlage von Hauptbündeln und Differentialoperatoren.

Siehe auch