Spektralanalyse

In der Physik und in verschiedenen Techniken erscheinen Signale, Funktionen der Zeit oder in Ausnahmefällen einer Raumvariablen. Die Spektralanalyse umfasst verschiedene Techniken zur Beschreibung dieser Signale im Frequenzbereich. Es ist insbesondere möglich, die Eigenschaften der Antwort eines linearen Systems unter Verwendung einer Übertragungsfunktion zu erhalten . In der Mathematik ist die Oberschwingungsanalyse ein Teil dieser Techniken.

Präsentation

Ein zeitabhängiges physikalisches Phänomen wird durch ein oder mehrere Signale beschrieben. Wir können sie nur ausnahmsweise auf einfache Weise interpretieren. Das Problem besteht darin, eine Beschreibung ihres Inhalts zu finden, die relativ allgemein und an die konkreten Probleme angepasst ist. Diese sehen oft wie folgt aus: Ein System wandelt ein Eingangssignal in ein Ausgangssignal um. Wie kann man die Eigenschaften dieses Signals gemäß denen des Eingangssignals und denen des Systems bestimmen?

Im allgemeinen Fall kennen wir leider nicht die Beziehung zwischen den Werten des Ausgangssignals und denen des Eingangssignals, sondern nur die Beziehung zwischen den Variationen des Ausgangssignals und den Werten (oder möglicherweise den Variationen) von das Signal des Eingangs. In mathematischen Begriffen wird das System durch eine geregelte Differentialgleichung . Wenn dies der Fall ist, ist das Problem unlösbar.

Glücklicherweise gibt es eine wichtige Klasse von Systemen, die linearen Systeme (oder solche), die dem Prinzip der Überlagerung unterliegen. In diesem Fall kann man entsprechend einer linearen Differentialgleichung versuchen, das Eingangssignal in eine Summe einfacher Signale zu zerlegen, denen gleich einfache Ausgangssignale entsprechen können, deren Summe das gewünschte Ergebnis ergeben würde.

Das Problem wird noch weiter vereinfacht, wenn die Eigenschaften des Systems über die Zeit konstant bleiben. Wir haben es mit einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu tun. Einfache Signale sind Sinuskurven, die nur eine Verstärkung und Phasenverschiebung erfahren. Dies ist das Problem der Spektralanalyse: Zerlegung eines komplizierten Signals in eine Summe von Sinuskurven.

Hier tritt eine Schwierigkeit auf, weil diese Zerlegung erfordert, dass das Signal über eine unendliche Zeit definiert wird. Es kann jedoch nur durch eine Aufzeichnung von begrenzter Dauer erkannt werden: Es ist daher notwendig, ein Modell des Signals zu erstellen, indem Annahmen getroffen werden, die oft intuitiv offensichtlich sind, über den nicht aufgezeichneten Teil des Phänomens.

Verschiedene Modelle

Man kann zum Beispiel annehmen, dass das Signal den Inhalt der Aufzeichnung auf unbestimmte Zeit wiedergibt: Man konstruiert dann ein periodisches Modell basierend auf der Fourier-Reihe . Das Signal wird durch ein diskretes Spektrum (Satz von Frequenzen in arithmetischer Folge) beschrieben.

Wir können auch annehmen, dass der Signalpegel außerhalb der Aufzeichnung vernachlässigbar ist: Wir verwenden in diesem Fall ein transientes Modell, das auf der Fourier-Transformation basiert und im Allgemeinen zu einem kontinuierlichen Spektrum führt.

Es gibt eine Reihe von Naturphänomenen, für die keine dieser beiden Annahmen realistisch ist. Zum Beispiel zeigt eine Aufzeichnung von Wellen, ohne Periodizität zu zeigen, auch keine Nettoverringerung über ihre relativ kleine Dauer: Wir sprechen von einem Signal mit endlicher Varianz (einige sprechen lieber von endlicher Leistung, aber es ist technisch immer noch nicht relevant). was zu dem Begriff der spektralen Dichte führt . Wir können dann eine etwas unschärfere Annahme verwenden, dass der in der Aufzeichnung berechnete quadratische Mittelwert eine vernünftige Schätzung des quadratischen Mittelwerts des Signals liefert . Diese Art der Analyse führt immer noch zu einem kontinuierlichen Spektrum. Es wird wie die vorherigen auf der Grundlage des Signals definiert, aber zusätzliche Informationen können erhalten werden, indem letzteres als Realisierung eines zufälligen Prozesses betrachtet wird .

