Untersuite

In der Mathematik ist eine Teilsequenz (oder eine extrahierte Sequenz ) eine Sequenz, die erhalten wird, indem nur bestimmte Elemente (eine Unendlichkeit) einer Startsequenz genommen werden. Diese Operation wird manchmal als Extraktion bezeichnet .

Formal ist eine Sequenz eine Karte, die auf der Menge ℕ natürlicher Zahlen definiert ist . Wir notieren es klassisch . Eine Subsequenz oder eine Subsequenz ist zusammengesetzt von u durch Anwendung streng zunehmend . $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ varphi: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}$

Es ist daher in der Form geschrieben . In diesem Zusammenhang wird die Anwendung als Extraktor bezeichnet . $(u _ {{\ varphi (n)}}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ varphi$

Eigenschaften

Die Beziehung „eine Teilfolge von sein“ ist reflexiv und transitiv : Sie ist eine Vorbestellung .
Jede Folge von Werten in einer vollständig geordneten Menge lässt eine monotone Teilfolge (im weiteren Sinne) zu.

Demonstration

Sei ( x n ) eine solche Folge.

Wir sagen, dass ein Index n ein Peak ist, wenn er x m <x n für alle m> n erfüllt .

Es gibt dann zwei Fälle:

oder es gibt unendlich viele Spitzen. In diesem Fall bilden die entsprechenden x n eine (streng) abnehmende Teilsequenz;
oder es gibt nur eine endliche Anzahl von Spitzen. Wir „wählen“ ein Index p 0 streng größer als alle Peaks, dann ein Index p 1 > p 0 , so dass x p 1 ≥ x p 0 , dann p 2 > p 1 , so dass x p 2 ≥ x p 1 , etc ... Wir bauen also eine zunehmende Teilfolge auf (im weiteren Sinne).

Wir schließen daraus, dass jede begrenzte Folge von Real eine konvergente Teilfolge zulässt ( vgl. Satz von Bozen-Weierstrass ).

Sei eine Folge von Elementen eines topologischen Raum X die konvergent Richtung , dann jeder extrahierte Sequenz von in Richtung konvergiert ; durch Kontraposition , wenn X ist getrennt oder allgemeiner mit einer einzigen sequentiellen Grenze , wenn zwei Sequenzen von extrahierten unterschiedliche Grenzen, dann ist die Folge divergiert. $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ Ell$ $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ Ell$ $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$
Die Grenzen der konvergenten Teilsequenzen einer Sequenz eines topologischen Raums X sind Werte der Einhaltung der Sequenz . Wenn X ist metrisierbar oder allgemeiner mit zählbaren Basen von Nachbarschaften , ist das Gegenteil wahr: jeder Adhärenz Wert einer Sequenz ist Grenze eines seiner Subsequenzen. $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(u_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

Anmerkungen und Referenzen

Jean-Marie Monier, MPSI- Analyse : Kurs, Methoden und korrigierte Übungen , Paris, Dunod ,2006, 5 th ed. 525 p. ( ISBN 978-2-10-049837-6 ).
Diese Demonstration - einschließlich der Terminologie von "Peak" ( Peakpunkte ) - wird im Fall von realen Sequenzen von (in) Michael Spivak , Calculus , vorgestellt.1967( online lesen ) , Kap. 21 ("Unendliche Sequenzen") , p. 378( S. 451 der Ausgabe 2006 in Google Books ). In Bezug auf diesen Beweis nennen einige Autoren Die entsprechende Eigenschaft das „Peak Lemma“. Wenn wir nicht wissen, ob die betrachtete Sequenz eine Unendlichkeit von Peaks zulässt oder nicht, bietet dieser Beweis keine Methode zur Konstruktion einer monotonen Teilsequenz.
Eine Variante wäre, wie im Lemma der aufgehenden Sonne den Begriff „von der Linie aus sichtbarer Punkt“ zu verwenden (hier: Index n zur Überprüfung von x m ≤ x n für alle m> n ). Wir würden dann entweder eine abnehmende Teilfolge im weiteren Sinne oder eine streng zunehmende Teilfolge konstruieren.
Wir können aufeinanderfolgende Entscheidungen für p k treffen, ohne auf das Axiom der abhängigen Wahl zurückzugreifen , indem wir einfach bei jedem Schritt das kleinstmögliche p k auswählen .

Zum Thema passende Artikel

Verallgemeinerte Teilsequenz (en)
Higmans Lemma