Autonombre

In der Arithmetik ist ein kolumbianisches Autonombre oder eine kolumbianische Zahl eine natürliche Zahl, die in einer gegebenen Basis nicht als Zahl geschrieben werden kann, die zur Summe der Ziffern dieser Zahl addiert wird.

Beispiele 15 ist kein Autonombre, da es durch die Summe von 12 und seinen Ziffern erzeugt werden kann: 15 = 12 + 1 + 2. 20 ist autonom, weil es für 20 keine solche Summe gibt.

Digitaddition

Der Begriff der Autonombre wurde 1949 vom indischen Mathematiker Dattatreya Ramachandra Kaprekar eingeführt, als er an einer Transformation von Zahlen interessiert war, die er als digitale Addition bezeichnete: der Zahl die Summe ihrer Ziffern hinzufügen.

Zum Beispiel ist S (21) = 21 + 1 + 2 = 24.

Wir sagen, dass 24 von 21 generiert wird.

Das Ergebnis, dass jede natürliche Zahl die Anzahl der Generatoren kombiniert, ist anschließend A230093 von OEIS .

Die Folge von streng positiven ganzen Zahlen, die mindestens einen Generator haben, ist die Folge A176995 ; Die kleinste Ganzzahl mit mehreren Generatoren ist 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.

Kaprekar ruft die ganzen Zahlen der komplementären Sequenz autonombres : solche , die noch nicht einen haben Generator.

Die Tatsache, ob es sich um ein Autonombre handelt oder nicht, hängt mit der Basis zusammen, in die die Nummer geschrieben ist. Zum Beispiel ist die in Basis 10 geschriebene Zahl 11 eine Zahl, die von 10 erzeugt wird, während sie in Basis 5 ( 21 5 ) geschrieben ist.

Autonombras in Basis zehn

Die Folge von in autonombres Basis zehn ist 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , usw. (Fortsetzung A003052 des OEIS ). Die einzigen, die kleiner als 100 sind, sind die ungeraden ganzen Zahlen kleiner als 10 und die ganzen Zahlen, die zu 9 Modulo 11 kongruent sind .

Die Subsequenz von prime autonombres ist 3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , usw. (Fortsetzung A006378 ).

Autonombras in Basis 2

Die folgende Wiederholungsrelation ermöglicht es, eine Unendlichkeit von Autonomen in Basis 2 (aber nicht alle) aufzubauen.

Fügen Sie ausgehend von der Nummer 1 die Nummer 1 links beim Schreiben der Nummer hinzu und addieren Sie dann 1 zu der erhaltenen Nummer. Wir erhalten nacheinander 1, 11 + 1 = 110, 1110 + 1 = 1111, 11111 + 1 = 100000.

Die ersten neun Autonomen in Basis 2 sind 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 und 11110.

1982 bewies Umberto Zannier (de) , dass die asymptotische Dichte von Autonomen in Basis 2 existiert und dann bei G. Troi streng positiv ist, dass sie gleich ist

{\ displaystyle {\ frac {1} {8}} \ left (\ sum _ {n \ in S} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {2} \ ca. 0, 25266026}

Dabei ist S die Menge von Zahlen, die als Summe verschiedener Terme der Form 2 k + 1 mit k natürlicher Ganzzahl geschrieben werden kann.

Sie schließen daraus, dass diese Dichte eine irrationale Zahl und sogar - unter Verwendung des Satzes des Unterraums (in) von Wolfgang Schmidt - transzendent ist .

Autonombras auf jeder Basis

Wiederkehrende Fortsetzung

In jeder Base b > 2 erzeugt die durch Induktion unten definierte Sequenz eine Unendlichkeit von Autonomen in Base b (aber nicht allen):

{\ displaystyle C_ {1} = {\ begin {Fällen} b-1 & {\ text {si}} b {\ text {gerade}} \\ b-2 & {\ text {si}} b {\ text {ungerade}} \ end {Fälle}} \ quad {\ text {et}} C_ {k} = (b-2) b ^ {k-1} + C_ {k-1} + (b-2). }}

Autonombras in ungerader Basis

1973 bewies Joshi, dass n genau dann eine ungerade Basis b ist, wenn n ungerade ist. Es ist leicht zu zeigen, dass wenn n ungerade ist, n ein Autonombre ist, aber das Gegenteil ist heikler.

Autonombras paarweise

1991 hat Patel bewiesen, dass in der Basis b, die noch größer oder gleich 4 ist, die ganzen Zahlen 2 b , 4 b + 2 und ( b + 1) 2 immer autonome sind.

Verweise

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia-Artikel in englischer Sprache mit dem Titel " Self number " ( siehe Autorenliste ) .

(en) Eric W. Weisstein , „ Self Number “, auf MathWorld .
(in) U. Zannier, " Über die Verteilung von Selbstzahlen " , Proc. Bitter. Mathematik. Soc. , Vol. 85,1982, p. 10-14 ( online lesen ).
(in) G. Troi und U. Zannier, " Konstante Dichte auf der Note in der Verteilung der Selbstzahlen " , Bollettino UMI , vol. 7, n o 9-A,1995, p. 143-148.
(in) G. Troi und U. Zannier, " Konstante Dichte auf der Note in der Verteilung der Selbstzahlen - II " , Bollettino UMI , vol. 8, n o 2-B,1999, p. 397-399 ( online lesen ).

Externer Link

(de) " Self-Numbers Density Constant " ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Was tun? ) , Auf mathsoft.com