Periodische Signale

Periodisches Signalamplitudenspektrum.png

Die Fourierreihenentwicklung einer Daueraufzeichnung assoziiert damit Sinuskurven endlicher Amplituden und Frequenzen, die ein Vielfaches der Grundfrequenz betragen . Wir sprechen von einem Amplitudenspektrum, das ein Linienspektrum ist. Im allgemeinen Fall kann das Ergebnis der Analyse entweder in Amplituden und Phasen oder in Kosinus- und Sinuskomponenten ausgedrückt werden. $T.$ ${\ frac {1} {T}}$

Die Summe der Sinuskurven erzeugt ein periodisches Signal. Wenn das ursprüngliche Signal periodisch ist, wird es - zumindest im Prinzip - perfekt dargestellt. Andernfalls wurde nur die Aufnahme angezeigt und Sie müssen versuchen, etwas anderes zu finden.

Transiente Signale

Transientes Signalamplituden-Dichtespektrum.png

Hier werden wir zunächst auf das Signal der vermeintlich unendlichen Dauer eingehen, bevor wir die Konsequenzen für eine Aufzeichnung der endlichen Dauer sehen. Wenn dieses Signal nicht periodisch ist und keine endliche Periode hat, können wir versuchen zu sehen, was passieren würde, wenn wir ihm eine unendliche Periode geben würden. Dies hat folgende Konsequenzen:

Wenn die Analysezeit gegen unendlich tendiert, tendiert der Frequenzschritt gegen 0: An der Grenze gehen wir von einem diskreten Spektrum zu einem kontinuierlichen Spektrum über. $T.$ ${\ frac {1} {T}}$
Während dieser Verlängerung des Analysezeitraums wird, wenn letztere mit einer beliebigen Zahl n multipliziert wird, die Anzahl der Komponenten mit demselben Faktor multipliziert. Damit der Signalpegel nicht in den gleichen Anteilen erhöht wird, müssen die Amplituden der Komponenten grob durch n geteilt werden, was zu Grenzamplituden an der Grenze führen kann. Diese Schwierigkeit wird überwunden, indem die Fourier-Koeffizienten mit der Analyselänge multipliziert oder durch den Frequenzschritt dividiert werden, der gegen Null tendiert. Somit ist das kontinuierliche Spektrum nicht länger ein Amplitudenspektrum, sondern ein Amplitudendichtespektrum, dessen Einheit physikalische Einheit / Hertz ist.
Trotz dieser Vorsichtsmaßnahmen kann die Methode abweichen. Eine Konvergenzbedingung ist, dass das Signal vorübergehend sein muss: Es muss gegen 0 tendieren, wenn die Zeit gegen ± tendiert . $\ infty$

Wir erhalten so die Transformation des Signals, die allgemein notiert wird , wobei f die Frequenz ist. $x (t)$ $X (f)$

Wenn Sie zu einer zeitlich begrenzten Aufnahme zurückkehren, gibt es zwei Möglichkeiten:

Das Signal unterscheidet sich nur für eine begrenzte Zeit von Null: Die Analyse während dieser Zeit liefert zumindest im Prinzip ein genaues Ergebnis, das es ermöglicht, das Signal durch Inversion der Transformation wiederherzustellen.
Das Signal hat andere Werte als Null für eine Dauer, die größer als die der Aufzeichnung ist: Die Ungenauigkeit des Ergebnisses nimmt mit der Menge der verlorenen Informationen zu. Der so begangene Fehler wird konkret durch eine Streuung der Energie übersetzt, die einer Frequenz auf den Nachbarfrequenzen entspricht, und mathematisch durch das Konzept der Faltung.

Endliche Varianzsignale

Das Problem ist komplizierter als im vorherigen Fall und kann auf verschiedene Arten angegangen werden. Diejenige, die wir verwenden werden, ist aus wissenschaftlicher Sicht sicherlich nicht die effizienteste, aber sie hat den Vorteil, einige wesentliche Punkte aufzuzeigen, ohne sie hinter mathematischen Überlegungen zu verbergen, wenn auch nicht besonders schwierig, zumindest ziemlich schwer. Um spezifische Probleme zu überwinden, die mit der Berücksichtigung eines Durchschnitts ungleich Null verbunden sind, wird angenommen, dass das Signal zuvor durch Subtrahieren seines Durchschnitts zentriert wurde.

Wenn ein Signal gegeben ist , nennen wir die Autokovarianzfunktion - oft fälschlicherweise der Autokorrelation gleichgesetzt - deren Funktion den Durchschnitt der Produkte der Werte von zu zwei Zeitpunkten ergibt, die sich unterscheiden von : $x (t)$ $\ tau$ $x (t)$ $\ tau$

R_ {x} (\ tau) = \ overline {x (t) x (t + \ tau)}

Bei der Berechnung dieses Mittelwerts variiert t von bis . Wenn das Signal vorübergehend ist, ist die Funktion Null; Wenn es periodisch ist, ist es selbst periodisch. Durch die Platzierung im Falle eines Signals, das offensichtlich keiner der beiden Kategorien angehört, hat die Funktion die folgenden Eigenschaften: $- \ infty$ $+ \ infty$

Die Änderung von en nimmt keine Änderung vor: Die Funktion ist gerade. $\ tau$ ${\ displaystyle - \ tau}$
Stellt im Ursprung die Varianz dar, die notwendigerweise positiv ist. ${\ displaystyle R_ {x} (0)}$
Symmetrie erfordert, dass es ein Extrem ist. Tatsächlich handelt es sich um ein Maximum: Wenn man bei der Berechnung die Verschiebung 0 durch eine kleine Verschiebung ersetzt , ersetzt man bei jedem Überschreiten der Ebene 0 ein kleines positives Produkt durch ein kleines negatives Produkt. $\ tau$
Mit Ausnahme des periodischen Signals haben zwei durch einen großen Versatz getrennte Punkte wenig gemeinsam: Die Funktion tendiert gegen 0, wenn dieser Offset gegen unendlich tendiert. $\ tau$
Alles in allem hat die Funktion oft eine vage, gedämpfte Sinusform.
Wir wollen, wenn möglich, das Signal einer Summe von Sinuskurven gleichsetzen. Angenommen, dies ist der Fall. Ob die Amplituden endlich oder unendlich klein sind, wir können diese Summe in folgender Form schreiben:

x (t) = \ sum _ {n} a_ {n} \ cos (\ omega _ {n} t + \ varphi _ {n})

Unter diesen Bedingungen zeigen wir das

R_ {x} (\ tau) = \ sum _ {n} {a_ {n} ^ {2} \ over 2} \ cos {\ omega _ {n} \ tau}

Die Autokovarianzfunktion enthält die gleichen Frequenzen wie das Signal.
Die Amplituden sind nicht identisch, werden jedoch durch Quadrieren und Teilen durch 2 erhalten.
Die Phasen sind vollständig verschwunden: Die Autokovarianz entspricht nicht nur dem ursprünglichen Signal, sondern auch allen, die die gleichen Komponenten enthalten.

Spektraldichte

Wir können daraus schließen:

Die Autokovarianzfunktion hat eine Fourier-Transformation, die wir Spektraldichte nennen und die wir allgemein bezeichnen , wobei f die Frequenz ist. ${\ displaystyle S_ {x} (f)}$
Da die Komponenten der Autokovarianz zu Amplitudenquadraten homogen sind, ist die spektrale Dichte nicht negativ. Es hat eine Dimension (physikalische Einheit) 2 / Hertz.
Da Autokovarianz eine reale und gleichmäßige Funktion ist, weist ihre Fourier-Transformation die gleichen Eigenschaften auf.
Bei einer Aufzeichnung, bei der immer das Signal abgeschnitten wird, das für eine unendliche Zeit aufrechterhalten werden soll, wird die spektrale Dichte notwendigerweise durch Faltung verzerrt.

Beziehung zu zufälligen Prozessen

Zusätzlich zu der Verzerrung des Frequenzinhalts, die bereits für transiente Signale beobachtet wurde, besteht eine statistische Unsicherheit, die mit der Position der Aufzeichnung auf dem Signal verbunden ist.

Die Autokovarianzfunktion entspricht einer ganzen Familie von Signalen, die dieselben Komponenten enthalten. Diese Familie kann als die Errungenschaften eines kontinuierlichen Prozesses interpretiert werden . Eine zeitlich begrenzte Aufzeichnung kann auch als Errungenschaft eines anderen Prozesses angesehen werden. Dies ermöglicht es, mit Konfidenzintervallen den statistischen Wert der durchgeführten Analyse anzugeben.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

(en) YK Lin , Probabilistische Theorie der Strukturdynamik , New York, Robert E. Krieger Verlag,Juli 1976368 p. ( ISBN 0-88275-377-0 )

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